江苏镇江市2024-2025学年高一上学期第9周阶段性训练数学模拟练习（含解析）
文档属性
| 名称 | 江苏镇江市2024-2025学年高一上学期第9周阶段性训练数学模拟练习（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 150.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-11-10 13:20:18 | ||
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文档简介
江苏镇江市2024-2025学年高一（上）数学第9周阶段性训练模拟练习
一．选择题（共10小题）
1．已知幂函数在（0，+∞）上递增，则m＝（ ）
A．2 B．4 C．﹣1 D．2或﹣1
2．若x+x﹣1＝3，则＝（ ）
A． B． C． D．
3．已知函数f（x+2）的定义域为（﹣1，3），则f（x）的定义域为（ ）
A．（﹣1，1） B．（1，5） C．（﹣3，1） D．（0，2）
4．设a＝（，，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．a＞c＞b B．a＞b＞c C．c＞a＞b D．b＞c＞a
5．已知偶函数f（x）在区间[0，+∞）单调递增，则满足f（2x﹣1）＜f（）的x的取值范围是（ ）
A．（，） B．[，） C．（，） D．[，）
6．已知函数f（x）的定义域为R，且，f（x）+f（y）+2xy＝f（x+y），则f（3）的值是（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
7．已知函数f（x）＝，若f（f（0））＝﹣2，实数a＝（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
8．已知函数f（x）＝满足对任意实数x1≠x2，都有（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．[﹣2，2] B．
C． D．
9．已知函数f（x）＝，若f（a）＝f（a+2），则＝（ ）
A．0 B． C．0或 D．
10．设函数f（x）＝，则满足f（x）+f（x+）＞2的实数x的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，0） B． C． D．
二．多选题（共5小题）
（多选）11．关于函数，下列结论中正确的是（ ）
A．当a＝0时，f（x）是增函数
B．当a＝0时，f（x）的值域为（﹣1，+∞）
C．当a＝1时，f（x）是奇函数
D．若f（x）的定义域为R，则a＜2
（多选）12．已知ax2+bx+c＞0的解集是（﹣2，3），则下列说法正确的是（ ）
A．b+c＞0
B．不等式cx2﹣bx+a＜0的解集为
C．的最小值是4
D．当c＝2时，若f（x）＝3ax2+6bx，x∈[n1，n2]的值域是[﹣3，1]，则n2﹣n1∈[2，4]
（多选）13．已知函数是R上的减函数，则实数a的值可以是（ ）
A．1 B． C． D．2
（多选）14．设f（x）＝|3x﹣1|，c＜b＜a，且f（c）＞f（a）＞f（b）则下列关系式一定不成立的是（ ）
A．3c≤3b B．3c＞3b C．3c+3b＞2 D．3c+3b＜2
（多选）15．已知函数是定义域为R的奇函数，则下列选项中正确的是（ ）
A．实数k＝±1
B．函数f（x）在定义域R上单调递减
C．函数f（x）的值域为（﹣1，1）
D．若g（x）＝f（2x）+1，则对任意实数a，有g（a）+g（﹣a）＝2
三．填空题（共6小题）
16．已知函数f（x）＝x2+2和函数g（x）＝﹣x﹣a，若对任意的x1∈[2，4]，总存在x2∈[0，1]，使得g（x2）＜f（x1）成立，则实数a的取值范围是 ．
17．如果函数f（x）＝x2﹣2ax+2在区间[3，+∞）上是增函数，则a的取值范围为 ．
18．设定义在R上的奇函数f（x）满足f（x）＝x2﹣4（x＞0），则f（x）＞0的解集为 ．
19．若关于x的不等式9x﹣2 3x﹣3＞k在区间[﹣1，2]上恒成立，则k的取值范围为 ．
20．若关于x的不等式x2﹣2x﹣1+m≤0在区间[0，3]内有解，则实数m的取值范围 ．
21．若函数f（x）同时满足①函数f（x）为增函数，②f（x+y）＝f（x）f（y）．请写出一个符合条件的函数f（x）＝ ；若命题“ x＞0，关于x的不等式f（x）+2x+a＜0成立”为假命题，则实数a的取值范围是 ．
四．解答题（共7小题）
22．（1）解关于x的不等式x2﹣（m+1）x+m＜0．
（2）若对任意的x∈[1，2]，x2﹣（m+1）x+m≤0恒成立，求实数m的取值范围．
23．设y＝mx2+（1﹣m）x+m﹣2．
