人教A版数学(选择性必修三讲义)第05讲拓展一：数学探究：杨辉三角的性质与应用(学生版+解析)

第05讲 拓展一：数学探究：杨辉三角的性质与应用
知识点01：二项式系数的性质
①各二项式系数和： ；
②奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等：
知识点02：杨辉三角至少具有以下性质：
①每一行都是对称的，且两端的数都是1
②从第三行起，不在两端的任意一个数，都等于上一行中与这个数相邻的两数之和．
③当时，二项式系数是逐渐变大的；当时，二项式系数是逐渐变小的．
(4)当是偶数时，中间一项的二项式系数最大，当是奇数时，中间两项的二项式系数相等且最大．
题型01二项展开式的系数问题
【典例1】（2022·全国·高三校联考竞赛）设整数，的展开式中与xy两项的系数相等，则n的值为 .
【典例2】（2023上·湖北·高三校联考阶段练习）的展开式中含项的系数为 .
【典例3】（2017·高二课时练习）已知(n∈N＋)的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是10∶1，求展开式中含的项．
【变式1】（2024·吉林白山·统考一模）已知二项式的展开式中第二、三项的二项式系数的和等于45，则展开式的常数项为 ．
【变式2】（2023下·辽宁·高二校联考阶段练习）设，已知，则 ，的展开式中含的系数为 .
【变式3】（2023·湖南邵阳·邵阳市第二中学校考模拟预测）已知在的展开式中，第3项的二项式系数与第4项的二项式系数相等，且的系数为，则 .
题型02杨辉三角的有关问题
【典例1】（多选）（2023下·重庆·高二统考期末）杨辉三角形又称贾宪三角形，因首现于南宋杰出数学家杨辉的《详解九章算法》而得名，它的排列规律如图所示：在第一行的中间写下数字1；在第二行写下两个1，和第一行的1形成三角形；随后的每一行，第一个位置和最后一个位置的数都是1，其他的每个位置的数都是它左上方和右上方的数之和.那么下列说法中正确的是（ ）

A．第行的第个位置的数是
B．若从杨辉三角形的第三行起，每行第3个位置的数依次组织一个新的数列，则数列是两项奇数和两项偶数交替呈现的数列
C．70在杨辉三角中共出现了3次
D．210在杨辉三角中共出现了6次
【典例2】（多选）（2021下·湖北武汉·高二统考阶段练习）中国古代数学史曾经有自己光辉灿烂的篇章，其中“杨辉三角”的发现就是十分精彩的一页.而同杨辉三角齐名的世界著名的“莱布尼茨三角形”如下图所示（其中n是行数，r是列数，）下面关于莱布尼茨三角形的性质描述正确的是（ ）
A．每一行的对称性与增减性与杨辉三角一致
B．第10行从左边数第三个数为
C．
D．
【典例3】（2022下·北京朝阳·高二统考期末）我国南宋数学家杨辉在1261年所著的《详解九章算法》里，出现了图1这张表.杨辉三角的发现比欧洲早500年左右.如图2，杨辉三角的第行的各数就是的展开式的二项式系数.
则第10行共有 个奇数；第100行共有 个奇数.
【典例4】（2021下·江苏·高二专题练习）在杨辉三角形中，从第2行开始，除1以外，其它每一个数值是它上面的两个数值之和，该三角形数阵开头几行如图所示.
（1）在杨辉三角形中是否存在某一行，使该行中有三个相邻的数之比是3：4：5？若存在，试求出是第几行；若不存在，请说明理由；
（2）已知n，r为正整数，且，求证：任何四个相邻的组合数不能构成等差数列.
【变式1】（多选）（2022下·广东深圳·高二深圳市高级中学校考期中）“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉年所著的《详解九章算法》一书中就有出现．如图所示，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，+ 例如第行的为第行中两个的和．则下列命题中正确的是( )
A．在“杨辉三角”第行中，从左到右第个数是
B．在“杨辉三角”中，当时，从第行起，每一行的第列的数字之和为
C．在“杨辉三角”中，第行所有数字的平方和恰好是第行的中间一项的数字
D．记“杨辉三角”第行的第个数为，则
【变式2】（2022下·湖北·高二校联考阶段练习）如图，在杨辉三角形中，斜线的上方从1按箭头所示方向可以构成一个“锯齿形”的数列：，记此数列的前项之和为，则的值为 .
