13.2 第5课时 三角形的外角
【基础达标】
1三角形的三个外角中,钝角最多有 ( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.以上答案都不对
2如图,直线a∥b,直线AC分别交a、b于点B、C,直线AD交a于点D.若∠1=20°,∠2=65°,则∠3的度数等于 ( )
A.30° B.45° C.60° D.85°
3如图,在△ABC中,∠1是它的一个外角,E为边AC上一点,点D在边BC的延长线上,连接DE,则下列结论中不一定正确的是 ( )
A.∠1>∠2 B.∠1>∠3
C.∠3>∠5 D.∠4>∠5
4如图,有两根竹竿AB、DB靠在垂直地面的墙角上,并与墙角FCE形成一定的角度,测得∠CAB,∠CDB的度数分别为α,β.用含有α,β的代数式表示∠ABD的度数.
【能力巩固】
5若一个三角形的三个外角的度数之比为2∶3∶4,则与之对应的三个内角的度数之比为 ( )
A.4∶3∶2 B.3∶2∶4
C.5∶3∶1 D.3∶1∶5
6如图,在△ABC中,EF∥BC,∠A的平分线交EF于点H,交BC于点D,记∠ADC=α,∠ACB的一个邻补角为β,∠AEF=γ.则α,β,γ的关系是 ( )
A.α-β=γ B.2α-β=γ
C.3α-β=γ D.4α-β=γ
7如图,D是△ABC的BC边上的一点,且∠1=∠2,∠3=∠4,∠BAC=66°,求∠DAC的度数.
8如图,AE、OB、OC分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB,OD⊥BC.
求证:∠1=∠2.
【素养拓展】
9将一副三角板按如图所示的方式摆放,使得斜边AB∥DE,则∠ACD的度数为 ( )
A.15° B.18° C.20° D.25°
10如图,△ABC中,∠A=30°,∠B=62°,CE平分∠ACB.
(1)求∠ACE的度数;
(2)若CD⊥AB于点D,∠CDF=74°,证明:△CFD是直角三角形.
参考答案
1.C 2.B 3.D
4.解:根据外角的性质,得
∠DBF=90°+β①,∠ABF=90°+α②,
由①-②,得∠ABD=∠ABF-∠DBF=α-β.
5.C 6.B
7.解:∵∠4=∠1+∠2,∠1=∠2,
∴∠4=2∠1.
又∵∠3=∠4,
∴∠3=2∠1,
∴∠BAC=180°-∠2-∠3=180°-∠1-2∠1=66°,
解得∠1=38°,
∴∠DAC=∠BAC-∠1=66°-38°=28°.
8.证明:∵AE、OB、OC分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB,
∴∠1=∠ABC+∠BAC=(180°-∠ACB)=90°-∠ACB,∠2=90°-∠ACB,
∴∠1=∠2.
9.A
10.解:(1)∵∠A=30°,∠B=62°,
∴∠ACB=180°-∠A-∠B=88°.
∵CE平分∠ACB,
∴∠ACE=∠BCE=∠ACB=44°.
(2)证明:∵CD⊥AB,
∴∠CDB=90°,
∴∠BCD=90°-∠B=28°,
∴∠FCD=∠ECB-∠BCD=16°.
∵∠CDF=74°,
∴∠CFD=180°-∠FCD-∠CDF=90°,
∴△CFD是直角三角形.13.2 第1课时 命题
【基础达标】
1下列语句中是命题的是 ( )
A.作直线AB的垂线
B.在线段AB上取点C
C.同旁内角互补
D.垂线段最短吗
2下列命题中,属于假命题的是 ( )
A.若a-b=0,则a=b=0
B.若a-b>0,则a>b
C.若a-b<0,则aD.若a-b≠0,则a≠b
3命题“同位角相等”的题设是 .
4分别把下列命题写成“如果……,那么……”的形式,并指出其题设和结论,判断其真假.
(1)互为倒数的两个数的积为1.
(2)负数之和仍为负数.