（1）若不等式y＞0的解集是（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞），求m的值；
（2）若不等式y≥﹣2对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围．
24．已知幂函数f（x）＝（m2+3m﹣9）xm﹣1在（0，+∞）上是减函数，m∈R．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若，求实数a的取值范围．
25．已知函数是奇函数．
（1）求b的值；
（2）证明f（x）在R上为减函数；
（3）若不等式f（t2+2t）+f（3t2﹣6）＜0成立，求实数t的取值范围．
26．设函数f（x）＝ax﹣a﹣x（a＞0且a≠1）．
（1）若f（1）＞0，求不等式f（﹣x2+7）+f（x﹣5）＜0的解集；（其中单调性只需判断）；
（3）若，且g（x）＝a2x+a﹣2x﹣4f（x）﹣m≥0在[1，+∞）上恒成立，求m的最大值．
27．已知函数f（x）＝ax2﹣2ax+b+2（a＞0）在区间[0，1]上的最大值比最小值大3，且f（1）＝0．
（1）求a，b的值；
（2）当时，函数y＝f（x）的图象恒在函数y＝mx2+1的图象下方，求实数m的取值范围．
28．设f（x）是定义在R上的函数，且对任意实数x，有f（1﹣x）＝x2﹣3x+3．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若函数g（x）＝|f（x）﹣ax+3|在[1，3]上为单调递增函数，求实数a的取值范围．
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．【解答】解：∵幂函数 在（0，+∞）上单调递增，
∴m2﹣m﹣1＝1①，且m2﹣2m﹣2＞0②．
由①求得m＝﹣1或m＝2；
由②求得m 或m＜1﹣，
综合可得m＝﹣1，
故选：C．
2．【解答】解：将x+x﹣1＝3两边平方，得x2+x﹣2+2＝9，即x2+x﹣2＝7，
所以．
故选：A．
3．【解答】解：对于函数f（x+2）：因为x∈（﹣1，3），则x+2∈（1，5），
所以f（x）的定义域为（1，5）．
故选：B．
4．【解答】解：∵在x＞0时是增函数
∴a＞c
又∵在x＞0时是减函数，所以c＞b
故选：A．
5．【解答】解：∵偶函数f（x）是定义在区间[0，+∞）上的增函数，
则由f（2x﹣1）＜f（），
∴﹣＜2x﹣1＜，解得 ＜x＜，
故选：A．
6．【解答】解：f（x）+f（y）+2xy＝f（x+y）中令x＝y＝0，则f（0）＝0，
f（x）+f（y）+2xy＝f（x+y）中令x＝1，y＝﹣1，则f（1）+f（﹣1）﹣2＝f（0）＝0，
又中令x＝﹣1，则f（﹣1）＝0，所以f（1）＝2，
f（x）+f（y）+2xy＝f（x+y）中，令x＝y＝1，则f（2）＝2f（1）+2＝6，
再令x＝1，y＝2，则f（3）＝f（1）+f（2）+4＝2+6+4＝12．
故选：D．
7．【解答】解：f（x）＝，
则f（0）＝1，
故f（f（0））＝f（1）＝1﹣a＝﹣2，解得a＝3．
故选：B．
8．【解答】解：∵函数f（x）＝满足对任意实数x1≠x2，都有（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0成立，
∴函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，
∴，解得﹣，
即实数a的取值范围是[﹣，]．
故选：B．
9．【解答】解：函数f（x）＝，
若f（a）＝f（a+2），而a、a+2不会同在区间（0，2）上，
同时，当x≥2时，f（x）＝2x（x﹣2），是增函数，
则必有a＜2≤a+2，即0≤a＜2，
故f（a）＝（a﹣1）2，f（a+2）＝2（a+2﹣2）＝2a，
则有（a﹣1）2＝2a，解可得：a＝2﹣或a＝2+，
又由0≤a＜2，则a＝2﹣，
故f（a+）＝f（2）＝2（2﹣2）＝0．
故选：A．
10．【解答】解：当x＜﹣时，x+＜0，
∴f（x）+f（x+）＝（）x+（＞＝+1＞2，
∴x，
当﹣x＜0时，x+≥0，
∴f（x）+f（x+）＝（）x+[﹣2（x+）+2]＝（）x﹣2x+1＞﹣0+1＝2，
∴﹣x＜0，
当x≥0时，x+＞0，
∴f（x）+f（x+）＝﹣2x+2﹣2（x+）+2＝﹣4x+3＞2，
解得x，
∴0，
综上所述，满足f（x）+f（x+）＞2的实数x的取值范围是（﹣∞，）．
故选：C．
二．多选题（共5小题）
11．【解答】解：∵函数，
∴当a＝0时，＝1﹣为R上的增函数，且当x→﹣∞时，f（x）→﹣1，当x→+∞时，f（x）→1，即f（x）∈（﹣1，1），故A正确，B错误；
当a＝1时，f（﹣x）＝＝＝﹣f（x），即f（x）是奇函数，故C正确；
