重庆市璧山来凤中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题（含答案）

来凤中学高二（上）数学第一次月考
区分度：0.32
注意事项：
1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2.请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
一、单选题
1.直线与直线的交点坐标为（ ）
A. B. C. D.
2.在长方体中，等于（ ）
A. B. C. D.
3.已知平行四边形中，，，，则顶点D的坐标为（ ）
A. B. C. D.
4.已知是直线的方向向量，是平面的法向量.若，则下列选项正确的是（ ）
A. B.
C.， D.，
5.已知直线：的倾斜角为，则（ ）
A. B. C. D.
6.在三棱锥中，平面，，D，E，F分别是棱，，的中点，，，则直线与平面所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
7.如图，已知二面角的大小为60°，，，，，且，，则（ ）
A. B.6 C. D.7
8.设直线：，点，，P为上任意一点，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
二、多选题
9.若，，，则下列说法正确的是（ ）
A. B.事件A与B不互斥
C.事件A与B相互独立 D.事件与B不一定相互独立
10.若直线：不经过第四象限，则实数a的可能取值为（ ）
A. B. C.3 D.4
11.已知单位向量，，两两所成的夹角均为（，且），若空间向量满足，则有序实数组称为向量在“仿射”坐标系（O为坐标原点）下的“仿射”坐标，记作，则下列命题正确的有（ ）
A.已知，，则
B.已知，，则
C.已知，，，则三棱锥的体积
D.已知，，其中，则当且仅当，向量，的夹角取得最小值
第II卷（非选择题）
三、填空题
12.设空间向量，，若，则__________.
13.重庆是一座魔幻都市，有着丰富的旅游资源.甲、乙两人相约来到重庆旅游，两人分别从A，B，C，D四个景点中随机选择一个景点游览，甲、乙两人恰好选择同一景点的概率为__________.
14.在正方体中，点Р在侧面（包括边界）上运动，满足记直线与平面所成角为，则的取值范围是__________.
四、解答题
15.求经过直线：与直线：的交点M，且满足下列条件的直线方程.
（1）与直线平行；
（2）与直线垂直.
16.如图，在棱长为2的正方体中，E，F分别为棱，的中点.
（1）求平面；
（2）求直线与平面成角的正弦值.
17.在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，满足.
（1）求角B的大小；
（2）若的面积为，求的最小值.
18.2020年年底，某城市的地铁建设项目已经基本完工，为了解市民对该项目的满意度，分别从不同地铁站点随机抽取若干市民对该项目进行评分（评分均为整数，最低分40分，最高分100分），绘制如下频率分布直方图，并将市民的所有打分分数从低到高分为四个等级：
满意度评分 低于60分 60分到79分 80分到89分 不低于90分
满意度等级 不满意 基本满意 满意 非常满意
已知满意度等级为“基本满意”的市民有680人.
（1）求频率分布于直方图中a的值，并依据频率分布直方图估计评分等级为“不满意”的人数；
（2）在（1）所得评分等级为“不满意”的市民中，老年人占，中青年占，现从该等级市民中按年龄分层抽取6人了解不满意的原因，并从中选取2人担任整改督导员，求至少有一位老年督导员的概率；
（3）相关部门对项目进行验收，验收的硬性指标是：市民对该项目的满意指数不低于0.8，否则该项目需进
行整改.已知频率分布直方图中同一组中的数据用该组区间中点值代替，根据你所学的统计知识，判断该项
目能否通过验收，并说明理由.
（注：满意指数=）
19.如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，.
（1）求证：平面平面；
（2）设.
①若直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长.
②在线段上是否存在点G，使得点P，C，D在以G为球心的球上？若存在，求线段的长；若不存在，说明理由.