【能力巩固】
5下列命题的逆命题是真命题的是 ( )
A.直角都相等
B.钝角都小于180°
C.如果x2+y2=0,那么x=y=0
D.正比例函数是一次函数
6已知命题:“三角形三条高线交点一定不在三角形的外部”,下列选项中,可以作为该命题是假命题的反例是 ( )
A.等腰三角形
B.直角三角形
C.锐角三角形
D.钝角三角形
7把“等角的余角相等”改写成“如果……,那么……”的形式是 .该命题是 命题.(填“真”或“假”)
8请举反例说明命题“对于任意实数x,x2+5x+5的值总是整数”是假命题,你举的反例是x= (写出一个x的值即可).
9写出下列假命题的反例.
(1)有两个角是锐角的三角形是锐角三角形;
(2)相等的角是对顶角.
10写出下列命题的逆命题,并判断它们的真假.
(1)如果a=b,那么|a|=|b|;
(2)两直线平行,同旁内角互补.
【素养拓展】
11对于命题“两锐角之和一定是钝角”,能说明它是一个假命题的反例是 ( )
A.∠1=41°,∠2=50°
B.∠1=41°,∠2=51°
C.∠1=51°,∠2=49°
D.∠1=41°,∠2=49°
12已知∠ABC的两边与∠DEF的两边平行,即BA∥ED,BC∥EF.
(1)如图①,若∠B=40°,则∠E= °;
(2)如图②,猜想∠B与∠E有怎样的关系,试说明理由;
(3)如图③,猜想∠B与∠E有怎样的关系,试说明理由;
(4)根据以上情况,请归纳概括出一个真命题.
参考答案
1.C 2.A
3.两个角是同位角
4.解:(1)如果两个数互为倒数,那么这两个数的积为1.
题设:两个数互为倒数,结论:这两个数的积为1.
该命题是真命题.
(2)如果几个负数相加,那么它们的和仍为负数.
题设:几个负数相加,结论:它们的和为负数.
该命题是真命题.
5.C 6.D
7.如果两个角相等,那么它们的余角也相等 真
8.
9.解:(1)10°,20°,150°这样的三个角的三角形是钝角三角形.
(2)两个三角板里的直角都相等,但不是对顶角.
10.解:(1)如果|a|=|b|,那么a=b.是假命题.
(2)同旁内角互补,两直线平行.是真命题.
11.D
12.解:(1)40.
提示:因为BA∥ED,BC∥EF,
所以∠B=∠DOC,∠DOC=∠E,
所以∠B=∠E=40°.
故答案为40.
(2)∠B=∠E.
理由:因为BA∥ED,BC∥EF,
所以∠B=∠EOC,∠EOC=∠E,
所以∠B=∠E.
(3)∠B+∠E=180°.
理由:因为BA∥ED,BC∥EF,
所以∠B=∠DOC,∠BOE+∠E=180°.
因为∠DOC=∠BOE,
所以∠B+∠E=180°.
(4)通过上面(1)、(2)、(3),可得到的结论:如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边,则这两个角的关系是相等或互补,13.2 第4课时 三角形内角和定理的证明及推论
【基础达标】
1如图,已知AB⊥BD,AC⊥CD,∠A=35°,则∠D的度数为 ( )
A.35° B.45° C.55° D.65°
2在△ABC中,若∠C=90°,∠A=43°,则∠B= .
3补充完成下列证明.
已知:△ABC.
求证:∠A+∠B+∠C=180°.
证明:如图,过点A作AD∥BC.
∵AD∥BC(已作),
∴∠B+ =180°( ),
∠1= ( ).
∴∠ +∠ +∠ = .
4推理填空:如图,AB、BC交于点B,∠1=∠3,CD⊥BC.
求证:∠2与∠4互余.
证明:∵AB、BC交于点B(已知),
∴∠1=∠2( ).
∵∠1=∠3(已知),
∴∠2=∠3( ).
∵CD⊥BC(已知),
∴∠3+∠4=90°(垂直的定义),
∴∠2+∠4=90°( ),
∴∠2与∠4互余(互余的定义).
【能力巩固】
5如图,AB∥CD,EF⊥AB于点E,EF交CD于点F,已知∠2=30°,则∠1的度数为 ( )
A.20° B.60° C.30° D.45°
6如图,若AE是△ABC的边BC上的高,AD是∠EAC的角平分线,交BC于点D.若∠ACB=40°,则∠DAE等于 ( )
A.50° B.25° C.40° D.35°
7如图,FA⊥EC,∠F=40°,∠C=20°,则∠FBA= .
