15.4 第1课时 尺规作图
【基础达标】
1只用无刻度的直尺就能作出的是 ( )
A.延长线段AB至C,使BC=AB
B.过直线l上一点A作l的垂线
C.作已知角的平分线
D.过点O、P作射线OP
2如图所示的作图痕迹作的是 ( )
A.线段的垂直平分线
B.过一点作已知直线的垂线
C.一个角的平分线
D.作一个角等于已知角
3下列尺规作图,能判断AD是△ABC边上的高是 ( )
A B
C D
4如图,在△ABC中,∠ACB=80°,∠BAC=60°.按以下步骤作图:①以A为圆心,小于AC的长为半径画弧,分别交AB、AC于点E、F;②分别以E、F为圆心,大于EF的长为半径画弧,两弧相交于点G;③作射线AG交BC于点D.则∠ADB的度数为 .
【能力巩固】
5用尺规作角的平分线时,若分别以角两边上的D、E为圆心,小于DE的长为半径在角的内部画弧,则弧的交点有 ( )
A.1个 B.2个
C.无数个 D.0个
6如图,在△ABC中,以A为圆心,AC的长为半径画弧交BC于点Q,分别以C、Q为圆心,大于CQ的长为半径画弧交于点P,连接AP交BC于点D,则一定有 ( )
A.PA=PC B.PA=PQ
C.PQ=PC D.∠QPC=90°
7如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,用尺规作图法作出射线AE,AE交BC于点D,CD=2,P为AB上一动点,则PD的最小值为 ( )
A.2 B.3
C.4 D.无法确定
8如图,在△ABC中,
(1)将下列作∠ABC的平分线的操作按正确的顺序排列 (将序号按正确的顺序写在横线上);
①分别以M、N为圆心,大于MN的长为半径作圆弧,在∠ABC内,两弧交于点P;
②以B为圆心,适当长为半径作圆弧,交AB于点M,交BC于N点;
③画射线BP,交AC于点D.
(2)能说明∠ABD=∠CBD的依据是 (填序号);
①SSS;②ASA;③AAS;④角平分线上的点到角两边的距离相等.
(3)若AB=18,BC=12,S△ABC=120,过点D作DE⊥AB于点E,求DE的长.
【素养拓展】
9如图,点M和点N在∠AOB内部.
(1)请你作出点P,使点P到点M和点N的距离相等,且到∠AOB两边的距离也相等(保留作图痕迹,不写作法);
(2)请说明作图理由.
参考答案
1.D 2.B 3.B
4.110°
5.D 6.C 7.A
8.解:(1)作∠ABC的平分线的操作的正确顺序是②①③.
∴答案为②①③.
(2)在△MBP和△NBP中,
∴△MBP≌△NBP(SSS),
∴∠ABD=∠CBD.
故答案为①.
(3)如图,过点D作DF⊥BC于点F,
∵∠ABD=∠CBD,DE⊥AB,DF⊥BC,
∴DE=DF,
S△ABC=S△ABD+S△CBD,即×AB×DE+×BC×DF=120,
∴×18×DE+×12×DE=120,
解得DE=8.
9.解: (1)如答图,点P即为所求.
(2)作图的理由:角平分线上的点到角两边的距离相等,线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.15.4 第2课时 角平分线的性质定理及逆定理
【基础达标】
1如图,P是∠AOB的平分线OC上一点,PD⊥OB,垂足为D.若PD=2,则点P到边OA的距离是 ( )
A.2 B.3 C. D.4
2在Rt△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC交BC于点D,若BC=32,且BD∶CD=9∶7,则点D到AB的距离为 ( )
A.18 B.16 C.14 D.12
3如图,在△ABC中,∠BAC=50°,AD为∠BAC的平分线,DE⊥AB,DF⊥AC,则∠DEF= .
4如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,BD=CD,求证:AB=AC.
【能力巩固】
5如图,在△ABC中,角平分线AD,BE相交于点O,连接CO,则下列结论正确的是 ( )
A.△CEO≌△CDO
B.OE=OD
C.CO平分∠ACB
D.OC=OD
6如图,在△ABC中,AB=6 cm,AC=8 cm, S△ABD∶S△ACD=3∶4,若∠BAC=70°,则∠BAD的度数为 ( )
A.45° B.40° C.35° D.30°
7如图,在四边形ABDC中,∠B=∠D=90°,∠BAC与∠ACD的平分线交于点O,且点O在线段BD上,BD=4,则点O到边AC的距离是 ( )
A.1 B.1.5 C.2 D.3
8如图,在△ABC中,∠C=90°,AQ平分∠BAC交BC于点Q,QP⊥AB于点P,若BC=10 cm,BP=7.6 cm,则△BPQ的周长是 .
