人教A版数学(选择性必修三讲义)第06讲第六章计数原理章末题型大总结(学生版+解析)
文档属性
| 名称 | 人教A版数学(选择性必修三讲义)第06讲第六章计数原理章末题型大总结(学生版+解析) |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 3.0MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-11-11 09:05:19 | ||
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文档简介
第06讲 第六章 计数原理 章末题型大总结
一、数学思想方法
1、分类讨论思想
1．（2023上·高二课时练习）在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数的个数是（ ）
A．18 B．36
C．72 D．48
2．（2023下·海南省直辖县级单位·高二校考期中）有名歌舞演员，其中名会唱歌，名会跳舞，从中选出人，并指派一人唱歌，另一个跳舞，则不同的选派方法有 （ ）A．种 B．种 C．种 D．72种
3．（2023下·辽宁·高三朝阳市第一高级中学校联考阶段练习）武术是中国的四大国粹之一，某武校上午开设文化课，下午开设武术课，某年级武术课有太极拳、形意拳、长拳、兵器四门，计划从周一到周五每天下午排两门课，每周太极拳和形意拳上课三次，长拳和兵器上课两次，同样的课每天只上一次，则排课方式共有（ ）
A．19840种 B．16000种 C．31360种 D．9920种
4．（2024上·甘肃·高二统考期末）“莺啼岸柳弄春晴，柳弄春晴夜月明：明月夜晴春弄柳，晴春弄柳岸啼莺.”这是清代女诗人吴绛雪的一首回文诗，“回文”是汉语特有的一种使用语序回环往复的修辞手法，而数学上也有类似这样特征的一类“回文数”，如232，251152等，那么在所有五位正整数中，有且仅有两位数字是偶数的“回文数”共有 个.
5．（2023下·吉林白城·高二校考期末）部队是青年学生成长成才的大学校，是砥砺品格、增强意志的好课堂，是施展才华、成就事业的大舞台，国防和军队现代化建设迫切需要一大批有责任、敢担当的有志青年携笔从戎、报效祖国．为响应征兵号召，某高等院校7名男生和5名女生报名参军，经过逐层篮选，有5人通过入伍审核．
(1)若学生甲和乙都接到了入伍通知，其余入伍人员尚未接到通知，求所有可能结果有多少种？
(2)若至少有2名女生通过入伍审核，但入伍人员尚未接到通知，求所有可能结果有多少种？
2、整体思想
1．（2023上·广东东莞·高三校考阶段练习）某中学为庆祝建校130周年，高二年级派出甲 乙 丙 丁 戊5名老师参加“130周年办学成果展”活动，活动结束后5名老师排成一排合影留念，要求甲、乙两人不相邻且丙、丁两人必须相邻，则排法共有 种(用数字作答)．
2．（2023下·浙江温州·高二校联考期中），，，，，，6名同学站成一排参加文艺汇演，若不站在两端，和必须相邻，则不同的排列方式共有 种．
3．（2023上·高二课时练习）将5个人排成一排，若甲和乙必须排在一起，则有多少种不同的排法？
4．（2023上·高二课时练习）用1、2、3、4、5、6组成没有重复数字的六位数，要求所有相邻两个数字的奇偶性都不同，且1和2相邻．问：有多少个这样的六位数？
5．（2023下·山西晋城·高二晋城市第一中学校校考阶段练习）现有8个人（5男3女）站成一排.
(1)女生必须排在一起，共有多少种不同的排法
(2)女生两旁必须有男生，有多少种不同排法
3、 主元思想
1．（2023上·重庆永川·高三重庆市永川北山中学校校考阶段练习）为了全面推进乡村振兴，加快农村、农业现代化建设，某市准备派6位乡村振兴指导员到A，B，C，3地指导工作；每地上午和下午各安排一位乡村振兴指导员，且每位乡村振兴指导员只能被安排一次，其中张指导员不安排到地，李指导员不安排在下午，则不同的安排方案共有（ ）
A．180种 B．240种 C．480种 D．540种
2．（2023·全国·模拟预测）2022年10月16日至10月22日，中国共产党第二十次全国人民代表大会在北京召开．会议圆满结束后，某市为了宣传好二十大会议精神，市宣传部决定组织去甲、乙、丙、丁4个村开展二十大宣讲工作，每村至少1人，其中不去甲村，且不去同一个村，则宣讲的分配方案种数为（ ）
A．216 B．198 C．180 D．162
3．（2024上·上海·高二上海南汇中学校考期末）学校安排甲乙丙丁4名运动员参加米接力赛，其中甲不跑第一棒，则共有 种不同的接力方式.
4．（2023·全国·模拟预测）某医院选派甲、乙等4名医生到3个乡镇义诊，每个乡镇至少有一人，每名医生只能去一个乡镇，且甲、乙不在同一个乡镇，则不同的选派方法有 种．
5．（2023下·山西晋城·高二晋城市第一中学校校考阶段练习）现有包括甲、乙在内的5名同学在比赛后合影留念，若甲，乙均不在最左端，乙不在最右端，则符合要求的排列方法共有 种
4、“正难则反”思想
1．（2023下·河南洛阳·高二校考期中）某班团支部换届选举，从已产生的甲、乙、丙、丁四名候选人中选出三人分别担任书记、副书记和组织委员，并且规定：上届任职的甲、乙、丙三人不能连任原职，则不同的任职结果有（ ）.
A．15 B．11 C．14 D．23
2．（2023上·辽宁大连·高二大连市第十二中学校考阶段练习）将2个男生和4个女生排成一排，要求2个男生都不与女生甲相邻的排法有 种.
3．（2023上·安徽合肥·高三合肥一中校联考开学考试）第六届进博会招募志愿者，某校高一年级有3位同学报名，高二年级有5位同学报名，现要从报名的学生中选取4人，要求高一年级和高二年级的同学都有，则不同的选取方法种数为 .（结果用数值表示）
4．（2023上·高二课时练面上有10个点，其中有4个点在同一条直线上，除此以外，不再有三点共线.问：由这些点可以确定多少条直线？
5．（2023上·高二课时练习）（1）从10男8女中任选5人，共有多少种不同的选法？
（2）从10男8女中任选5人（男女都有）担任5项不同的工作，共有多少种不同的选法？
5、函数思想
1．（2022·湖北武汉·高三华中师大一附中校考阶段练习）设为正整数，展开式的二项式系数的最大值为，展开式的二项式系数的最大值为，若，则
A．5 B．6 C．7 D．8
2．（2023下·安徽滁州·高二校联考阶段练习）已知，则（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
3．（2022·高二课时练习）已知的展开式中所有的二项式系数之和为128.
（1）求展开式中二项式系数最大的项；
（2）求展开式中系数最大的项.
