13.4.1 作一条线段等于已知线段—13.4.2 作一个角等于已知角
【基础达标】
1.已知一条线段作等边三角形,使其边长等于已知线段,则作图的依据是 .
2.已知线段a、b、c,用直尺和圆规作出一条线段,使它等于a+c-b.
3.如图,∠ABC的BC上有一点P,过点P作平行于AB的直线.
【能力巩固】
4.按要求作图:延长AD到点E,使DE=AD,连结BE、CE.
5.已知线段a、b、c,求作:△ABC,使AB=a,BC=b,BC上的中线AD=c.
【素养拓展】
6.已知等腰三角形的底角及一腰与底的和,求作等腰三角形.已知:∠α,线段m.求作:等腰三角形ABC,使AB=AC,∠ABC=∠α且AB+BC=m.
参考答案
【基础达标】
1.SSS
2.解:如图,先在射线上作线段AB=a,画出线段BC=c,再在AC上截取AD=b,CD即所求.
3.解:如图,直线PD就是所求的直线.
【能力巩固】
4.解:
5.作法:如图,(1)作线段AB,使AB=a;
(2)分别以点A、B为圆心,c和b为半径,画弧交于D;
(3)延长BD到点C,使DC=b;
(4)连结AC,△ABC为所求作的三角形.
【素养拓展】
6.作法:如图,(1)作∠FBE,使∠FBE=α;
(2)在边BE上截取BD=m;
(3)以D为顶点,DB为一边,在∠α同侧,作∠BDA,使∠BDA=,交BF于点A;
(4)以A为顶点,AD为一边,在与∠BDA同侧,作∠DAC=交BD于点C.
∴△ABC为所求作的等腰三角形.13.4.3 作已知角的平分线
【基础达标】
1.用尺规作角平分线的依据是 （ ）
A.SAS B.ASA C.AAS D.SSS
2.作△ABC的高AD、中线AE、角平分线AF,三者中有可能在△ABC的外部是 （ ）
A.AD B.AE
C.AF D.都有可能
3.三角形的角平分线是 （ ）
A.射线 B.线段
C.直线 D.以上都有可能
4.如图,在△ABC中,AC=BC,以点A为圆心,任意长为半径画弧,分别交AB,AC于点M,N,再分别以点M,N为圆心,大于MN的长为半径画弧,两弧交于点P,连结AP并延长,交BC于点D,若∠C=36°,则∠ADB的度数是 .
【能力巩固】
5.已知:∠α,线段m.
求作:等腰三角形△ABC,使其顶角∠BAC=∠α,∠BAC的平分线为m.
(尺规作图,保留作图痕迹,不写作法)
6.如图,在△ABC中,∠C=90°,∠CAB=50°.按以下步骤作图:①以点A为圆心,小于AC的长为半径画弧,分别交AB、AC于点E、F;②分别以点E、F为圆心,大于EF的长为半径画弧,两弧相交于点G;③作射线AG,交边BC与点D.求∠ADC的度数.
【素养拓展】
7.如图,在△ABC中,∠ABC=∠ACB.
(1)尺规作图:过顶点A作△ABC的角平分线AD(不写作法,保留作图痕迹).
(2)在AD上任取一点E,连结BE、CE.求证:△ABE≌△ACE.
参考答案
【基础达标】
1.D 2.A 3.B 4.72°
【能力巩固】
5.解:∵求作等腰三角形△ABC,使其顶角∠BAC=∠α,∠BAC的平分线为m,
∴根据等腰三角形的性质,得出∠BAC的平分线m,也是等腰三角形底边上的高线,作出即可.
6.解:根据作图可知AG平分∠CAB,因为直角三角形两锐角互余,所以∠ADC=90°-25°=65°.
【素养拓展】
7.解:(1)作图如图所示.
(2)∵AD是△ABC的角平分线,
∴∠BAD=∠CAD.
∵∠ABC=∠ACB,∴AB=AC.
