人教A版数学(选择性必修三讲义)第07讲第六章计数原理章节验收测评卷(学生版+解析)
文档属性
| 名称 | 人教A版数学(选择性必修三讲义)第07讲第六章计数原理章节验收测评卷(学生版+解析) |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.3MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-11-11 09:01:47 | ||
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文档简介
第07讲 第六章 计数原理 章节验收测评卷
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．（2024上·吉林·高二长春市第二实验中学校联考期末）（ ）
A．110 B．98 C．124 D．148
2．（2024上·甘肃白银·高二校考期末）从4名男生与3名女生中选两人去参加一场数学竞赛，则男女各一人的不同的选派方法数为（ ）
A．7 B．12 C．18 D．24
3．（2024上·全国·高三专题练习）在的展开式中，含的项的系数为（ ）
A．12 B．－12 C．－2 D．2
4．（2024·四川内江·统考一模）中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱.假设中国空间站要安排甲、乙、丙、丁、戊5名航天员开展实验，其中天和核心舱安排3人，问天实验舱与梦天实验舱各安排1人.若甲、乙两人不能同时在一个舱内做实验，则不同的安排方案共有（ ）
A．8种 B．14种 C．20种 D．16种
5．（2024上·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习）二项式的展开式中常数项为（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·全国·高三专题练习）如图所示，将四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，如果只有4种颜色可供使用，则不同的染色方法种数为（ ）
A．120 B．96 C．72 D．48
7．（2024上·山东潍坊·高二昌乐二中校考期末）则（ ）
A．0 B．1 C．2 D．
8．（2024下·全国·高二随堂练习）某中学进行数学竞赛选拔考试，，，，，共5名同学参加比赛，决出第1名到第5名的名次.和去向教练询问比赛结果，教练对说：“你和都没有得到冠军．”对说：“你不是最后一名.”从这两个回答分析，5人的名次排列方式共有（ ）
A．54种 B．72种 C．96种 D．120种
二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
9．（2023下·山西运城·高二统考期中）若，则的值可以是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
10．（2023上·广东佛山·高三校考阶段练习）若，其中为实数，则（ ）
A． B．
C． D．
11．（2023下·重庆·高二校考期中）“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现．如图所示，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，例如第4行的6为第3行中两个3的和．则下列命题中正确的是（ ）
A．在“杨辉三角”第9行中，从左到右第7个数是84
B．由“第行所有数之和为”猜想：
C．在“杨辉三角”中，当时，从第1行起，每一行的第2列的数字之和为66
D．在“杨辉三角”中，第3行所有数字的平方和恰好是第6行的中间一项的数字
12．（2023上·福建泉州·高三福建省泉州市培元中学校考阶段练习）某人设计一项单人游戏，规则如下：先将一棋子放在如图所示正方形（边长为2个单位）的顶点处，然后通过掷骰子来确定棋子沿正方形的边按逆时针方向行走的单位，如果掷出的点数为，则棋子就按逆时针方向行走个单位，一直循环下去．某人抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点处，则（ ）
A．三次骰子后所走的步数可以是12 B．三次骰子的点数之和只可能有两种结果
C．三次股子的点数之和超过10的走法有6种 D．回到点处的所有不同走法共有27种
三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分，其中第16题第一空2分，第二空3分.）
13．（2023下·上海长宁·高二上海市延安中学校考期末）已知正方形ABCD的中心为点O，以A、B、C、D、O中三个点为顶点的三角形共有 个.
14．（2023上·湖北武汉·高二武汉市东湖中学校考期中）已知，且能被17整除，则的取值可以是 .（写出一个满足题意的即可）
15．（2023上·河南驻马店·高二校联考期末）已知，则关于的方程有实数解的有序数对的个数为 .
16．（2023下·北京·高二人大附中校考期中）二进制数是用0和1表示的数，它的基数为2，进位规则是“逢二进一”，借位规则是“借一当二”，二制数对应的十进制数记为，即，其中，，则在，，，…，中恰好有2个0的所有二进制数对应的十进制数的总和为 （用数字作答）
将五个数20、23、2、0、3任意次序排成一行，拼成一个7位数，则能产生不同的7位数的个数是 （用数字作答）
四、解答题（本题共6小题，共70分，其中第17题10分，其它每题12分，解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.）
17．（2023上·山东德州·高二校考阶段练习）（1）解关于x的不等式．
（2）求等式中的n值．
18．（2023下·新疆乌鲁木齐·高二乌鲁木齐市第六十八中学校考期中）男运动员6名，女运动员4名，其中男、女队长各1名.现选派 5人外出参加比赛.
(1)队长中至少有1人参加，有多少种选派方法
(2)参赛的运动员需要分坐在两辆车上(每辆车上至少有一名运动员)，有多少种安排方式
19．（2023下·重庆荣昌·高二重庆市荣昌中学校校考阶段练习）已知，求下列各式的值：
(1)；
(2)；
(3).