二、重点题型精讲
题型01两个计数原理的综合应用
【典例1】（2024上·甘肃白银·高二校考期末）安排5名志愿者完成四项工作，其中项工作需2人，项工作不安排5人中的甲完成，5名志愿者均分配了工作，且每项工作均有人完成，则不同的安排方法共有（ ）
A．66种 B．60种 C．54种 D．48种
【典例2】（2023上·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考阶段练习）教务处准备给高三某班的学生排周六的课表，上午五节课，下午三节课．若准备英语、物理、化学、地理各排一节课，数学、语文各排两节课连堂，且数学不排上午的第一节课，则不同的排课方式有（ ）
A．216种 B．384种 C．408种 D．432种
【典例3】（2023·全国·高二课堂例题）用0，1，2，…，9这十个数字，可以排成多少个没有重复数字的四位偶数？
【变式1】（2023·辽宁·辽宁实验中学校考模拟预测）2023年的五一劳动节是疫情后的第一个小长假，公司筹备优秀员工假期免费旅游．除常见的五个旅游热门地北京、上海、广州、深圳、成都外，淄博烧烤火爆全国，则甲、乙、丙、丁四个部门至少有三个部门所选旅游地全不相同的方法种数共有（ ）
A．1800 B．1080 C．720 D．360
【变式2】（2023·全国·模拟预测）为贯彻落实“立德树人”的根本任务，探索德智体美劳“五育并举”的实施路径，某校统筹推进以“五育并举＋教师教育”为特色的第二课堂养成体系，引导学生崇尚劳动、尊重劳动者、提高劳动素养，以劳动周的形式开展劳育工作的创新实践．若学生可以参加“民俗文化”“茶艺文化”“茶壶制作”“水果培育”“蔬菜种植”“3D打印”这六门劳动课中的一门，则甲、乙、丙、丁这4名学生中至少有3名所选劳动课全不相同的方法共有 种．
【变式3】（2023上·上海虹口·高三上海财经大学附属北郊高级中学校考期中）在由数字1，2，3，4，5组成的数字不重复的五位数中，小于50000的奇数有 个．
题型02数字排列问题
【典例1】（2023下·北京东城·高二景山学校校考期中）在，，，，，，这个数中任取个数，将其组成无重复数字的四位数，则能被整除，且比大的数共有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【典例2】（2023上·高二单元测试）由数字0，1，2，3，4，5可以组成无重复数字且奇偶数字相间的六位数的个数为 ．
【典例3】（2023下·高二课时练习）已知0， 1， 2， 3， 4， 5这六个数字．
(1)可以组成多少个数字不重复的三位奇数？
(2)可以组成多少个数字不重复的小于1 000的自然数？
(3)可以组成多少个数字不重复的大于3 000且小于5 421的四位数？
【变式1】（2023上·江苏·高三海安高级中学校联考阶段练习）若一个五位数的各个数位上的数字之和为3，则这样的五位数共有 个．
【变式2】（2023上·辽宁朝阳·高二建平县实验中学校考期末）将0，1，2，3，4这五个数字组成无重复数字的五位数，则：
(1)可以组成多少个偶数？
(2)可以组成多少个比13123大的数？
【变式3】（2023上·高二课时练习）用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的自然数，问：
(1)能够组成多少个五位偶数？
(2)能够组成多少个小于的正整数？
题型03涂色问题
【典例1】（2024上·辽宁沈阳·高二沈阳市第八十三中学校联考期末）学习涂色能锻炼手眼协调能力，更能提高审美能力.现有四种不同的颜色：湖蓝色 米白色 橄榄绿 薄荷绿，欲给小房子中的四个区域涂色，要求相邻区域不涂同一颜色，且橄榄绿与薄荷绿也不涂在相邻的区域内，则共有（ ）种不同的涂色方法.
A．78 B．66 C．56 D．48
【典例2】（2023·浙江·模拟预测）五行是华夏民族创造的哲学思想，多用于哲学 中医学和占卜方面，五行学说是华夏文明重要组成部分.古代先民认为，天下万物皆由五类元素组成，分别是金 木 水 火 土，彼此之间存在相生相克的关系.下图是五行图，现有5种颜色可供选择给五“行”涂色，要求五行相生不能用同一种颜色（例如金生火，水生木，不能同色），五行相克可以用同一种颜色（例如水克火，木克土，可以用同一种颜色），则不同的涂色方法种数有（ ）
A．3125 B．1000 C．1040 D．1020
【典例3】（2023下·湖北十堰·高二校考阶段练习）如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案共有 种（用数字作答）.
【变式1】（2023上·江西南昌·高三南昌市外国语学校校考阶段练习）某植物园要在如图所示的5个区域种植果树，现有5种不同的果树供选择，要求相邻区域不能种同一种果树，则共有（ ）种不同的方法.
A．120 B．360 C．420 D．480
【变式2】（2023下·江西·高三统考阶段练习）中国是世界上最早发明雨伞的国家，伞是中国劳动人民一个重要的创造.如图所示的雨伞，其伞面被伞骨分成8个区域，每个区域分别印有数字1，2，3，..，8，现准备给该伞面的每个区域涂色，要求每个区域涂一种颜色，相邻两个区域所涂颜色不能相同，对称的两个区域（如区域1与区域5）所涂颜色相同.若有7种不同颜色的颜料可供选择，则不同的涂色方案有（ ）
A．1050种 B．1260种 C．1302种 D．1512种
【变式3】（多选）（2023上·甘肃白银·高二校考期末）用种不同的颜色涂图中的矩形，要求相邻的矩形涂色不同，不同的涂色方法总种数记为，则（ ）
A． B．
C． D．
题型04全排列问题
【典例1】（2023上·湖南长沙·高二长郡中学校考阶段练习）为了弘扬我国古代的“六艺文化”，某学校欲利用每周的社团活动课开设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门课程，每周开设一门，连续开设六周，若课程“射”不排在第二周，课程“乐”不排在第五周，则所有可能的排法种数为
【典例2】（2023下·安徽滁州·高二校考期中）班级迎接元旦晚会有个唱歌节目、个相声节目和个魔术节目，要求排出一个节目单．
(1)2个相声节目要排在一起，有多少种排法？
(2)相声节目不排在第一个节目、魔术节目不排在最后一个节目，有多少种排法？
(3)现在临时增加个魔术节目，要求重新编排节目单，要求个相声节目不相邻且个魔术节目也不相邻，有多少种排法？
【典例3】（2023上·江西上饶·高二统考期末）求下列问题的排列数:
(1)3名男生和3名女生排成一排,男生甲和女生乙不能相邻;
(2)3名男生和3名女生排成一排,男生甲不能排排头,女生乙不能排排尾.
【变式1】（2023下·江苏扬州·高二统考期中）有四名男生，两名女生和两名老师站成一排照相，在下列情况下，各有多少种不同的站法？（结果用数字作答）
(1)两名老师站正中间；
(2)四名男生身高都不相等，从左向右看，四名男生按从高到低的顺序站.
【变式2】（2023下·江苏常州·高二常州市第一中学校考阶段练习）毕业典礼期间，国际班的7名师生站成一排拍照留念，其中老师1人，男学生4人.在下列各种情况下，有多少种不同的站法？请分别列式计算出结果
(1)前排站3人，后排站4人
(2)老师的左右两边都是女学生
(3)男学生互不相邻
(4)老师不站中间，且女学生不站两端
【变式3】（2021上·高二课时练习）如图，某伞厂生产的太阳伞蓬是由块相同的区域组成的，用种颜色分别涂在伞蓬的个区域内，且恰有一种颜色涂在相对区域内，则不同的颜色图案的此类太阳伞至多有多少种
题型05元素位置有限制问题
【典例1】（2024上·黑龙江·高二校联考期末）2023杭州亚运会于9月23日至10月8日举办，组委会将6名志愿者随机派往黄龙体育中心 杭州奥体中心 浙江大学紫金港校区三座体育馆工作，若每名志愿者只去一座体育馆工作，每座体育馆至少派1名志愿者，其中志愿者甲不去黄龙体育中心，则不同的分配方案种数为（ ）
A．180 B．300 C．360 D．380
【典例2】（2024上·河南·高二校联考期末）2023年10月23日，杭州亚运会历时16天圆满结束.亚运会结束后，甲 乙 丙 丁 戊五名同学排成一排合影留念，其中甲 乙均不能站左端，且甲 丙必须相邻，则不同的站法共有（ ）
A．18种 B．24种 C．30种 D．36种
【典例3】（2024·广西·模拟预测）第19届杭州亚运会的吉祥物，分别取名为“琮琮”“莲莲”“宸宸”，是一组承载深厚底蕴和充满时代活力的机器人，组合名为“江南忆”.现有6个不同的吉祥物，其中“琮琮”“莲莲”和“宸宸”各2个，将这6个吉祥物排成前后两排，每排3个，且每排相邻两个吉祥物名称不同，则排法种数共有 .（用数字作答）
【变式1】（2024·全国·高三专题练习）某班在一次班团活动中，安排2名男生和4名女生讲演，为安排这六名学生讲演的顺序，要求两名男生之间不超过1人讲演，且第一位和最后一位出场讲演的是女生．则不同的安排方法总数为（ ）
