2024年北京汇文中学高一（上）期中数学（PDF版，含答案）

北京汇文中学教育集团 2024-2025 学年度第一学期
期中考试
高一年级 数学学科
本试卷共 6 页，共 150 分.考试时长 120 分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作
答无效.
一、选择题(每题 4 分，共 48 分)
1. 已知集合 A {x Z | 1 x 2}，则下列说法正确的是（ ）
A. 0 A B. 0 A C. 3 A D. 1 A
2.记命题 : > 0， ≥ 3，则≦ 为（ ）
A. > 0， < 3 B. ≤ 0， < 3 C. ≤ 0， ≥ 3 D. > 0， < 3
3.集合{0,1}的真子集有（ ）个
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
4.已知实数 a，b ，c 在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是 （ ）
c c
A. b a c a 2 B. c ab C. D. | b | c | a | c
b a
5.下列函数中，在区间 (0, ) 上单调递减的是（ ）
1
A． y x B. y x 1 C. y 2 x D. y 2x x2
x
1
6. “ 1 x 2”是“ 2”的（ ）条件
x
A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要
7.已知偶函数 f (x) 在区间 ( , 1]上单调递减，则下列关系式中成立的是（ ）
5 5
A. f ( ) f (3) f (2) B. f (3) f ( ) f (2)
2 2
5 5
C. f (2) f (3) f ( ) D. f (2) f ( ) f (3)
2 2
1
8.若函数 y=a|x| (a 0, 且 a 1) 的值域为 (0,1] ，则函数 y= loga | x |的图象大致是( )
A. B.
C. D.
x
9.已知函数 f (x) 2 x 1，则不等式 f (x) 0 的解集是（ ）
A. ( 1,1) B. ( , 1) (1, ) C. (0,1) D. ( ,0) (1, )
b 21.2 1.210.设a log ， ， c 0.5 ，则（ ） 3 6
A. b a c B. c b a C. c a b D. a c b
1
11.已知函数 f (x) 的定义域为 R，则实数a 的取值范围为（ ）
ax2 2ax 1
A. [0,1] B. [0,1) C.(0,1] D. (0,1)
1, i A
A N* *

12．设集合 是集合 的子集，对于 i N ，定义 i (A) 给出下列三个结论：
0, i A
* *
①存在N 的两个不同子集 A，B，使得任意 i N 都满足 i (A B) 0且 i (A B) 1；
N* *②任取 的两个不同子集 A，B，对任意 i N 都有 i (A B) i (A) i (B) ；
* *
③任取N 的两个不同子集 A，B，对任意 i N 都有 i (A B) (A) (B) . i i
其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
二、填空题(每题 5 分，共 30 分)
1
13．函数 f (x) 的定义域为___________.
x 1
1
14.已知函数 f (x) 27
x log3 x ，则 f .
3
2
15.若 g(x)在R上是增函数，能够说明“ y xg(x)在R上也是增函数”是假命题的一个 g(x) 的
解析式 g(x) ___________.
2x 1, x 1
16.函数 f (x) 的值域为__________.
x
2 2x, x 1
1
17.已知下列四个函数： y x， y ， y ln x， y ex .从中选
x
出两个函数分别记为 f (x) 和 g(x) ，若 F(x) f (x) g(x)的图象
如图所示，则F (x) ．
x a, x a
18.已知函数 f (x) .若存在非零实数 x0 ，使得 f ( x0 ) f (x0 )成立，则实数 a 的2
x , x a
取值范围为__________.
三、解答题(每题 12 分，共 72 分)
19．已知集合 A {x | a x a 3}，B {x | x 1或x 5}．
（Ⅰ）若a 2，求集合 ( R A) ( RB) ；
（Ⅱ）若 A B A，求a 的取值范围．
3
20.分别求下列关于 x 的不等式的解集：
2
（Ⅰ）6x x 1 0 ；
（Ⅱ） x2 (a 2)x 2a 0 .
21.为打赢打好脱贫攻坚战，实现建档立卡贫困人员稳定增收，某地区把特色养殖确定为脱贫特
色主导产业，助力乡村振兴．现计划建造一个室内面积为1500平方米的矩形温室大棚，并在温
室大棚内建两个大小、形状完全相同的矩形养殖池，其中沿温室大棚前、后、左、右内墙
各保留1.5米宽的通道，两养殖池之间保留2米宽的通道．设温室的一边长度为 米，如图所示．
（Ⅰ）将两个养殖池的总面积 表示为 的函数，并写出定义域；
（Ⅱ）当温室的边长 取何值时，总面积 最大？最大值是多少？
4
22.已知函数 ( ) = | | 2， ∈ R．
（Ⅰ）当 = 2时，直接写出函数 ( )的单调递增区间；
（Ⅱ）当 > 2时，求函数 ( )在区间,1,2-上的最小值.
1 a
23.已知 y f (x) 是定义在[ 3,3]上的奇函数，当 x [ 3,0]时， f (x) ＝ a R .
9x 4x
（Ⅰ）求 y f (x) 在 (0,3]上的解析式；
1 m 1
（Ⅱ）当 x [ 1, ]时，不等式 f x x x 1 恒成立，求实数m 的取值范围. 2 3 4
5
24.若集合 A具有以下性质：
①0 A，1 A；
1
②若 x, y A，则 x y A，且 x 0时， A .
x
则称集合 A是“好集”.
（Ⅰ）分别判断集合B { 1,0,1}，有理数集Q 是否是“好集”，并说明理由；
（Ⅱ）设集合 A是“好集”，求证：若 x, y A，则 x y A ；
（Ⅲ）对任意的一个“好集” A，分别判断下面命题的真假，并说明理由.
命题 p ：若 x, y A，则必有 xy A；
y
命题q：若 x, y A，且 x 0，则必有 A .
x
6
参考答案：
一、选择题
DACDC，BDBDC，BA
二、填空题
13.{x | x 1}或写为 ( ,1) (1, )
14. 2
15. x （答案不唯一）
16. ( 1, )
1
17. +