20．（2023上·黑龙江鸡西·高二密山市第一中学校联考期末）已知的展开式中，前三项系数的绝对值依次成等差数列，
(1)求展开式中二项式系数最大的项；
(2)求展开式中所有的有理项.
21．（2023上·辽宁沈阳·高二沈阳市第一二〇中学校考阶段练习）（1）6名同学（简记为，，，，，）到甲、乙、丙三个场馆做志愿者.
（i）一天上午有16个相同的口罩全部发给这6名同学，每名同学至少发两个口罩，则不同的发放方法种数？
（ii）每名同学只去一个场馆，每个场馆至少要去一名，且、两人约定去同一个场馆，、不想去一个场馆，则满足同学要求的不同的安排方法种数？
（2）某校选派4名干部到两个街道服务，每人只能去一个街道，每个街道至少1人，有多少种方法？（结果用数字表示）
（3）如图，某水果店门前用3根绳子挂了6串香蕉，从左往右的串数依次为1，2，3.到了晚上，水果店老板要收摊了，假设每次只取1串（挂在一列的只能先收下面的），则将这些香蕉都取完的不同取法种数？（结果用数字表示）
22．（2023下·江苏宿迁·高二统考期中）已知①展开式中的所有项的系数之和与二项式系数之和的比为；②展开式中的前三项的二项式系数之和为16，在这两个条件中任选一个条件，补充在下面问题中的横线上，并完成解答．
问题：已知二项式，________．
(1)求展开式中的二项式系数最大的项；
(2)求展开式中的系数最大的项．
注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分．21世纪教育网(www.21cnjy.com)
第07讲 第六章 计数原理 章节验收测评卷
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．（2024上·吉林·高二长春市第二实验中学校联考期末）（ ）
A．110 B．98 C．124 D．148
【答案】A
【详解】.
故选：A.
2．（2024上·甘肃白银·高二校考期末）从4名男生与3名女生中选两人去参加一场数学竞赛，则男女各一人的不同的选派方法数为（ ）
A．7 B．12 C．18 D．24
【答案】B
【详解】从4名男生与3名女生中选两人，其中男女各一人，
由分步计数原理，可得不同的选派方法数为种.
故选：B.
3．（2024上·全国·高三专题练习）在的展开式中，含的项的系数为（ ）
A．12 B．－12 C．－2 D．2
【答案】B
【详解】，
令得，
∴．
故选：B
4．（2024·四川内江·统考一模）中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱.假设中国空间站要安排甲、乙、丙、丁、戊5名航天员开展实验，其中天和核心舱安排3人，问天实验舱与梦天实验舱各安排1人.若甲、乙两人不能同时在一个舱内做实验，则不同的安排方案共有（ ）
A．8种 B．14种 C．20种 D．16种
【答案】B
【详解】第一类，甲、乙都不在天和核心舱共有种；
第二类，甲、乙恰好有一人在天和核心舱，先排天和核心舱有种，
然后排问天实验舱与梦天实验舱有种，
所以，甲、乙恰好有一人在天和核心舱共有种.
综上，甲、乙两人不能同时在一个舱内做实验共有种.
故选：B
5．（2024上·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习）二项式的展开式中常数项为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】二项式的通项公式为，
令，所以常数项为，
故选：A
6．（2024·全国·高三专题练习）如图所示，将四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，如果只有4种颜色可供使用，则不同的染色方法种数为（ ）
A．120 B．96 C．72 D．48
【答案】C
【详解】由题意知，与任意一点均不同色.
只用3种颜色，即同色，且同色，此时不同染色方法的种数为；
用4种颜色，此时可能同色，而不同色或同色，而不同色.
若同色，而不同色，此时不同染色方法的种数为；
若同色，而不同色，此时不同染色方法的种数为.
根据分类加法计数原理可得，不同染色方法的种数为.
故选：C.
7．（2024上·山东潍坊·高二昌乐二中校考期末）则（ ）
A．0 B．1 C．2 D．
【答案】B
【详解】令，可得，令，可得，
故，即，
故选：B
8．（2024下·全国·高二随堂练习）某中学进行数学竞赛选拔考试，，，，，共5名同学参加比赛，决出第1名到第5名的名次.和去向教练询问比赛结果，教练对说：“你和都没有得到冠军．”对说：“你不是最后一名.”从这两个回答分析，5人的名次排列方式共有（ ）
A．54种 B．72种 C．96种 D．120种
【答案】A
【详解】根据题意可知和都没有得到冠军，且不是最后一名，分两种情况：
①是最后一名，则可以为第二、三、四名，即有3种情况，剩下的三人安排在其他三个名次，
有种情况，此时有种名次排列情况；
②不是最后一名，，需要排在第二、三、四名，有种情况，剩下的三人安排在其他三个名次，有种情况，此时有种名次排列情况，则5人的名次排列方式共有种.