A．168 B．192 C．240 D．336
【变式2】（2024·全国·高三专题练习）已知A、B、C、D、E为0﹣9中五个不重复的数字，且满足以下竖式加法，则满足条件的四位数ABCD共有 个．
【变式3】（2024·全国·高三专题练习）甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行劳动技能比赛，决出第1名到第5名的名次，已知甲没有得到冠军，并且甲和乙都不是第5名，则这5个人名次排列的可能情况共有 种．
题型06相邻与不相邻问题
【典例1】（2024上·黑龙江牡丹江·高三牡丹江市第二高级中学校联考期末）7个人站成两排，前排3人，后排4人，其中甲乙两人必须挨着，甲丙必须分开站，则一共有（ ）种站排方式．
A．672 B．864 C．936 D．1056
【典例2】（2023·陕西安康·校联考模拟预测）斐波那契数列，又称黄金分割数列，指的是这样一个数列：1，1，2，3，5，8，…，这个数列从第3项开始，每一项都等于前两项之和，小李以前6项数字的某种排列作为他的银行卡密码，如果数字1与2不相邻，则小李可以设置的不同的密码个数为（ ）
A．144 B．120 C．108 D．96
【典例3】（2023上·江西宜春·高二江西省宜丰中学校考阶段练习）（1）现有4男2女共6个人排成一排照相，其中两个女生相邻的排法种数为多少？
（2）8个体育生名额，分配给5个班级，每班至少1个名额，有多少种分法？
（3）要排一份有4个不同的朗诵节目和3个不同的说唱节目的节目单，如果说唱节目不排在开头，并且任意两个说唱节目不排在一起，则不同的排法种数为多少？
（4）某医院有内科医生7名，其中3名女医生，有外科医生5名，其中只有1名女医生．现选派6名去甲、乙两地参加赈灾医疗队，要求每队必须2名男医生1名女医生，且每队由2名外科医生1名内科医生组成，有多少种派法？（最后结果都用数字作答）
【变式1】（2024上·辽宁抚顺·高二校联考期末）某5位同学排成一排准备照相时，又来了甲 乙 丙3位同学要加入，若保持原来5位同学的相对顺序不变，且甲 乙2位同学互不相邻，丙同学不站在两端，则不同的加入方法共有（ ）
A．360种 B．144种 C．180种 D．192种
【变式2】（2024·江西·校联考模拟预测）唐宋八大家，又称唐宋散文八大家，是中国唐代韩愈、柳宗元，宋代苏洵、苏轼、苏辙、王安石、曾巩、欧阳修八位散文家的合称，其中江西独占三家，分别是：王安石、曾巩、欧阳修，他们掀起的古文革新浪潮，使诗文发展的陈旧面貌焕然一新.为弘扬中国传统文化，某校决定从唐宋八大家中挑选五位，于某周末开展他们的散文赏析课，五位散文家的散文赏析课各安排一节，连排五节.若在来自江西的三位散文家中至少选出两人，且他们的散文赏析课互不相邻，则不同的排课方法共有 种.（用数字作答）
【变式3】（2023下·重庆荣昌·高二重庆市荣昌中学校校考期中）电影《长津湖》讲述了在极寒严酷环境下，中国人民志愿军凭着钢铁意志和英勇无畏的精神为长津湖战役胜利做出重要贡献的故事，现有4名男生和3名女生相约一起去观看该影片，他们的座位在同一排且连在一起．（列出算式，并计算出结果）
(1)女生必须坐在一起的坐法有多少种？
(2)女生互不相邻的坐法有多少种？
(3)甲、乙两位同学相邻且都不与丙同学相邻的坐法有多少种？
题型07分组分配问题
【典例1】（2024上·辽宁·高二盘锦市高级中学校联考期末）2023年杭州亚运会志愿者第一小组有5人，需要分配到击剑 拳击 柔道比赛场馆，每个场馆至少1人，至多2人，则不同的分配方法有多少种（ ）
A．90种 B．150种 C．180种 D．240种
【典例2】（2023·全国·模拟预测）2023年7月28日至8月8日，第31届世界大学生夏季运动会在四川成都成功举办．某中学积极响应，举办学校运动会．小赵、小钱、小孙、小李、小周5位同学报名参加3个项目，每人只报名1个项目，每个项目至少1人，小赵和小钱不参加同一个项目，则不同的报名方法共有（ ）
A．72种 B．114种 C．120种 D．144种
【典例3】（2024上·天津南开·高三南开中学校考阶段练习）2023年成都大运会期间，5名同学到3个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，每个场馆至少安排1名同学，则不同的安排方法共有 种．
【变式1】（2023上·江西·高二校联考阶段练习）某学校派出五名教师去三所乡村学校支教，其中有一对教师夫妇参与支教活动．根据相关要求，每位教师只能去一所学校参与支教，并且每所学校至少有一名教师参与支教，同时要求教师夫妇必须去同一所学校支教，则不同的安排方案有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
【变式2】（2024上·吉林·高二校联考期末）为了支援与促进边疆少数民族地区教育事业发展，某市教育系统选派了三位男教师和两位女教师支援新疆，这五名教师被分派到三个不同地方对口支援，每位教师只去一个地方，每个地方至少去一人，其中两位女教师分派到同一个地方的方法种数为（ ）
A．18 B．150 C．36 D．54
【变式3】（2023上·河北沧州·高三泊头市第一中学校联考阶段练习）将六名志愿者分配到四个场所做志愿活动，其中场所至少分配两名志愿者，其他三个场所各至少分配一名志愿者，则不同的分配方案共有 种．（用数字作答）
题型08二项展开式及其逆应用
【典例1】（2024上·广东广州·高三华南师大附中校考开学考试）设数列 的通项公式为，其前n项和为，则使的最小n是（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（2023上·高二课时练习）化简．
【变式1】 （2023下·河北·高二校联考阶段练习）若对，恒成立，其中，，则（ ）
A．3 B．2 C．0 D．
【变式2】（2023下·甘肃武威·高二校联考阶段练习）若对，恒成立，其中，则（ ）
A． B．0 C．2 D．3
题型09特定项（特定项系数）
【典例1】（2023上·山东·高三校联考阶段练习）已知的展开式中第4项与第6项的二项式系数相等，写出展开式中的一个有理项 ．
【典例2】（2023·全国·模拟预测）展开式中的常数项为 ．
【典例3】（2023下·湖北荆门·高二统考期末）已知，设．
(1)求的值；
(2)求的展开式中的有理项．
【变式1】 （2023·全国·模拟预测）的展开式中常数项为 （用数字作答）．
【变式2】（2023上·天津和平·高三天津一中校考阶段练习）在的展开式中，的系数为 ．
【变式3】（2023下·湖北十堰·高二校考阶段练习）已知的展开式中，第6项为常数项.
(1)求含项的系数；
(2)求展开式中所有的有理项.
题型10二项式系数（含最值问题）
【典例1】（多选）（2023下·江苏无锡·高二江阴市华士高级中学校联考期中）若（）的展开式中第5项的二项式系数最大，则的可能取值为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【典例2】（ 2023上·天津北辰·高三校考阶段练习）若展开式的二项式系数和为64，则展开式中第三项的二项式系数为 .
【典例3】（2023·湖南邵阳·邵阳市第二中学校考模拟预测）已知在的展开式中，第3项的二项式系数与第4项的二项式系数相等，且的系数为，则 .
【典例4】（2023下·河南郑州·高二校联考期中）已知展开式前三项的二项式系数和为.
(1)求展开式中各项的二项式系数和；
(2)求展开式中的常数项；
(3)求展开式中二项式系数最大的项.
【变式1】（2024上·山东日照·高三山东省五莲县第一中学校考期末）已知展开式中第3项和第5项的二项式系数相等，则 ，且展开式中的常数项为 .
【变式2】（2023下·福建福州·高二福建省福州第八中学校考期末）的展开式中，若二项式系数最大的项仅是第4项，则展开式中的系数为 ．
【变式3】（2023上·高二课时练习）已知的展开式中第7项和第8项的二项式系数相等，求展开式中系数最大的项及二项式系数最大的项．
【变式4】（2023下·湖北宜昌·高二校联考期中）若展开式前三项的二项式系数之和为22.
(1)求展开式中二项式系数最大的项；
(2)求展开式中的常数项.
题型11系数（含系数最大，小项）
【典例1】（2023上·山东日照·高三山东省五莲县第一中学校考期中）的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则的展开式中系数最大的项的系数为 .
【典例2】（2023下·高二课时练习）在的展开式中.
(1)求第三项的系数；
(2)系数的绝对值最大的项是第几项？
(3)求系数最大的项与系数最小的项.
【典例3】（2022·高二课时练习）已知的展开式中，二项式系数和为256.
(1)此展开式中有没有常数项？有理项的个数是几个？并说明理由；
(2)求展开式中系数最小的项.