1
18. [ 2, ]
4
三、解答题
19．（Ⅰ） (1,5]（Ⅱ） ( , 4) (5, )
1 1
20.（Ⅰ） ( , )
3 2
（Ⅱ）a 2时，解集为[2，-a]；
a 2时，解集为{2}；
a 2时，解集为[ a，2] .
1500
21.解：(1)依题意得温室的另一边长为 米．

1500
因此养殖池的总面积 = ( 3)( 5)，

1500
因为 3 > 0， 5 > 0，所以3 < < 300．

所以定义域为* |3 < < 300+．
1500 4500
(2) = ( 3)( 5) = 1515 ( + 5 )

4500
≤ 1515 2√ 5

= 1515 300 = 1215，
4500
当且仅当 = 5 ，即 = 30时上式等号成立，

当温室的边长 为30米时，总面积 取最大值为1215平方米．
7
( 2) 2, ≥ 2
22. 解：（Ⅰ）当 = 2时， ( ) = | 2| 2 = { ,
(2 ) 2, < 2
( 1)2 3, ≥ 2
( ) = { ,
( 1)2 1, < 2
由二次函数的性质知，单调递增区间为( ∞, 1-，,2, +∞).或写为 ( ∞, 1），（2, +∞)
（Ⅱ） ∵ > 2， ∈ ,1,2-时，所以
( ) = ( ) 2 = 2 + 2
2
= ( )2
8
+ ，
2 4
3
当1 < ≤ ，即2 < ≤ 3时， ( ) = (2) = 2 6; 2 2
3
当 > ，即 > 3时， ( ) = (1) = 3； 2 2
2 6,2 < ≤ 3
∴ ( ) = { .
3, > 3
23.（Ⅰ）因为 y f (x) 是定义在[ 3,3]上的奇函数， x [ 3,0]时，
1 a
f (x)＝ a R ，
9x 4x
1 a
所以 f (0) 0 ，解得a 1，
90 40
1 1
所以 x ( 3,0]时， f (x) ，
9x 4x
当 x (0,3]时， x [ 3,0)，
1 1
所以 f ( x) 9
x 4x ，
9 x 4 x
又 f (x) f ( x) 4x 9x ，
即 y f (x) 在 (0,3]上的解析式为 f (x) 4x 9x ；
1 1 1
（Ⅱ）因为 x [ 1, ]时， f (x) ，
2 9x 4x
m 1 1 1 m 1
所以 f (x) 可化为 ，
3x 4x 1 9x 4x 3x 4x 1
x x
1 3
整理得m 3 ，
3 4
8
x x
1 3
令 g x 3 ，根据指数函数单调性可得，所以 g(x)也是减函数.
3 4
1 1
1 3
所以 g x g 1 3 7 ， max
3 4
所以m 7，故实数m 的取值范围是 7, .
24. 解：（Ⅰ）集合B不是“好集”. 理由是：假设集合B 是“好集”.
因为 1 B，1 B，所以 1 1 2 B . 这与 2 B 矛盾.
有理数集Q是“好集”. 因为0 Q ，1 Q ,
1
对任意的 x, y Q，有 x y Q，且 x 0时， Q .
x
所以有理数集Q是“好集”.
（Ⅱ）因为集合 A是“好集”，
所以 0 A .若 x, y A，则0 y A，即 y A .
所以 x ( y) A，即 x y A .
（Ⅲ）命题 p,q均为真命题. 理由如下：
对任意一个“好集” A，任取 x, y A，
若 x, y中有 0 或 1 时，显然 xy A .
1 1
下设 x, y均不为 0，1. 由定义可知： x 1, , A .
x 1 x
1 1 1
所以 A，即 A .
x 1 x x(x 1)
所以 x(x 1) A .
2 2
由（Ⅱ）可得： x(x 1) x A，即 x A . 同理可得 y A .
若 x y 0或 x y 1 2，则显然 (x y) A .
x y 0 2若 且 x y 1，则 (x y) A .
所以 2xy (x y)2 x2 y2 A .
1
所以 A .
2xy
1 1 1
由（Ⅱ）可得： A .
xy 2xy 2xy
所以 xy A .
综上可知， xy A，即命题 p 为真命题.
1
若 x, y A，且 x 0，则 A .
x
y 1
所以 y A，即命题q为真命题.
x x
9