若f（x）的定义域为R，则4x+1﹣a 2x＞0恒成立，①，或4x+1﹣a 2x＜0恒成立，②
解①得：a＜2x+恒成立，
∵2x+≥2＝2，当且仅当2x＝，即x＝0时取等号，
∴a＜2；
解②得：a＞2x+恒成立，由于当x→+∞时，2x+→+∞，故a不存在；
综上所述，若f（x）的定义域为R，则a＜2，故D正确；
故选：ACD．
12．【解答】解：由题意可知：﹣2，3是关于x的方程ax2+bx+c＝0的二根，且a＜0，
则，可得b＝﹣a，c＝﹣6a，a＜0．
对于选项A：b+c＝﹣7a＞0，故A正确；
对于选项B：不等式cx2﹣bx+a＜0化为：﹣6ax2+ax+a＜0，
由a＜0可得6x2﹣x﹣1＜0，解得，
所以不等式cx2﹣bx+a＜0的解集为，故B错误；
对于选项C：因为b＞0，b＝﹣a，
可得，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值是4，故C正确；
对于选项D：当c＝2时，，
则f（x）＝3ax2+6bx＝﹣x2+2x＝﹣（x﹣1）2+1，
当x＝1时，f（x）取到最大值f（1）＝1，
因为n1≤1≤n2，由f（x）＝﹣3得，x＝﹣1或x＝3，
因f（x）在[n1，n2]上的最小值为﹣3，
从而得n1＝﹣1，1≤n2≤3或﹣1≤n1≤1，n2＝3，
因此2≤n2﹣n1≤4，故D正确．
故选：ACD．
13．【解答】解：由题意可知：在（2，+∞）上单调递减，即a＞0，
在（﹣∞，2]上也单调递减，即a﹣2＜0，
又f（x）是R上的减函数，则，
所以，解得1≤a＜2，
故选：ABC．
14．【解答】解：作出f（x）＝|3x﹣1|的图象如下：
由c＜b＜a，得3c＜3b，所以选项A成立，选项B一定不成立；
又由f（c）＞f（a）＞f（b）可知，a，b，c不在同一单调区间上，且c＜0，a＞0，
所以3c＜1，3a＞1，因为f（c）﹣f（b）＞0，
当b＜0时，f（c）﹣f（b）＝（1﹣3c）﹣（1﹣3b）＝3b﹣3c＞0，
当b＞0时，f（c）﹣f（b）＝（1﹣3c）﹣（3b﹣1）＝2﹣3b﹣3c＞0，所以3c+3b＜2，此时选项D正确，选项C一定不成立．
故选：BC．
15．【解答】解：因为函数是定义域为R的奇函数，
所以f（0）＝＝0，
所以k＝1，A错误；
因为f（x）＝＝﹣1+在定义域R上单调递减，B正确；
因为1+3x＞1，
所以0＜，
所以﹣1＜f（x）＜1，C正确；
若g（x）＝f（2x）+1＝，则对任意实数a，有g（a）+g（﹣a）＝+＝+＝2，D正确．
故选：BCD．
三．填空题（共6小题）
16．【解答】解：若对任意的x1∈[2，4]，总存在x2∈[0，1]，使得g（x2）＜f（x1）成立，
则f（x1）min＞g（x2）min，
∵函数f（x）＝x2+2在x1∈[2，4]上单调递增，∴f（x1）min＝f（2）＝6，
∵函数g（x）＝﹣x﹣a在x2∈[0，1]上单调递减，∴f（x2）min＝f（1）＝﹣1﹣a，
则6＞﹣1﹣a，
解得a＞﹣7，
则实数a的取值范围是（﹣7，+∞）．
故答案为：（﹣7，+∞）．
17．【解答】解：∵函数f（x）＝x2﹣2ax+2＝（x﹣a）2+2﹣a2在区间[3，+∞）上是增函数，
∴a≤3．
故a的取值范围是（﹣∞，3]．
故答案为（﹣∞，3]．
18．【解答】解：根据题意，分3种情况讨论：
①当x＞0时，则f（x）＝x2﹣4，
令f（x）＞0，解得x＞2；
②当x＝0时，则f（0）＝0，不合题意；
③当x＜0时，则f（x）＝﹣f（﹣x）＝﹣[（﹣x）2﹣4]＝﹣x2+4，
令f（x）＞0，解得﹣2＜x＜0；
综上所述：f（x）＞0的解集为（﹣2，0）∪（2，+∞）．
故答案为：（﹣2，0）∪（2，+∞）．
19．【解答】解：令t＝3x，由题可得不等式t2﹣2t﹣3＞k在区间上恒成立，
所以k＜（t2﹣2t﹣3）min，
令y＝t2﹣2t﹣3＝（t﹣1）2﹣4，则ymin＝﹣4，
所以k＜﹣4．
故答案为：（﹣∞，﹣4）．
20．【解答】解：∵不等式x2﹣2x﹣1+m≤0在区间[0，3]内有解，
∴不等式m≤﹣x2+2x+1在区间[0，3]内有解，
设f（x）＝﹣x2+2x+1，x∈[0，3]，
对称轴为x＝1，
∴当x＝1时，f（x）max＝f（1）＝2，
∴m≤2，
即实数m的取值范围为（﹣∞，2]．
故答案为：（﹣∞，2]．
21．【解答】解：第一个空：由性质②f（x+y）＝f（x）f（y），可知符合条件的函数可以为指数函数y＝ax（a＞0且a≠1）．
由性质①函数f（x）为增函数，可知a＞1，
故同时满足①②的函数可以为y＝2x（答案不唯一）；
第二个空：若命题“ x＞0，关于x的不等式f（x）+2x+a＜0成立”为假命题，
则命题“ x＞0，关于x的不等式f（x）+2x+a≥0恒成立”为真命题，
即a≥﹣2x﹣2x对 x＞0恒成立，
因为y＝﹣2x﹣2x为减函数，所以y＝﹣2x﹣2x＜20﹣2×0＝﹣1，