【变式1】（2024上·上海·高二上海市复旦中学校考期末）已知在的展开式中，前三项的系数分别为，，，且满足．
(1)求展开式中系数最大的项；
(2)求展开式中所有有理项．
【变式2】（2023上·高二课时练习）求的二项展开式中系数最大的项．
【变式3】（2023·高二课时练习）(1)已知在的二项展开式中，只有第六项的二项式系数最大，求该二项展开式中不含x的项；
(2)已知在的二项展开式中，只有第七项的系数最大，求n的值；
(3)已知在的二项展开式中，第六项的系数最小，求n的值．
题型12二项式系数和与系数和
【典例1】（2023上·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习）若，则（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（多选）（2023·广西·模拟预测）已知，则（ ）
A．展开式中所有二项式的系数和为 B．展开式中二项式系数最大项为第1012项
C． D．
【典例3】（2023上·广西河池·高三贵港市高级中学校联考阶段练习）在的二项式中，所有的二项式系数之和为64，则各项的系数的绝对值之和为 ．
【典例4】（2024上·辽宁葫芦岛·高二统考期末）已知二项式，且满足.
(1)求的值；
(2)求的值.
【变式1】（2023下·河南郑州·高二校考阶段练习）已知，则下列结论不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】（2023上·重庆·高三重庆市万州沙河中学校联考阶段练习）已知展开式的二项式系数之和为256，则其展开式中的系数为 .（用数字作答）
【变式3】（2023下·江苏宿迁·高二统考期中）已知，若展开式各项的二项式系数的和为1024，则的值为 ．
【变式4】（2022上·辽宁铁岭·高三校联考期末）已知的二项式系数和为256，则展开式中含项的系数为 ．
题型13 二项式定理应用
【典例1】（2023上·江苏南京·高三南京市第一中学校考阶段练习）中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究.设a，b，m(m＞0)为整数，若和被除得的余数相同，则称和对模同余，记为.若，，则的值可以是（ ）
A．2018 B．2020
C．2022 D．2024
【典例2】（2023·全国·高三专题练习）泰勒公式是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式，得名于英国数学家泰勒．根据泰勒公式，有，其中，，，．现用上述式子求的值，下列选项中与该值最接近的是（ ）
A． B． C． D．
【典例3】（2024上·上海松江·高二上海市松江二中校考期末）已知.
(1)求的值；
(2)设，求被6除的余数.
【变式1】（2023下·甘肃武威·高二校联考阶段练习）若，且（，且），则（ ）
A．1 B．2 C．15 D．16
【变式2】（多选）（2023上·江苏镇江·高三江苏省镇江中学校考阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．精确到0.1的近似数为1.6
C．被8整除的余数为1
D．
【变式3】（2024·陕西咸阳·校考模拟预测）已知正项等比数列中，成等差数列，其前项和为，若，则除以7的余数为 .
题型14 杨辉三角形
【典例1】（2023上·四川成都·高一四川省蒲江县蒲江中学校考开学考试）我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下的《详解九章算法》，书中记载的图表给出了展开式的系数规律.
当代数式的值为1时，则x的值为（ ）
A．2或4 B．2或 C．2 D．
【典例2】（多选）（2023上·江西·高三校联考阶段练习）为引导游客领略传统数学研究的精彩并传播中国传统文化，某景点推出了“解数学题获取名胜古迹入场码”的活动.活动规则如下：如图所示，将杨辉三角第行第个数记为，并从左腰上的各数出发，引一组平行的斜线，记第条斜线上所有数字之和为，入场码由两段数字组成，前段的数字是的值，后段的数字是的值，则（ ）
A． B．
C． D．该景点入场码为
【典例3】（2023下·安徽芜湖·高二统考期末）杨辉是我国古代数学史上一位著述丰富的数学家，著有《详解九章算法》 《日用算法》和《杨辉算法》，杨辉在1261年所著的《详解九章算法》给出了如下图1所示的表，我们称这个表为杨辉三角，图2是杨辉三角的数字表示，杨辉三角的发现要比欧洲早500年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的.
杨辉三角本身包含了很多有趣的性质，利用这些性质，可以解决很多数学问题.
性质1：杨辉三角的第行就是的展开式的二项式系数；
性质2（对称性）：每行中与首末两端“等距离”之数相等，即；
性质3（递归性）：除1以外的数都等于肩上两数之和，即；
性质4：自腰上的某个1开始平行于腰的一条线上的连续个数的和等于最后一个数斜右下方的那个数，比如：；
请回答以下问题：
(1)求杨辉三角中第8行的各数之和；
(2)证明：；
(3)在的展开式中，求含项的系数.
【变式1】（2023·江西景德镇·统考三模）如图为“杨辉三角”示意图，已知每行的数字之和构成的数列为等比数列且记该数列前项和为，设，将数列中的整数项依次取出组成新的数列记为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（多选）（2023下·山东菏泽·高二山东省鄄城县第一中学校考阶段练习）将杨辉三角中的每一个数都换成，得到如图所示的分数三角形，称为莱布尼茨三角形．莱布尼茨三角形具有很多优美的性质，如从第0行开始每一个数均等于其“脚下”两个数之和，如果，那么下面关于莱布尼茨三角形的结论正确的是（ ）
A．当n是偶数时，中间的一项取得最大值；当n是奇数时，中间的两项相等，且同时取得最大值
B．第8行第2个数是
C．（，）
D．（，）
【变式3】（2023下·河北石家庄·高二河北新乐市第一中学校考阶段练习）将杨辉三角中的每一个数都换成，得到如图所示的分数三角形，称为莱布尼茨三角形.莱布尼茨三角形具有很多优美的性质，如从第0行开始每一个数均等于其“脚下”两个数之和，如果（n为正整数），那么下面关于莱布尼茨三角形的结论中正确的序号是 .
①当n是偶数时，中间的一项取得最大值；当n是奇数时，中间的两项相等，且同时取得最大值；②第8行第2个数是；③（，）；
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第06讲 第六章 计数原理 章末题型大总结
一、数学思想方法
1、分类讨论思想
1．（2023上·高二课时练习）在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数的个数是（ ）
A．18 B．36
C．72 D．48
【答案】B
【详解】解法一：
按十位上的数字分别是1，2，3，4，5，6，7，8分成八类，
在每一类中满足条件的两位数分别有8个、7个、6个、5个、4个、3个、2个、1个．
由分类加法计数原理知，满足条件的两位数共有个．
解法二：
按个位上的数字分别是2，3，4，5，6，7，8，9分成八类，
在每一类中满足条件的两位数分别有1个、2个、3个、4个、5个、6个、7个、8个．
由分类加法计数原理知，满足条件的两位数共有个．
解法三 ：
所有的两位数共有90个，
其中个位数字等于十位数字的两位数为11，22，33，…，99，共9个；
有10，20，30，…，90共9个两位数的个位数字与十位数字不能调换位置，
则剩余的两位数有个．
在这72个两位数中，每一个个位数字（a）小于十位数字（b）的两位数都有一个十位数字（a）小于个位数字（b）的两位数与之对应，
故满足条件的两位数的个数是.
故选：B.
2．（2023下·海南省直辖县级单位·高二校考期中）有名歌舞演员，其中名会唱歌，名会跳舞，从中选出人，并指派一人唱歌，另一个跳舞，则不同的选派方法有 （ ）A．种 B．种 C．种 D．72种
【答案】C
【详解】根据题意，有名歌舞演员，其中名会唱歌，名会跳舞，
则既会跳舞又会唱歌的有人，
只会唱歌的有人，只会跳舞的有人;
若选出2人，没有既会跳舞又会唱歌，则有种选法，
若选出2人中有1人既会跳舞又会唱歌，则有种选法，
若选出2人全部是既会跳舞又会唱歌的，则有种选法，
综上共有种选法.
故选：C.
3．（2023下·辽宁·高三朝阳市第一高级中学校联考阶段练习）武术是中国的四大国粹之一，某武校上午开设文化课，下午开设武术课，某年级武术课有太极拳、形意拳、长拳、兵器四门，计划从周一到周五每天下午排两门课，每周太极拳和形意拳上课三次，长拳和兵器上课两次，同样的课每天只上一次，则排课方式共有（ ）
A．19840种 B．16000种 C．31360种 D．9920种
【答案】D
【详解】先从5天中选3天排太极拳，有种，
然后再从所选的3天中选一节排太极拳有种，
所以太极拳有种排法，
若五天中有天既有太极拳又有形意拳，
则哪一天重复有种，
再从另外不重复的2天中每天选1天排形意拳，有种，
再从剩下的4节课中选2节排长拳，有种，则另外2节排兵器，
所以有种，
若五天中有天既有太极拳又有形意拳，
则哪两天重复有种，
再从另外不重复的2天中排形意拳，有种，
再从剩下的4节课中抽2节课排长拳，有种，则另外2节排兵器，
但排在同一天不合适，所以有种，
所以共有种，
若五天中有天既有太极拳又有形意拳，
则剩下的4节课中选2节排长拳，有种，再去掉排同一天的种，
所以有种，
综上所述：共有
种.