故选A．
二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
9．（2023下·山西运城·高二统考期中）若，则的值可以是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】BC
【详解】因为，所以或，解得或8.
故选：BC
10．（2023上·广东佛山·高三校考阶段练习）若，其中为实数，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【详解】令可得，A正确.
，其展开式的第三项是，所以，B不正确.
令可得，所以，D不正确.
令可得，与相减可得，C正确.
故选：AC
11．（2023下·重庆·高二校考期中）“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现．如图所示，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，例如第4行的6为第3行中两个3的和．则下列命题中正确的是（ ）
A．在“杨辉三角”第9行中，从左到右第7个数是84
B．由“第行所有数之和为”猜想：
C．在“杨辉三角”中，当时，从第1行起，每一行的第2列的数字之和为66
D．在“杨辉三角”中，第3行所有数字的平方和恰好是第6行的中间一项的数字
【答案】ABD
【详解】杨辉三角对应的是展开式的二项式系数，
A选项，对于，从左到右第7个数是，A选项正确.
B选项，展开式的二项式系数和，B选项正确.
C选项，当时，，
所以C选项错误.
D选项，第3行所有数字的平方和为，
展开式中间一项的二项式系数为，所以D选项正确.
故选：ABD
12．（2023上·福建泉州·高三福建省泉州市培元中学校考阶段练习）某人设计一项单人游戏，规则如下：先将一棋子放在如图所示正方形（边长为2个单位）的顶点处，然后通过掷骰子来确定棋子沿正方形的边按逆时针方向行走的单位，如果掷出的点数为，则棋子就按逆时针方向行走个单位，一直循环下去．某人抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点处，则（ ）
A．三次骰子后所走的步数可以是12 B．三次骰子的点数之和只可能有两种结果
C．三次股子的点数之和超过10的走法有6种 D．回到点处的所有不同走法共有27种
【答案】BCD
【详解】A、B：由题意知正方形（边长为2个单位）的周长是8，抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点A处的表示三次骰子的点数之和是，故A错误，B正确；
C、D：列举出在点数中三个数字能够使得和为的有，
共有7种组合，前2种组合，每种情况可以排列出种结果，共有种结果；各有3种结果，共有种结果，其中点数之和超过10的走法为，共有种，故C正确；根据分类计数原理知共有种结果，故D正确；
故选：BCD
三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分，其中第16题第一空2分，第二空3分.）
13．（2023下·上海长宁·高二上海市延安中学校考期末）已知正方形ABCD的中心为点O，以A、B、C、D、O中三个点为顶点的三角形共有 个.
【答案】8
【详解】根据题意，如图：
在A、B、C、D、O中，任取3个点，有种取法，
其中不能构成三角形的有AOC和BOD两种取法，
则以A、B、C、D、O中三个点为顶点的三角形共有个．
故答案为：8．
14．（2023上·湖北武汉·高二武汉市东湖中学校考期中）已知，且能被17整除，则的取值可以是 .（写出一个满足题意的即可）
【答案】1（答案不唯一）
【详解】，
要使能被17整除，则能被17整除即可，
则，故可取，
故答案为：
15．（2023上·河南驻马店·高二校联考期末）已知，则关于的方程有实数解的有序数对的个数为 .
【答案】12
【详解】①当时，取范围内任一实数均有实数解，此时有4对；
②当时，有解则满足，即，
当时，可取的值有、0、2、3，
当时，可取的值有、0，
当时，可取的值有、0，
共有12对.
故答案为：12.
16．（2023下·北京·高二人大附中校考期中）二进制数是用0和1表示的数，它的基数为2，进位规则是“逢二进一”，借位规则是“借一当二”，二制数对应的十进制数记为，即，其中，，则在，，，…，中恰好有2个0的所有二进制数对应的十进制数的总和为 （用数字作答）
将五个数20、23、2、0、3任意次序排成一行，拼成一个7位数，则能产生不同的7位数的个数是 （用数字作答）
【答案】 506 75
【详解】根据题意得 ，
因为在中恰好有2个0的有种可能，
即所有符合条件的二进制数 的个数为10．
所以所有二进制数对应的十进制数的和中，
出现次，，…，，均出现次，
所以满足中恰好有2个0的所有二进制数对应的十进制数的和为
.
先选择一个非0数排在首位，剩余数全排列，共有种，
其中2和0排在一起形成20和原来的20有重复，
考虑2和0相邻时，且2在0的左边，共有种排法，
其中一半是重复的，故此时有12种重复.
其中2和3排在一起形成23和原来的23有重复，
考虑2和3相邻时，且2在3的左边，共有种排法，
其中一半是重复的，故此时有9种重复.
故共有种.