9如图,在△ABC中,∠C=90°,AB=10,AD是△ABC的一条角平分线.若CD=3,则△ABD的面积为 .
10如图,BD是∠ABC的平分线,AB=BC,点E在BD上,连接AE、CE,DF⊥AE,DG⊥CE,垂足分别是F、G,求证:DF=DG.
11如图,在△ABC中,∠A=90°,AB=AC,在BC上取一点D,使BD=BA,过点D作DE⊥BC交AC于点E,求证:
(1)BE平分∠ABC;
(2)AE=DE=DC.
【素养拓展】
12如图,∠AOB=150°,OP平分∠AOB,PD⊥OB于点D,PC∥OB交OA于点C,若PD=3,求OC的长.
13如图,△ABC和△ADE都是等腰直角三角形,BC和DE分别是其斜边,连接BE、CD交于点O,连接OA.
(1)证明:BE=CD;
(2)判断BE与CD之间的位置关系,试说明理由;
(3)OA是∠BOD的平分线吗 若是,请说明理由;若不是,也请说明理由.
参考答案
1.A 2.C
3.25°
4.证明:如图,过点D作DM⊥AB于点M,过点D作DN⊥AC于点N.
∵AD平分∠BAC,
∴DM=DN.
在Rt△BDM和Rt△CDN中,
∴Rt△BDM≌Rt△CDN(HL),
∴∠B=∠C,
∴AB=AC.
5.C 6.C 7.C
8.17.6 cm
9.15
10.证明:∵BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠DBC.
在△ABE和△CBE中,
∴△ABE≌△CBE(SAS),∴∠AEB=∠BEC,
∴∠AED=∠CED.
又∵DF⊥AE,DG⊥EC,∴DF=DG.
11.证明:(1)∵DE⊥BC,∴∠BDE=∠A=90°.
∵BD=BA,BE=BE,∴Rt△ABE≌Rt△DBE,
∴AE=DE,∴BE平分∠ABC.
(2)∵∠A=90°,AB=AC,∴∠C=45°.
又∠BDE=90°,∴∠DEC=45°,∴DE=CD,由(1)得AE=DE,即AE=DE=DC.
12.解:如图,作PE⊥OA于点E.
∵OP平分∠AOB,PD⊥OB,PE⊥OA,
∴PE=PD=3.
∵∠AOB=150°,OP平分∠AOB,
∴∠AOP=∠BOP=75°.
∵PC∥OB,
∴∠CPO=∠BOP=75°,
∴∠AOP=∠CPO=75°,
∴CP=CO,∠PCO=30°,
∴PC=2PE=6,
∴OC=6.
13.解:(1)证明:∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形,
∴AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=90°,
∴∠BAC+∠CAE=∠DAE+∠CAE,
即∠BAE=∠DAC.
∴△ABE≌△ACD(SAS),
∴BE=CD.
(2)BE⊥CD.理由:
设BE与AC交于点G.
∵△ABE≌△ACD,
∴∠ABE=∠ACD.
在△COG和△AGB中,∠ABG=∠OCG,∠AGB=∠OGC,
∴∠COG=∠BAG=90°,
∴BE⊥CD.
(3)是,理由:
如图,过点A分别作AM⊥BE,AN⊥CD,垂足分别为点M、N.
∵△ABE≌△ACD,
∴S△ABE=S△ACD,则×AM×BE=×AN×CD,则AM=AN.
∴OA是∠BOD的平分线.15.4 第3课时 角平分线的应用
【基础达标】
1三角形中,到三边距离相等的点是 ( )
A.三条高的交点
B.三条中线的交点
C.三条角平分线的交点
D.三边垂直平分线的交点
2如图,BF、CF是△ABC的两个外角的平分线,交点为点F,若∠A=50°,则∠BFC的度数是 ( )
A.50° B.60° C.40° D.65°
3如图,∠AOB=30°,OP平分∠AOB,PC∥OB,PD⊥OB,如果PC=8,那么PD等于 .