故选：D.
4．（2024上·甘肃·高二统考期末）“莺啼岸柳弄春晴，柳弄春晴夜月明：明月夜晴春弄柳，晴春弄柳岸啼莺.”这是清代女诗人吴绛雪的一首回文诗，“回文”是汉语特有的一种使用语序回环往复的修辞手法，而数学上也有类似这样特征的一类“回文数”，如232，251152等，那么在所有五位正整数中，有且仅有两位数字是偶数的“回文数”共有 个.
【答案】225
【详解】依题意，五位正整数中 “回文数”具有：
万位与个位数字相同，且不为0，千位与十位数字相同，
求有且仅有两位数字是偶数的“回文数”的个数有两类办法：
第一类：万位数字为偶数且不为0有4种，千位选一个奇数有5种，
百位选一个奇数有5种，
不同 “回文数”的个数为个，
第二类：万位数字为奇数有5种，千位选一个偶数有5种，百位选一个奇数有5种，
不同 “回文数”的个数为，
由分类加法原理得，
在所有五位正整数中，有且仅有两位数字是偶数的“回文数”共有：个.
故答案为：225
5．（2023下·吉林白城·高二校考期末）部队是青年学生成长成才的大学校，是砥砺品格、增强意志的好课堂，是施展才华、成就事业的大舞台，国防和军队现代化建设迫切需要一大批有责任、敢担当的有志青年携笔从戎、报效祖国．为响应征兵号召，某高等院校7名男生和5名女生报名参军，经过逐层篮选，有5人通过入伍审核．
(1)若学生甲和乙都接到了入伍通知，其余入伍人员尚未接到通知，求所有可能结果有多少种？
(2)若至少有2名女生通过入伍审核，但入伍人员尚未接到通知，求所有可能结果有多少种？
【答案】(1)120
(2)596
【详解】（1）因为学生甲和乙都接到了入伍通知，其余入伍人员尚未接到通知，
所以从学生甲和乙以外的10人中任选3人，
所以所有的可能结果有种．
（2）从12人中任选5人的所有可能结果有种，
选出的5人中没有女生所有可能结果有种，
选出的5人中有1名女生所有可能结果有种，
所以至少有2名女生被选出的选法数为种．
2、整体思想
1．（2023上·广东东莞·高三校考阶段练习）某中学为庆祝建校130周年，高二年级派出甲 乙 丙 丁 戊5名老师参加“130周年办学成果展”活动，活动结束后5名老师排成一排合影留念，要求甲、乙两人不相邻且丙、丁两人必须相邻，则排法共有 种(用数字作答)．
【答案】24
【详解】将丙、丁捆绑排列有种，再把他们作为整体与戊排成一排有种，
排完后其中有3个空，最后将甲、乙插入其中的两个空有种，
综上，共有种排法.
故答案为：
2．（2023下·浙江温州·高二校联考期中），，，，，，6名同学站成一排参加文艺汇演，若不站在两端，和必须相邻，则不同的排列方式共有 种．
【答案】
【详解】根据题意，由于和相邻，把和看成一个元素，与其他个人全排列，有种排法，
其中站在两端的排法有种，
则有种符合题意的排法．
故答案为：．
3．（2023上·高二课时练习）将5个人排成一排，若甲和乙必须排在一起，则有多少种不同的排法？
【答案】48
【详解】根据捆绑法，
共有种不同的排法.
4．（2023上·高二课时练习）用1、2、3、4、5、6组成没有重复数字的六位数，要求所有相邻两个数字的奇偶性都不同，且1和2相邻．问：有多少个这样的六位数？
【答案】40
【详解】先排3、5，有种方法，再将4、6插空排列，有种方法，
最后将捆绑放到3、4、5、6形成的5个空中，
且保持所有相邻两个数字的奇偶性都不同，共有种方法，
综上：一共有个这样的六位数.
5．（2023下·山西晋城·高二晋城市第一中学校校考阶段练习）现有8个人（5男3女）站成一排.
(1)女生必须排在一起，共有多少种不同的排法
(2)女生两旁必须有男生，有多少种不同排法
【答案】(1)4320
(2)2880
【详解】（1）根据题意，先将3名女生看成一个整体，考虑三人之间的顺序，有种情况，
将这个整体与5名男生全排列，有种情况，
则女生必须排在一起的排法有种；
（2）根据题意，将5名男生全排列，有种情况，
排好后除去2端有4个空位可选，在4个空位中任选3个，安排3名女生，有种情况，
则女生两旁必须有男生，有种不同排法
3、 主元思想
1．（2023上·重庆永川·高三重庆市永川北山中学校校考阶段练习）为了全面推进乡村振兴，加快农村、农业现代化建设，某市准备派6位乡村振兴指导员到A，B，C，3地指导工作；每地上午和下午各安排一位乡村振兴指导员，且每位乡村振兴指导员只能被安排一次，其中张指导员不安排到地，李指导员不安排在下午，则不同的安排方案共有（ ）
A．180种 B．240种 C．480种 D．540种
【答案】B
【详解】李指导员安排在C地上午时，张指导员有种安排方案，其余4位指导员有种安排方案，则共有种安排方案；
李指导员不安排在C地上午时，李指导员有种安排方案，张指导员有种安排方案，其余4位指导员有种安排方案，则共有种安排方案；
综上，共有96+144=240种安排方案.
故选：B
2．（2023·全国·模拟预测）2022年10月16日至10月22日，中国共产党第二十次全国人民代表大会在北京召开．会议圆满结束后，某市为了宣传好二十大会议精神，市宣传部决定组织去甲、乙、丙、丁4个村开展二十大宣讲工作，每村至少1人，其中不去甲村，且不去同一个村，则宣讲的分配方案种数为（ ）
A．216 B．198 C．180 D．162
【答案】D
【详解】当单独去一个村时，有种，
当与除以外的另外一人去一个村时，有种，
所以共有种分配方案．
故选：D
3．（2024上·上海·高二上海南汇中学校考期末）学校安排甲乙丙丁4名运动员参加米接力赛，其中甲不跑第一棒，则共有 种不同的接力方式.
【答案】
【详解】甲先在第二、三、四棒中选一棒，有种选法，
乙丙丁三人选择除甲选择之外的三棒，全排列即可，有种选法，
所以一共有种接力方式，
故答案为：.
4．（2023·全国·模拟预测）某医院选派甲、乙等4名医生到3个乡镇义诊，每个乡镇至少有一人，每名医生只能去一个乡镇，且甲、乙不在同一个乡镇，则不同的选派方法有 种．
【答案】30
【详解】由题意知可按甲、乙两人的选派情况分两类：
①甲、乙均单独去一个乡镇，则剩下的2人一起去另一个乡镇，共有种选派方法；
②甲、乙两人有一人和另外2人中的一人一起去一个乡镇，剩下的2人均单独去一个乡镇，共有种选派方法．
由分类加法计数原理可知，不同的选派方法共有（种）．
故答案为：
5．（2023下·山西晋城·高二晋城市第一中学校校考阶段练习）现有包括甲、乙在内的5名同学在比赛后合影留念，若甲，乙均不在最左端，乙不在最右端，则符合要求的排列方法共有 种
【答案】54
【详解】先排乙，从中间的3个位置中选1个安排乙，则有种方法，
再排甲，从除左端外，剩下的3个位置中选1个安排甲，则有种方法，
最后排其余3个，有种方法，
所以由分步乘法原理可知共有种方法，
故答案为：54
4、“正难则反”思想
1．（2023下·河南洛阳·高二校考期中）某班团支部换届选举，从已产生的甲、乙、丙、丁四名候选人中选出三人分别担任书记、副书记和组织委员，并且规定：上届任职的甲、乙、丙三人不能连任原职，则不同的任职结果有（ ）.
A．15 B．11 C．14 D．23
【答案】B
【详解】四人中选出三人分别任职三个不同的岗位，其方法数为，
三个职位中有一位连任，假设上届任职的甲、乙、丙三人分别担任书记、副书记和组织委员，
假设甲连任书记，副书记可选的人选分别为丙和丁，
当丁担任了副书记，则组织委员只能选乙；当丙担任了副书记，则组织委员只能选乙和丁，
故其方法数为；
三个职位中有两位连任，其方法数为；
三个职位中三位都连任，其方法数为1.
故符合题意的方法数为.
故选：B.
