第一章三角函数 单元测试（含解析）-2024-2025学年高有下学期数学北师大版（2019）必修第二册

第一章 三角函数 单元测试
一、单选题
1．若，，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
2．已知函数有且仅有3个零点，则正数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
3．在直角坐标系中，若点从点出发，沿圆心在原点，半径为3的圆按逆时针方向运动到达点，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
4．若函数（，）的最小正周期为，且.给出下列判断：
①若，则函数的图象关于直线对称
②若在区间上单调递增，则的取值范围是
③若在区间内没有零点，则的取值范围是
④若的图象与直线在上有且仅有1个交点，则的取值范围是
其中，判断正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．如图所示的是函数的部分图象，那么（　　）
A．， B．，
C．， D．，
6．将函数的图象向右平移个单位长度后，再将图象上各点的纵坐标伸长到原来的2倍，得到函数的图象，则
A． B． C． D．
7．已知角的终边过点，则（ ）
A． B． C． D．
8．设函数，，则是（　　）
A．最小正周期为的偶函数 B．最小正周期为的奇函数
C．最小正周期为的偶函数 D．最小正周期为的奇函数
二、多选题
9．函数的部分图象如图所示，则（ ）

A． B．
C． D．函数的对称轴是
10．将函数的图象向左平移个单位长度后，函数图像关于y轴对称，则下列说法正确的是（ ）
A．可能等于3 B．的周期可以是
C．一定为奇函数 D．在上单调递减
11．已知函数，，则下列结论正确的是（ ）
A．与的图象有相同的对称轴
B．与的值域相同
C．与有相同的零点
D．与的最小正周期相同
三、填空题
12．已知函数，在上恰有一个最大值和一个最小值，则的最小值为 .
13．直线是函数图象的一条对称轴，给出的一个可能的值为
14．已知关于的不等式在内恒成立，则实数的取值范围是 ．
四、解答题
15．化简：.
16．已知．
(1)化简；
(2)若，求的值．
17．求值：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)，求.
18．（1）求值：
（2）化简：
（3）已知，若，求的值；
19．设，
(1)化简；
(2)求.
参考答案
1．A
【分析】根据三角函数单调性可得，结合指数函数、对数函数单调性分析判断.
【详解】因为，则，，，
即，
则，，，
即，所以.
故选：A.
2．B
【分析】利用二次函数与正弦函数的图象结合分段函数的性质计算即可.
【详解】对于，易知，且抛物线开口向下，
则必有一个负根，
所以有且只有两个零点，
易知，则.
故选：B
【点睛】方法点睛：二次函数根的分布需要注意开口方向，判别式及根与系数的关系，本题从以上三个角度可确定函数有一个负零点，而含参三角函数通常利用整体代换的方法结合三角函数图象与性质来处理参数范围.
3．C
【分析】根据题意作出示意图，并利用三角形函数定义即可求得点的坐标.
【详解】根据题意可知，作出图示如下：
根据题意可得，，作轴且垂足为；
利用三角函数定义可得，；
又点在第四象限，所以点的坐标为.
故选：C
4．C
【分析】由题设可得，代入验证法判断①；由区间单调性及正弦函数性质有求参数范围判断②；由区间零点及正弦函数性质，讨论、研究参数范围判断③；由题设，结合题设及正弦函数性质有求参数范围判断④.
【详解】由，则，即，又，
所以，故，
当，则，故函数的图象关于直线对称，①对；
当，则，且在区间上单调递增，
所以，可得，②对；
当，则，且在区间内没有零点，
若，则，此时满足题设；
若，则，故，可得且，
所以，可得；
综上，的取值范围是，③错；
当，则，
又的图象与直线在上有且仅有1个交点，故，
所以，即的取值范围是，④对.
故选：C
【点睛】关键点点睛：根据已知求得，根据各项给定范围求对应的范围，结合正弦函数性质列不等式求参数范围.
5．C
【分析】由题意，根据顶点坐标求出，由特殊点的坐标得出，由五点法作图求出，可得答案．
【详解】根据函数的部分图象，可得，
当时得，则，
而根据图象易得为锐角，则，
结合五点法作图，可得，∴，故，
故选：C．
6．A
【分析】先按照三角函数图象变换的方法得到的解析式，再进行求解.
【详解】将函数的图象向右平移个单位长度后，
得的图象，
再将图象上各点的纵坐标伸长到原来的2倍，
得到图象解析式为，
所以.
故选：A.
7．A
【分析】根据三角函数的定义及诱导公式求解.
【详解】因为角的终边过点，
所以，
所以.
故选：A
8．D
【分析】通过诱导公式，结合正弦函数的性质即可得结果.
【详解】，所以，，
所以则是最小正周期为的奇函数，
故选：D.
9．ABC
【分析】由图象求出函数的周期，即可得出A项；根据图象得出函数的最小值点，然后即可得出的关系式，求解即可得出的值；根据诱导公式化简即可得出C；根据余弦函数的性质，求出对称轴，即可判断D.
【详解】对于A项，由图象可知，，所以，所以，
所以，函数为，故A项正确；
对于B项，由图象可知，函数在处取得最小值，
所以有，解得，
所以函数为，故B项正确；
对于C项，由AB可知，函数为，故C项正确；
对于D项，根据余弦函数的性质，由可得，，
所以函数的对称轴为，故D项错误.
故选：ABC.
10．BC
【分析】根据已知条件平移后的图像为偶函数，确定的取值，利用判断A、B两个选项；求出解析式，利用奇函数定义判断函数的奇偶性进而判断C选项；利用换元法令，利用函数的单调性，判断的单调性进而判断D选项.
【详解】函数的图象向左平移个单位得：
，因为图像关于y轴对称，
所以为偶函数，所以解得；
若，则，解得，因为，所以不成立，A错误；
若的周期可以是，则，解得，又因为，
即，解得符合，B正确；
，
因为，所以
，
令，，
所以，所以一定为奇函数，C正确；
令，则因为，则，所以化为
，在上单调递增，在上单调递减，
所以在上不单调，D错误.
故选：BC
11．AD
【分析】根据题意分别画出两函数图象，可求得它们的对称轴、值域、零点、最小正周期等，即可得出结论.
【详解】画出函数的图象如下图所示：