所以a≥1，即a的取值范围是[1，+∞）．
故答案为：2x；[1，+∞）（答案不唯一）．
四．解答题（共7小题）
22．【解答】解：（1）不等式x2﹣（m+1）x+m＜0化为：（x﹣m）（x﹣1）＜0，
当m＜1时，解得m＜x＜1；
当m＝0时，不等式无解；
当m＞1时，解得1＜x＜m，
所以当m＜1时，原不等式的解集为（m，1）；
当m＝0时，原不等式的解集为 ；
当m＞1时，原不等式的解集为（1，m）．
（2）当x＝1时，x2﹣（m+1）x+m≤0恒成立，则m∈R，
当x∈（1，2]时，不等式x2﹣（m+1）x+m≤0 m（x﹣1）≥x（x﹣1） m≥x，
依题意， x∈（1，2]，m≥x，而x最大值为2，因此m≥2，
所以实数m的取值范围是[2，+∞）．
23．【解答】解：（1）由题意，不等式mx2+（1﹣m）x+m﹣2＞0的解集是（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞），
所以﹣1，1是关于x的方程mx2+（1﹣m）x+m﹣2＝0的两实数根，且m＞0，
则，解得m＝1．
（2）由y＝mx2+（1﹣m）x+m﹣2≥﹣2对一切实数x恒成立，
即mx2+（1﹣m）x+m≥0对一切实数x恒成立，
当m＝0时，x≥0，不满足题意，
当m≠0时，则满足，
解得
综上所述，实数m的取值范围是．
24．【解答】解：（1）由幂函数的定义可知，m2+3m﹣9＝1，解得m＝﹣5或2，
当m＝2时，f（x）＝x在（0，+∞）上是增函数，不符合题意，
当m＝﹣5时，f（x）＝x﹣6在（0，+∞）上是减函数，符合题意，
故f（x）＝x﹣6；
（2）由（1）可知，m＝﹣5，
则，
故，解得1＜a＜2，
故实数a的取值范围为（1，2）．
25．【解答】解：（1）∵f（x）的定义域为R，
又∵f（x）为奇函数，∴由f（0）＝0得b＝1，
此时，
∴为奇函数，
所以b＝1．
（2）证明：任取x1，x2∈R，且x1＜x2，则，
∵x1＜x2，∴，
∴，
又∵，
∴f（x1）﹣f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），
故f（x）为R上的减函数；
（3）∵f（x）为奇函数，
∴f（t2+2t）+f（3t2﹣6）＜0，
可化为f（t2+2t）＜f（6﹣3t2），
又由（2）知f（x）为减函数，所以t2+2t＞6﹣3t2，
∴{t|或t＞1}．
26．【解答】解：（1）∵，又a＞0且a≠1，所以a＞1，
∵y＝ex单调递增，y＝e﹣x单调递减，故f（x）＝ex﹣e﹣x在R上单调递增．
又∵f（﹣x）＝a﹣x﹣ax＝﹣f（x）且x∈R，
∴f（x）是R上的奇函数，
由f（﹣x2+7）+f（x﹣5）＜0，
得f（﹣x2+7）＜f（5﹣x），
∴﹣x2+7＜5﹣x，
∴解得x＞2或x＜﹣1，
故得不等式f（﹣x2+7）+f（x﹣5）＜0的解集为（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）．
（3）由，解得（舍）或a＝2，
则f（x）＝2x﹣2﹣x，
∴g（x）＝22x+2﹣2x﹣4（2x﹣2﹣x）﹣m＝（2x﹣2﹣x）2﹣4（2x﹣2﹣x）﹣m+2
令t＝2x﹣2﹣x，
∵x∈[1，+∞），
∴
g（x）≥0在[1，+∞）恒成立，
即t2﹣4t﹣m+2≥0在上恒成立，
即m≤t2﹣4t+2在上恒成立，
而t2﹣4t+2＝（t﹣2）2﹣2≥﹣2，
∴m≤﹣2，
故得m的最大值为﹣2．
27．【解答】解：（1）因为f（x）＝ax2﹣2ax+b+2＝a（x﹣1）2﹣a+b+2，（a＞0），
开口向上，对称轴x＝1，
所以函数在[0，1]上单调递减，所以f（x）min＝f（1）＝﹣a+b+2，f（x）max＝f（0）＝b+2，
由题意可得f（0）﹣f（3）＝3，即a＝3，
所以f（1）＝﹣a+b+2＝b﹣1＝0，可得b＝1，
即a＝3，b＝1；
（2）由题意可得f（x）＝3x2﹣6x+3＜mx2+1在[，2]上恒成立，
即m＞[2 （）2﹣6 +3]max在[，2]上恒成立，
设t＝∈[，3]，
设h（t）＝2t2﹣6t+3，t∈[，3]，开口向上，对称轴t＝，
所以t∈[，3]，函数h（t）先减后增，因为|3﹣|＞|﹣|，
所以hmax（t）＝h（3）＝2×32﹣6×3+3＝3，
所以m＞3．
所以m的取值范围为（3，+∞）．
28．【解答】解：（1）根据题意，f（1﹣x）＝x2﹣3x+3，
令1﹣x＝t，则x＝1﹣t，
得f（t）＝（1﹣t）2﹣3（1﹣t）+3，
化简得f（t）＝t2+t+1，
即f（x）＝x2+x+1，x∈R；
（2）根据题意，由（1）的结论，g（x）＝|x2+（1﹣a）x+4|，
设h（x）＝f（x）﹣ax+3＝x2+（1﹣a）x+4，
分2种情况讨论：
①当Δ＝（1﹣a）2﹣16≤0，即﹣3≤a≤5时，
有h（x）＝x2+（1﹣a）x+4≥0恒成立，
