第3课时 用“角边角”判定三角形全等
【基础达标】
1根据下列已知条件,能画出唯一△ABC的是 ( )
A.AB=3,BC=4,AC=8
B.AB=4,BC=3,∠A=30°
C.∠A=60°,∠B=45°,AB=4
D.∠C=90,AB=6
2如图,∠1=∠2,∠3=∠4,若证得BD=CD,则所用的判定两三角形全等的依据是 ( )
A.角角角
B.角边角
C.边角边
D.角角边
3如图,点E,F,C,B在同一直线上,AB=DE,∠A=∠D,添加下列一个条件,可依据“ASA”判定△ABC≌△DEF的条件是 ( )
A.∠ACB=∠DFE
B.AC=DF
C.∠B=∠E
D.BC=EF
4如图,已知∠A=∠D,AC=FD,那么要得到△ABC≌△DEF,还应给出的条件是 ( )
A.BC=EF B.AF=DC
C.AB∥DE D.BC∥EF
5在△ABC和△DEF中,∠B=∠E,∠C=∠F,BC=EF,则可用依据 ,证明△ABC≌△DEF.
6如图,在△ABC和△ADE中,∠CAE=∠BAD,AC=AE,若加条件 ,可用ASA推得△ABC≌△ADE.
7如图,点A,B,C,D在一条直线上,AB=CD,AE∥BF,CE∥DF.
求证:AE=BF.
【能力巩固】
8如图,已知CD=CA,∠1=∠2,要使△ECD≌△BCA,需添加的条件是 (只需写出一个条件).
9如图,如果AB∥CD,AD∥BC,E、F为AC上的点,AE=CF, 那么图中全等的三角形有 对.
10如图,∠BAC=∠DAE,∠1=∠2,AB=AC,问△ABD≌△ACE吗 为什么
11如图,在△ABC中,D是BC边上的点(不与B,C重合),F,E分别是AD及其延长线上的点,CF∥BE. 请你添加一个条件,使△BDE≌△CDF (不再添加其他线段,不再标注或使用其他字母),并给出证明.
【素养拓展】
12如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,AE是BC边上的中线,过点C作AE的垂线CF,垂足为F,过点B作BD⊥BC交CF的延长线于点D.
(1)求证:AE=CD.
(2)若AC=12 cm,求BD的长.
参考答案
基础达标作业
1.C 2.B 3.C 4.D
5.ASA
6.∠C=∠E
7.证明:∵AE∥BF,∴∠A=∠FBD.
∵CE∥DF,∴∠D=∠ACE.
∵AB=CD,∴AB+BC=CD+BC,即AC=BD.
在△ACE和△BDF中,
∴△ACE≌△BDF(ASA),
∴AE=BF.
能力巩固作业
8.CE=CB或∠D=∠A
9.3
10.解:全等.
∵∠BAC=∠DAE,∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC,即∠BAD=∠CAE.
在△BAD和∠CAE中,
∴△BAD≌△CAE(ASA).
11.解:答案不唯一,在BD=DC,FD=ED,BE=FC中任选一个即可.
以BD=CD为例证明:
∵CF∥BE,
∴∠FCD=∠EBD.
在△BDE与△CDF中,
∴△BDE≌△CDF(ASA).
素养拓展作业
12.解:(1)证明:∵∠ACB=90°,AE⊥CD于点F,
∴∠BCD+∠ACF=∠EAC+∠ACF=90°,
即∠BCD=∠EAC.
∵BD⊥BC,∴∠DBC=∠ECA=90°.
在△ACE和△CBD中,∵
∴△ACE≌△CBD(ASA),
∴AE=CD.
(2)∵△DBC≌△ECA,∴BD=CE,
∵E是BC的中点,∴BE=BD=CE.
又∵AC=12 cm,AC=BC,∴BD=6 cm.第2课时 用“边角边”判定三角形全等
【基础达标】
1下图所示的图形中是全等三角形的是 ( )
A.Ⅰ和Ⅱ B.Ⅱ和Ⅳ
C.Ⅱ和Ⅲ D.Ⅰ和Ⅲ
2已知在△ADF和△BCE中,若AD=BC,∠A=∠B,直接能利用“SAS”证明△ADF≌△BCE的条件是 ( )
A.AE=BF
B.DF=CE
C.AF=BE
D.∠CEB=∠DFA
3如图,点E,F在AC上,AD=BC,DF=BE,要使△ADF≌△CBE,还需要添加的一个条件是 ( )
A.∠A=∠C
B.∠D=∠B
C.AD∥BC
D.DF∥BE
4如图,AD=AE,∠1=∠2,BD=CE,则有△ABD≌ ,理由是 .
