13.5.2 线段垂直平分线
【基础达标】
1.如图,在△ABC中,CA、CB的垂直平分线的交点在第三边上,那么这个三角形是 （ ）
A.锐角三角形 B.钝角三角形
C.直角三角形 D.以上结论都不对
2.如图,△ABC中,∠B=40°,AC的垂直平分线交AC于点D,交BC于点E,且∠EAB∶∠CAE=3∶1,则∠C等于 （ ）
A.28° B.25°
C.22.5° D.20°
3.如图,在Rt△ABC中,∠A=30°,DE垂直平分斜边AC,交AB于点D,E为垂足,连结CD,若BD=1,则DE的长是 （ ）
A.1 B.2
C.3 D.4
4.如图,在△ABC中,AC的垂直平分线交AC于点E,交BC于点D,△ABD的周长为12 cm,AC=5 cm,则△ABC的周长等于 （ ）
A.16 cm B.17 cm
C.18 cm D.20 cm
5.如图,在△ABC中,边AB的垂直平分线分别交AB、AC于点D、E,若AD为4 cm,△ABC的周长为26 cm,则△BCE的周长为 cm.
6.如图,PD垂直平分AB,PE垂直平分BC,若PC的长为5,则线段PA的长是 .
【能力巩固】
7.如图,某镇A、B、C三个居民小区的位置成三角形,现决定在三个小区之间修建一个购物超市,使超市到三个小区的距离相等,则超市应建在 （ ）
A.在AC,BC两边高线的交点处
B.在AC,BC两边中线的交点处
C.在AC,BC两边垂直平分线的交点处
D.在∠A,∠B两内角平分线的交点处
8.如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,DE是AC的垂直平分线,交AC于点D,交BC于点E,连结AE.已知∠BAE=10°,则∠C的度数为 （ ）
A.30° B.40° C.50° D.60°
9.如图,在△ABC中,分别以点A和点B为圆心,大于AB的长为半径画弧,两弧分别相交于点M,N,作直线MN,交BC于点D,连结AD.若△ADC的周长为10,AB=7,则△ABC的周长为 （ ）
A.7 B.14 C.17 D.20
10.如图,MP和NQ分别垂直平分AB和AC.
(1)若△APQ的周长为12,求BC的长.
(2)若∠BAC=105°,求∠PAQ的度数.
11.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,D是BC延长线上一点,E是AB上一点,且在BD的垂直平分线上,DE交AC于点F.求证:点E在AF的垂直平分线上.
【素养拓展】
12.如图,在△ABC中,AD是∠BAC的平分线,点E在AB上且∠BCE=(∠ACB-∠ABC),求证:AD垂直平分EC.
参考答案
【基础达标】
1.C 2.A 3.A 4.B
5.18 6.5
【能力巩固】
7.C 8.B 9.C
10.解:(1)∵MP和NQ分别垂直平分AB和AC,
∴AP=BP,AQ=CQ,
∴△APQ的周长为AP+PQ+AQ=BP+PQ+CQ=BC.
∵△APQ的周长为12,
∴BC=12.
(2)∵AP=BP,AQ=CQ,
∴∠B=∠BAP,∠C=∠CAQ.
∵∠BAC=105°,
∴∠BAP+∠CAQ=∠B+∠C=180°-∠BAC=180°-105°=75°,
∴∠PAQ=∠BAC-(∠BAP+∠CAQ)=105°-75°=30°.
11.证明:∵点E在BD的垂直平分线上,∴BE=DE,∠B=∠D.又∵∠B+∠A=90°,∠D+∠DFC=90°,∴∠A=∠DFC.又∵∠DFC=∠AFE,∴∠A=∠AFE,∴AE=EF,∴点E在AF的垂直平分线上.
【素养拓展】
12.证明:∵∠BCE=(∠ACB-∠ABC),
∴2∠BCE=∠ACB-∠ABC=∠ACE+∠BCE-∠ABC,
∴∠BCE+∠ABC=∠ACE,∴∠AEC=∠ACE,∴AE=AC,
∴△AEC为等腰三角形.
又∵AD平分∠BAC,∴AD垂直平分EC.13.5.1 互逆命题与互逆定理
【基础达标】
1.下列命题的逆命题不是真命题的是 （ ）
A.等腰三角形的两底角相等
B.全等三角形的对应边相等
C.全等三角形的对应角相等
D.若a2>b2,则|a|>|b|
2.命题“邻补角互补”的逆命题是 .
【能力巩固】
3.下列说法正确的个数是 （ ）
①每一个命题都有逆命题;
②每一个定理都有逆定理;
③原命题不正确,它的逆命题一定不正确;
④互逆定理是互逆命题.
A.1 B.2 C.3 D.4
4.写出下列命题的逆命题,并判断这些命题的真假.
(1)如果∠α与∠β是邻补角,那么∠α+∠β=180°.
(2)如果一个三角形的两个内角相等,那么这两个内角所对的边相等.
5.在你所学过的知识内容中,有没有原命题与逆命题都正确的例子(即互逆定理) 试举出几对.