此时必有≥1成立，解可得a≥3，
又由﹣3≤a≤5，则有﹣3≤a≤3，
故此时a的取值范围为[﹣3，3]；
②当Δ＝（1﹣a）2﹣16＞0，即a＞5或a＜﹣3时，
此时有或，
解可得：a≥7或a＜﹣3
故此时a的取值范围为（﹣∞，﹣3）∪[7，+∞）．
综合可得：a的取值范围为（﹣∞，3]∪[7，+∞）．
一．选择题（共10小题）
1．已知幂函数在（0，+∞）上递增，则m＝（ ）
A．2 B．4 C．﹣1 D．2或﹣1
2．若x+x﹣1＝3，则＝（ ）
A． B． C． D．
3．已知函数f（x+2）的定义域为（﹣1，3），则f（x）的定义域为（ ）
A．（﹣1，1） B．（1，5） C．（﹣3，1） D．（0，2）
4．设a＝（，，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．a＞c＞b B．a＞b＞c C．c＞a＞b D．b＞c＞a
5．已知偶函数f（x）在区间[0，+∞）单调递增，则满足f（2x﹣1）＜f（）的x的取值范围是（ ）
A．（，） B．[，） C．（，） D．[，）
6．已知函数f（x）的定义域为R，且，f（x）+f（y）+2xy＝f（x+y），则f（3）的值是（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
7．已知函数f（x）＝，若f（f（0））＝﹣2，实数a＝（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
8．已知函数f（x）＝满足对任意实数x1≠x2，都有（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．[﹣2，2] B．
C． D．
9．已知函数f（x）＝，若f（a）＝f（a+2），则＝（ ）
A．0 B． C．0或 D．
10．设函数f（x）＝，则满足f（x）+f（x+）＞2的实数x的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，0） B． C． D．
二．多选题（共5小题）
（多选）11．关于函数，下列结论中正确的是（ ）
A．当a＝0时，f（x）是增函数
B．当a＝0时，f（x）的值域为（﹣1，+∞）
C．当a＝1时，f（x）是奇函数
D．若f（x）的定义域为R，则a＜2
（多选）12．已知ax2+bx+c＞0的解集是（﹣2，3），则下列说法正确的是（ ）
A．b+c＞0
B．不等式cx2﹣bx+a＜0的解集为
C．的最小值是4
D．当c＝2时，若f（x）＝3ax2+6bx，x∈[n1，n2]的值域是[﹣3，1]，则n2﹣n1∈[2，4]
（多选）13．已知函数是R上的减函数，则实数a的值可以是（ ）
A．1 B． C． D．2
（多选）14．设f（x）＝|3x﹣1|，c＜b＜a，且f（c）＞f（a）＞f（b）则下列关系式一定不成立的是（ ）
A．3c≤3b B．3c＞3b C．3c+3b＞2 D．3c+3b＜2
（多选）15．已知函数是定义域为R的奇函数，则下列选项中正确的是（ ）
A．实数k＝±1
B．函数f（x）在定义域R上单调递减
C．函数f（x）的值域为（﹣1，1）
D．若g（x）＝f（2x）+1，则对任意实数a，有g（a）+g（﹣a）＝2
三．填空题（共6小题）
16．已知函数f（x）＝x2+2和函数g（x）＝﹣x﹣a，若对任意的x1∈[2，4]，总存在x2∈[0，1]，使得g（x2）＜f（x1）成立，则实数a的取值范围是 ．
17．如果函数f（x）＝x2﹣2ax+2在区间[3，+∞）上是增函数，则a的取值范围为 ．
18．设定义在R上的奇函数f（x）满足f（x）＝x2﹣4（x＞0），则f（x）＞0的解集为 ．
19．若关于x的不等式9x﹣2 3x﹣3＞k在区间[﹣1，2]上恒成立，则k的取值范围为 ．
20．若关于x的不等式x2﹣2x﹣1+m≤0在区间[0，3]内有解，则实数m的取值范围 ．
21．若函数f（x）同时满足①函数f（x）为增函数，②f（x+y）＝f（x）f（y）．请写出一个符合条件的函数f（x）＝ ；若命题“ x＞0，关于x的不等式f（x）+2x+a＜0成立”为假命题，则实数a的取值范围是 ．
四．解答题（共7小题）
22．（1）解关于x的不等式x2﹣（m+1）x+m＜0．
（2）若对任意的x∈[1，2]，x2﹣（m+1）x+m≤0恒成立，求实数m的取值范围．
23．设y＝mx2+（1﹣m）x+m﹣2．
（1）若不等式y＞0的解集是（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞），求m的值；
（2）若不等式y≥﹣2对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围．