【变式3】（2022下·湖南常德·高二临澧县第一中学校考阶段练习）在的展开式中（其中，，…，叫做项式系数），当，2，3，…，得到如下左图所示的展开式，如图所示的“广义杨辉三角”：
（1）若在的展开式中，的系数为75，则实数的值为 ；
（2） （可用组合数作答）.
【变式4】（2022下·上海奉贤·高三上海市奉贤中学校考阶段练习）如图，我们在第一行填写整数到，在第二行计算第一行相邻两数的和，像在三角（杨辉三角）中那样，如此进行下去，在最后一行我们会得到的整数是 .
题型03求二项展开式中的系数最大项问题
【典例1】（2022下·河北邯郸·高二统考期末）若的展开式中各项的二项式系数之和为512，且第6项的系数最大，则a的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【典例2】（2022·上海·统考一模）已知展开式的二项式系数的最大值为，系数的最大值为，则 .
【典例3】（2022下·江苏泰州·高二统考期中）已知二项式，（且）．若、、成等差数列．
（1）求展开式的中间项；
（2）求的最大值．
【典例4】（2022下·湖北武汉·高二江夏一中校考阶段练习）已知二项式．
（1）若它的二项式系数之和为512．求展开式中系数最大的项；
（2）若，求二项式的值被7除的余数．
【变式1】（多选）（2023下·江苏苏州·高二校联考期中）在的展开式中（ ）
A．常数项为 B．项的系数为
C．系数最大项为第3项 D．有理项共有5项
【变式2】（2022下·广西玉林·高二统考期末）已知为正整数，在二项式的展开式中，若前三项的二项式系数的和等于79，则的值为 ，展开式中第 项的系数最大.
【变式3】（2022下·湖北武汉·高二校联考期中）已知展开式中第3项和第7项的二项式系数相等
（1）求展开式中含的项的系数；
（2）系数最大的项是第几项？
【变式4】（2022上·内蒙古包头·高二北重三中校考期中）（1）已知，求的值.
（2）已知的展开式中，各项的系数和比各项的二项式系数和大992.求展开式中系数最大的项.
题型04二项式定理的应用
【典例1】（2023·河北·高三河北衡水中学校考阶段练习）从这100个自然数中随机抽取三个不同的数,这三个数成等差数列的取法数为,随机抽取四个不同的数,这四个数成等差数列的取法数为,则的后两位数字为（ ）
A．89 B．51 C．49 D．13
【典例2】（2023下·上海浦东新·高二校考期中）对于，将n表示为，当时，.当时，为0或1.记为上述表示中为0的个数，（例如，，故，）.若，则 .
【典例3】（2022上·上海黄浦·高三格致中学校考阶段练习）给定数列.对于任意的，若恒成立,则称数列是互斥数列.
(1)若数列，判断是否是互斥数列，说明理由；
(2)若数列与都是由正整数组成的且公差不为零的等差数列，若与不是互斥数列，求证:存在无穷多组正整教对，使成立；
(3)若(是正整数)， 试确定满足的条件，使是互斥数列.
【变式1】（2022·山西吕梁·统考模拟预测）伟大的数学家欧拉28岁时解决了困扰数学界近一世纪的“巴赛尔级数”难题．当时，，又根据泰勒展开式可以得到，根据以上两式可求得（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2023·广东湛江·统考一模）已知函数，记为函数的2次迭代函数，为函数的3次迭代函数，…，依次类推，为函数的n次迭代函数，则 ；除以17的余数是 ．
【变式3】（2022·青海·校联考模拟预测）已知正项数列的前n项和为满足，．
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足，记为数列的前n项和，表示x除以3的余数，求．21世纪教育网(www.21cnjy.com)
第05讲 拓展一：数学探究：杨辉三角的性质与应用
知识点01：二项式系数的性质
①各二项式系数和： ；
②奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等：
知识点02：杨辉三角至少具有以下性质：
①每一行都是对称的，且两端的数都是1
②从第三行起，不在两端的任意一个数，都等于上一行中与这个数相邻的两数之和．
③当时，二项式系数是逐渐变大的；当时，二项式系数是逐渐变小的．
(4)当是偶数时，中间一项的二项式系数最大，当是奇数时，中间两项的二项式系数相等且最大．
题型01二项展开式的系数问题
【典例1】（2022·全国·高三校联考竞赛）设整数，的展开式中与xy两项的系数相等，则n的值为 .