5如图,有一块三角形镜子,小明不小心将其打碎为a,b两块,现需配一块同样形状、大小的镜子.为了方便起见,只需带上 块,其理由是 .
6如图,AB是∠DAC的平分线,AD=AC.
求证:BD=BC.
7如图,已知AB=AC,F,E分别是AB,AC的中点.求证:△ABE≌△ACF.
【能力巩固】
8如图,已知∠ACB=∠DBC,且在△ABC中,AB=3,AC=4,要证△ABC≌△DCB,则 ( )
A.BD=4 B.BC=3
C.CD=3 D.AD=4
9如图,在△ABC中,AD⊥BC于点D,D是BC的中点,则AC= .
10如图,OA=OB,OC=OD,∠AOB=∠COD,请说明AC=BD的理由.
11如图,点A,E,B,D在同一条直线上,AE=DB,AC=DF,AC∥DF.请探索BC与EF有怎样的位置关系 并说明理由.
【素养拓展】
12如图,点B,C,E,F在同一直线上,BC=EF,AC⊥BC于点C,DF⊥EF于点F,AC=DF.
求证:(1)△ABC≌△DEF;
(2)AB∥DE.
参考答案
基础达标作业
1.D 2.C 3.B
4.△ACE SAS
5.a 两边及其夹角对应相等的两个三角形全等
6.证明:∵AB是∠DAC的平分线,
∴∠DAB=∠CAB.
在△DAB与△CAB中,
∴△DAB≌△CAB,∴BD=BC.
7.证明:∵F,E是AB,AC的中点,
∴AF=AB,AE=AC.
∵AB=AC,
∴AF=AE.
在△ABE与△ACF中,
∴△ABE≌△ACF(SAS).
能力巩固作业
8.A
9.5
10.解:理由如下:∵∠AOB=∠COD,
∴∠AOB+∠BOC=∠COD+∠BOC,即∠AOC=∠BOD,
∵OA=OB,OC=OD,∴△OAC≌△OBD(SAS),
∴AC=BD.
11.解:BC∥EF.理由如下:∵AE=DB,∴AE+BE=DB+BE,∴AB=DE.∵AC∥DF,∴∠A=∠D,∵AC=DF,∴△ACB≌△DFE,∴∠FED=∠CBA,∴BC∥EF.
素养拓展作业
12.证明:(1)∵AC⊥BC于点C,DF⊥EF于点F,∴∠ACB=∠DFE,
在△ABC与△DEF中,∵BC=EF,∠ACB=∠DFE,AC=DF,
∴△ABC≌△DEF(SAS).
(2)∵△ABC≌△DEF,∴∠ABC=∠DEF,∴AB∥DE.2.5 全等三角形
第1课时 全等三角形的概念
【基础达标】
1下列各组图形中是全等图形的是 ( )
A B C D
2如图,△ABE≌△ACD,∠B=50°,∠AEC=120°,则∠DAC的度数是 ( )
A.120° B.70°
C.60° D.50°
3如图,把△ABC沿直线BC翻折180°,得△ABC≌△DBC,对应边分别为 、 、 ,对应角分别为 .
4如图,△ACB≌△AED,AC与AE是对应边,∠B与∠D是对应角,请写出其他的对应边和对应角.
【能力巩固】
5下列命题中不正确的是 ( )
A.全等三角形的对应角相等
B.全等三角形的面积相等
C.全等三角形的周长相等
D.周长相等的两个三角形全等
6如图,△ABC≌△DEF,BE=4,AE=1,则DE= .
【素养拓展】
7如图,在正方形ABCD中,E是正方形边AD上一点,F是BA延长线上一点,并且AF=AE.
(1)可以通过平移、翻折、旋转中的哪一种方法,使△ABE与△ADF完全重合
(2)指出图中线段BE与DF之间的关系,并证明.
参考答案
基础达标作业
1.B 2.B
3.AB和DB BC和BC AC和DC ∠1和∠2、∠3和∠4、∠A和∠D
4.解:其他对应边:BC与DE,AB与AD;
其他对应角:∠C与∠E,∠CAB与∠EAD.