∵在△ABE和△ACE中,
∴△ABE≌△ACE(SAS).13.4.4 经过一已知点作已知直线的垂线—13.4.5 作已知线段的垂直平分线
【基础达标】
1.过点P作直线l的垂线和斜线,叙述正确的是 （ ）
A.都能作且只能作一条
B.垂线能作且只能作一条,斜线可作 无数条
C.垂线能作两条,斜线可作无数条
D.均可作无数条
2.如图,经过直线AB外一点C作这条直线的垂线,作法如下:
①任意取一点K,使点K和点C在直线AB的两侧;
②以点C为圆心,CK长为半径作弧,交AB于点D,E;
③分别以点D和点E为圆心,大于DE的长为半径作弧,两弧相交于点F;
④作直线CF,则直线CF就是所求作的垂线.
根据以上尺规作图过程,若将这些点作为三角形的顶点,其中不一定是等腰三角形的是 （ ）
A.△CDF B.△CDK
C.△CDE D.△DEF
3.作锐角∠AOB的余角∠BOC,只需作 ⊥ 即可得到.
4.如图,过直线外一点P,作该直线的平行线,然后过点P作一条垂线表示这两条平行线间的距离.
【能力巩固】
5.如图,已知线段AB及AB外的一点P,按下列语句画图(不写画法,保留画图痕迹).
(1)用尺规完成:连结AP,并作AP的垂直平分线.结论: .
(2)用三角板完成:过点P画线段AB的垂线段.结论: .
6.如图,在△ABC中.
(1)用尺规作图法,过点A作BC的垂线段交BC于点E.(保留作图痕迹,不写作法)
(2)在(1)所作的图形中,在EC上取一点F,使得BE=EF,连结AF,若CF=AB,求证:△AFC为等腰三角形.
7.阅读下面材料:
在数学课上,老师提出如下问题:
尺规作图:作一条线段的垂直平分线.
已知:线段AB.
小芸的作法如下:
如图,
(1)分别以点A和点B为圆心,大于AB的长为半径作弧,两弧相交于C、D两点;
(2)作直线CD.
请你回答:
(1)作图第一步为什么要大于AB的长
(2)小芸的作图是否正确 请说明理由.
【素养拓展】
8.(1)画一个等腰△ABC,使底边长BC为a,BC上的高为h(要求:用尺规作图,保留作图痕迹,写出已知).
(2)在(1)中,若a=6,h=4,求△ABC的周长.
参考答案
【基础达标】
1.B 2.A
3.CO AO
4.解:先让直角三角板的斜边跟已知直线重合,并让直尺靠紧三角板的一条直角边,然后将三角板靠紧直尺向P点平移,与P点重合后,沿三角板的斜边作直线即可;用直角三角板的一条直角边与这条直线重合,另一条直角边与直线外的已知点重合,再过这个已知点沿直角边做垂线即可.所作已知直线的平行线如图所示.
【能力巩固】
5.解:(1)如图,分别以点A、P为圆心,大于AP的长为半径作弧,两弧相交于点C和D,作直线CD;结论:线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等.
(2)用直角三角板的一条直角边与AB重合,另一条直角边过点P画线段,交AB于点M,线段PM即为所求.如图所示.结论:垂线段最短.
6.解:(1)作图如图所示.
(2)证明:∵AE⊥BF,BE=EF,
∴AB=AF.
∵CF=AB,
∴AF=CF,
∴△AFC是等腰三角形.
7.解:(1)如果等于AB,那么两弧只相交一点;如果小于AB,那么两弧没有交点,
所以作图第一步要大于AB的长.
(2)小芸的作图是正确的.
理由:连结AC,AD,BC,BD(图略).由作图得AC=AD,BC=BD,而CD是两个三角形的公共边.
在△CAD和△CBD中,
∴△CAD≌△CBD(SSS),
∴∠ACD=∠BCD,CD⊥AB,CD平分AB,
∴CD是AB的垂直平分线.
【素养拓展】
8.解:(1)已知底边长BC=a,高BC=h,如图
所示.
(2)如图,a=6,h=4,AD⊥BC,
∴BD=CD=3,
∴由勾股定理得AB=5,
∴ABC的周长为AB+AC+BC=5+5+6=16.