【答案】51
【详解】解：由题意得：.
其中项，仅出现在求和指标r=4时的展开式中，
其项系数为；
而xy项仅出现在求和指标r=n-1时的展开式中，
其xy项系数为.
因此有.
注意到n>4，化简得，故只能是n为奇数且n-3=48，解得n=51，
故答案为：51.
【典例2】（2023上·湖北·高三校联考阶段练习）的展开式中含项的系数为 .
【答案】
【详解】要得到的展开式中含有的项，分以下两种情形：
情形一：先在第一个括号中选取“”，然后在后面四个括号中选取3个“”和1个“”，
由分步乘法计数原理可知此时“”的系数为；
情形二：先在第一个括号中选取“”，然后在后面四个括号中选取2个“”和2个“”，
由分步乘法计数原理可知此时“”的系数为.
综上所述：由分类加法计数原理可知的展开式中含项的系数为.
故答案为：.
【典例3】（2017·高二课时练习）已知(n∈N＋)的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是10∶1，求展开式中含的项．
【答案】T2＝－16
【详解】试题分析：根据展开式中第五项的系数与第三项的系数比求项数n,然后利用通项公式求特定项即可.
试题解析：由题意知第五项的系数为C·(－2)4，第三项的系数为C·(－2)2，则＝，解得n＝8(n＝－3舍去)．
所以通项为Tr＋1＝C ()8－r·r＝C (－2)r·.
令＝，得r＝1. ∴展开式中含的项为T2＝－16.
【变式1】（2024·吉林白山·统考一模）已知二项式的展开式中第二、三项的二项式系数的和等于45，则展开式的常数项为 ．
【答案】
【详解】∵，解得，
展开式的通项为，
令，得，
常数项为．
故答案为：.
【变式2】（2023下·辽宁·高二校联考阶段练习）设，已知，则 ，的展开式中含的系数为 .
【答案】 9
【详解】令，得，由二项展开式的通项公式可知，由，得，解得.
由9个连乘得到，要得到含的项，有两种情形：①这9个式子中：8个式子中取，剩下的1个式子中取；②这9个式子中：7个式子中取，剩下的2个式子中取1.故含的系数为.
故答案为：9，-18.
【变式3】（2023·湖南邵阳·邵阳市第二中学校考模拟预测）已知在的展开式中，第3项的二项式系数与第4项的二项式系数相等，且的系数为，则 .
【答案】
【详解】二项式的展开式的通项公式为
，，
所以第3项的二项式系数，第4项的二项式系数为，
因为第3项的二项式系数与第4项的二项式系数相等，
所以，解得，
所以在的展开式中的系数为，
由已知，解得，
故答案为：.
题型02杨辉三角的有关问题
【典例1】（多选）（2023下·重庆·高二统考期末）杨辉三角形又称贾宪三角形，因首现于南宋杰出数学家杨辉的《详解九章算法》而得名，它的排列规律如图所示：在第一行的中间写下数字1；在第二行写下两个1，和第一行的1形成三角形；随后的每一行，第一个位置和最后一个位置的数都是1，其他的每个位置的数都是它左上方和右上方的数之和.那么下列说法中正确的是（ ）

A．第行的第个位置的数是
B．若从杨辉三角形的第三行起，每行第3个位置的数依次组织一个新的数列，则数列是两项奇数和两项偶数交替呈现的数列
C．70在杨辉三角中共出现了3次
D．210在杨辉三角中共出现了6次
【答案】BCD
【详解】对于A选项：第行的第个位置的数是，故A错误；
对于B选项：由题，
数列的奇数项与前一项奇偶性相反，偶数项与前一项奇偶性相同，
为奇数，
为奇数，为偶数，为偶数，为奇数，是奇数项且为奇数，这与情况一致，从而奇偶性产生循环，B正确；
由于，不妨设，令，
当时，，，
当时，，无正整数解，
当时，，当时，当时，，而递增，从而无解；
当时，，当时，
由于是第9行中最中间的数，杨辉三角中以该数为顶点的下方三角形区域中的数都大于70，
所以当时，共出现3次，C正确；
类似于前，
以为顶点的下方三角形区域中的数都大于,D正确.