24．已知幂函数f（x）＝（m2+3m﹣9）xm﹣1在（0，+∞）上是减函数，m∈R．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若，求实数a的取值范围．
25．已知函数是奇函数．
（1）求b的值；
（2）证明f（x）在R上为减函数；
（3）若不等式f（t2+2t）+f（3t2﹣6）＜0成立，求实数t的取值范围．
26．设函数f（x）＝ax﹣a﹣x（a＞0且a≠1）．
（1）若f（1）＞0，求不等式f（﹣x2+7）+f（x﹣5）＜0的解集；（其中单调性只需判断）；
（3）若，且g（x）＝a2x+a﹣2x﹣4f（x）﹣m≥0在[1，+∞）上恒成立，求m的最大值．
27．已知函数f（x）＝ax2﹣2ax+b+2（a＞0）在区间[0，1]上的最大值比最小值大3，且f（1）＝0．
（1）求a，b的值；
（2）当时，函数y＝f（x）的图象恒在函数y＝mx2+1的图象下方，求实数m的取值范围．
28．设f（x）是定义在R上的函数，且对任意实数x，有f（1﹣x）＝x2﹣3x+3．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若函数g（x）＝|f（x）﹣ax+3|在[1，3]上为单调递增函数，求实数a的取值范围．
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．【解答】解：∵幂函数 在（0，+∞）上单调递增，
∴m2﹣m﹣1＝1①，且m2﹣2m﹣2＞0②．
由①求得m＝﹣1或m＝2；
由②求得m 或m＜1﹣，
综合可得m＝﹣1，
故选：C．
2．【解答】解：将x+x﹣1＝3两边平方，得x2+x﹣2+2＝9，即x2+x﹣2＝7，
所以．
故选：A．
3．【解答】解：对于函数f（x+2）：因为x∈（﹣1，3），则x+2∈（1，5），
所以f（x）的定义域为（1，5）．
故选：B．
4．【解答】解：∵在x＞0时是增函数
∴a＞c
又∵在x＞0时是减函数，所以c＞b
故选：A．
5．【解答】解：∵偶函数f（x）是定义在区间[0，+∞）上的增函数，
则由f（2x﹣1）＜f（），
∴﹣＜2x﹣1＜，解得 ＜x＜，
故选：A．
6．【解答】解：f（x）+f（y）+2xy＝f（x+y）中令x＝y＝0，则f（0）＝0，
f（x）+f（y）+2xy＝f（x+y）中令x＝1，y＝﹣1，则f（1）+f（﹣1）﹣2＝f（0）＝0，
又中令x＝﹣1，则f（﹣1）＝0，所以f（1）＝2，
f（x）+f（y）+2xy＝f（x+y）中，令x＝y＝1，则f（2）＝2f（1）+2＝6，
再令x＝1，y＝2，则f（3）＝f（1）+f（2）+4＝2+6+4＝12．
故选：D．
7．【解答】解：f（x）＝，
则f（0）＝1，
故f（f（0））＝f（1）＝1﹣a＝﹣2，解得a＝3．
故选：B．
8．【解答】解：∵函数f（x）＝满足对任意实数x1≠x2，都有（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0成立，
∴函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，
∴，解得﹣，
即实数a的取值范围是[﹣，]．
故选：B．
9．【解答】解：函数f（x）＝，
若f（a）＝f（a+2），而a、a+2不会同在区间（0，2）上，
同时，当x≥2时，f（x）＝2x（x﹣2），是增函数，
则必有a＜2≤a+2，即0≤a＜2，
故f（a）＝（a﹣1）2，f（a+2）＝2（a+2﹣2）＝2a，
则有（a﹣1）2＝2a，解可得：a＝2﹣或a＝2+，
又由0≤a＜2，则a＝2﹣，
故f（a+）＝f（2）＝2（2﹣2）＝0．
故选：A．
10．【解答】解：当x＜﹣时，x+＜0，
∴f（x）+f（x+）＝（）x+（＞＝+1＞2，
∴x，
当﹣x＜0时，x+≥0，
∴f（x）+f（x+）＝（）x+[﹣2（x+）+2]＝（）x﹣2x+1＞﹣0+1＝2，
∴﹣x＜0，
当x≥0时，x+＞0，
∴f（x）+f（x+）＝﹣2x+2﹣2（x+）+2＝﹣4x+3＞2，
解得x，
∴0，
综上所述，满足f（x）+f（x+）＞2的实数x的取值范围是（﹣∞，）．
故选：C．
二．多选题（共5小题）
11．【解答】解：∵函数，
∴当a＝0时，＝1﹣为R上的增函数，且当x→﹣∞时，f（x）→﹣1，当x→+∞时，f（x）→1，即f（x）∈（﹣1，1），故A正确，B错误；
当a＝1时，f（﹣x）＝＝＝﹣f（x），即f（x）是奇函数，故C正确；
若f（x）的定义域为R，则4x+1﹣a 2x＞0恒成立，①，或4x+1﹣a 2x＜0恒成立，②
解①得：a＜2x+恒成立，
∵2x+≥2＝2，当且仅当2x＝，即x＝0时取等号，
∴a＜2；
解②得：a＞2x+恒成立，由于当x→+∞时，2x+→+∞，故a不存在；
综上所述，若f（x）的定义域为R，则a＜2，故D正确；
故选：ACD．
