2025年中考数学复习专题 ★★　　二次函数综合题复习课件（48张PPT）

(共48张PPT)
2025年中考数学复习专题 ★★　　二次函数综合题
(2023·贵阳模拟)如图，二次函数y＝x2＋bx＋c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且关于直线x＝1对称，点A的坐标为(－1，0)．
(1)求二次函数的解析式；
【分层分析】先根据题意得出点B的坐标，再利用待定系数法求解可得．
解：∵点A(－1，0)与点B关于直线x＝1对称，
∴点B的坐标为(3，0)，代入y＝x2＋bx＋c，得
解得
∴二次函数的解析式为y＝x2－2x－3.
(2)连接BC，若点P在y轴上时，BP和BC的夹角为15°，求线段CP的长度；【分层分析】分点P在点C上方和下方两种情况，先求出∠OBP的度数，再利用三角函数求出OP的长，从而得出答案．
解：如答图．由抛物线的解析式知C(0，－3)，
则OB＝OC＝3，∴∠OBC＝45°，
若点P在点C上方，则∠OBP＝∠OBC－∠PBC＝30°，
∴OP＝OB·tan∠OBP＝3×＝，∴CP＝3－；
若点P在点C下方，则∠OBP′＝∠OBC＋∠P′BC＝60°，
∴OP′＝OB·tan∠OBP′＝3×＝3，∴CP′＝3－3，
综上所述，线段CP的长为3－或3－3.
(3)当a≤x≤a＋1时，二次函数y＝x2＋bx＋c的最小值为2a，求a的值．
【分层分析】分对称轴x＝1在a到a＋1范围的右侧、中间和左侧三种情况，结合二次函数的性质求解可得．
解：若a＋1＜1，即a＜0，则函数的最小值为
(a＋1)2－2(a＋1)－3＝2a，解得a＝1－(正值舍去)；
若a＜1＜a＋1，即0＜a＜1，则函数的最小值为1－2－3＝2a，
解得a＝－2(舍去)；
若a＞1，则函数的最小值为a2－2a－3＝2a，解得a＝2＋(负值舍去)．
综上所述，a的值为1－或2＋.
1．(2022·贵阳第24题12分)已知二次函数y＝ax2＋4ax＋b.
(1)求二次函数图象的顶点坐标(用含a，b的代数式表示)；
(2)在平面直角坐标系中，若二次函数的图象与x轴交于A，B两点，AB＝6，且图象过(1，c)，(3，d)，(－1，e)，(－3，f)四点，判断c，d，e，f的大小，并说明理由；
(3)点M(m，n)是二次函数图象上的一个动点，当－2≤m≤1时，n的取值范围是－1≤n≤1，求二次函数的解析式．
解：(1)∵y＝ax2＋4ax＋b＝a(x＋2)2－4a＋b，
∴二次函数图象的顶点坐标为(－2，－4a＋b)．
(2)由(1)得抛物线对称轴为直线x＝－2，
当a＞0时，抛物线开口向上，
∵|3－(－2)|＞|1－(－2)|＞|(－1)－(－2)|＝|(－3)－(－2)|，∴d＞c＞e＝f；
当a＜0时，抛物线开口向下，
∵|3－(－2)|＞|1－(－2)|＞|(－1)－(－2)|＝|(－3)－(－2)|，∴d＜c＜e＝f.
(3)当a＞0时，抛物线开口向上，x≥－2时，y随x的增大而增大，
∴m＝－2时，n＝－1；m＝1时，n＝1，
∴解得
∴y＝x2＋x－；
当a＜0时，抛物线开口向下，x≥－2时，y随x的增大而减小，
∴m＝－2时，n＝1；m＝1时，n＝－1，
∴解得
∴y＝－x2－x＋.
综上所述，二次函数的解析式为y＝x2＋x－或y＝－x2－x＋.
2．(2021·贵阳第24题12分)甲秀楼是贵阳市一张靓丽的名片．如图①，甲秀楼的桥拱截面OBA可视为抛物线的一部分，在某一时刻，桥拱内的水面宽
OA＝8 m，桥拱顶点B到水面的距离是4 m.