故选：BCD
【典例2】（多选）（2021下·湖北武汉·高二统考阶段练习）中国古代数学史曾经有自己光辉灿烂的篇章，其中“杨辉三角”的发现就是十分精彩的一页.而同杨辉三角齐名的世界著名的“莱布尼茨三角形”如下图所示（其中n是行数，r是列数，）下面关于莱布尼茨三角形的性质描述正确的是（ ）
A．每一行的对称性与增减性与杨辉三角一致
B．第10行从左边数第三个数为
C．
D．
【答案】BCD
【详解】对于A，“杨辉三角”每行数左右对称，由1开始逐渐变大，而“莱布尼茨三角形” 每行数左右对称，从第3行开始，由行数的倒数开始逐渐变小，A不正确；
对于B，“莱布尼茨三角形”的一个数是它脚下两数的和，则第9行的第二个数为，第10行的第二个数为，
于是得第10行的第三个数为，B正确；
对于C，，，C正确；
对于D，
，D正确.
故选：BCD
【典例3】（2022下·北京朝阳·高二统考期末）我国南宋数学家杨辉在1261年所著的《详解九章算法》里，出现了图1这张表.杨辉三角的发现比欧洲早500年左右.如图2，杨辉三角的第行的各数就是的展开式的二项式系数.
则第10行共有 个奇数；第100行共有 个奇数.
【答案】 4 8
【详解】由杨辉三角可得如下表：
第1行，2个；第2行，2个；第3行，4个； 第4行，2个； 第5行，4个；
第6行，4个；第7行，8个；
第8行，2个；第9行，4个；第10行，4个； 第11行，8个； 第12行，4个；
第13行，8个；第14行，8个；第15行，16个；
第16行，2个；第17行，4个；第18行，4个； 第19行，8个； 第20行，4个；
第21行，8个；第22行，8个；第23行，16个；
第96行，4个；第97行，8个；第98行，8个； 第99行，16个； 第100行，8个；
故答案为：4；8.
【典例4】（2021下·江苏·高二专题练习）在杨辉三角形中，从第2行开始，除1以外，其它每一个数值是它上面的两个数值之和，该三角形数阵开头几行如图所示.
（1）在杨辉三角形中是否存在某一行，使该行中有三个相邻的数之比是3：4：5？若存在，试求出是第几行；若不存在，请说明理由；
（2）已知n，r为正整数，且，求证：任何四个相邻的组合数不能构成等差数列.
【答案】（1）存在，是第行；（2）证明见解析.
【详解】（1）假设，
则，所以，
所以，解得，
故在杨辉三角形中的第行的第个数之比为.
（2）假设，够成等差数列，
则，
则，
则，
则，
则，
两式相减得，即，
所以，，，成等差数列，
由组合数的性质可得，，
根据等差数列的性质得，
所以，所以，
所以，所以，显然不成立，
所以假设不成立，即任何四个相邻的组合数不能构成等差数列.
【变式1】（多选）（2022下·广东深圳·高二深圳市高级中学校考期中）“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉年所著的《详解九章算法》一书中就有出现．如图所示，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，+ 例如第行的为第行中两个的和．则下列命题中正确的是( )
A．在“杨辉三角”第行中，从左到右第个数是
B．在“杨辉三角”中，当时，从第行起，每一行的第列的数字之和为
C．在“杨辉三角”中，第行所有数字的平方和恰好是第行的中间一项的数字
D．记“杨辉三角”第行的第个数为，则
【答案】ABC
【详解】对于A，在杨辉三角中，第9行第7个数是，故A正确；
对于B，当时，从第行起，每一行的第列的数字之和为，故B正确；
对于C，在“杨辉三角”中，第行所有数字的平方和恰好是第行的中间一项的数字，即，
证明如下：
，
则由项和项相乘即可得到这一项的系数为：，
而是二项式的展开式中第项的二项式系数(即的系数)，
故，故C正确；
对于D，第行的第个数为，
∴，
即，故D错误．
故选：ABC．
【变式2】（2022下·湖北·高二校联考阶段练习）如图，在杨辉三角形中，斜线的上方从1按箭头所示方向可以构成一个“锯齿形”的数列：，记此数列的前项之和为，则的值为 .
【答案】452
【详解】设数列为{}，
当为偶数时，易知；
前23项里面有偶数项11项，奇数项12项，
偶数项是首项为3，公差为1的等差数列，且，
所以偶数项之和为：；
当为奇数时，，，，，…，
所以，则，
所以前23项里面奇数项和为：
=
=
=
=364，
所以.
故答案为：452.
