2009年深圳市高三年级第一次调研考试数学（理科）

绝密★启用前 试卷类型：A
2009年深圳市高三年级第一次调研考试
数学（理科） 2009.3
本试卷共6页，21小题，满分150分。考试用时120分钟。
注意事项：
1．答卷前，考生首先检查答题卡是否整洁无缺损，监考教师分发的考生信息条形码是否正确；之后务必用0.5毫米黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校、姓名和考生号，同时，将监考教师发放的条形码正向准确粘贴在答题卡的贴条形码区，请保持条形码整洁、不污损。
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上。不按要求填涂的，答案无效。
3．非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上，请注意每题答题空间，预先合理安排；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。
4．作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再做答。漏涂、错涂、多涂的答案无效。
5．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡交回。
参考公式：
如果事件互斥，那么；
如果事件相互独立，那么；
椭圆的准线方程为，其中；
若球的半径为，则球的表面积为，体积为．
一、选择题：本大题共8个小题；每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．
1．如果复数的实部与虚部互为相反数，则的值等于
A． B． C． D．
2．右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是
A．
B．
C．
D．
3．若函数的图象如右图，其中为常数．则函数的大致图象是

A． B． C． D．
4．设平面区域是由双曲线的两条渐近线和椭圆的右准线所围成三角形的边界及内部．若点，则目标函数的最大值为
A． B． C． D．
5．定义行列式运算：将函数的图象向左平移个单位，若所得图象对应的函数为偶函数，则的最小值是
A． B． C． D．
6．利用计算机在区间上产生两个随机数和，则方程有实根的概率为
A． B． C． D．
7．在右图的表格中，如果每格填上一个数后，每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，那么的值为
A． B．
C． D．
8．用红、黄、蓝三种颜色之一去涂图中标号为的个小正方形（如右图），使得任意相邻（有公共边的）小正方形所涂颜色都不相同，且标号为“、、”的小正方形涂相同的颜色，则符合条件的所有涂法共有
A．种 B．种
C．种 D．种
二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，满分30分．本大题分为必做题和选做题两部分．
（一）必做题：第9、10、11、12题为必做题，每道试题考生都必须做答
9．某大型超市销售的乳类商品有四种：纯奶、酸奶、婴幼儿奶粉、成人奶粉，且纯奶、酸奶、婴幼儿奶粉、成人奶粉分别有种、种、种、种不同的品牌．现 采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为的样本进行三聚氰胺安全检测，若抽取的婴幼儿奶粉的品牌数是，则 ．
10．已知为正偶数，且的展开式中第项的二项式系数最大，则第项的系数是 ．（用数字作答）
11．已知命题，．若命题是假命题，则实数的取值范围是 ．
12．已知是的中线，，那么 ；若，，则的最小值是 ．
（二）选做题：第13、14、15题为选做题，考生只能选做两题，三题全答的，只计算前两题的得分．
13．（坐标系与参数方程选做题）在直角坐标系中，曲线的参数方程为，以轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线在极坐标系中的方程为．若曲线与有两个不同的交点，则实数的取值范围是 ．
14．（几何证明选讲选做题）如图，切⊙于点，交⊙于、两点，且与直径交于点，，，，则 ．