易知的对称轴为，值域为，零点为，最小正周期为；
易知，其图象如下图所示：

易知的对称轴为，即，值域为，零点为，最小正周期为；
因此可得与的图象有相同的对称轴，它们的最小正周期相同.
故选：AD
12．
【分析】将相位视作一个整体，然后做出y=sinx的图像，结合图像列出不等式解出即可.
【详解】结合函数图象分析
，故得.
故答案为：.
13．
【分析】根据对称轴的表达式，代入，求得即可.
【详解】由题知，，，又
则，取
故答案为：
14．
【分析】分离参数后，求函数的最大值即可.
【详解】由得，
设，因，所以，
则在上恒成立，
设，
则二次函数的对称轴为，
因其开口向下，所以时函数单调递增，
所以的最大值，
故，
故答案为：
15．
【分析】根据诱导公式以及同角的三角函数关系，化简，即得答案.
【详解】原式＝.
16．(1)
(2)
【分析】（1）利用三角函数诱导公式即可化简；
（2）利用三角函数诱导公式和特殊角三角函数值即可求得时的值．
【详解】（1）
.
（2）时，.
17．(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】利用三角函数诱导公式计算即可.
【详解】（1）；
（2）；
（3）；
（4），∴.
18．（1）；（2）；（3）
【分析】（1）根据指数幂和对数的运算法则直接计算即可.
（2）根据三角函数运算公式直接计算即可.
（3）计算得到答案.
【详解】（1）
；
（2）
；
（3），
，故.
19．(1)
(2)
【分析】（1）根据三角函数的诱导公式，即化简得到的表达式；
（2）由（1）中的解析式，代入，即可求解的值.
【详解】（1）
（2）