能力巩固作业
5.D
6.5
素养拓展作业
7.解:(1)△ABE绕点A逆时针旋转90°后与△ADF重合.
(2)线段BE与DF之间的关系为BE=DF,且BE⊥DF,
∵△ABE≌△ADF,∴BE=DF,∠ADF=∠ABE.
又∵在Rt△ADF中,∠ADF+∠AFD=90°,
∴∠ABE+∠DFA=90°.∴BE⊥DF.第4课时 用“角角边”判定三角形全等
【基础达标】
1如图,B,F,E,D四点共线,∠B=∠D,BF=DE,添加一个条件,可依据“AAS”判定△ABF≌△CDE的是 ( )
A.AF∥CE B.∠A=∠C
C.AF=CE D.AB=CD
2在△ABC和△DEF中,若∠C=∠D,∠B=∠E,要判断△ABC≌△FED,还要添加的条件为 ( )
A.AB=ED B.AC=FD
C.AB=FD D.∠A=∠F
3如图,∠A=∠D,AB=DC,∠OCD=30°,则∠ABO的度数为 .
4如图,D、E分别是AB、AC边上的点,O是CD与BE的交点,且∠B=∠C,AD=AE,则 ≌△ABE,理由是 .
5如图,∠1=∠2,由“AAS”判定△ABD≌△ACD,则需添加的一个条件是 .
6如图,如果AC=EF,那么根据所给的数据信息,图中的两个三角形全等吗 请说明理由.
【能力巩固】
7如图,∠C=∠B=50°,∠A=60°,则∠AEC= .若AE=AD,AB=7,则AC= .
8如图,∠C=∠D,∠ABC=∠BAD,AC与BD相交于点O,请写出图中一组相等的线段: .
9如图,已知∠1=∠2,∠3=∠4,EC=AD,求证:AB=BE,BC=DB.
10如图,在△AFD和△CEB中,点A,E,F,C在同一直线上,AE=CF,∠B=∠D,AD∥BC.求证:AD=BC.
【素养拓展】
11如图,AB,CD相交于点E,现给出如下三个论断:①∠A=∠C;②AD=CB;③AE=CE.请你选择其中两个论断为条件,另外一个论断为结论,构造一个命题.
(1)在构成的所有命题中,真命题有 个.
(2)在构成的真命题中,请你选择一个加以证明.
12如图,CE⊥AB于点E,BD⊥AC于点D,BD,CE交于点O,且AO平分∠BAC.
(1)图中有多少对全等三角形 请一一列举出来(不必说明理由).
(2)求证:BE=CD.
参考答案
基础达标作业
1.B 2.B
3.30°
4.△ACD AAS
5.∠B=∠C
6.解:全等,因为∠D=∠B=70°,∠A=∠E=25°,AC=EF,则根据“AAS”可以证明△ABC≌△EDF.
能力巩固作业
7.70° 7
8.AD=BC(或OD=OC,OA=OB,AC=BD)
9.证明:∵∠1=∠2,∴∠ABD=∠EBC,又∵∠3=∠4,EC=AD,∴△ABD≌△EBC,得AB=BE,BC=DB.
10.证明:∵AD∥BC,∴∠A=∠C.∵AE=CF,
∴AE+EF=CF+EF,即AF=CE.
∵在△ADF和△CBE中,
∴△ADF≌△CBE(AAS),∴AD=BC.
素养拓展作业
11.解:(1)2.
(2)由①②得到③.
证明:在△ADE和△CBE中,
∵∠A=∠C,∠AED=∠CEB,AD=CB,
∴△ADE≌△CBE,∴AE=CE.
或由①③得到②.
证明:在△ADE和△CBE中,
∵∠A=∠C,AE=CE,∠AED=∠CEB,
∴△ADE≌△CBE,∴AD=CB.
12.解:(1)有4对,分别是△AOE≌△AOD,△BOE≌△COD,△AOB≌△AOC,△ABD≌△ACE.
(2)证明:∵CE⊥AB于点E,BD⊥AC于点D,
∴∠AEO=∠ADO=90°.
∵AO平分∠BAC,∴∠OAE=∠OAD.
在△AOE和△AOD中,
∵
∴△AOE≌△AOD(AAS),∴AE=AD.