参考答案
一、单选题
1.【答案】A
2.【答案】B
3.【答案】D
4.【答案】C
5.【答案】D
6.【答案】A
7.【答案】A
8.【答案】B
二、多选题
9.【答案】BC
10.【答案】BC
11.【答案】BC
三、填空题
12.【答案】5
13.【答案】/0.25
14.【答案】
四、解答题
15.【答案】（1）；（2）.
【分析】先求出交点坐标，再根据直线的点斜式，即可求解.
【详解】解：（1）∵直线：与直线：的交点M，
∴，解得，所以交点，
∵所求直线方程与直线平行，
∴所求直线的斜率为-2，∴所求直线方程为，即.
（2）∵所求直线与直线垂直，
∴所求直线的斜率为，
∴所求直线方程为，即
16.【答案】（1）见解析
（2）
【分析】（1）建空间直角坐标系，利用空间向量证明线面平行；
（2）利用空间向量求线面角的正弦值即可.
【详解】（1）以A为原点，，，所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.依题意，得，，，，
则，，
设平面的法向量，
，所以，取，得.
因为，
所以.所以.
又面.
所以面.
（2），正方体中，平面
故是平面的法向量，
因为，
所以，
所以直线和平面所成的角的正弦值为.
17.【答案】（1）
（2）4
【分析】（1）利用边角互化思想得，由余弦定理求出的值，从而得出角B的值；
（2）由三角形的面积公式得出的值，再由基本不等式即可计算得解.
【详解】（1）由正弦定理得，
又由余弦定理得，
因为B是三角形内角，所以；
（2）由三角形面积公式得：
，
解得，
因为，当且仅当时取等号，
所以的最小值为4，此时为等边三角形.
18.【答案】（1），不满意的人数为120人；（2）；（3）能通过验收，理由见解析.
【分析】（1）由频率分布直方图知，，进而可得结果.
（2）由分层抽样可得中青年抽取4人分别记为、、、，老年人抽取2人分别记为、，由古典概型即可得出结果.
（3）计算可得市民满意程度的平均得分为80.7，进而可得结果.
【详解】（1）由频率分布直方图知，
0.035+0.020+0.014+0.004+0.002=0.075，
由解得，
设总共调查了N个人，则基本满意的为，解得人.
不满意的频率为，所以共有2000×0.06=120人，即不满意的人数为120人.
（2）评分等级为“不满意”的120名市民中按年龄分层抽取6人，则中青年抽取4人分别记为、、、，老年人抽取2人分别记为、，从6人中选取2人担任整改督导员的所有的抽取方法有
、、、、、、、、、、、、、、共15种，
抽不到老年人的情况为6种，所以至少有一位老年督导员的概率.
（3）所选样本满意程度的平均得分为：
，
估计市民满意程度的平均得分为80.7，
所以市民满意指数为，
故该项目能通过验收.
19.【答案】（1）证明见解析
（2）①或；②不存在点G，理由见解析
【分析】（1）利用面面垂直的性质可证得平面，再利用面面垂直的判定定理即可证得结论；
（2）①依题意建立适当空间直角坐标系，设，利用题设条件，分别求得相关点和向量的坐标，利用空间向量坐标的夹角公式列出方程，求解即得t的值；
②假设存在点G，可由推得，得点G坐标，由得方程，因此方程无实数解，假设不成立.
【详解】（1）在四棱锥中，平面平面，，
平面，平面平面，
所以平面，
又平面，所以平面平面；
（2）如图以A为原点，以所在直线为x轴，以所在直线为y轴，
建立如图所示直角空间坐标系，
设，则，由，，，，
则，，因，则，，
所以，，
①设平面的法向量为，由，，
得：，可取，
设直线与平面所成角为，
则有：，，
即：，化简得：，
解得或，即或，
②如图，假设在线段上是否存在点G，使得点P，C，D在以G为球心的球上，
由，得，所以，
所以，
又得，，所以，，
由得，即，
亦即（*），
因为，所以方程（*）无实数解，
所以线段上不存在点G，使得点P，C，D在以G为球心的球上.