8如图,在△ABC中,BD⊥CA于点D,CE⊥AB于点E,BD和CE交于点H.求证:∠ABD=∠ACE.
9如图,AD⊥BC,EF⊥BC,∠3=∠C.求证:∠1=∠2.
【素养拓展】
10如图,在△ABC中,∠C=90°,∠BAC、∠ABC的平分线交于D点.求证:∠ADB的度数为一个定值.
参考答案
1.A
2.47°
3.∠BAD 两直线平行,同旁内角互补 ∠C 两直线平行,内错角相等 BAC B C 180°
4.对顶角相等 等量代换 等量代换
5.B 6.B
7.70°
8.证明:∵BD⊥CA,CE⊥AB(已知),
∴∠AEC=90°,∠ADB=90°(垂直定义),
∴∠A+∠ACE=90°,
∠A+∠ABD=90°(直角三角形的两个锐角互余),
∴∠ACE=∠ABD(同角的余角相等).
9.证明:因为AD⊥BC,EF⊥BC(已知),
所以AD∥EF(垂直于同一条直线的两条直线平行),
所以∠1=∠CAD(两直线平行,同位角相等).
又因为∠3=∠C(已知),
所以AC∥HD(同位角相等,两直线平行),
所以∠2=∠CAD(两直线平行,内错角相等),
所以∠1=∠2.
10.证明:在△ABC中,∵∠C=90°(已知),
∴∠BAC+∠ABC=90°(直角三角形的两锐角互余).
又∵AD是∠BAC的平分线,BD是∠ABC的平分线(已知),
∴∠BAD=∠BAC,∠ABD=∠ABC(角平分线定义),
∴∠BAD+∠ABD=(∠BAC+∠ABC)=×90°=45°(等量代换),
∴∠ADB=180°-∠BAD-∠ABD=180°-(∠BAD+∠ABD) =180°-45°=135°(等量代换),
即∠ADB的度数是一个定值.13.2 第3课时 分析与证明
【基础达标】
1如图,在四边形ABCD中,已知条件:∠1=∠2,证明AD∥BC的理论依据是 ( )
A.两直线平行,内错角相等
B.两直线平行,同位角相等
C.内错角相等,两直线平行
D.同位角相等,两直线平行
2如图,已知AE∥BC,∠1=∠2,则下列结论不成立的是 ( )
A.∠B=∠C
B.∠1+∠2=∠B+∠C
C.∠1=∠BAC
D.∠1=∠2=∠B=∠C
3如图,∠1+∠2=180°,若∠3=50°,则∠4= .
4如图,E为DF上的点,B为AC上的点,∠1=∠2,∠C=∠D.求证:AC∥DF.
请你补充并完成下面证明.
证明:∵∠1=∠2(已知),
∠1=∠3,∠2=∠4( ),
∴∠3=∠4(等量代换),
∴ ∥ ( ),
∴∠C=∠ABD( ).
∵∠C=∠D( ),
∴∠D=∠ABD( ),
∴AC∥DF( ).
【能力巩固】
5如图,∠1=∠4,∠A=∠5,能否判断AB∥CD 写出证明的过程.
6如图,AB∥CD,EF为直线,∠1=63°,∠2=27°,求证:EF⊥CD.
7如图,现有下列4个事项:
①∠1=∠2;②∠3=∠B;③FG⊥AB于G;④CD⊥AB于点D.
以上述4个事项中的①②③三个作为一个命题的己知条件,④作为该命题的结论,可以组成一个真命题.请你证明这个真命题,并附上证明依据.
【素养拓展】
8如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,BF平分∠ABC,∠AEF=∠AFE.
(1)求证:AD⊥BC;(请用一对互逆命题进行证明)
(2)写出你所用到的这对互逆命题.
9如图,AD平分∠BAC交BC于点D,点F在BA的延长线上,点E在线段CD上,EF 与AC相交于点G,∠ADB+∠CEG=180°.
(1)证明:AD∥EF;
(2)若点H在FE的延长线上,且∠EDH=∠C.证明:∠H=∠F.
参考答案
1.C 2.C
3.50°
4.对顶角相等 DB EC 内错角相等,两直线平行 两直线平行,同位角相等 已知 等量代换 内错角相等,两直线平行
5.解:能判断AB∥CD.