故答案为：506；75．
四、解答题（本题共6小题，共70分，其中第17题10分，其它每题12分，解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.）
17．（2023上·山东德州·高二校考阶段练习）（1）解关于x的不等式．
（2）求等式中的n值．
【答案】（1）；（2）.
【详解】（1）由，得，，
于是，整理得，解得，
所以.
（2）原方程变形为，即，显然，
因此，
化简整理，得，而，解得，
所以.
18．（2023下·新疆乌鲁木齐·高二乌鲁木齐市第六十八中学校考期中）男运动员6名，女运动员4名，其中男、女队长各1名.现选派 5人外出参加比赛.
(1)队长中至少有1人参加，有多少种选派方法
(2)参赛的运动员需要分坐在两辆车上(每辆车上至少有一名运动员)，有多少种安排方式
【答案】(1)196
(2)7560
【详解】（1）由题意，
男运动员6名，女运动员4名，其中男、女队长各1名.选派 5人，
若没有队长，则有种选派方法，
若随机选择，则有种选派方法，
∴队长中至少有1人参加，有种方法.
（2）由题意，
男运动员6名，女运动员4名，选派 5人外出参加比赛，分坐在两辆车，
∴选择的人是随机的，有种情况，
若人坐同一个车中，有种情况，
若人随机坐，有种情况，
∴从人中选5人，且坐在辆不同的车中，有种情况.
19．（2023下·重庆荣昌·高二重庆市荣昌中学校校考阶段练习）已知，求下列各式的值：
(1)；
(2)；
(3).
【答案】(1)－2
(2)1093
(3)2187
【详解】（1）当时，；
当时，；
故；
（2）当时，；
由（1）知，
所以；
（3）由展开式可知均为负值，均为正值，
结合（1）（2）可知，
故
.
20．（2023上·黑龙江鸡西·高二密山市第一中学校联考期末）已知的展开式中，前三项系数的绝对值依次成等差数列，
(1)求展开式中二项式系数最大的项；
(2)求展开式中所有的有理项.
【答案】(1)；
(2)，，.
【详解】（1）展开式中第项为，
所以前三项系数的绝对值依次为，
依题意有，，即，
整理得，解得（舍去）或.
由二项式系数的性质可知，展开式中第5项的二项式系数最大，
即.
（2）由（1）知，，
又，由可得，
故展开式中的有理项为：
，，.
21．（2023上·辽宁沈阳·高二沈阳市第一二〇中学校考阶段练习）（1）6名同学（简记为，，，，，）到甲、乙、丙三个场馆做志愿者.
（i）一天上午有16个相同的口罩全部发给这6名同学，每名同学至少发两个口罩，则不同的发放方法种数？
（ii）每名同学只去一个场馆，每个场馆至少要去一名，且、两人约定去同一个场馆，、不想去一个场馆，则满足同学要求的不同的安排方法种数？
（2）某校选派4名干部到两个街道服务，每人只能去一个街道，每个街道至少1人，有多少种方法？（结果用数字表示）
（3）如图，某水果店门前用3根绳子挂了6串香蕉，从左往右的串数依次为1，2，3.到了晚上，水果店老板要收摊了，假设每次只取1串（挂在一列的只能先收下面的），则将这些香蕉都取完的不同取法种数？（结果用数字表示）
【答案】（1）（i）126；（ii）114；（2）14；（3）60
【详解】（1）（i）16个相同的口罩，每位同学先拿一个，剩下的10个口罩排成一排有9个间隙，
插入5块板子分成6份，每一种分法所得6份给到6个人即可，
所以不同的发放方法种；
（ii）把，视为一人，相当于把5个人先分成三组，再分配给三个场馆，
分组方法有两类：第一类1，1，3，去掉，在一组的情况，有种分组方法，
再分配给三个场馆，有种方法，
第二类1，2，2，去掉，在一组的情况，有种分组方法，
再分配给三个场馆，有种方法，
所以不同的安排方法有种方法；
（2）把4名干部按分成两组，有种分组方法，
按分成两组，有种分组方法，
所以4名干部按要求分到两个街道的不同方法数是（种）；
（3）依题意，6串香蕉任意收取有种方法，
其中中间一列按从下往上有1种，占，
最右一列按从下往上只有1种，占，
所以不同取法数是（种）.
22．（2023下·江苏宿迁·高二统考期中）已知①展开式中的所有项的系数之和与二项式系数之和的比为；②展开式中的前三项的二项式系数之和为16，在这两个条件中任选一个条件，补充在下面问题中的横线上，并完成解答．
问题：已知二项式，________．
(1)求展开式中的二项式系数最大的项；
(2)求展开式中的系数最大的项．
注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分．
【答案】(1)，
(2)
【详解】（1）选①：令得所有项的系数和为，又二项式系数和为，所以，
解得：.