15．（不等式选讲选做题）若不等式，对满足的一切实数、、恒成立，则实数的取值范围是 ．
三、解答题：本大题6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
16．（本小题满分12分）
已知函数．
（Ⅰ）求的最小正周期；
（Ⅱ）设，求的值域和单调递增区间．
17．（本小题满分12分）
如图，为圆的直径，点、在圆上，，矩形所在平面和圆所在的平面互相垂直．已知，．
（Ⅰ）求证：平面平面；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的大小；
（Ⅲ）当的长为何值时，二面角的大小为？
18．（本小题满分14分）
甲乙两人进行围棋比赛，约定每局胜者得1分，负者得分（无平局），比赛进行到有一人比对方多分或打满局时停止．设甲在每局中获胜的概率为，且各局胜负相互独立．已知第二局比赛结束时比赛停止的概率为．
（Ⅰ）若右图为统计这次比赛的局数和甲、乙的总得分数、的程序框图．其中如果甲获胜，输入，；如果乙获胜，则输入．请问在第一、第二两个判断框中应分别填写什么条件？
（Ⅱ）求的值；
（Ⅲ）设表示比赛停止时已比赛的局数，求随机变量的分布列和数学期望．
注：“”，即为“”或为“”．
19．（本题满分14分）
已知函数（，）．
（Ⅰ）求函数的单调递增区间；
（Ⅱ）若不等式对一切正整数恒成立，求实数的取值范围．
20．（本题满分14分）
在四边形中，已知，点在轴上， ，且对角线．
（Ⅰ)求点的轨迹方程；
（Ⅱ)若点是直线上任意一点，过点作点的轨迹的两切线、，、为切点，为的中点．求证：轴；
（Ⅲ）在(Ⅱ)的条件下，直线是否恒过一定点？若是，请求出这个定点的坐标；若不是，请说明理由．
21．（本题满分14分）
已知函数，为函数的导函数．
（Ⅰ）若数列满足：，（），求数列的通项；
（Ⅱ）若数列满足：，（）．
（ⅰ）当时，数列是否为等差数列？若是，请求出数列的通项；若不是，请说明理由；
（ⅱ）当时，求证：．
2009年深圳市高三年级第一次调研考试
数学(理科)答案及评分标准
说明：
一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．
二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分数．
一、选择题：本大题每小题5分，满分40分．
1
2
3
4
5
6
7
8
D
C
D
C
A
B
B
A
二、填空题：本大题每小题5分(第12题前空2分，后空3分)，满分30分．
9．． 10．． 11． ． 12． ； ．
13．． 14． ． 15．．
三、解答题：本大题6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
16．（本小题满分12分）
已知函数．21世纪教育网
（Ⅰ）求的最小正周期；
（Ⅱ）设，求的值域和单调递增区间．学科
网【解】（Ⅰ）∵21世纪教育网
. 　 　　　　　 …………………… 3分
的最小正周期为． ………………… 5分
（Ⅱ）∵， ， ．
的值域为． 　 　 ……………… 10分
当递减时，递增．　　　　　　　　　　　　
，即．
故的递增区间为． 　 　 ……………………12分
17．（本小题满分12分）
如图，为圆的直径，点、在圆上，，矩形和圆所在的平面互相垂直．已知,．
（Ⅰ）求证：平面平面；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的大小；
(Ⅲ)当的长为何值时，二面角的大小为？
【解】（Ⅰ）证明：平面平面,,
平面平面=，
平面．
平面，，
又为圆的直径，，
平面．
平面，平面平面． …………4分
（Ⅱ）根据（Ⅰ）的证明，有平面，为在
平面上的射影，
因此，为直线与平面所成的角． ………………………5分
，四边形为等腰梯形，
过点作，交于．
,，则．
在中，根据射影定理，得． …………7分
，．
直线与平面所成角的大小为． …………8分
(Ⅲ)设中点为，以为坐标原点，、、方向分别为轴、轴、轴方向建立空间直角坐标系（如图）设，则点的坐标为
设平面的法向量为，则,．
即 令，解得
………………10分
取平面的一个法向量为，依题意与的夹角为
，即， 解得（负值舍去）
因此，当的长为时，二面角的大小为．………12分
18．（本小题满分14分）
