15.3 第3课时 等腰三角形的判定
【基础达标】
1下列能断定△ABC为等腰三角形的是 ( )
A.∠A=40°,∠B=50°
B.∠A=2∠B=70°
C.∠A=40°,∠B=70°
D.AB=3,BC=6,周长为14
2已知等腰三角形的一边长为6,一个内角为60°,则它的周长是 ( )
A.12 B.15 C.18 D.20
3如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=3,∠B=30°,CD⊥AB,则BD的长是 ( )
A.3 B.4 C.4.2 D.4.5
4如图,在△ABC中,AB=AC, ∠A=36°,BD、CE分别是∠ABC、∠ACB的平分线,则图中等腰三角形的个数为 ( )
A.12
B.10
C.9
D.8
5直角三角形的一条直角边为8 cm,它所对的角是60°,则其斜边上的高是 .
【能力巩固】
6如图,这是屋架设计图的一部分,立柱BC垂直于横梁AC,AB=8 m,∠A=30°,则立柱BC的长度为 ( )
A.4 m B.8 m C.10 m D.16 m
7如图,在△ABC中,∠A=36°,∠ABC=72°,BD平分∠ABC,CE∥AB交BD的延长线于点E,则图中共有等腰三角形 ( )
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
8如图,△ABC是等边三角形,D,E,F分明是边AB,BC,AC的中点,则图中等边三角形的个数是 ( )
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
9一灯塔P在小岛A的北偏西25°的方向上,从小岛A沿正北方向前进30海里后到达小岛B,此时测得灯塔P在小岛B北偏西50°方向上,则灯塔P与小岛B相距 .
10等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半,则它的一个底角为 .
11如图,在△ABC中,AB=AC,D、E分别是AB和BC上的点,连接DE并延长,与AC的延长线交于点F,若DE=EF,求证:BD=CF.
12如图,在△ABC中,∠ACB=90°,CD为AB边上的高,BE平分∠ABC,且分别交CD、AC于点F、E.求证:CE=CF.
【素养拓展】
13如图,∠AOB=30°,P为∠AOB内一点,OP=10,点M、N分别在OA、OB上,则△PMN周长的最小值为 ( )
A.5 B.10 C.15 D.20
14如图,在△ABC中,AD⊥BC于点D,E是AB的中点.
(1)点E一定在 的垂直平分线上;
(2)如果AD=16 cm,AC=20 cm,点F在AC边上从点A向点C运动,速度是2 cm/s,求当点F运动几秒时,△ADF是等腰三角形
参考答案
1.C 2.C 3.D 4.D
5.4 cm
6.A 7.D 8.D
9.30海里
10.15°或75°
11.证明:如图,过点D作DG∥AC交BC于点G,
∴∠1=∠F,∠4=∠5.
∵AB=AC,∠5=∠B,
∴∠4=∠B,BD=GD.
又易得△DGE≌△FCE,
∴GD=CF,∴BD=CF.
12.证明:∵∠ACB=90°,
∴∠ACD+∠BCD=90°.
∵CD为AB边上的高,
∴∠ADC=90°,
∴∠A+∠ACD=90°,
∴∠A=∠BCD.
∵BE是∠ABC的平分线,
∴∠ABE=∠CBE,
∴∠CFE=∠BCD+∠CBE=∠A+∠ABE.
∵∠CEF=∠A+∠ABE,
∴∠CEF=∠CFE,
∴CE=CF.
13.B 提示:分别作点P关于OA、OB的对称点P1、P2,连接P1、P2,交OA于点M,交OB于点N,则OP1=OP=OP2,∠P1OA=∠POA,∠POB=∠P2OB,MP=P1M,PN=P2N,则△PMN的周长的最小值=P1P2,∴∠P1OP2=2∠AOB=60°,∴△OP1P2是等边三角形.∴△PMN的周长=P1P2=OP1=OP2=OP=10.
14.解:(1)∵AD⊥BC,
∴∠ADB=90°.
∵E是AB的中点,
∴AE=DE=BE,
即AE=DE,BE=DE,AE=BE,
∴点E一定在AD或BD或AB的垂直平分线上.
故答案为AD或BD或AB.
(2)当FA=AD=16 cm时,t==8 s.
当FA=FD时,∠FAD=∠ADF,
又∵∠FAD+∠C=∠ADF+∠FDC=90°,
∴∠C=∠FDC,
∴FD=FC,
∴FA=FC=AC=10 cm,
∴t==5 s.
当DF=AD时,点F不存在.