2．（2023上·辽宁大连·高二大连市第十二中学校考阶段练习）将2个男生和4个女生排成一排，要求2个男生都不与女生甲相邻的排法有 种.
【答案】288
【详解】先将除甲外其它3个女生排一排有种，共有4个空，
若2个男生与女生甲排一起有种，再将他们插入上述4个空中的一个有种，
此时，共有种；
若2个男生中的一个与女生甲排一起有种，再将他们和另一个男生插入上述4个空中的两个有种，
此时，共有种；
又6个人做全排列有种，故2个男生都不与女生甲相邻的排法有种.
故答案为：
3．（2023上·安徽合肥·高三合肥一中校联考开学考试）第六届进博会招募志愿者，某校高一年级有3位同学报名，高二年级有5位同学报名，现要从报名的学生中选取4人，要求高一年级和高二年级的同学都有，则不同的选取方法种数为 .（结果用数值表示）
【答案】65
【详解】由题意，要求高一年级和高二年级的同学都有，
则有.
另解：间接法：.
故答案为：65
4．（2023上·高二课时练面上有10个点，其中有4个点在同一条直线上，除此以外，不再有三点共线.问：由这些点可以确定多少条直线？
【答案】
【详解】方法一（直接法）共线的4点记为A，B，C，D.
第一类：A，B，C，D确定1条直线
第二类：A，B，C，D以外的6个点可确定条直线；
第三类：从A，B，C，D中任取1点，其余6点中任取1点可确定条直线．
根据分类计数原理，共有不同直线（条）.
方法二（间接法）10个点取2个点共有种，
4个共线点取2个共有种，以上均表示同一条直线，再加上4个共线点所在的直线，
则可确定不同的直线有（条）.
5．（2023上·高二课时练习）（1）从10男8女中任选5人，共有多少种不同的选法？
（2）从10男8女中任选5人（男女都有）担任5项不同的工作，共有多少种不同的选法？
【答案】（1）；（2）
【详解】（1）从10男8女中任选5人有种不同的选法；
（2）从10男8女中任选5人担任5项不同的工作有种不同的选法，
其中5人全部是男生的有种不同的选法，全部是女生有种不同的选法，
故符合条件的方法种数为：.
5、函数思想
1．（2022·湖北武汉·高三华中师大一附中校考阶段练习）设为正整数，展开式的二项式系数的最大值为，展开式的二项式系数的最大值为，若，则
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】B
【详解】为正整数，由展开式的二项式系数的最大值为，以及二项式系数的性质可得，
同理，由展开式的二项式系数的最大值为，可得．
再由，可得，即，
即，即，解得，
故选：．
2．（2023下·安徽滁州·高二校联考阶段练习）已知，则（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】C
【详解】因为，
所以，即，解得或，
因为，所以.
故选：C．
3．（2022·高二课时练习）已知的展开式中所有的二项式系数之和为128.
（1）求展开式中二项式系数最大的项；
（2）求展开式中系数最大的项.
【答案】（1），；（2）.
【详解】（1）由题意，知，所以.在二项式系数中，最大的是与，
故二项式系数最大的项是第4项与第5项，即，.
（2）设第项的系数最大，
则有，由于，故，所以系数最大的项是第6项，即.
二、重点题型精讲
题型01两个计数原理的综合应用
【典例1】（2024上·甘肃白银·高二校考期末）安排5名志愿者完成四项工作，其中项工作需2人，项工作不安排5人中的甲完成，5名志愿者均分配了工作，且每项工作均有人完成，则不同的安排方法共有（ ）
A．66种 B．60种 C．54种 D．48种
【答案】D
【详解】甲去完成项工作，有种不同的安排方式；
甲不去完成项工作，又项工作不安排甲完成，有种不同的安排方式，
故共有种不同的安排方式．
故选：D
【典例2】（2023上·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考阶段练习）教务处准备给高三某班的学生排周六的课表，上午五节课，下午三节课．若准备英语、物理、化学、地理各排一节课，数学、语文各排两节课连堂，且数学不排上午的第一节课，则不同的排课方式有（ ）
A．216种 B．384种 C．408种 D．432种
【答案】D
【详解】由题意，数学、语文不能同时安排在下午，
若数学（连堂）安排在下午，在英语、物理、化学、地理中选一种安排在下午有种，
再把余下的三科与语文（连堂）安排在上午，把上午看作四节课，则有种，
此时共有种；
若语文（连堂）安排在下午，在英语、物理、化学、地理中选一种安排在下午有种，
再把余下的三科与数学（连堂）安排在上午，且数学不排上午的第一节课，
把上午看作四节课，数学只能安排在后三节有种，其余三科全排有种，
此时共有种；
若数学、语文都安排在上午，在英语、物理、化学、地理中选一种安排在上午有种，
将上午看作三节课，且数学不排上午的第一节课，有种，
再把余下的三科安排在下午作全排有种，
此时共有种；
综上，共有种.
故选：D
【典例3】（2023·全国·高二课堂例题）用0，1，2，…，9这十个数字，可以排成多少个没有重复数字的四位偶数？
【答案】2296
【详解】满足条件的四位数可以分为两类：
第一类的末位数字是0，有个，
第二类的末位数字不是0，要排成这样的四位数，可以分成三个步骤来完成：
第一步，确定末位数字，因为只能是2，4，6或8，所以有种方法；
第二步，确定首位数字，因为数字不能重复，所以有种方法；
第三步，确定中间两位数字，有种方法，
由分步乘法计数原理可知，这样的数字有个，
由分类加法计数原理可知，满足条件的四位数个数为
.
【变式1】（2023·辽宁·辽宁实验中学校考模拟预测）2023年的五一劳动节是疫情后的第一个小长假，公司筹备优秀员工假期免费旅游．除常见的五个旅游热门地北京、上海、广州、深圳、成都外，淄博烧烤火爆全国，则甲、乙、丙、丁四个部门至少有三个部门所选旅游地全不相同的方法种数共有（ ）
A．1800 B．1080 C．720 D．360
【答案】B
【详解】①恰有2个部门所选的旅游地相同，
第一步，先将选相同的2个部门取出，有种；
第二步，从6个旅游地中选出3个排序，有种，
根据分步计数原理可得，方法有种；
②4个部门所选的旅游地都不相同的方法有种，
根据分类加法计数原理得，则甲、乙、丙、丁四个部门至少有三个部门所选旅游地全不相同的方法种数共有种．
故选：B
【变式2】（2023·全国·模拟预测）为贯彻落实“立德树人”的根本任务，探索德智体美劳“五育并举”的实施路径，某校统筹推进以“五育并举＋教师教育”为特色的第二课堂养成体系，引导学生崇尚劳动、尊重劳动者、提高劳动素养，以劳动周的形式开展劳育工作的创新实践．若学生可以参加“民俗文化”“茶艺文化”“茶壶制作”“水果培育”“蔬菜种植”“3D打印”这六门劳动课中的一门，则甲、乙、丙、丁这4名学生中至少有3名所选劳动课全不相同的方法共有 种．
【答案】1080
【详解】分两种情况讨论：
若4名学生选的课全不同，则有种方法；
若有3名学生选的课全不同，即只有2名学生选的课相同，则有种方法．
故共有种方法．
故答案为：1080
【变式3】（2023上·上海虹口·高三上海财经大学附属北郊高级中学校考期中）在由数字1，2，3，4，5组成的数字不重复的五位数中，小于50000的奇数有 个．
【答案】
【详解】小于50000的奇数万位只能是1，2，3，4，个位只能为1，3，5，
①万位为或，则万位有种方法，个位有种方法，
其余各位为种方法，则种方法；
②万位为或，则万位有种方法，个位有种方法，
其余各位为种方法，则种方法；
共有：种方法.
故答案为：.
题型02数字排列问题
【典例1】（2023下·北京东城·高二景山学校校考期中）在，，，，，，这个数中任取个数，将其组成无重复数字的四位数，则能被整除，且比大的数共有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】C
【详解】若这个数的千位数为，百位数为，则这个数可以是，，共个，
若这个数的千位数为，百位数为，则这个数的个位只能是，
满足条件的数共有个，
若这个数的千位数为，百位数为，则满足条件的数共有个，
若这个数的千位数为，这个数的个位只能是，则满足条件的数共有个，
若这个数的千位数为，则满足条件的数共有个，
根据分类计数原理，可得满足条件的数共有个．
故选：C．
【典例2】（2023上·高二单元测试）由数字0，1，2，3，4，5可以组成无重复数字且奇偶数字相间的六位数的个数为 ．
【答案】60
【详解】当首位为奇数时，则奇数位上都是奇数才能满足题意，这样三个位奇数在三个奇数位置排列，
三个偶数在三个偶数位置排列共有种结果，
当首位是偶数时，三个奇数在偶数位置排列，三个偶数有两个可以排在首位，
共有种结果，
根据分类计数原理可以得到共有种结果.
