江西省新余市2024-2025学年高二上学期第二次段考数学试题（含答案）

2024-2025学年上学期高二年级第二次段考数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知直线与直线垂直，则实数的值为（ ）.
A. B. C.1 D.1或
2.“”是“方程表示双曲线”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3.经过原点和点且圆心在直线上的圆的方程为（ ）
A. B.
C. D.
4.已知直线过，并与两坐标轴截得等腰三角形，那么直线的方程是（ ）.
A.或 B.或
C.或 D.或
5.在空间直角坐标系中，点，点是点关于轴的对称点，则（ ）
A. B. C. D.
6.若动圆在轴与轴上截得的弦长总相等，则圆心的轨迹方程是（ ）
A. B. C. D.
7.设抛物线上一点到轴的距离为，点为圆任一点，则的最小值为（ ）
A. B.2 C.3 D.4
8.若椭圆的离心率为，两个焦点分别为，，为椭圆上异于顶点的任意一点，点是的内心，连接并延长交于点，则）（ ）
A.2 B. C.4 D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知圆上到直线的距离等于1的点至少有2个，则实数的值可以为（ ）
A. B. C.0 D.2
10.已知直线与椭圆交于，两点，线段的中点为，则的离心率可能是（ ）
A. B. C. D.
11.法国著名数学家加斯帕尔·蒙日在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以坐标原点为圆心，为半径的圆，这个圆称为蒙日圆.若矩形的四边均与椭圆相切，则下列说法正确的是（ ）
A.椭圆的蒙日圆方程为
B.若为正方形，则的边长为
C.若是椭圆蒙日圆上一个动点，过作椭圆的两条切线，与该蒙日圆分别交于，两点，则面积的最大值为18
D.若是直线上的一点，过点作椭圆的两条切线与椭圆相切于，两点，是坐标原点，连接，当为直角时，或
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.过点作圆的两条切线，与圆相切于，，则直线的方程为________.
13.过抛物线的焦点作圆的两条切线，切点分别为，，若为等边三角形，则的值为________.
14.已知椭圆的左、右顶点分别为，，动点，均在椭圆上，是坐标原点，记和的斜率分别为，；与的面积分别为，.若，则的最大值为________.
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.（本小题13分）
如图所示，在四面体中，为的重心，，，分别为边，和的中点，化简下列各表达式.（用图中给定的点表示）
（1）；
（2）.
16.（本小题15分）
已知，为坐标原点，是平面内的一个动点，且.
（1）求动点的轨迹方程；
（2）若圆与只有一个公共点，求的值.
17.（本小题15分）
已知双曲线的左、右焦点分别为，.
（1）该双曲线虚轴的一个端点为，若直线与它的一条渐近线垂直，求双曲线的离心率.
（2）若右支上存在点，满足，求双曲线的离心率的取值范围.
18.（本小题17分）
已知双曲线的右焦点为，双曲线与抛物线交于点.
（1）求，的方程：
（2）作直线与的两支分别交于点，，使得，求证：直线过定点.
19.（本小题17分）
己知椭圆，离心率为，点在椭圆上.
（1）求的方程；
（2）过作互相垂直的两条直线与，设交于，两点，交于，两点，，的中点分别为，，为原点.探究：与的面积之比是否为定值？若是，请求出定值；若不是，请说明理由.
2024-2025学年上学期高二年级第二次段考数学试题答案
1.【答案】B 2.【答案】A 3.【答案】D 4.【答案】C
5.【答案】C 解：因为点是点关于轴的对称点，所以，
所以.
6.【答案】D 解：设圆心的坐标为，由题意知，所以圆心的轨迹方程为.
7.【答案】C 【解答】解：抛物线焦点，圆的圆心为，半径.设在准线上的射影为，，，，
，，
当且仅当，，，共线且依序排列时取等号，故的最小值为3.
8.【答案】A 解：如图，连接，，
设到轴距离为，到轴距离为，则，设内切圆的半径为，则，，
，不妨设，则，
，因为椭圆的离心率为，.
9.【答案】BCD 解：由圆的方程可知圆心为，半径为2.因为圆上的点到直线的距离等于1的点至少有2个，所以圆心到直线的距离，即，解得，所以，，满足题意.
10.【答案】BD 解：设，，则，从而，
故，由题意可得，，故，
又因为，则，从而，因为，所以，
椭圆的离心率，所以椭圆离心率范围为，
11.【答案】ABD 解：对于，椭圆的四个顶点处的切线，恰好围成长、宽分别为和的矩形，蒙日圆为此矩形的外接圆，半径，故椭圆的蒙日圆方程为，故正确；
对于，由题意可知正方形是圆的内接正方形，
设正方形的边长为，可得，解得，即正方形的边长为，故正确；
对于，由题意可得，则为圆的一条直径，则，
由勾股定理可得，
所以当且仅当时，等号成立，
因此，面积的最大值为9，故错误；对于，过直线上一点作椭圆的两条切线，切点分别为，，当为直角时，点在椭圆的蒙日圆上，
即为直线与圆的交点，由，解得或，
即点的坐标为或，则直线（为坐标原点）的斜率为0或，故正确.
12.【答案】 解：圆的圆心为，半径为1，，的中点为，，，，在以为直径的圆上，
以为直径的圆的方程为，即，
圆的一般方程为，两圆方程相减得：，直线的方程为.
13.【答案】4 解：圆的圆心，半径，由，切圆于点，，得，且平分，而为等边三角形，即，于是，，则点，
又抛物线的焦点，所以，即.
14.【答案】 解：设直线方程为，与椭圆方程联立可得：，
则，即，可得，又
，
所以，化简可得：，，，因此，
故的最大值为.故答案为：.
15.【答案】解：（1）；
（2）.
16.【答案】（1）.
（2）解得或3
17.【答案】解：（1）设双曲线的焦距为，
依题意由对称性不妨设，，则直线的斜率；
直线与该双曲线的一条渐近线垂直，可知此渐近线斜率，，，而，，
，解得，又，所以；
（2）设，，
依题意，解得，由余弦定理得，因为，即，即，解得，故双曲线的离心率的取值范围为.
18.【答案】解：，的方程分别为，；
（2）证明：由于点，在双曲线左右两支上，则直线的斜率存在，设的方程为：，，，
由，消去得：，，
即，，，，，
即，
又，故，，由，得，
即，整理得：，
即，显然不在直线上，即，于是，满足，因此直线的方程为，即，恒过定点，所以直线过定点.
19.【答案】解：（1）由题意，解得，.则的方程；
（2）与面积之比为定值，定值为4，理由如下：
因为当直线斜率为0时，则为轴，可得的中点为原点，不存在，
所以直线，的斜率存在，且不为0，
设直线，，，
讨论：①当，且时，联立，
可得，
，则，
所以，
，
所以，
设，同理可得.
所以，（且）
所以直线，
即，
所以恒过定点；
（2）当时，不妨设直线；，
可发现轴，且过.
综上，直线恒过点.
设点，到直线的距离分别是，，.
【解析】本题考查椭圆的方程，直线与椭圆的位置关系，椭圆中的定点、定值问题，属于难题.
（1）由，，求出，即可得；
（2）设直线，联立椭圆的方程，，，进而求出直线，判断恒过定点，利用点，到直线的距离分别是，，求解.