综上所述,当点F运动5 s或8 s时,△ADF是等腰三角形.15.3 第2课时 等腰三角形的性质的应用
【基础达标】
1等腰三角形的顶角是80°,则一腰上的高与底边的夹角是 ( )
A.40° B.50° C.60° D.30°
2在平面直角坐标系中,若等边三角形ABC的顶点A的坐标是(-1,0),顶点B的坐标是(3,0),那么顶点C的横坐标是 ( )
A.-1 B.3 C.1 D.0
3如图,△ABC的周长为18,且AB=AC,AD⊥BC于点D,△ACD的周长为13,那么AD的长为 .
4如图,在△ABC中,AB=AD=DC,∠BAD=32°,则∠BAC= .
5如图,P为线段AB上一点,△APC与△BPD均为等边三角形,请你判断AD与BC有何关系,请写出你的结论并证明.
【能力巩固】
6如图,一个等边三角形纸片,剪去一个角后得到一个四边形,则图中∠1+∠2的度数是 ( )
A.180° B.220°
C.240° D.300°
7三个等边三角形的摆放位置如图所示,若∠3=15°,则∠1+∠2的度数为 .
8如图,在△ABC中,AB=AC,AD和BE是高,它们交于点H,且AE=BE,求证:AH=2BD.
9如图,在等边三角形ABC中,AD⊥BC于点D,BD=2,以AD为一边向右作等边△ADE.
(1)求△ABC的周长;
(2)判断AC、DE的位置关系,并给出证明.
【素养拓展】
10如图,在一张直角三角形纸片ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,P是边AB上的一动点,将△ACP沿着CP折叠至△A1CP,当△A1CP与△ABC的重叠部分为等腰三角形时,∠ACP的度数为 .
11如图,在△ABC中,AB=AC,D为BC边的中点,DE⊥AB.
(1)求证:∠BAC=2∠EDB;
(2)若AC=6,DE=2,求△ABC的面积.
12(1)如图1,已知△ABC是等边三角形,E是AC延长线上的任意一点,选择一点D,使得△CDE是等边三角形,如果M是线段AD的中点,N是线段BE的中点.求证:△CMN是等边三角形.
(2)在(1)中,若A、C、E不共线,其他条件不变,如图2,结论还成立吗 为什么
参考答案
1.A 2.C
3.4
4.69°
5.解:AD=BC.
证明:∵△APC与△BPD均为等边三角形,
∴AP=PC,BP=PD,∠APC=∠BPD=60°,∴∠APD=∠CPB,
∴△APD≌△CPB,即AD=BC.
6.C
7.165°
8.证明:∵∠DAE+∠C=90°,
∠EBC+∠C=90°,
∴∠DAE=∠EBC.
在△AHE和△BCE中,
∴△AHE≌△BCE(ASA),∴AH=BC.
又∵AB=AC,AD⊥BC,∴BD=DC,
∴BC=2BD,∴AH=2BD.
9.解:(1)∵AD是等边△ABC的高线,
∴AD也是它的中线,
∴BC=2BD=4,
∴△ABC的周长为12.
(2)∵AD是等边△ABC的高线,
∴AD也是∠BAC的平分线,
∴∠CAD=∠BAC=30°,
∴AF是∠DAE的平分线,
∴AF也是等边△ADE的高线,即AC⊥DE.
10.40°或70°
11.解:(1)证明:∵AB=AC,D为BC边的中点,
∴AD⊥BC,∠BAD=∠CAD=∠BAC,
∴∠B+∠BAD=90°.
∵DE⊥AB,
∴∠B+∠EDB=90°,
∴∠EDB=∠BAD=∠BAC,即∠BAC=2∠EDB.
(2)由题意可知,S△ABD=×6×2=6,
∵D为BC边的中点
∴S△ADC=S△ADB=6,
∴S△ABC=12.
12.解:(1)证明:∵△ABC是等边三角形,△CDE是等边三角形,M是线段AD的中点,N是线段BE的中点,
∴∠ACB=∠ECD=60°,
∴∠ACB+∠BCD=∠ECD+∠BCD,即∠ACD=∠BCE.
在△ACD和△BCE中,
∴△ACD≌△BCE(SAS),
∴AD=BE,∠CAD=∠CBE,
∴AM=BN.
在△AMC和△BNC中,
∴△AMC≌△BNC(SAS),
∴CM=CN,∠ACM=∠BCN.
又∵∠NCM=∠BCN-∠BCM,
∠ACB=∠ACM-∠BCM,
∴∠NCM=∠ACB=60°,
∴△CMN是等边三角形;
(2)成立.