选②：由题意：，化简得：，所以，
所以展开式中的二项式系数最大的项为第三、四项，
因为，
即：，
.
（2）展开式第项为，
由得且，
所以，所以系数最大的项为.
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一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．（2024上·吉林·高二长春市第二实验中学校联考期末）（ ）
A．110 B．98 C．124 D．148
2．（2024上·甘肃白银·高二校考期末）从4名男生与3名女生中选两人去参加一场数学竞赛，则男女各一人的不同的选派方法数为（ ）
A．7 B．12 C．18 D．24
3．（2024上·全国·高三专题练习）在的展开式中，含的项的系数为（ ）
A．12 B．－12 C．－2 D．2
4．（2024·四川内江·统考一模）中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱.假设中国空间站要安排甲、乙、丙、丁、戊5名航天员开展实验，其中天和核心舱安排3人，问天实验舱与梦天实验舱各安排1人.若甲、乙两人不能同时在一个舱内做实验，则不同的安排方案共有（ ）
A．8种 B．14种 C．20种 D．16种
5．（2024上·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习）二项式的展开式中常数项为（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·全国·高三专题练习）如图所示，将四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，如果只有4种颜色可供使用，则不同的染色方法种数为（ ）
A．120 B．96 C．72 D．48
7．（2024上·山东潍坊·高二昌乐二中校考期末）则（ ）
A．0 B．1 C．2 D．
8．（2024下·全国·高二随堂练习）某中学进行数学竞赛选拔考试，，，，，共5名同学参加比赛，决出第1名到第5名的名次.和去向教练询问比赛结果，教练对说：“你和都没有得到冠军．”对说：“你不是最后一名.”从这两个回答分析，5人的名次排列方式共有（ ）
A．54种 B．72种 C．96种 D．120种
二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
9．（2023下·山西运城·高二统考期中）若，则的值可以是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
10．（2023上·广东佛山·高三校考阶段练习）若，其中为实数，则（ ）
A． B．
C． D．
11．（2023下·重庆·高二校考期中）“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现．如图所示，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，例如第4行的6为第3行中两个3的和．则下列命题中正确的是（ ）
A．在“杨辉三角”第9行中，从左到右第7个数是84
B．由“第行所有数之和为”猜想：
C．在“杨辉三角”中，当时，从第1行起，每一行的第2列的数字之和为66
D．在“杨辉三角”中，第3行所有数字的平方和恰好是第6行的中间一项的数字
12．（2023上·福建泉州·高三福建省泉州市培元中学校考阶段练习）某人设计一项单人游戏，规则如下：先将一棋子放在如图所示正方形（边长为2个单位）的顶点处，然后通过掷骰子来确定棋子沿正方形的边按逆时针方向行走的单位，如果掷出的点数为，则棋子就按逆时针方向行走个单位，一直循环下去．某人抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点处，则（ ）
A．三次骰子后所走的步数可以是12 B．三次骰子的点数之和只可能有两种结果
C．三次股子的点数之和超过10的走法有6种 D．回到点处的所有不同走法共有27种
三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分，其中第16题第一空2分，第二空3分.）
13．（2023下·上海长宁·高二上海市延安中学校考期末）已知正方形ABCD的中心为点O，以A、B、C、D、O中三个点为顶点的三角形共有 个.
14．（2023上·湖北武汉·高二武汉市东湖中学校考期中）已知，且能被17整除，则的取值可以是 .（写出一个满足题意的即可）
15．（2023上·河南驻马店·高二校联考期末）已知，则关于的方程有实数解的有序数对的个数为 .
16．（2023下·北京·高二人大附中校考期中）二进制数是用0和1表示的数，它的基数为2，进位规则是“逢二进一”，借位规则是“借一当二”，二制数对应的十进制数记为，即，其中，，则在，，，…，中恰好有2个0的所有二进制数对应的十进制数的总和为 （用数字作答）
将五个数20、23、2、0、3任意次序排成一行，拼成一个7位数，则能产生不同的7位数的个数是 （用数字作答）
四、解答题（本题共6小题，共70分，其中第17题10分，其它每题12分，解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.）
17．（2023上·山东德州·高二校考阶段练习）（1）解关于x的不等式．
（2）求等式中的n值．
18．（2023下·新疆乌鲁木齐·高二乌鲁木齐市第六十八中学校考期中）男运动员6名，女运动员4名，其中男、女队长各1名.现选派 5人外出参加比赛.
(1)队长中至少有1人参加，有多少种选派方法
(2)参赛的运动员需要分坐在两辆车上(每辆车上至少有一名运动员)，有多少种安排方式
19．（2023下·重庆荣昌·高二重庆市荣昌中学校校考阶段练习）已知，求下列各式的值：
(1)；
(2)；
(3).