(1)按如图②所示建立平面直角坐标系，求桥拱部分抛物线的函数解析式；
(2)一只宽为1.2 m的打捞船径直向桥驶来，当船驶到桥拱下方且距O点0.4 m时，桥下水位刚好在OA处，有一名身高
1.68 m的工人站立在打捞船正中间清理垃
圾，他的头顶是否会触碰到桥拱，请说明
理由(假设船底与水面齐平)；
(3)如图③，桥拱所在的函数图象是抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，该抛物线在x轴下方部分与桥拱OBA在平静水面中的倒影组成一个新函数图象．将新函数图象向右平移m(m＞0)个单位长度，平移后的函数图象在8≤x≤9时，y的值随x值的增大而减小，结合函数图象，求m的取值范围．
解：(1)由题意得顶点B(4，4)，O(0，0)，
设二次函数的解析式为y＝a(x－4)2＋4，将点O(0，0)代入，得a＝－，
∴二次函数的解析式为y＝－x2＋2x(0≤x≤8)．
(2)工人不会碰到头，理由：∵小船距O点0.4 m，小船宽1.2 m，工人直立在小船中间，由题意得工人距O点距离为0.4＋×1.2＝1，
∴将x＝1代入y＝－x2＋2x，解得y＝＝1.75，
∵1.75 m＞1.68 m，∴此时工人不会碰到头．
(3)抛物线y＝－x2＋2x在x轴上方的部分与桥拱在平静水面中的倒影关于x轴成轴对称．如答图①所示，新函数图象的对称轴也是直线x＝4，此时，当0≤x≤4或x≥8时，y的值随x值的增大而减小，将新函数图象向右平移m个单位长度，可得平移后的函数图象，如答图②所示，
∵平移不改变图形形状和大小，
∴平移后函数图象的对称轴是直线x＝4＋m，
∴当m≤x≤4＋m或x≥8＋m时，y的值随x值的增大而减小，
∴当8≤x≤9时，y的值随x值的增大而减小，结合函数图象，得m的取值范围：
①m≤8且4＋m≥9，得5≤m≤8，
②8＋m≤8，得m≤0，由题意知m＞0，
∴m≤0不符合题意，舍去，
综上所述，m的取值范围是5≤m≤8.
1．在平面直角坐标系中，已知二次函数y＝x2－2ax＋3a,顶点坐标为(m，n).
(1)若函数图象关于直线x＝1对称，求函数的解析式；
(2)求n的最大值；
(3)是否存在实数a(a＞1)，使得当1≤x≤4时，二次函数的最大值为最小值的
2倍，若存在，求出a；若不存在，请说明理由．
解：(1)函数的解析式为y＝x2－2x＋3.
(2)∵y＝x2－2ax＋3a＝(x－a)2－a2＋3a，
顶点坐标为(m，n)，
∴n＝－a2＋3a＝－＋，
∴n的最大值为.
(3)不存在，理由：当x＝1时，y＝1＋a，
当x＝4时，y＝16－5a，顶点(a，－a2＋3a )，对称轴为直线x＝a.
当a≥4时，1＋a＝2(16－5a)，解得a＝(舍去)；
当1≤a<2.5时，16－5a＝2(－a2＋3a)，无解；
当2.5≤a<4时，1＋a＝2(－a2＋3a)，
解得a1＝(舍去)，a2＝(舍去)，
综上所述，不存在实数a(a>1)，使得当1≤x≤4时，二次函数的最大值为最小值的2倍．
2．(2024·黔南州模拟)已知抛物线y＝ax2－4ax＋4a(a≠0)．
(1)抛物线的顶点坐标为 ；
(2)当－1≤x≤2时，y的最大值为18，求出a的值；
(3)在(2)的条件下，若A(m，y1)，B(m＋t，y2)是抛物线上两点，其中t＞0，记抛物线在A，B之间的部分为图象G(包含A，B两点)，当A，B两点在抛物线的对称轴的两侧时，图象G上最高点与最低点的纵坐标之差为2，求t的取值范围．
(2，0)
解：(2)∵抛物线的顶点坐标是(2，0)，对称轴为直线x＝2，
∴若a＜0，则当－1≤x≤2时，y的最大值为0，不符合题意，
∴a＞0，抛物线开口向上，
∵当x≤2时，y随x的增大而减小，
∴当x＝－1时，y＝ax2－4ax＋4a取最大值18，
∴18＝a×(－1)2－4a×(－1)＋4a，
解得a＝2.