4如图,AB=AC,BD=CD,DE⊥AB交AB的延长线于点E,DF⊥AC交AC的延长线于点F.求证:DE=DF.
【能力巩固】
5如图,要使AP平分∠BAC,则必须满足的条件是 ( )
A.PD=PF
B.PE=PG
C.PB⊥AB,PC⊥AC,PB=PC
D.以上条件都不对
6如图,在四边形ABCD中,∠A=90°,AD=2,连接BD,BD⊥CD,∠ADB=∠C.若P是BC边上一动点,则DP长的最小值为 .
7如图,D、E、F分别是△ABC的三条边上的点,CE=BF,△DCE和△DBF的面积相等.求证:AD平分∠BAC.
8如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,∠C=90°,DE⊥AB于点E,点F在AC上,BD=DF.
(1)求证:CF=EB;
(2)若AB=12,AF=8,求CF的长.
【素养拓展】
9如图,在△ABC中,E、D分别为AB、AC边上的两点,且EB=CD,若平面内动点P满足S△PEB=S△PCD,则满足此条件的点P有 ( )
A.1个 B.2个
C.4个 D.无数个
10如图,△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC的平分线BP交于点P,若∠BPC=40°,求∠CAP的度数.
11在△ABC中,D是BC边上的点(不与点B、C重合),连接AD.
(1)如图1,当D是BC边上的中点时,S△ABD∶S△ACD= ;
(2)如图2,当AD是∠BAC的平分线时,若AB=m,AC=n,求S△ABD∶S△ACD的值(用含m,n的代数式表示);
(3)如图3,AD平分∠BAC,延长AD到E,使得AD=DE,连接BE,如果AC=2,AB=4,S△BDE=6,那么S△ABC= .
参考答案
1.C 2.D
3.4
4.证明:∵AB=AC,BD=CD,AD=AD,
∴△ABD≌△ACD(SSS),
∴∠EAD=∠CAD.
又∵DE⊥AB,DF⊥AC,
∴DE=DF.
5.C
6.2
7.证明:过点D作DN⊥AC,DM⊥AB,
S△DBF=BF×DM,S△DCE=DN×CE,
∴BF×DM=DN×CE.
又∵CE=BF,
∴DM=DN,
∴AD平分∠BAC.
8.解:(1)证明:∵AD平分∠BAC,∠C=90°,DE⊥AB于点E,
∴DE=DC.
在△CDF与△EDB中,
∴△CDF≌△EDB(HL),
∴CF=EB.
(2)设CF=x,则AE=12-x.
∵AD平分∠BAC,DE⊥AB,
∴CD=DE.
在△ACD与△AED中,
∴△ACD≌△AED(HL),
∴AC=AE,即8+x=12-x,
解得x=2,即CF=2.
9.D
10.解:如图,延长BA,作PN⊥BD,PF⊥BA,PM⊥AC.
设∠PCD=x°,
∵CP平分∠ACD,
∴∠ACP=∠PCD=x°,
PM=PN.
∵BP平分∠ABC,
∴∠ABP=∠PBC,PF=PN,
∴PF=PM.
∵∠BPC=40°,
∴∠ABP=∠PBC=∠PCD-∠BPC=(x°-40)°,
∴∠BAC=∠ACD-∠ABC=2x°-(x°-40°)-(x°-40°)=80°,
∴∠CAF=100°.
∵PF=PM,
∴∠FAP=∠PAC=50°.
11.解:(1)如图1,过A作AE⊥BC于点E,
∵D是BC边上的中点,
∴BD=DC,
∴SABD∶S△ACD=×BD×AE∶×CD×AE=1∶1.
∴答案为1∶1.
(2)如图2,过D作DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F,
∵AD为∠BAC的平分线,
∴DE=DF.
∵AB=m,AC=n,
∴SABD∶S△ACD=×AB×DE∶×AC×DF=m∶n.
(3)如图3,∵AD=DE,
∴由(1)知S△ABD∶S△EBD=1∶1.
∵S△BDE=6,
∴S△ABD=6.
∵AC=2,AB=4,AD平分∠CAB,
∴由(2)知,S△ABD∶S△ACD=AB∶AC=4∶2=2∶1,
∴S△ACD=3,
∴S△ABC=3+6=9.
∴答案为9.