在△ADB和△AEC中,
∵
∴△ADB≌△AEC(ASA),∴AB=AC.
∴AB-AE=AC-AD,即BE=CD.第5课时 用“边边边”判定三角形全等
【基础达标】
1如图,若OA=OC,OB=OD,CD=AB,则 ( )
A.△AOB≌△DOC
B.△AOB≌△DCO
C.△AOB≌△COD
D.△AOB≌△CDO
2在生活中,我们经常会看见如图所示的情况,在电线杆上拉两条钢筋,来加固电线杆,这是利用了三角形的 ( )
A.稳定性 B.灵活性
C.对称性 D.全等性
3用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如图所示,则说明∠A'O'B'=∠AOB的依据是 ( )
A.SSS B.SAS
C.ASA D.以上都不是
4如图,在△AEC与△ADB中,AE=AD,AC=AB,EC=BD,∠E=60°,则∠D= .
5如图,已知AB=DC,AC=DB.求证:∠A=∠D.
6如图,已知△ABC.按如下步骤作图:①以A为圆心,AB长为半径画弧;②以C为圆心,CB长为半径画弧,两弧相交于点D;③连接BD,与AC交于点E,连接AD,CD.
求证:△ABC≌△ADC.
【能力巩固】
7如图,已知AB=AD,则需要条件 ,可得△ABC≌△ADC.
8如图,工人师傅要检查“人”字梁的∠B和∠C是否相等,但他手边没有量角器,只有一个刻度尺.他是这样操作的:①分别在BA和CA上取BE=CG;②在BC上取BD=CF;③量出DE的长为a米,FG的长为b米.如果a=b,那么说明∠B和∠C是相等的.他的这种做法合理吗 为什么
9如图,在△ABC和△BAD中,AD=CB,AC=BD,∠DBA=72°,∠CBA=36°.求证:AD是∠CAB的平分线.
10如图,已知BC=DE,BE=DC.求证:(1)BC∥DE;(2)∠A=∠ADE.
【素养拓展】
11如图,在平面直角坐标系中,A(-1,3),B(-3,-2),C(3,-2),D(5,3),AB=CD,点E、F分别在AB、CD上,试判断∠BEF和∠DFE的大小关系并说明理由(提示:连接BD,先证明AB∥CD).
参考答案
基础达标作业
1.C 2.A 3.A
4.60°
5.证明:由AB=DC,AC=DB,BC=CB,得△ABC≌△DCB,
∴∠A=∠D.
6.证明:在△ABC与△ADC中,
∴△ABC≌△ADC(SSS).
能力巩固作业
7.(答案不唯一)如BC=CD,或∠BAC=∠DAC
8.解:合理.因为他这样做相当于是利用“SSS”证明了△BED≌△CGF,
所以可得∠B=∠C.
9.证明:在△ABC和△BAD中,
∵
∴△ABC≌△BAD(SSS),
∴∠CAB=∠DBA,∠DAB=∠CBA.
∵∠DBA=72°,∠CBA=36°,
∴∠CAB=72°,∠DAB=36°,
∴∠CAB=2∠DAB.
∴AD是∠CAB的平分线.
10.证明:(1)如图,连接BD.
∵BC=DE,BD=DB,BE=DC,
∴△BCD≌△DEB,
∴∠CBD=∠EDB,
∴BC∥DE.
(2)由(1)的结论BC∥DE可得∠A=∠ADE.
素养拓展作业
11.解:∠BEF=DFE.理由如下:连接BD(图略).∵A(-1,3),D(5,3),∴AD=6.∵B(-3,-2),C(3,-2),∴BC=6,∴AD=BC.在△ABD和△CDB中,∵AB=CD,AD=CB,BD=DB,∴△ABD≌△CDB(SSS),∴∠ABD=∠CDB,则AB∥CD,∴∠BEF=∠DFE.第6课时 三角形全等的判定综合
【基础达标】
1如图,AB=AD,CB=CD,∠BCD=104°,则∠ACD的度数是 ( )
A.120°
B.125°
C.127°
D.128°
2如图,在△ABC和△CDE中,B,C,E三点在同一条直线上,∠B=∠E,∠BAC=∠ECD,AC=CD,若AB=2,BE=6,则DE的长为 ( )
A.8
B.6
C.4
D.2
3如图,在四边形ABCD中,E,F是对角线BD上的两点,AB=CD,∠ABE=∠CDF,若添加一个条件,使△ABE≌△CDF,则添加的条件不能为 ( )
A.BE=DF
B.BF=DE
C.AE=CF
D.∠1=∠2
4如图,BE与CD相交于点A,AB=AE,AD=AC,DE=6 cm,则BC= cm.