(3)由(2)得y＝2x2－8x＋8，
∵对称轴为直线x＝2，顶点为(2，0)，∴y最小值是0，
∵A，B两点在对称轴两侧，即m＜2＜m＋t，
最高点与最低点的纵坐标之差为2，
∴抛物线最高点的纵坐标为2.
∴当y＝2时，得2x2－8x＋8＝2，解得x1＝1，x2＝3.
当m＝1时，则2＜m＋t≤3满足题意，解得1＜t≤2，
当m＋t＝3时，则1≤m＜2满足题意；解得1＜t≤2.
综上所述，t的取值范围为1＜t≤2.
3．在平面直角坐标系中，已知抛物线C：y＝ax2＋2x－1(a≠0)和直线l：y＝kx＋b，A(－3，－3)，B(1，－1)两点均在直线l上．
(1)求出直线l的解析式；
(2)当a＝－1，二次函数y＝ax2＋2x－1的自变量x满足m≤x≤m＋2时，函数y的最大值为－4，求m的值；
(3)若抛物线C与线段AB有两个不同的交点，求a的取值范围．
解：(1)直线l的解析式为y＝x－.
(2)根据题意可得y＝－x2＋2x－1，
∵－1<0，∴抛物线开口向下，对称轴x＝1，
∵m≤x≤m＋2时， y有最大值－4，
∴当y＝－4时，有－x2＋2x－1＝－4，∴x＝－1或x＝3，
①在对称轴x＝1左侧， y随x的增大而增大，
∴x＝m＋2＝－1时， y有最大值－4，∴m＝－3；
②在对称轴x＝1右侧， y随x增大而减小，∴x＝m＝3时， y有最大值－4.
综上所述，m＝－3或m＝3.
(3)①a<0时，x＝1时， y≤－1，即a＋1≤－1，∴a≤－2；
②a>0时，x＝－3时， y≥－3，即9a－7≥－3，∴a≥，
抛物线与直线AB联立，ax2＋2x－1＝x－，
∴ax2＋x＋＝0，
Δ＝－2a>0，∴a<.
综上所述，a的取值范围为≤a<或a≤－2.
4．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象过点(－1，0)，(0，3)，(1，4)．
(1)求二次函数的解析式；
(2)当－1≤x≤2时，求函数y的最大值和最小值；
(3)当－1≤x≤m时，函数y的取值范围为0≤y≤4，求m的取值范围；
(4)点M的坐标为(n，2)，点N的坐标为(n＋4，2)，若线段MN与该函数图象恰有一个交点，直接写出n的取值范围．
解：(1)y＝－x2＋2x＋3.
(3)令y＝0可得，x1＝－1，x2＝3，
当0≤y≤4，m的取值范围为1≤m≤3.
(2)∵y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，
∴抛物线的开口向下，对称轴为直线x＝1，顶点坐标为(1，4)，
∴当x＝－1时，最小值为y＝0，
当x＝1时，最大值为y＝4.
(4)令y＝2，x1＝1－，x2＝1＋，
如答图①，当线段MN与该函数图象
的交点在对称轴左侧时，
1－≤n＋4≤1＋，
解得－3－≤n≤－3＋；
如答图②，当线段MN与该函数图象
的交点在对称轴右侧时，1－≤n≤1＋.
综上所述，n的取值范围为－3－< n ≤ －3＋或1－≤n≤1＋.