【变式3】（2022下·湖南常德·高二临澧县第一中学校考阶段练习）在的展开式中（其中，，…，叫做项式系数），当，2，3，…，得到如下左图所示的展开式，如图所示的“广义杨辉三角”：
（1）若在的展开式中，的系数为75，则实数的值为 ；
（2） （可用组合数作答）.
【答案】 2
【详解】（1）由题意可得广义杨辉三角形第4行为：1，4，10，16，19，16，10，4，1；
第5行为：1，5，15，30，45，51，45，30，15，5，1；
所以的展开式中，项的系数为，解得；
（2）由题意可知，，根据二项式定理可得，
所以，可视为二项式展开式中的系数，
而二项式的展开式通项为，令，解得，所以，．
故答案为：2；．
【变式4】（2022下·上海奉贤·高三上海市奉贤中学校考阶段练习）如图，我们在第一行填写整数到，在第二行计算第一行相邻两数的和，像在三角（杨辉三角）中那样，如此进行下去，在最后一行我们会得到的整数是 .
【答案】
【详解】将数阵倒置，计第行第个数为，则倒置后的数阵为：
则有，且有.
，
，
.
依此类推，
，
因此，.
故答案为.
题型03求二项展开式中的系数最大项问题
【典例1】（2022下·河北邯郸·高二统考期末）若的展开式中各项的二项式系数之和为512，且第6项的系数最大，则a的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】，，，，，
第6项的系数最大，，则.
故选：.
【典例2】（2022·上海·统考一模）已知展开式的二项式系数的最大值为，系数的最大值为，则 .
【答案】12
【详解】由题意可知
展开式的二项式系数为，
当时，取得最大值
展开式的系数为，
当满足时，系数最大.
即
，即解得
又
时，系数的最大值为
则
故答案为：12
【典例3】（2022下·江苏泰州·高二统考期中）已知二项式，（且）．若、、成等差数列．
（1）求展开式的中间项；
（2）求的最大值．
【答案】（1）；（2）7．
【详解】（1），
则，，
，由题意知，
则，即，因为，所以.
展开式的中间项是
（2）设最大，则有
，
即，解得,又，∴或6
所以的最大值为.
【典例4】（2022下·湖北武汉·高二江夏一中校考阶段练习）已知二项式．
（1）若它的二项式系数之和为512．求展开式中系数最大的项；
（2）若，求二项式的值被7除的余数．
【答案】（1）；（2）2.
【详解】（1）二项式的二项式系数之和为512，，．
由，解得：，
展开式中系数最大的项为第8项，为．
（2）若，，
问题转化为被7除的余数，
，即余数为2．
【变式1】（多选）（2023下·江苏苏州·高二校联考期中）在的展开式中（ ）
A．常数项为 B．项的系数为
C．系数最大项为第3项 D．有理项共有5项
【答案】BCD
【详解】的展开式的通项公式，
对于A：令，解得，可得，
即常数项为，故A错误；
对于B：令，解得，可得，
即项的系数为，故B正确；
对于C：由通项公式可得：第项的系数为，
当为偶数时，；当为奇数时，；
取为偶数，令，则，
整理得，解得，
所以系数最大项为第3项，故C正确；
对于D：令，则，
所以有理项共有5项，故D正确；
故选：BCD.
【变式2】（2022下·广西玉林·高二统考期末）已知为正整数，在二项式的展开式中，若前三项的二项式系数的和等于79，则的值为 ，展开式中第 项的系数最大.
【答案】 12 11
【详解】（1）根据题意得，，
即，
整理得，
解得或（舍去），
∴.
（2）二项式展开式的通项为
.
设二项式的展开式中第的系数最大，
由题意得，
解得，
又，
∴，
∴展开式中第11项的系数最大.
【变式3】（2022下·湖北武汉·高二校联考期中）已知展开式中第3项和第7项的二项式系数相等
（1）求展开式中含的项的系数；
（2）系数最大的项是第几项？
【答案】(1)；(2)第3项或第4项.
【详解】（1）依题意，，由组合数的性质得，
于是得展开式的通项，
由得，则，
所以展开式中含的项的系数为；
（2）令Tr＋1项的系数最大，由(1)得，即，
整理得，解得，而，从而得或，
所以展开式中系数最大项是第3项或第4项.
【变式4】（2022上·内蒙古包头·高二北重三中校考期中）（1）已知，求的值.
（2）已知的展开式中，各项的系数和比各项的二项式系数和大992.求展开式中系数最大的项.