同(1)可得△ACD≌△BCE,△AMC≌△BNC,
∴CM=CN,∠ACM=∠BCN,
∴∠ACM+∠BCM=∠BCN+∠BCM,
∴∠ACB=∠MCN=60°,
∴△CMN是等边三角形.15.3 第1课时 等腰三角形的性质
【基础达标】
1等边三角形是轴对称图形,它的对称轴有 ( )
A.1条 B.2条 C.3条 D.6条
2等腰三角形的一边长等于3,另一边长等于6,则此三角形的周长等于 ( )
A.12 B.12或15
C.15 D.15或18
3下列说法中,正确的有 ( )
①等腰三角形的两腰相等;②等腰三角形两底角相等;③等腰三角形是轴对称图形;④等腰三角形底边上的中线与底边上的高相等.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
4如图,在等腰三角形ABC中,AB=AC,BD平分∠ABC,∠A=36°,则∠1的度数为 ( )
A.36° B.60° C.72° D.108°
5若等腰三角形有一个角是50°,那么其他两个角的度数是 .
【能力巩固】
6如图,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC于点D,则下列结论不一定成立的是 ( )
A.AB=BC B.BD=CD
C.∠1=∠2 D.∠B=∠C
7如图,在等边△ABC中,D为BC边的中点,AE=AD,则∠EDC的度数为 ( )
A.10° B.15°
C.20° D.25°
8如图,在△ABC中,D是BC上一点,AC=AD=DB,∠BAC=102°,则∠ADC= 度.
9如图,∠A=15°,AB=BC=CD=DE=EF,则∠GEF= .
10如图,在等边△ABC中,点D、E分别在边BC、AB上, 且BD=AE,AD与CE交于点F.
(1)求证:AD=CE;
(2)求∠DFC的度数.
11如图,△ABC是等腰直角三角形,∠A=90°,BD是角平分线,DE⊥BC于点E,若BC=10 cm,求△DEC的周长.
【素养拓展】
12在如图所示的钢架中,∠A=18°,P1A=P1P2,焊上等长的钢条P1P2,P2P3,P3P4,P4P5,…,来加固钢架.则∠P5P4B的度数是 ( )
A.80° B.85° C.90° D.100°
13如图,在△ABC中,AD是BC边上的中线,E是AB边上一点,过点C作CF∥AB,交ED的延长线于点F.
(1)求证:△BDE≌△CDF;
(2)当AD⊥BC,AE=1,CF=2时,求AC的长.
14如图,△ABC、△DEF都是正三角形,点D、E、G、H均在边上.
(1)写出图中与∠AGF必定相等的所有角;
(2)对于(1)中的几个角,请你选择一个角证明其与∠AGF相等.
参考答案
1.C 2.C 3.D 4.C
5.50°,80°或65°,65°
6.A 7.B
8.52
9.75°
10.解:(1)证明:由AE=BD,∠EAC=∠B,AC=BA,可证△AEC≌△BDA,
∴AD=CE.
(2)∵△AEC≌BDA,∴∠ACE=∠BAD,∴∠DFC=∠DAC+∠ACE=∠DAC+∠BAD=60°.
11.解:∵BD平分∠ABC,
∴∠ABD=∠CBD.
∵∠A=90°,DE⊥BC,
∴△ABD≌△EBD.
∴AB=BE,AD=DE.
∵△DEC的周长=DE+CE+CD=AD+CD+CE=AC+CE,AC=AB=BE,
∴△DEC的周长=BE+CE=BC=10 cm.
12.C
13.解:(1)证明:∵CF∥AB,
∴∠B=∠FCD,∠BED=∠F.
∵AD是BC边上的中线,
∴BD=CD,
∴△BDE≌△CDF.
(2)∵△BDE≌△CDF,∴BE=CF=2,
∴AB=AE+BE=1+2=3.
∵AD⊥BC,BD=CD,
∴AC=AB=3.
14.解:(1)与∠AGF必定相等的角:∠DGH、∠ADE、∠BEH.
(2)证明:①∠DGH=∠AGF(对顶角相等);
②在△ADG中,∠AGF=∠A+∠ADG=60°+∠ADG,
∵∠ADE=∠ADG+∠EDF=∠ADG+60°,
∴∠ADE=∠AGF;
③∵△ABC、△DEF均为正三角形,
∴∠F=60°=∠C,
∴∠AGF=∠F+∠GHF=∠C+CHE=∠BEH.