类型二：二次函数与几何综合题
(10年5考)
(2024·贵阳模拟)如图，在平面直角坐标系中，直线y＝－x＋3与x轴交于点A，与y轴交于点C.抛物线y＝－x2＋bx＋c经过点A，C.
(1)求抛物线的解析式及顶点M的坐标；
(2)若抛物线上存在一点P，且在第一象限内，使得△PAC的面积最大，求
△PAC面积的最大值及此时点P的坐标；
(3)当m≤x≤m＋1时，二次函数有最大值－2，求m的值．
解：(1)抛物线的解析式为y＝－x2＋x＋3.顶点M的坐标为().
(2)过点P作PQ∥y轴交AC 于点Q，
设P(t,)(0则Q(t,)，
∴PQ＝－t2＋t＋3－()＝－t2＋t，
∴S△PAC＝×PQ×4＝2PQ＝－t2＋2t＝－(t－2)2＋2.
∴当t＝2时，△PAC的面积最大，最大值为2，此时点P的坐标为(2,).
(3)抛物线的对称轴为直线x＝，最大值为.
①当m＋1<，即m<－时，x＝m＋1，y有最大值－2.
把(m＋1，－2)代入y＝－＋，得－＝－2，解得m1＝－5，m2＝4(舍去)．
②当m>时，在x＝m处，y有最大值－2，把(m，－2)代入
y＝，得－＝－2，
解得m1＝5，m2＝－4(舍去)．综上所述，m的值为－5或5.
5．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2－4x＋3a(a为常数，且a≠0)与y轴交于点A，过点A作y轴的垂线与此抛物线交于点B，点A与点B不重合．
(1)抛物线的对称轴为直线x＝ ；
(2)当抛物线经过原点时．
①求抛物线所对应的二次函数解析式；
②当m≤x≤m＋2(m为常数)时，y的最小值为－3，求m的值；
(3)若点P是抛物线对称轴上的点，其纵坐标为2a＋1，
当以A，B，P三个点为顶点的三角形是等腰直角三角形时，求a的值．
2
解：(2)①y＝x2－4x.
②当m＋2<2，即m<0 时，二次函数y＝x2－4x在x＝m＋2 时取最小值．
∴(m＋2)2－4(m＋2)＝－3，解得m1＝－1，m2＝1(舍去)．
当m≤2≤m＋2，即0≤m≤2时，二次函数y＝x2－4x在x＝2时取最小值．
此时最小值为22－4×2＝－4，不符合题意．
当m>2时，二次函数y＝x2－4x在x＝m时取最小值，
∴m2－4m＝－3，解得m3＝1(舍去)，m4＝3.
综上所述，m的值为－1或3.
(3)设抛物线的对称轴交AB于点K，连接PA，PB.
在y＝x2－4x＋3a 中，令x＝0得y＝3a，
∴A(0，3a)，∴B(4，3a)，K(2，3a)．
∴P(2，2a＋1)．∴PK＝|－a＋1|.
以A，B，P三个点为顶点的三角形是
等腰直角三角形，由图可知，直角顶点为P，
∴AK＝PK，∴2＝|－a＋1|，
解得a＝－1或a＝3.
∴a的值为－1或3.
6．如图，已知抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C(0，3)，A(－3，0)．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若D是线段AC上方抛物线上的一个动点(点D与A，C不重合)，求点D到直线AC的最大距离；
(3)当t≤x≤t＋1时，函数y＝－x2＋bx＋c的最大值
为－5，求t的值．
解：(1)该抛物线的解析式为y＝－x2－2x＋3.
(2)过点D作DE∥y轴，交AC于点E，交x轴于点F，过点D作DG⊥AC于点G，
易得直线AC的函数解析式为y＝x＋3，
∵点D在抛物线 y＝－x2－2x＋3上，
∴设D(a，－a2－2a＋3)，则E(a，a＋3)，
∴DE＝(－a2－2a＋3)－(a＋3)
＝－(a＋)2＋，
∴当a＝－时，DE有最大值，最大值为.
∵OC＝OA＝3，∴∠OCA＝45°，
∵DE∥OC，∴∠DEG＝∠OCA＝45°，
∴DG＝DE·cos 45°＝.