20．（2023上·黑龙江鸡西·高二密山市第一中学校联考期末）已知的展开式中，前三项系数的绝对值依次成等差数列，
(1)求展开式中二项式系数最大的项；
(2)求展开式中所有的有理项.
21．（2023上·辽宁沈阳·高二沈阳市第一二〇中学校考阶段练习）（1）6名同学（简记为，，，，，）到甲、乙、丙三个场馆做志愿者.
（i）一天上午有16个相同的口罩全部发给这6名同学，每名同学至少发两个口罩，则不同的发放方法种数？
（ii）每名同学只去一个场馆，每个场馆至少要去一名，且、两人约定去同一个场馆，、不想去一个场馆，则满足同学要求的不同的安排方法种数？
（2）某校选派4名干部到两个街道服务，每人只能去一个街道，每个街道至少1人，有多少种方法？（结果用数字表示）
（3）如图，某水果店门前用3根绳子挂了6串香蕉，从左往右的串数依次为1，2，3.到了晚上，水果店老板要收摊了，假设每次只取1串（挂在一列的只能先收下面的），则将这些香蕉都取完的不同取法种数？（结果用数字表示）
22．（2023下·江苏宿迁·高二统考期中）已知①展开式中的所有项的系数之和与二项式系数之和的比为；②展开式中的前三项的二项式系数之和为16，在这两个条件中任选一个条件，补充在下面问题中的横线上，并完成解答．
问题：已知二项式，________．
(1)求展开式中的二项式系数最大的项；
(2)求展开式中的系数最大的项．
注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分．21世纪教育网(www.21cnjy.com)
第07讲 第六章 计数原理 章节验收测评卷
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．（2024上·吉林·高二长春市第二实验中学校联考期末）（ ）
A．110 B．98 C．124 D．148
【答案】A
【详解】.
故选：A.
2．（2024上·甘肃白银·高二校考期末）从4名男生与3名女生中选两人去参加一场数学竞赛，则男女各一人的不同的选派方法数为（ ）
A．7 B．12 C．18 D．24
【答案】B
【详解】从4名男生与3名女生中选两人，其中男女各一人，
由分步计数原理，可得不同的选派方法数为种.
故选：B.
3．（2024上·全国·高三专题练习）在的展开式中，含的项的系数为（ ）
A．12 B．－12 C．－2 D．2
【答案】B
【详解】，
令得，
∴．
故选：B
4．（2024·四川内江·统考一模）中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱.假设中国空间站要安排甲、乙、丙、丁、戊5名航天员开展实验，其中天和核心舱安排3人，问天实验舱与梦天实验舱各安排1人.若甲、乙两人不能同时在一个舱内做实验，则不同的安排方案共有（ ）
A．8种 B．14种 C．20种 D．16种
【答案】B
【详解】第一类，甲、乙都不在天和核心舱共有种；
第二类，甲、乙恰好有一人在天和核心舱，先排天和核心舱有种，
然后排问天实验舱与梦天实验舱有种，
所以，甲、乙恰好有一人在天和核心舱共有种.
综上，甲、乙两人不能同时在一个舱内做实验共有种.
故选：B
5．（2024上·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习）二项式的展开式中常数项为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】二项式的通项公式为，
令，所以常数项为，
故选：A
6．（2024·全国·高三专题练习）如图所示，将四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，如果只有4种颜色可供使用，则不同的染色方法种数为（ ）
A．120 B．96 C．72 D．48
【答案】C
【详解】由题意知，与任意一点均不同色.
只用3种颜色，即同色，且同色，此时不同染色方法的种数为；
用4种颜色，此时可能同色，而不同色或同色，而不同色.
若同色，而不同色，此时不同染色方法的种数为；
若同色，而不同色，此时不同染色方法的种数为.
根据分类加法计数原理可得，不同染色方法的种数为.
故选：C.
7．（2024上·山东潍坊·高二昌乐二中校考期末）则（ ）
A．0 B．1 C．2 D．
【答案】B
【详解】令，可得，令，可得，
故，即，
故选：B
8．（2024下·全国·高二随堂练习）某中学进行数学竞赛选拔考试，，，，，共5名同学参加比赛，决出第1名到第5名的名次.和去向教练询问比赛结果，教练对说：“你和都没有得到冠军．”对说：“你不是最后一名.”从这两个回答分析，5人的名次排列方式共有（ ）
A．54种 B．72种 C．96种 D．120种
【答案】A
【详解】根据题意可知和都没有得到冠军，且不是最后一名，分两种情况：
①是最后一名，则可以为第二、三、四名，即有3种情况，剩下的三人安排在其他三个名次，
有种情况，此时有种名次排列情况；
②不是最后一名，，需要排在第二、三、四名，有种情况，剩下的三人安排在其他三个名次，有种情况，此时有种名次排列情况，则5人的名次排列方式共有种.