12．【解答】解：由题意可知：﹣2，3是关于x的方程ax2+bx+c＝0的二根，且a＜0，
则，可得b＝﹣a，c＝﹣6a，a＜0．
对于选项A：b+c＝﹣7a＞0，故A正确；
对于选项B：不等式cx2﹣bx+a＜0化为：﹣6ax2+ax+a＜0，
由a＜0可得6x2﹣x﹣1＜0，解得，
所以不等式cx2﹣bx+a＜0的解集为，故B错误；
对于选项C：因为b＞0，b＝﹣a，
可得，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值是4，故C正确；
对于选项D：当c＝2时，，
则f（x）＝3ax2+6bx＝﹣x2+2x＝﹣（x﹣1）2+1，
当x＝1时，f（x）取到最大值f（1）＝1，
因为n1≤1≤n2，由f（x）＝﹣3得，x＝﹣1或x＝3，
因f（x）在[n1，n2]上的最小值为﹣3，
从而得n1＝﹣1，1≤n2≤3或﹣1≤n1≤1，n2＝3，
因此2≤n2﹣n1≤4，故D正确．
故选：ACD．
13．【解答】解：由题意可知：在（2，+∞）上单调递减，即a＞0，
在（﹣∞，2]上也单调递减，即a﹣2＜0，
又f（x）是R上的减函数，则，
所以，解得1≤a＜2，
故选：ABC．
14．【解答】解：作出f（x）＝|3x﹣1|的图象如下：
由c＜b＜a，得3c＜3b，所以选项A成立，选项B一定不成立；
又由f（c）＞f（a）＞f（b）可知，a，b，c不在同一单调区间上，且c＜0，a＞0，
所以3c＜1，3a＞1，因为f（c）﹣f（b）＞0，
当b＜0时，f（c）﹣f（b）＝（1﹣3c）﹣（1﹣3b）＝3b﹣3c＞0，
当b＞0时，f（c）﹣f（b）＝（1﹣3c）﹣（3b﹣1）＝2﹣3b﹣3c＞0，所以3c+3b＜2，此时选项D正确，选项C一定不成立．
故选：BC．
15．【解答】解：因为函数是定义域为R的奇函数，
所以f（0）＝＝0，
所以k＝1，A错误；
因为f（x）＝＝﹣1+在定义域R上单调递减，B正确；
因为1+3x＞1，
所以0＜，
所以﹣1＜f（x）＜1，C正确；
若g（x）＝f（2x）+1＝，则对任意实数a，有g（a）+g（﹣a）＝+＝+＝2，D正确．
故选：BCD．
三．填空题（共6小题）
16．【解答】解：若对任意的x1∈[2，4]，总存在x2∈[0，1]，使得g（x2）＜f（x1）成立，
则f（x1）min＞g（x2）min，
∵函数f（x）＝x2+2在x1∈[2，4]上单调递增，∴f（x1）min＝f（2）＝6，
∵函数g（x）＝﹣x﹣a在x2∈[0，1]上单调递减，∴f（x2）min＝f（1）＝﹣1﹣a，
则6＞﹣1﹣a，
解得a＞﹣7，
则实数a的取值范围是（﹣7，+∞）．
故答案为：（﹣7，+∞）．
17．【解答】解：∵函数f（x）＝x2﹣2ax+2＝（x﹣a）2+2﹣a2在区间[3，+∞）上是增函数，
∴a≤3．
故a的取值范围是（﹣∞，3]．
故答案为（﹣∞，3]．
18．【解答】解：根据题意，分3种情况讨论：
①当x＞0时，则f（x）＝x2﹣4，
令f（x）＞0，解得x＞2；
②当x＝0时，则f（0）＝0，不合题意；
③当x＜0时，则f（x）＝﹣f（﹣x）＝﹣[（﹣x）2﹣4]＝﹣x2+4，
令f（x）＞0，解得﹣2＜x＜0；
综上所述：f（x）＞0的解集为（﹣2，0）∪（2，+∞）．
故答案为：（﹣2，0）∪（2，+∞）．
19．【解答】解：令t＝3x，由题可得不等式t2﹣2t﹣3＞k在区间上恒成立，
所以k＜（t2﹣2t﹣3）min，
令y＝t2﹣2t﹣3＝（t﹣1）2﹣4，则ymin＝﹣4，
所以k＜﹣4．
故答案为：（﹣∞，﹣4）．
20．【解答】解：∵不等式x2﹣2x﹣1+m≤0在区间[0，3]内有解，
∴不等式m≤﹣x2+2x+1在区间[0，3]内有解，
设f（x）＝﹣x2+2x+1，x∈[0，3]，
对称轴为x＝1，
∴当x＝1时，f（x）max＝f（1）＝2，
∴m≤2，
即实数m的取值范围为（﹣∞，2]．
故答案为：（﹣∞，2]．
21．【解答】解：第一个空：由性质②f（x+y）＝f（x）f（y），可知符合条件的函数可以为指数函数y＝ax（a＞0且a≠1）．
由性质①函数f（x）为增函数，可知a＞1，
故同时满足①②的函数可以为y＝2x（答案不唯一）；
第二个空：若命题“ x＞0，关于x的不等式f（x）+2x+a＜0成立”为假命题，
则命题“ x＞0，关于x的不等式f（x）+2x+a≥0恒成立”为真命题，
即a≥﹣2x﹣2x对 x＞0恒成立，
因为y＝﹣2x﹣2x为减函数，所以y＝﹣2x﹣2x＜20﹣2×0＝﹣1，
所以a≥1，即a的取值范围是[1，+∞）．
故答案为：2x；[1，+∞）（答案不唯一）．
四．解答题（共7小题）
22．【解答】解：（1）不等式x2﹣（m+1）x+m＜0化为：（x﹣m）（x﹣1）＜0，
当m＜1时，解得m＜x＜1；
当m＝0时，不等式无解；
当m＞1时，解得1＜x＜m，
所以当m＜1时，原不等式的解集为（m，1）；
