1.5 全称量词与存在量词 同步练习（含解析）-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

1.5 全称量词与存在量词
【课后精练】
（限时：30分钟）
基础训练
1. 命题“，”的否定是（ ）.
A. ， B. ，
C. ， D. ，
2. （多选题）有下列四个命题,其中为真命题的是（ ）.
A. , B. ，,,
C. ，使 D. ，使为29的约数
3. 已知对任意的实数，，代数式恒成立，则下列说法正确的是（ ）.
A. B. C. D.
4. （多选题）若“，有”为真命题，“，使”为假命题，则集合可以是（ ）.
A. B.
C. D.
5. 命题“，”的否定是 ．
6. 已知集合，集合，如果命题“， ”为假命题，那么实数的取值范围为 .
能力拔高
7. （多选题）已知命题，.若为真命题，则的值可以为（ ）.
A. B. C. 0 D. 3
8. （多选题）下列命题既是全称量词命题又是假命题的是（ ）.
A. 二次函数的函数值都随的增大而增大
B. 至少有一个整数，它既能被11整除，又能被9整除
C. ，
D. ，
9. 若“，”是真命题，则实数的最小值为 ．
10. 已知命题甲：二次函数的图象与轴无交点，命题乙：一次函数在第一、二、四象限内有图象.请分别求出符合下列条件的实数的取值范围．
（1）甲、乙至少有一个是真命题；
（2）甲、乙中有且只有一个是真命题．
思维拓展
11. 已知集合或，集合，．
（1）当时，求；
（2）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围．
参考答案
1.C　【解析】存在量词命题的否定是全称量词命题,注意否定结论,所以上述命题的否定为“ n∈N,n2≤2n”.
2.ACD　【解析】对于A,这是全称量词命题,因为2x2+4>0恒成立,故A为真命题;对于B,这是全称量词命题,由于当x=-1时,2x+1>0不成立,故B为假命题;对于C,这是存在量词命题,当x=0或x=1时,有x2≤x成立,故C为真命题;对于D,这是存在量词命题,当x=1时,x为29的约数成立,故D为真命题.
3.A　【解析】m(x-y)+n(4x-y)=(m+4n)x-(m+n)y,
∵9x-y=m(x-y)+n(4x-y)对任意x,y恒成立,
∴解得
∴m+n=1,m-n=-.
4.AB　【解析】∵“ x∈M,x<-5”为假命题,∴“ x∈M,x≥-5”为真命题,可得M {x|x≥-5}.
又“ x∈M,|x|>x”为真命题,可得M {x|x<0}.
∴M {x|-5≤x<0},对照选项可知A,B满足题意.
5. x∈R,>0或x=2　【解析】全称量词命题的否定是存在量词命题.
6.{a|a<3}　【解析】因为命题“ m∈R,A∩B≠ ”为假命题,
所以命题“ m∈R,A∩B= ”为真命题.
因为集合A={x|0≤x≤a},集合B={x|m2+3≤x≤m2+4},
所以①当A={x|0≤x≤a}= 时,a<0,此时A∩B= 成立;
②当A={x|0≤x≤a}≠ 时,由“ m∈R,A∩B= ”,得解得0≤a<3.
综上,实数a的取值范围为{a|a<3}.
7.BCD　【解析】当a=0时,x=-1,p为真命题,符合题意;
当a≠0时,若p为真命题,则Δ=16+16a≥0,解得a≥-1且a≠0.
综上,a的取值范围为{a|a≥-1}.
8.AC　【解析】对于A,该命题隐含了全称量词“所有的”,可表述为“所有的二次函数的函数值y都随x的增大而增大”,是全称量词命题,且是假命题.
对于B,命题中含有存在量词“至少有一个”,因此是存在量词命题,且是真命题.
对于C,命题中含有全称量词“ ”,是全称量词命题,当x=1时,x+=2<3,故该命题是假命题.
对于D,命题中含有全称量词“ ”,是全称量词命题,且是真命题.
9.4　【解析】由题意,原命题等价于x2≤m在x∈{x|1≤x≤2}上恒成立,根据二次函数的图象,y=x2在x∈{x|1≤x≤2}上的最大值为4,所以m≥4,即m的最小值为4.
10.【解析】当命题甲为真命题时,Δ=4(a-1)2-4a2<0,即a>.
当命题乙为真命题时,即-(1)甲、乙至少有一个是真命题,即上面两个范围取并集,故实数a的取值范围是.
(2)甲、乙中有且只有一个是真命题,有两种情况:
甲真乙假时,a≥1;甲假乙真时,-综上可知,当甲、乙中有且只有一个是真命题时,实数a的取值范围为a-11.【解析】(1)由题意可知,当a=3时,B={x|1≤x≤7},
A={x|x<-3或x>4},则RA={x|-3≤x≤4},
所以(RA)∪B={x|-3≤x≤7}.
(2)由题意可知,x∈A是x∈B的必要不充分条件,则B A,且B≠ ,
所以或解得a>6.
综上所述,实数a的取值范围是{a|a>6}.