证明:∵∠1=∠4(已知),
∴AD∥EC(内错角相等,两直线平行).
∴∠A=∠CEB(两直线平行,同位角相等).
又∵∠A=∠5(已知),∴∠CEB=∠5(等量代换),
∴AB∥CD(内错角相等,两直线平行).
6.证明:因为AB∥CD(已知),
所以∠1=∠3(两直线平行,同位角相等).
又因为∠2=27°,∠1=63°(已知),
所以∠EFC=∠2+∠3=27°+63°=90°.
所以EF⊥CD(垂直的定义).
7.证明:∵∠3=∠B,(已知)
∴DE∥BC,(同位角相等,两直线平行)
∴∠1=∠BCD.(两直线平行,内错角相等)
∵∠1=∠2,(已知)
∴∠2=∠BCD.(等量代换)
∴GF∥CD,(同位角相等,两直线平行)
∴∠CDB=∠BGF.(两直线平行,同位角相等)
∵FG⊥AB,即∠BGF=90°,(垂直的定义)
∴∠CDB=90°,故CD⊥AB.(两直线平行,同位角相等)
8.解:(1)证明:∵BF平分∠ABC,
∴∠ABF=∠CBF.
∵∠ABF+∠AFB=90°,∠BED=∠AEF=∠AFB,
∴∠CBF+∠BED=90°,
∴∠ADB=90°,
∴AD⊥BC.
(2)互逆命题:直角三角形的两锐角互余;有两个锐角互余的三角形是直角三角形.
9.证明:(1)∵∠ADB+∠CEG=180°,
∠ADB+∠ADE=180°,
∴∠ADE=∠CEG,
∴AD∥EF.
(2)∵AD平分∠BAC,
∴∠BAD=∠CAD.
∵∠EDH=∠C,
∴HD∥AC,
∴∠H=∠CGH.
∵AD∥EF,
∴∠CAD=∠CGH,
∴∠BAD=∠F,
∴∠H=∠F.13.2 第2课时 证明的基本概念
【基础达标】
1下列命题中是定理的是 ( )
A.两点确定一条直线
B.两直线平行,同位角相等
C.对顶角相等
D.两点之间,线段最短
2“同角或等角的补角相等”是 ( )
A.定义 B.基本事实
C.定理 D.假命题
3下列命题不是基本事实的是 ( )
A.两点确定一条直线
B.两条直线相交,只有一个交点
C.两点之间,线段最短
D.内错角相等,两直线平行
【能力巩固】
4如图,根据已知条件,直线AB与直线CD平行吗 说说你的理由.
5如图,点B、C、D在同一条直线上,AC⊥BD,如果∠ECD=36°,∠A=54°,求证:CE∥AB.
【素养拓展】
6如图,直线AB,CD被直线AE所截,直线AM,EN被MN所截.请你从以下三个条件:①AB∥CD;②AM∥EN;③∠BAM=∠CEN中选出两个作为已知条件,另一个作为结论,得出一个正确的命题.
(1)请按照:“∵ , ;∴ ”的形式,写出所有正确的命题;
(2)在(1)所写的命题中选择一个加以证明,写出推理过程.
参考答案
1.C 2.C 3.D
4.解:直线AB与直线CD平行.
理由:∵∠AGH=110°,
∴∠BGH=180°-110°=70°(邻补角定义),
而∠DHF=70°,即∠BGH=∠DHF,
∴AB∥CD(同位角相等,两直线平行).
(证明方法不唯一,正确即可).
5.证明:∵AC⊥BD(已知),
∴∠ACD=90°(垂直的定义).
又∵∠ECD=36°(已知),
∴∠ACE=90°-36°=54°.
又∵∠A=54°(已知),
∴∠ACE=∠A(等量代换),
∴CE∥AB(内错角相等,两直线平行).
6.解:(1)命题1:∵AB∥CD,AM∥EN,∴∠BAM=∠CEN;
命题2:∵AB∥CD,∠BAM=∠CEN,∴AM∥EN;
命题3:∵AM∥EN,∠BAM=∠CEN,∴AB∥CD.
(2)证明命题1:
∵AB∥CD,
∴∠BAE=∠CEA.
∵AM∥EN,
∴∠3=∠4,
∴∠BAE-∠3=∠CEA-∠4,
即∠BAM=∠CEN.