【素养拓展】
6.已知命题“等腰三角形两腰上的高相等”.(1)写出逆命题;(2)逆命题是真命题还是假命题 如果是真命题,请画出“图形”,写出“已知”、“求证”,再进行“证明”;如果是假命题,请举反例说明.
参考答案
【基础达标】
1.C
2.互补的两个角是邻补角
【能力巩固】
3.B
4.解:(1)逆命题:如果∠α+∠β=180°,那么∠α与∠β是邻补角.这是假命题.
(2)逆命题:如果一个三角形的两条边相等,那么这两条边所对的内角相等.这是真命题.
5.解:(1)定理:两个图形关于某直线对称,如果它们的对应线段或延长线相交,那么交点在对称轴上;逆定理:如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分,那么这两个图形关于这条直线对称 .
(2)平行线的性质和判定.
【素养拓展】
6.解:(1)逆命题:两边上的高相等的三角形是等腰三角形.(2)真命题.
已知:如图,三角形ABC的两边AB、AC上的高BD、CE相等.求证:三角形ABC是等腰三角形.
证明:∵BD、CE是△ABC的高,∴CE⊥AB,BD⊥AD.
∵∠A=∠A,BD=CE,∴Rt△ADB≌Rt△AEC,
∴AB=AC,∴三角形ABC是等腰三角形.13.5.3 角平分线
【基础达标】
1.如图,OC是∠AOB的平分线,P是OC上一点,PD⊥OA于点D,PD=6,则点P到边OB的距离为 （ ）
A.6
B.5
C.4
D.3
2.小明同学只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线.如图,一把直尺压住射线OB,另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P,小明说:“射线OP就是∠BOA的平分线.”他这样说的依据是 （ ）
A.在角的内部,到角的两边距离相等的点在角的平分线上
B.角平分线上的点到这个角两边的距离相等
C.三角形的三条高交于一点
D.三角形三边的垂直平分线交于一点
3.如图,在△ABC中,AD为∠BAC的平分线,DE⊥AB,DF⊥AC,E,F为垂足,在以下结论中:①△ADE≌△ADF;②△BDE≌△CDF;③△ABD≌△ACD;④AE=AF;⑤BE=CF;⑥BD=CD.其中正确结论的个数是 （ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
4.如图,在△ABC中,AC=BC,∠C=90°,BD是∠ABC的平分线,DE⊥AB于点E,BA=10 cm,则△DEA的周长是 （ ）
A.8 cm
B.10 cm
C.12 cm
D.14 cm
5.如图,在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠CAB,BC=8 cm,BD=5 cm,那么点D到直线AB的距离是 cm.
【能力巩固】
6.如图,OP为∠AOB的平分线,PC⊥OA,PD⊥OB,垂足分别是C,D,则下列结论错误的是 （ ）
A.PC=PD
B.∠CPD=∠DOP
C.∠CPO=∠DPO
D.OC=OD
7.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,以顶点A为圆心,适当长为半径画弧,分别交边AC,AB于点M,N,再分别以M,N为圆心,大于MN的长为半径画弧,两弧交于点P,作射线AP交边BC于点D,若CD=4,AB=15,则△ABD的面积为 （ ）
A.15 B.30 C.45 D.60
8.在正方形网格中,∠AOB的位置如图所示,到∠AOB两边距离相等的点应是 （ ）
A.点M
B.点N
C.点P
D.点Q
9.如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,若AB=10,AC=8,则S△ABD∶S△ACD= （ ）
A.25∶16
B.5∶4
C.16∶25
D.4∶5
10.如图,P是△ABC内部的一点,点P到三边AB,AC,BC的距离相等,若∠BPC=142°,则∠BAC的度数为 .
11.如图,在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC,DE⊥AB于点E,给出下列结论:①DC=DE;②DA平分∠CDE;③DE平分∠ADB;④BE+AC=AB;⑤∠BAC=∠BDE.其中正确的是 .(填序号)
12.如图,CO,BO分别是△ABC的两个外角∠PCB,∠QBC的平分线,OM⊥AP,ON⊥AQ,且OM=ON,连结AO.下列结论正确的有 个.
①∠PAO=∠QAO;
②∠AOB=∠ACB;
③2∠COB=180°+∠CAB;
④∠PAQ+2∠COB=180°.
【素养拓展】
13.感知:如图1,AD平分∠BAC,∠B+∠C=180°,∠B=90°.易知:DB=DC.
探究:如图2,AD平分∠BAC,∠ABD+∠ACD=180°,∠ABD<90°.求证:DB=DC.
参考答案
【基础达标】
1.A 2.A 3.B 4.B 5.3
【能力巩固】
6.B 7.B 8.A 9.B
10.104° 11.①②④⑤ 12.3
【素养拓展】
13.证明:如图,过点D分别作DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F.
∵DA平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC,
∴DE=DF.
∵∠B+∠ACD=180°,
∠ACD+∠FCD=180°,
∴∠B=∠FCD.
在△DFC和△DEB中,
∴△DFC≌△DEB,
∴DC=DB.