故答案为：60．
【典例3】（2023下·高二课时练习）已知0， 1， 2， 3， 4， 5这六个数字．
(1)可以组成多少个数字不重复的三位奇数？
(2)可以组成多少个数字不重复的小于1 000的自然数？
(3)可以组成多少个数字不重复的大于3 000且小于5 421的四位数？
【答案】(1)48
(2)131
(3)175
【详解】（1）分3步：
①先选个位数字，由于组成的三位数是奇数，因此有3种选法；
②再选百位数字有4种选法；
③十位数字也有4种选法；
由分步计数原理知所求三位数共有个.
（2）分3类：
①一位数，共有6个；
②两位数，先选十位数字，有种选法；再选个位数字也有种选法，共有个；
③三位数，先选百位数字，有种选法；再选十位数字也有种选法；再选个位数字，有种选法，共有个；
因此，比1 000小的自然数共有个．
（3）分4类：
①千位数字为或时，后面三个数位上可随便选择，此时共有个；
②千位数字为，百位数字为之一时，共有个；
③千位数字为，百位数字是，十位数字为之一时，共有个；
④也满足条件；
故所求四位数共有个.
【变式1】（2023上·江苏·高三海安高级中学校联考阶段练习）若一个五位数的各个数位上的数字之和为3，则这样的五位数共有 个．
【答案】
【详解】若一个五位数的各个数位上的数字之和为3，则这样的五位数可分为类：
第一类，五位数的各个数位上的数字是个，个组成，
则由首位不为可知，在首位，其余各位为，即，仅有种方法；
第二类，五位数的各个数位上的数字是个，个，个组成，
则由首位不为可知，或在首位，选个放在首位，另个则从其它个位选个位放上，其余各位为，
共有种方法；
第三类，五位数的各个数位上的数字是个，个组成，
则由首位不为可知，在首位，在其它个位中选个位为，其余各位为，共有种方法；
所以由分类计数原理可得共有个这样的五位数.
故答案为：.
【变式2】（2023上·辽宁朝阳·高二建平县实验中学校考期末）将0，1，2，3，4这五个数字组成无重复数字的五位数，则：
(1)可以组成多少个偶数？
(2)可以组成多少个比13123大的数？
【答案】(1)60；
(2)82.
【详解】（1）当个位数字为0时，可以组成个偶数；
当个位数字不为0时，可以组成个偶数；
所以可以组成个偶数.
（2）所组成的比13123大的五位数，可以分为以下2类：
第一类：形如，共有个，
第二类：形如，共有个，
所以可以组成个比13123大的数.
【变式3】（2023上·高二课时练习）用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的自然数，问：
(1)能够组成多少个五位偶数？
(2)能够组成多少个小于的正整数？
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）依题意，当0在个位时，组成五位偶数个数为；
当2,4在个位时，组成五位偶数，首位不为0，则个数为，
共计组成的五位偶数个数为；
（2）小于的正整数有：
一位数有5个；
两位数有个；
三位数有个；
四位数1为千位时有
四位数2为千位时有，3个；
小于的正整数共有个.
题型03涂色问题
【典例1】（2024上·辽宁沈阳·高二沈阳市第八十三中学校联考期末）学习涂色能锻炼手眼协调能力，更能提高审美能力.现有四种不同的颜色：湖蓝色 米白色 橄榄绿 薄荷绿，欲给小房子中的四个区域涂色，要求相邻区域不涂同一颜色，且橄榄绿与薄荷绿也不涂在相邻的区域内，则共有（ ）种不同的涂色方法.
A．78 B．66 C．56 D．48
【答案】B
【详解】当选择两种颜色时，因为榄绿与薄荷绿不涂在相邻的区域内，
所以共有种选法，因此不同的涂色方法有种，
当选择三种颜色且橄榄绿与薄荷绿都被选中，则有种方法选法，
因此不同的涂色方法有种，
当选择三种颜色且橄榄绿与薄荷绿只有一个被选中，则有种方法选法，
因此不同的涂色方法有种，
当选择四种颜色时，不同的涂色方法有种，
所以共有种不不同的涂色方法，
故选：B.
【典例2】（2023·浙江·模拟预测）五行是华夏民族创造的哲学思想，多用于哲学 中医学和占卜方面，五行学说是华夏文明重要组成部分.古代先民认为，天下万物皆由五类元素组成，分别是金 木 水 火 土，彼此之间存在相生相克的关系.下图是五行图，现有5种颜色可供选择给五“行”涂色，要求五行相生不能用同一种颜色（例如金生火，水生木，不能同色），五行相克可以用同一种颜色（例如水克火，木克土，可以用同一种颜色），则不同的涂色方法种数有（ ）
A．3125 B．1000 C．1040 D．1020
【答案】D
【详解】五行相克可以用同一种颜色，也可以不用同一种颜色，即无限制条件.
五行相生不能用同一种颜色，即相邻位置不能用同一种颜色.
故问题转化为如图五个区域，
有种不同的颜色可用，要求相邻区域不能涂同一种颜色，即色区域的环状涂色问题.
分为以下两类情况：
第一类：三个区域涂三种不同的颜色，
第一步涂区域，
从种不同的颜色中选种按序涂在不同的个区域上，则有种方法，
第二步涂区域，由于颜色不同，有种方法，
第三步涂区域，由于颜色不同，则有种方法，
由分步计数原理，则共有种方法；
第二类：三个区域涂两种不同的颜色，
由于不能涂同一色，则涂一色，或涂同一色，两种情况方法数相同.
若涂一色，
第一步涂区域，可看成同一区域，且区域不同色，
即涂个区域不同色，
从种不同的颜色中选种按序涂在不同的个区域上，则有种方法，
第二步涂区域，由于颜色相同，则有种方法，
第三步涂区域，由于颜色不同，则有种方法，
由分步计数原理，则共有种方法；
若涂一色，与涂一色的方法数相同，
则共有种方法.
由分类计数原理可知，不同的涂色方法共有种.
故选：D.
【典例3】（2023下·湖北十堰·高二校考阶段练习）如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案共有 种（用数字作答）.
【答案】
【详解】如图，用表示个区域，
分4步进行分析：
①，对于区域，有5种颜色可选；
②，对于区域，与区域相邻，有4种颜色可选；
③，对于区域，与、区域相邻，有3种颜色可选；
④，对于区域、，若与颜色相同，区域有3种颜色可选，
若与颜色不相同，区域有2种颜色可选，区域有2种颜色可选，
则区域、有种选择，
则不同的涂色方案有种.
故答案为：.
【变式1】（2023上·江西南昌·高三南昌市外国语学校校考阶段练习）某植物园要在如图所示的5个区域种植果树，现有5种不同的果树供选择，要求相邻区域不能种同一种果树，则共有（ ）种不同的方法.
A．120 B．360 C．420 D．480
【答案】C
【详解】分两类情况：
第一类：2与4种同一种果树，
第一步种1区域，有5种方法；
第二步种2与4区域，有4种方法；
第三步种3区域，有3种方法；
最后一步种5区域，有3种方法，
由分步计数原理共有种方法；
第二类：2与4种不同果树，
第一步在1234四个区域，从5种不同的果树中选出4种果树种上，是排列问题，共有种方法；
第二步种5号区域，有2种方法，
由分步计数原理共有种方法.
再由分类计数原理，共有种不同的方法.
故选：C.
【变式2】（2023下·江西·高三统考阶段练习）中国是世界上最早发明雨伞的国家，伞是中国劳动人民一个重要的创造.如图所示的雨伞，其伞面被伞骨分成8个区域，每个区域分别印有数字1，2，3，..，8，现准备给该伞面的每个区域涂色，要求每个区域涂一种颜色，相邻两个区域所涂颜色不能相同，对称的两个区域（如区域1与区域5）所涂颜色相同.若有7种不同颜色的颜料可供选择，则不同的涂色方案有（ ）
A．1050种 B．1260种 C．1302种 D．1512种
【答案】C
【详解】由题意可得，只需确定区域的颜色，即可确定整个伞面的涂色.
