浙江省台州市十校联盟2024-2025学年高二上学期11月期中联考数学试题（含答案）

2024学年第一学期台州十校联盟期中联考
高二年级数学学科 试题
考生须知：
1.本卷共4页满分150分，考试时间120分钟。
2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字。
3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效。
4.考试结束后，只需上交答题纸。
选择题部分
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
2.已知直线的一个方向向量为，直线的一个方向向量为，若，则（ ）
A. B.3 C.6 D.9
3.若点在圆的内部，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
4.空间四边形中，，，，点在上，且为中点，为中点，则等于（ ）
A. B. C. D.
5.已知圆经过，两点，且圆心在直线，则圆的标准方程是（ ）
A. B.
C. D.
6.方程表示椭圆的充要条件是（ ）
A. B.
C. D.或
7.如图所示，正方体的棱长为1，点，，分别为，，的中点，则下列说法正确的是（ ）
A.直线与直线垂直 B.三棱锥的体积为
C.直线与平面平行 D.直线与平面所成的角为
8.已知，是椭圆的左、右焦点，是椭圆上任意一点，过引的外角平分线的垂线，垂足为，则与短轴端点的最近距离为（ ）
A.2 B.3 C.4 D.5
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.在空间直角坐标系中，点，，，下列结论正确的有（ ）
A. B.向量与的夹角的余弦值为
C.点关于轴的对称点坐标为 D.直线的一个方向向量
10.已知直线的倾斜角等于，且经过点，则下列结论中正确的是（ ）
A.的一个方向向量为 B.在轴上的截距等于
C.与直线垂直 D.点到直线上的点的最短距离是1
11.已知直线与圆相交于，两点，下列说法正确的是（ ）
A.若圆关于直线对称，则
B.的最小值为
C.若（为坐标原点）四点共圆，则
D.当时，对任意，曲线恒过直线与圆的交点
非选择题部分
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知椭圆的标准方程为，则椭圆的离心率是________.
13.直线关于直线对称的直线的方程为________.
14.已知实数a，b满足，则的取值范围为________.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明、证明过程或测算步骤.
15.（13分）求经过直线与直线的交点，且分别满足下列条件的直线方程：（1）与直线平行；（2）与直线垂直.
16.（15分）如图所示，在几何体中，四边形和均为边长为2的正方形，，底面，、分别为、的中点，.
（1）求证：平面；
（2）求点到平面的距离.
17.（15分）已知直线及圆.
（1）求证直线过定点，并求出圆心到直线距离最大时的值；
（2）若直线与圆相交于，两点，且弦的长为，求的值.
18.（17分）如图，在四棱锥中，平面，底面是直角梯形，其中，，，，为棱上的点，且，点在棱上（不与点，重合）.
（1）求证：平面平面.
（2）求二面角的平面角的余弦值.
（3）直线能与平面垂直吗？若能，求出的值；若不能，请说明理由.
19.（17分）已知椭圆的左、右顶点为，，焦距为.为坐标原点，过点、的圆交直线于两、点，直线、分别交椭圆于、点.
（1）求椭圆的方程；
（2）记直线，的斜率分别为，，求的值；
（3）证明：直线过定点，并求该定点坐标.
2024学年第一学期台州十校联盟期中联考
高二年级数学学科参考答案
命题：台州市外国语学校钟 茂法
命题：玉环市实验高级中学 郑振华
选择题部分
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D A A B C D C B
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
题号 9 10 11
答案 BCD BCD AD
非选择题部分
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 13. 14.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（本题满分13分）【详解】（1）由，解得，即点， …………3分
设所求直线方程为，则，解得， …………6分
所以所求直线方程为. …………8分
（2）由（1）知，点，设所求直线方程为，
则，解得， …………11分
所以所求方程为. …………13分
16.（本题满分15分）
【详解】（1）因为四边形为正方形，底面，所以，，两两相互垂直，如图，以为原点，分别以，，方向为轴、轴、轴正方向建立空间直角坐标系，由题意可得，，，，，，，，， …………2分
则，，， …………3分
设平面的一个法向量为，则，故，即，则，令，得， …………6分
所以，
所以，又平面，所以平面. …………8分
（2）由平面的一个法向量为，. …………10分
设点E到平面的距离为d，则， …………13分
所以点E到平面的距离为. …………15分
17.（本题满分15分）
【详解】（1）因为直线，得，所以直线过定点. ……3分
圆，所以定点在圆上，圆心，半径为.当圆心C到直线距离最大时直线与圆相切，此时有：，所以. …………7分
（2）设点到直线的距离为，利用勾股定理得：. …………11分
同时利用圆心到直线的距离：，解得. …………15分
18.（本题满分17分）【解析】（1）因为平面，所以，，又则以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，所以，，， …………2分
所以，，所以，，且，，平面所以平面所以平面平面. …………5分
（2）由（1）知是平面的一个法向量，，. ……7分
设平面的一个法向量为，所以，即
令，则，，所以， …………9分
所以又由图可知二面角的平面角为锐角，所以二面角的平面角的余弦值为. …………11分
（3）由（1）得，，，， …………12分
设，则，可得， …………13分
所以. …………14分
由（2）知是平面的一个法向量.若平面，可得
则，该方程无解， …………16分
所以直线不能与平面垂直. …………17分
19.（本题满分17分）
【详解】（1）由已知得，，则， …………2分
故椭圆的标准方程为； …………4分
（2）设，，则圆的方程为：， ……6分
圆过，代入圆的方程得， …………8分
故； …………10分
（3）由题意知，当圆的圆心不在轴上时，直线斜率存在，
设直线，，，
则，需满足，
则，， …………12分
则，
结合第一问知，即，
即得，化简得，
解得或， …………14分
当时，直线方程为，直线过点，不合题意，
当时，直线方程为，故直线过定点；
当圆的圆心在轴上时，，关于轴对称，此时直线斜率不存在，
圆方程为，令，则，此时不妨设，，则的方程为，
即，联立，得，解得或，
即点横坐标为，则直线此时也过点，
故直线过定点. …………17分