故选A．
二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
9．（2023下·山西运城·高二统考期中）若，则的值可以是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】BC
【详解】因为，所以或，解得或8.
故选：BC
10．（2023上·广东佛山·高三校考阶段练习）若，其中为实数，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【详解】令可得，A正确.
，其展开式的第三项是，所以，B不正确.
令可得，所以，D不正确.
令可得，与相减可得，C正确.
故选：AC
11．（2023下·重庆·高二校考期中）“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现．如图所示，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，例如第4行的6为第3行中两个3的和．则下列命题中正确的是（ ）
A．在“杨辉三角”第9行中，从左到右第7个数是84
B．由“第行所有数之和为”猜想：
C．在“杨辉三角”中，当时，从第1行起，每一行的第2列的数字之和为66
D．在“杨辉三角”中，第3行所有数字的平方和恰好是第6行的中间一项的数字
【答案】ABD
【详解】杨辉三角对应的是展开式的二项式系数，
A选项，对于，从左到右第7个数是，A选项正确.
B选项，展开式的二项式系数和，B选项正确.
C选项，当时，，
所以C选项错误.
D选项，第3行所有数字的平方和为，
展开式中间一项的二项式系数为，所以D选项正确.
故选：ABD
12．（2023上·福建泉州·高三福建省泉州市培元中学校考阶段练习）某人设计一项单人游戏，规则如下：先将一棋子放在如图所示正方形（边长为2个单位）的顶点处，然后通过掷骰子来确定棋子沿正方形的边按逆时针方向行走的单位，如果掷出的点数为，则棋子就按逆时针方向行走个单位，一直循环下去．某人抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点处，则（ ）
A．三次骰子后所走的步数可以是12 B．三次骰子的点数之和只可能有两种结果
C．三次股子的点数之和超过10的走法有6种 D．回到点处的所有不同走法共有27种
【答案】BCD
【详解】A、B：由题意知正方形（边长为2个单位）的周长是8，抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点A处的表示三次骰子的点数之和是，故A错误，B正确；
C、D：列举出在点数中三个数字能够使得和为的有，
共有7种组合，前2种组合，每种情况可以排列出种结果，共有种结果；各有3种结果，共有种结果，其中点数之和超过10的走法为，共有种，故C正确；根据分类计数原理知共有种结果，故D正确；
故选：BCD
三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分，其中第16题第一空2分，第二空3分.）
13．（2023下·上海长宁·高二上海市延安中学校考期末）已知正方形ABCD的中心为点O，以A、B、C、D、O中三个点为顶点的三角形共有 个.
【答案】8
【详解】根据题意，如图：
在A、B、C、D、O中，任取3个点，有种取法，
其中不能构成三角形的有AOC和BOD两种取法，
则以A、B、C、D、O中三个点为顶点的三角形共有个．
故答案为：8．
14．（2023上·湖北武汉·高二武汉市东湖中学校考期中）已知，且能被17整除，则的取值可以是 .（写出一个满足题意的即可）
【答案】1（答案不唯一）
【详解】，
要使能被17整除，则能被17整除即可，
则，故可取，
故答案为：
15．（2023上·河南驻马店·高二校联考期末）已知，则关于的方程有实数解的有序数对的个数为 .
【答案】12
【详解】①当时，取范围内任一实数均有实数解，此时有4对；
②当时，有解则满足，即，
当时，可取的值有、0、2、3，
当时，可取的值有、0，
当时，可取的值有、0，
共有12对.
故答案为：12.
16．（2023下·北京·高二人大附中校考期中）二进制数是用0和1表示的数，它的基数为2，进位规则是“逢二进一”，借位规则是“借一当二”，二制数对应的十进制数记为，即，其中，，则在，，，…，中恰好有2个0的所有二进制数对应的十进制数的总和为 （用数字作答）
将五个数20、23、2、0、3任意次序排成一行，拼成一个7位数，则能产生不同的7位数的个数是 （用数字作答）
【答案】 506 75
【详解】根据题意得 ，
因为在中恰好有2个0的有种可能，
即所有符合条件的二进制数 的个数为10．
所以所有二进制数对应的十进制数的和中，
出现次，，…，，均出现次，
所以满足中恰好有2个0的所有二进制数对应的十进制数的和为
.
先选择一个非0数排在首位，剩余数全排列，共有种，
其中2和0排在一起形成20和原来的20有重复，
考虑2和0相邻时，且2在0的左边，共有种排法，
其中一半是重复的，故此时有12种重复.
其中2和3排在一起形成23和原来的23有重复，
考虑2和3相邻时，且2在3的左边，共有种排法，
其中一半是重复的，故此时有9种重复.
故共有种.
故答案为：506；75．
四、解答题（本题共6小题，共70分，其中第17题10分，其它每题12分，解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.）
17．（2023上·山东德州·高二校考阶段练习）（1）解关于x的不等式．
（2）求等式中的n值．
【答案】（1）；（2）.