当m＝0时，原不等式的解集为 ；
当m＞1时，原不等式的解集为（1，m）．
（2）当x＝1时，x2﹣（m+1）x+m≤0恒成立，则m∈R，
当x∈（1，2]时，不等式x2﹣（m+1）x+m≤0 m（x﹣1）≥x（x﹣1） m≥x，
依题意， x∈（1，2]，m≥x，而x最大值为2，因此m≥2，
所以实数m的取值范围是[2，+∞）．
23．【解答】解：（1）由题意，不等式mx2+（1﹣m）x+m﹣2＞0的解集是（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞），
所以﹣1，1是关于x的方程mx2+（1﹣m）x+m﹣2＝0的两实数根，且m＞0，
则，解得m＝1．
（2）由y＝mx2+（1﹣m）x+m﹣2≥﹣2对一切实数x恒成立，
即mx2+（1﹣m）x+m≥0对一切实数x恒成立，
当m＝0时，x≥0，不满足题意，
当m≠0时，则满足，
解得
综上所述，实数m的取值范围是．
24．【解答】解：（1）由幂函数的定义可知，m2+3m﹣9＝1，解得m＝﹣5或2，
当m＝2时，f（x）＝x在（0，+∞）上是增函数，不符合题意，
当m＝﹣5时，f（x）＝x﹣6在（0，+∞）上是减函数，符合题意，
故f（x）＝x﹣6；
（2）由（1）可知，m＝﹣5，
则，
故，解得1＜a＜2，
故实数a的取值范围为（1，2）．
25．【解答】解：（1）∵f（x）的定义域为R，
又∵f（x）为奇函数，∴由f（0）＝0得b＝1，
此时，
∴为奇函数，
所以b＝1．
（2）证明：任取x1，x2∈R，且x1＜x2，则，
∵x1＜x2，∴，
∴，
又∵，
∴f（x1）﹣f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），
故f（x）为R上的减函数；
（3）∵f（x）为奇函数，
∴f（t2+2t）+f（3t2﹣6）＜0，
可化为f（t2+2t）＜f（6﹣3t2），
又由（2）知f（x）为减函数，所以t2+2t＞6﹣3t2，
∴{t|或t＞1}．
26．【解答】解：（1）∵，又a＞0且a≠1，所以a＞1，
∵y＝ex单调递增，y＝e﹣x单调递减，故f（x）＝ex﹣e﹣x在R上单调递增．
又∵f（﹣x）＝a﹣x﹣ax＝﹣f（x）且x∈R，
∴f（x）是R上的奇函数，
由f（﹣x2+7）+f（x﹣5）＜0，
得f（﹣x2+7）＜f（5﹣x），
∴﹣x2+7＜5﹣x，
∴解得x＞2或x＜﹣1，
故得不等式f（﹣x2+7）+f（x﹣5）＜0的解集为（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）．
（3）由，解得（舍）或a＝2，
则f（x）＝2x﹣2﹣x，
∴g（x）＝22x+2﹣2x﹣4（2x﹣2﹣x）﹣m＝（2x﹣2﹣x）2﹣4（2x﹣2﹣x）﹣m+2
令t＝2x﹣2﹣x，
∵x∈[1，+∞），
∴
g（x）≥0在[1，+∞）恒成立，
即t2﹣4t﹣m+2≥0在上恒成立，
即m≤t2﹣4t+2在上恒成立，
而t2﹣4t+2＝（t﹣2）2﹣2≥﹣2，
∴m≤﹣2，
故得m的最大值为﹣2．
27．【解答】解：（1）因为f（x）＝ax2﹣2ax+b+2＝a（x﹣1）2﹣a+b+2，（a＞0），
开口向上，对称轴x＝1，
所以函数在[0，1]上单调递减，所以f（x）min＝f（1）＝﹣a+b+2，f（x）max＝f（0）＝b+2，
由题意可得f（0）﹣f（3）＝3，即a＝3，
所以f（1）＝﹣a+b+2＝b﹣1＝0，可得b＝1，
即a＝3，b＝1；
（2）由题意可得f（x）＝3x2﹣6x+3＜mx2+1在[，2]上恒成立，
即m＞[2 （）2﹣6 +3]max在[，2]上恒成立，
设t＝∈[，3]，
设h（t）＝2t2﹣6t+3，t∈[，3]，开口向上，对称轴t＝，
所以t∈[，3]，函数h（t）先减后增，因为|3﹣|＞|﹣|，
所以hmax（t）＝h（3）＝2×32﹣6×3+3＝3，
所以m＞3．
所以m的取值范围为（3，+∞）．
28．【解答】解：（1）根据题意，f（1﹣x）＝x2﹣3x+3，
令1﹣x＝t，则x＝1﹣t，
得f（t）＝（1﹣t）2﹣3（1﹣t）+3，
化简得f（t）＝t2+t+1，
即f（x）＝x2+x+1，x∈R；
（2）根据题意，由（1）的结论，g（x）＝|x2+（1﹣a）x+4|，
设h（x）＝f（x）﹣ax+3＝x2+（1﹣a）x+4，
分2种情况讨论：
①当Δ＝（1﹣a）2﹣16≤0，即﹣3≤a≤5时，
有h（x）＝x2+（1﹣a）x+4≥0恒成立，
此时必有≥1成立，解可得a≥3，
又由﹣3≤a≤5，则有﹣3≤a≤3，
故此时a的取值范围为[﹣3，3]；
②当Δ＝（1﹣a）2﹣16＞0，即a＞5或a＜﹣3时，
此时有或，
解可得：a≥7或a＜﹣3
故此时a的取值范围为（﹣∞，﹣3）∪[7，+∞）．
综合可得：a的取值范围为（﹣∞，3]∪[7，+∞）．