(3)把y＝－5代入y＝－x2－2x＋3中，
解得x1＝2，x2＝－4，
y＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4，
当t≤x≤t＋1时，函数y＝－x2＋bx＋c 的最大值为－5，
①当x＜－1时，x＝t＋1＝－4时，取得最大值，
解得t＝－5；
②当x＞－1时，x＝t＝2时，取得最大值．
综上所述，t＝－5或2.
7．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋3，与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，连接BC，P是直线BC上方抛物线上一动点，连接PA，交BC于点D.其中BC＝AB，OB＝4.
(1)求抛物线的解析式；
(2)求 的最大值；
(3)若函数y＝ax2＋bx＋3在m－≤x≤m＋(其中m≤)范围内的最大值为s，最小值为t，且≤s－t<，求m的取值范围.
解：(1)抛物线的解析式为y＝－x2＋x＋3.
(2)过点P作PM∥AB交直线BC于点M，
易得直线BC的解析式为y＝－x＋3，
设P(m，－m2＋m＋3)，
在y＝－x＋3中，令y＝－m2＋m＋3，
解得x＝m2－3m，
∴M(m2－3m，－m2＋m＋3)，
∴PM＝m－(m2－3m)＝－m2＋4m，
∵PM∥AB，∴△PMD∽△ABD，
∴＝＝＝－(m－2)2＋，
∴当m＝2时，取最大值为 .
(3)y＝－x2＋x＋3＝－(x－)2＋，∴抛物线的对称轴为直线x＝.
∵m≤，∴m＋≤<. ∴在m－≤x≤m＋(其中m≤)范围内，
当x＝m＋时，y取最大值，即s＝－(m－1)2＋，
当x＝m－时，y取最小值．即t＝－(m－2)2＋，∴s － t＝－m＋，
∵≤s－t<，∴≤－m＋<，解得∵m≤，∴m的取值范围为8．(2024·连云港)在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2＋bx－1(a，b为常数，a>0)．
(1)若抛物线与x轴交于A(－1，0)，B(4，0)两点，求抛物线对应的函数解析式；
(2)如图，当b＝1时，过点C(－1，a)，D(1，a＋2)分别作y轴的平行线，交抛物线于点M，N，连接MN，MD.求证：MD平分∠CMN；
(3)当a＝1，b≤－2时，过直线y＝x－1(1≤x≤3)上一点G作y轴的平行线，交抛物线于点H.若GH的最大值为4，求b的值．
(1)解：∵抛物线与x轴交于A，B两点，
∴
解得
∴抛物线对应的函数解析式为y＝x2－x－1.
(2)证明：连接CN，
∵b＝1，∴y＝ax2＋x－1，
当x＝－1时，y＝a－2，∴M(－1，a－2)，
当x＝1时，y＝a，∴N(1，a)，
∴CN＝2，CM＝a－(a－2)＝2，CM⊥CN，
在Rt△CMN中，
∴MN＝＝2，
∵DN＝a＋2－a＝2，
∴DN＝MN，∴∠NDM＝∠NMD，
∵DN∥CM，∴∠NDM＝∠CMD，
∴∠NMD＝∠CMD，∴MD平分∠CMN.
(3)解：当a＝1时，y＝x2＋bx－1，
设G(m，m－1)，则H(m，m2＋bm－1)，
∵过直线y＝x－1(1≤x≤3)上一点G作y轴的平行线，
令x2＋bx－1＝x－1，
解得x1＝0，x2＝1－b.
∵b≤－2，∴x2＝1－b≥3，
点G在H的上方，如答图，
GH＝－m2＋(1－b)m，
其对称轴为m＝，且≥，
①当≤≤3时，即－5≤b≤－2，
当m＝时，GH取得最大值＝4，
解得b＝－3或b＝5(舍去)；
②当m＝>3时，得b<－5，
当m＝3时，GH取得最大值－9＋3－3b＝4，
解得b＝－(舍去)．
综上所述，b的值为－3.