【详解】（1）由，得，，
于是，整理得，解得，
所以.
（2）原方程变形为，即，显然，
因此，
化简整理，得，而，解得，
所以.
18．（2023下·新疆乌鲁木齐·高二乌鲁木齐市第六十八中学校考期中）男运动员6名，女运动员4名，其中男、女队长各1名.现选派 5人外出参加比赛.
(1)队长中至少有1人参加，有多少种选派方法
(2)参赛的运动员需要分坐在两辆车上(每辆车上至少有一名运动员)，有多少种安排方式
【答案】(1)196
(2)7560
【详解】（1）由题意，
男运动员6名，女运动员4名，其中男、女队长各1名.选派 5人，
若没有队长，则有种选派方法，
若随机选择，则有种选派方法，
∴队长中至少有1人参加，有种方法.
（2）由题意，
男运动员6名，女运动员4名，选派 5人外出参加比赛，分坐在两辆车，
∴选择的人是随机的，有种情况，
若人坐同一个车中，有种情况，
若人随机坐，有种情况，
∴从人中选5人，且坐在辆不同的车中，有种情况.
19．（2023下·重庆荣昌·高二重庆市荣昌中学校校考阶段练习）已知，求下列各式的值：
(1)；
(2)；
(3).
【答案】(1)－2
(2)1093
(3)2187
【详解】（1）当时，；
当时，；
故；
（2）当时，；
由（1）知，
所以；
（3）由展开式可知均为负值，均为正值，
结合（1）（2）可知，
故
.
20．（2023上·黑龙江鸡西·高二密山市第一中学校联考期末）已知的展开式中，前三项系数的绝对值依次成等差数列，
(1)求展开式中二项式系数最大的项；
(2)求展开式中所有的有理项.
【答案】(1)；
(2)，，.
【详解】（1）展开式中第项为，
所以前三项系数的绝对值依次为，
依题意有，，即，
整理得，解得（舍去）或.
由二项式系数的性质可知，展开式中第5项的二项式系数最大，
即.
（2）由（1）知，，
又，由可得，
故展开式中的有理项为：
，，.
21．（2023上·辽宁沈阳·高二沈阳市第一二〇中学校考阶段练习）（1）6名同学（简记为，，，，，）到甲、乙、丙三个场馆做志愿者.
（i）一天上午有16个相同的口罩全部发给这6名同学，每名同学至少发两个口罩，则不同的发放方法种数？
（ii）每名同学只去一个场馆，每个场馆至少要去一名，且、两人约定去同一个场馆，、不想去一个场馆，则满足同学要求的不同的安排方法种数？
（2）某校选派4名干部到两个街道服务，每人只能去一个街道，每个街道至少1人，有多少种方法？（结果用数字表示）
（3）如图，某水果店门前用3根绳子挂了6串香蕉，从左往右的串数依次为1，2，3.到了晚上，水果店老板要收摊了，假设每次只取1串（挂在一列的只能先收下面的），则将这些香蕉都取完的不同取法种数？（结果用数字表示）
【答案】（1）（i）126；（ii）114；（2）14；（3）60
【详解】（1）（i）16个相同的口罩，每位同学先拿一个，剩下的10个口罩排成一排有9个间隙，
插入5块板子分成6份，每一种分法所得6份给到6个人即可，
所以不同的发放方法种；
（ii）把，视为一人，相当于把5个人先分成三组，再分配给三个场馆，
分组方法有两类：第一类1，1，3，去掉，在一组的情况，有种分组方法，
再分配给三个场馆，有种方法，
第二类1，2，2，去掉，在一组的情况，有种分组方法，
再分配给三个场馆，有种方法，
所以不同的安排方法有种方法；
（2）把4名干部按分成两组，有种分组方法，
按分成两组，有种分组方法，
所以4名干部按要求分到两个街道的不同方法数是（种）；
（3）依题意，6串香蕉任意收取有种方法，
其中中间一列按从下往上有1种，占，
最右一列按从下往上只有1种，占，
所以不同取法数是（种）.
22．（2023下·江苏宿迁·高二统考期中）已知①展开式中的所有项的系数之和与二项式系数之和的比为；②展开式中的前三项的二项式系数之和为16，在这两个条件中任选一个条件，补充在下面问题中的横线上，并完成解答．
问题：已知二项式，________．
(1)求展开式中的二项式系数最大的项；
(2)求展开式中的系数最大的项．
注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分．
【答案】(1)，
(2)
【详解】（1）选①：令得所有项的系数和为，又二项式系数和为，所以，
解得：.
选②：由题意：，化简得：，所以，
所以展开式中的二项式系数最大的项为第三、四项，
因为，
即：，
.
（2）展开式第项为，
由得且，
所以，所以系数最大的项为.
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