【答案】（1）-13；（2）
【详解】解：（1），
令可得，
可令可得，
两式相减可得，；
（2）令可得各项系数和为，二项式系数和为，
由题意可得，即，
解得 （舍去），解得．
设第项的系数最大，则有，解得．
再由，可得．
故系数最大的项为．
题型04二项式定理的应用
【典例1】（2023·河北·高三河北衡水中学校考阶段练习）从这100个自然数中随机抽取三个不同的数,这三个数成等差数列的取法数为,随机抽取四个不同的数,这四个数成等差数列的取法数为,则的后两位数字为（ ）
A．89 B．51 C．49 D．13
【答案】C
【详解】解:由题知,当抽取三个不同的数,成等差数列时,记公差为,
当时,数列可为:
共计98个,
当时,数列可为:
共计96个,
当时,数列可为:
共计94个,
,
当时,数列可为:
共计4个,
当时,数列可为:
共计2个,
故
,
当抽取四个不同的数,成等差数列时,记公差为,
当时,数列可为:
共计97个,
当时,数列可为:
共计94个,
当时,数列可为:
共计91个,
,
当时,数列可为:
共计4个,
当时,数列可为:
共计1个,
故
,
所以
,
所以的后两位与的后两位一致,
,
因为
,
因为的后两位一定是00,
故的后两位数与的后两位一致,
因为,
故的后两位数为49,即的后两位数为49.
故选:C
【典例2】（2023下·上海浦东新·高二校考期中）对于，将n表示为，当时，.当时，为0或1.记为上述表示中为0的个数，（例如，，故，）.若，则 .
【答案】
【详解】，
设，且为整数，
则，
中6个数都为0或1，
其中没有一个为1时，有种情况，即有个；
其中有一个为1时，有种情况，即有个；
其中有2个为1时，有种情况，即有个；
…
故，同理可得：，
…
，
,
则.
故答案为:．
【典例3】（2022上·上海黄浦·高三格致中学校考阶段练习）给定数列.对于任意的，若恒成立,则称数列是互斥数列.
(1)若数列，判断是否是互斥数列，说明理由；
(2)若数列与都是由正整数组成的且公差不为零的等差数列，若与不是互斥数列，求证:存在无穷多组正整教对，使成立；
(3)若(是正整数)， 试确定满足的条件，使是互斥数列.
【答案】(1)是互斥数列，理由见解析
(2)证明见解析
(3)答案见解析
【详解】（1）解：中只有首项为1，其余均为偶数，均为大于1的奇数，
故对任意的，若恒成立，
所以是互斥数列；
（2）证明：若与不是互斥数列，则存在，使得，
设的公差分别为，
因为数列与都是由正整数组成的且公差不为零的等差数列，
所以都为正整数，
取，
所以,，，
所以，
因为，
所以，存在无穷多组正整数对，使成立，证毕.
（3）解：由于，
因为除以的余数为，是互斥数列，
所以除以的余数为或，
（i）若，则对成立即可，
（ii）若或，则或都为的倍数，此时是互斥数列，满足题意，
（iii）若，则，
下面我们证明除以3的余数为1，
由二项式定理，展开得，
所以, 除以3的余数为1
所以是互斥数列，满足题意，
综上，满足的条件是，对成立；
或或，或，其中.
【变式1】（2022·山西吕梁·统考模拟预测）伟大的数学家欧拉28岁时解决了困扰数学界近一世纪的“巴赛尔级数”难题．当时，，又根据泰勒展开式可以得到，根据以上两式可求得（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由，两边同时除以x，
得，
又
展开式中的系数为，
所以，
所以．
故选：A．
【变式2】（2023·广东湛江·统考一模）已知函数，记为函数的2次迭代函数，为函数的3次迭代函数，…，依次类推，为函数的n次迭代函数，则 ；除以17的余数是 ．
【答案】 0
【详解】由题意，，
所以
又为正整数，
所以除以17的余数为0，
故答案为：
【变式3】（2022·青海·校联考模拟预测）已知正项数列的前n项和为满足，．
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足，记为数列的前n项和，表示x除以3的余数，求．
【答案】(1)
(2)2
【详解】（1）因为，
所以，
两式作差得： ，即 ，
又,适合上式，故，
又时， ，
而 ，适合上式，故 ；
（2）由题意得，
所以，
因为，
，
，
故.
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