5如图,D,E是△ABC边上的两点,AB=AC,请你再加一个条件,使△ABE≌△ACD,并写出判定的理由.
(1)添加条件: ,判定理由: ;
(2)添加条件: ,判定理由: ;
(3)添加条件: ,判定理由: .
6如图,在AB,AC上各取一点E,D,使AE=AD,连接BD、CE相交于点O,连接AO,∠1=∠2.求证:∠B=∠C.
【能力巩固】
7如图,已知AB=AC,PB=PC,给出下面结论:(1)EB=EC;(2)AD⊥BC;(3)AE平分∠BEC;(4)∠PBC=∠PCB.其中正确的有 ( )
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
8如图,已知∠BAC=∠DAE,∠ABD=∠ACE,BD=CE.求证:AD=AE.
9如图,△ABC是一个钢架,AB=AC,AD是连接点A、中点D的支架,问AD是否垂直于BC 若垂直,请说明理由.
10如图,AC交BD于点O,AB=DC,∠A=∠D.
(1)请写出符合上述条件的五个结论(不添加辅助线,对顶角除外).
(2)从你写出的五个结论中,任选一个加以证明.
【素养拓展】
11如图,AD平分∠BAC,EG⊥AD于点H,则下列等式中成立的是 ( )
A.∠α=(∠β+∠γ)
B.∠α=(∠β-∠γ)
C.∠G=(∠β+∠γ)
D.∠G=∠α
12如图,在等腰△ABE与等腰△ACF中,AB=AE,AC=AF且∠B=∠ACF.连接CE、FE,且点E恰好落在线段BC上,EF交AC于点G.
(1)求证:BC=EF.
(2)若∠B=72°,∠ACB=35°,求∠CGF的度数.
参考答案
基础达标作业
1.D 2.C 3.C
4.6
5.(1)AE=AD SAS
(2)∠ABE=∠ACD ASA
(3)∠AEB=∠ADC AAS
6.证明:在△AEO与△ADO中,
AE=AD,∠2=∠1,AO=AO,
∴△AEO≌△ADO(SAS),∴∠AEO=∠ADO.
又∵∠AEO=∠EOB+∠B,∠ADO=∠DOC+∠C,∠EOB=∠DOC,∴∠B=∠C.
能力巩固作业
7.D
8.证明:∵∠BAC=∠DAE,
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC,即∠BAD=∠CAE.
在△ABD和△ACE中,
∵BD=CE,∠ABD=∠ACE,∠BAD=∠CAE,
∴△ABD≌△ACE(AAS),∴AD=AE.
9.解:AD⊥BC.理由如下:∵D是BC的中点,∴BD=CD.在△ABD与△ACD中,∴△ABD≌△ACD(SSS),
∴∠ADB=∠ADC.∵∠ADB+∠ADC=180°,
∴∠ADB=90°,∴AD⊥BC.
10.解:(1)OA=OD,OB=OC,∠ACB=∠DBC,∠ABC=∠DCB,AC=DB等.
(2)由∠A=∠D,∠AOB=∠COD,AB=DC,可知△AOB≌△DOC(AAS),则OA=OD,OB=OC等.(答案不唯一)
素养拓展作业
11.A
12.解:(1)证明:∵AB=AE,AC=AF,
∴∠B=∠AEB,∠ACF=∠AFC,
∴∠BAE=180°-2∠B,∠CAF=180°-2∠ACF.
∵∠B=∠ACF,∴∠BAE=∠CAF,
∴∠BAE+∠EAC=∠EAC+∠CAF,
即∠BAC=∠EAF.
在△ABC和△AEF中,
,
∴△ABC≌△AEF(SAS),
∴BC=EF.
(2)由(1)得,△ABC≌△AEF,∴∠B=∠AEF.
∵∠B=72°,∴∠B=∠AEB=∠AEF=72°,
∴∠GEC=180°-∠AEB-∠AEF=180°-72°-72°=36°.
∵∠ACB=35°,∴∠CGF=∠GEC+∠ACB=71°.