甲乙两人进行围棋比赛，约定每局胜者得1分，
负者得分，比赛进行到有一人比对方多分或打满
局时停止．设甲在每局中获胜的概率为，
且各局胜负相互独立．已知第二局比赛结束时比赛
停止的概率为．
若右图为统计这次比赛的局数和甲、乙的总得
分数、的程序框图．其中如果甲获胜，输入，
；如果乙获胜，则输入．
（Ⅰ）在右图中，第一、第二两个判断框应分别填
写什么条件？
（Ⅱ）求的值；
（Ⅲ）设表示比赛停止时已比赛的局数，求随机变量
的分布列和数学期望． 　　　
18.【解】（Ⅰ）程序框图中的第一个条件框应填，第二个应填． ……… 4分
注意：答案不唯一．
如：第一个条件框填，第二个条件框填，或者第一、第二条件互换．都可以．
（Ⅱ）依题意，当甲连胜局或乙连胜局时，第二局比赛结束时比赛结束．
有．
解得或． ………………………6分
， ． ………… 7分
（Ⅲ）依题意知，依题意知，的所有可能值为2，4，6． ………… 8分
设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛停止的概率为．
若该轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各得一分，此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响．
从而有，　， ．
随机变量的分布列为： ………… 12分
2
4
6
P
故． ……………… 14分
19．（本题满分14分）
已知函数（，）．
（Ⅰ）求函数的单调区间；
（Ⅱ）若不等式对一切正整数恒成立，求实数的取值范围．
【解】（Ⅰ） ………………… 2分
，
由，得．
，，．
又．
函数的单调递增区间为,递减区间为． ………… 6分
（Ⅱ）【法一】不等式，即为．……………（※）
令，当时，．
则不等式（※）即为． …………………9分
令，，
在的表达式中，当时，，
又时，，
在单调递增，在单调递减．
在时，取得最大，最大值为． …………………12分
因此，对一切正整数，当时，取得最大值．
实数的取值范围是． ………………………… 14分
【法二】不等式，即为．………………（※）
设，
，
令，得或． ………………………… 10分
当时，，当时，．
当时，取得最大值．
因此，实数的取值范围是． ………………………… 14分
20．（本题满分14分）
在四边形中，已知，点在轴上， ，且对角线．
（Ⅰ) 求点的轨迹的方程；
(Ⅱ)若点是直线上任意一点，过点作点的轨迹的两切线、，、为切点，为的中点．求证：轴或与轴重合；
(Ⅲ) 在(Ⅱ)的条件下，直线是否恒过一定点？若是，请求出这个定点的坐标；若不是，请说明理由．
【解】（Ⅰ)如图，设点的坐标为，
则，
，，即．
∴所求的轨迹是除去顶点的抛物线 ……………… 3分
（解法一）(Ⅱ)对函数求导得，．
设切点坐标为，则过该切点的切线的斜率是，该切线方程是．
又设点的坐标为，
切线过点，有，
化简，得． …………………………6分
设、两点的坐标分别为、，则、为方程的两根，
．
因此，当时，直线与轴重合，当时，直线与轴平行 …………9分
(Ⅲ) ．
点的坐标为．
又．
直线的方程为：，即．………（）
当时，方程（）恒成立，
对任意实数，直线恒过定点，定点坐标为． …………………………14分
（解法二）(Ⅱ)设点的坐标为，利用切点弦直线方程的结论可得出直线的方程为，即 …………………………7分
由 得.
．
.
因此，当时，直线与轴重合，当时，直线与轴平行. ……………9分
(Ⅲ) 由(Ⅱ)得知直线的方程为，即．
后面解法同解法一.
21．（本题满分14分）
已知函数，为函数的导函数．
（Ⅰ）若数列满足：，（），求数列的通项；
（Ⅱ）若数列满足：，（）．
（ⅰ）当时，数列是否为等差数列？若是，请求出数列的通项；若不是，请说明理由；
（ⅱ）当时， 求证：．
【解】（Ⅰ）， …………………………1分
，
即． …………………………3分
， 数列是首项为，公比为的等比数列．
，即． …………………………5分
（Ⅱ）（ⅰ），
．
当时，．
假设，则．
由数学归纳法，得出数列为常数数列，是等差数列，其通项为． …………8分
（ⅱ）， ．
当时，．
假设，则 ．
由数学归纳法，得出数列． …………………………10分
又，
，
即． …………………………12分
．
，
． 　 …………………………14分