先涂区域1，有7种选择；再涂区域2，有6种选择.
当区域3与区域1涂的颜色不同时，区域3有5种选择，剩下的区域4有5种选择.
当区域3与区域1涂的颜色相同时，剩下的区域4有6种选择.
故不同的涂色方案有种.
故选：C
【变式3】（多选）（2023上·甘肃白银·高二校考期末）用种不同的颜色涂图中的矩形，要求相邻的矩形涂色不同，不同的涂色方法总种数记为，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【详解】当时，分四步：
第一步，涂处，有3种涂色方案；第二步，涂处，有2种涂色方案；
第三步，涂处，有2种涂色方案；第四步，涂处，有1种涂色方案.
所以不同的涂色方法共种数为，所以，故A正确；
当时，分四步：
第一步，涂处，有4种涂色方案；第二步，涂处，有3种涂色方案；
第三步，涂处，有3种涂色方案；第四步，涂处，有2种涂色方案.
所以不同的涂色方法共种数为，所以，故B错误；
当时，分四步：
第一步，涂处，有5种涂色方案；第二步，涂处，有4种涂色方案；
第三步，涂处，有4种涂色方案；第四步，涂处，有3种涂色方案.
所以不同的涂色方法共种数为，所以，故C错误；
当时，分四步：
第一步，涂处，有6种涂色方案；第二步，涂处，有5种涂色方案；
第三步，涂处，有5种涂色方案；第四步，涂处，有4种涂色方案.
所以不同的涂色方法共种数为，所以，故D正确.
故选：AD.
题型04全排列问题
【典例1】（2023上·湖南长沙·高二长郡中学校考阶段练习）为了弘扬我国古代的“六艺文化”，某学校欲利用每周的社团活动课开设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门课程，每周开设一门，连续开设六周，若课程“射”不排在第二周，课程“乐”不排在第五周，则所有可能的排法种数为
【答案】504
【详解】“射”不在第二周且“乐”不在第五周的排法可以分为两类：
第一类“射”排在第五周的排法，排法有种，
第二类“射”不在第二和第五周且“乐”不在第五周的排法，
①若“乐”在第二周，则射有四种选法，然后剩余四项全排列，则共有种排法
②若“乐”不在第二周，则“射”与乐共有种选法，然后剩余四项全排列则共有种，
由分类加法原理可得总的排法数为，
故答案为：504.
【典例2】（2023下·安徽滁州·高二校考期中）班级迎接元旦晚会有个唱歌节目、个相声节目和个魔术节目，要求排出一个节目单．
(1)2个相声节目要排在一起，有多少种排法？
(2)相声节目不排在第一个节目、魔术节目不排在最后一个节目，有多少种排法？
(3)现在临时增加个魔术节目，要求重新编排节目单，要求个相声节目不相邻且个魔术节目也不相邻，有多少种排法？
【答案】(1)种
(2)种
(3)种
【详解】（1）将个相声节目捆绑在一起，看成个节目，与其余个节目一起排，
则共有种不同排法；
（2）若相声节目排在第一个节目，则有种不同排法，
若魔术节目排在最后一个节目，则有种不同排法，
若相声节目排在第一个节目，并且魔术节目排在最后一个节目，则有种不同排法，
则相声节目不排在第一个节目、魔术节目不排在最后一个节目，
可以用个节目的全排列减去相声节目排在第一个节目的排列数和魔术节目排在最后一个节目的排列数，
再加上相声节目排在第一个节目并且魔术节目排在最后一个节目的排列数，
所以共有种不同排法；
（3）若个相声节目相邻，则有种不同排法，
若个魔术节目相邻，也有种不同排法，
若个相声节目相邻，并且个魔术节目也相邻，则有种不同排法，
则个相声节目不相邻且个魔术节目也不相邻，可由个节目的全排列减去个相声节目相邻的排列数和个魔术节目相邻的排列数，
再加上个相声节目相邻并且个魔术节目也相邻的排列数，
所以共有种不同排法．
【典例3】（2023上·江西上饶·高二统考期末）求下列问题的排列数:
(1)3名男生和3名女生排成一排,男生甲和女生乙不能相邻;
(2)3名男生和3名女生排成一排,男生甲不能排排头,女生乙不能排排尾.
【答案】(1)480
(2)504
【详解】（1）解:由题知共6人,除去男生甲和女生乙外,还有4人,
将4人全排共种,
4人排好后留下5个位置,将这5个位置分给甲乙,有种,
所以男生甲和女生乙不能相邻共种
（2）由于男生甲不能排排头,女生乙不能排排尾,
当乙排排头时,甲没有限制,此时排列数为种,
当乙不排排头,因为乙不能排排尾,
所以乙只能排中间4个位置中,共种,
因为甲不能排排头,除去排头位置和已经排好的乙外,
还有4个位置,选一个位置给甲,有种,
此时还有另4人,没有限制,全排列有种,
故当乙不排派头时有种,
所以男生甲不能排排头,女生乙不能排排尾共计:
种.
【变式1】（2023下·江苏扬州·高二统考期中）有四名男生，两名女生和两名老师站成一排照相，在下列情况下，各有多少种不同的站法？（结果用数字作答）
(1)两名老师站正中间；
(2)四名男生身高都不相等，从左向右看，四名男生按从高到低的顺序站.
【答案】(1)1440
(2)1680
【详解】（1）2名老师站中间，有种站法，6名学生有种站法，
故共有种；
（2）先从8个位置中选出4个位置给4名男生，有种方法，再在剩下的4个位置上排其余4人，有种站法，
故四名男生从左到右按照由高到低的顺序的站法有=1680（种）．
【变式2】（2023下·江苏常州·高二常州市第一中学校考阶段练习）毕业典礼期间，国际班的7名师生站成一排拍照留念，其中老师1人，男学生4人.在下列各种情况下，有多少种不同的站法？请分别列式计算出结果
(1)前排站3人，后排站4人
(2)老师的左右两边都是女学生
(3)男学生互不相邻
(4)老师不站中间，且女学生不站两端
【答案】(1)5040
(2)240
(3)144
(4)2112
【详解】（1）解：因为前排站3人，后排站4人，只需全排，将后4人站到后排即可，
即共种；
（2）因为老师1人，男学生4人，所以女学生2人，
将两名女生与一名老师捆绑共种，
再将捆绑后的三位和剩余4人一起排列共有：种，
所以共种；
（3）先将两名女生和一名老师全排，共种，
共有4个空，将4名男生插空有种，
所以共种；
（4）当老师站两端时，先排老师，有2种情况，再在中间5个位置选两个给女生进行排列，
再将剩余的4位男生全排列，共种，
当老师不站两端时，且不站中间，则有4种情况，
再选2个男生站两端进行排列，剩下的人全排，
共有种，
所以共有种.
【变式3】（2021上·高二课时练习）如图，某伞厂生产的太阳伞蓬是由块相同的区域组成的，用种颜色分别涂在伞蓬的个区域内，且恰有一种颜色涂在相对区域内，则不同的颜色图案的此类太阳伞至多有多少种
【答案】
【详解】如图，对个区域进行编号，任选一组对称区域（如与）同色，
用种颜色涂个区域的不同涂法有种，
又由于与，与，与，与是对称的，即重复染色次，
故此种图案至多有（种）.
题型05元素位置有限制问题
【典例1】（2024上·黑龙江·高二校联考期末）2023杭州亚运会于9月23日至10月8日举办，组委会将6名志愿者随机派往黄龙体育中心 杭州奥体中心 浙江大学紫金港校区三座体育馆工作，若每名志愿者只去一座体育馆工作，每座体育馆至少派1名志愿者，其中志愿者甲不去黄龙体育中心，则不同的分配方案种数为（ ）
A．180 B．300 C．360 D．380
【答案】C
【详解】若甲单独一组：由于甲同学不去黄龙体育中心，所以先排甲共有种，
再将其余5人分成两组共有种，分配到另外两个体育中心共有，
所以此类情况共有种；
若甲与其他志愿者一组：先安排甲共有种，
然后将其余5人分成三组共有种，
再将三组分配到三个体育馆共种，
所以此类情况共有种.
综上，不同的分配方案共有360种.
故选：C.
【典例2】（2024上·河南·高二校联考期末）2023年10月23日，杭州亚运会历时16天圆满结束.亚运会结束后，甲 乙 丙 丁 戊五名同学排成一排合影留念，其中甲 乙均不能站左端，且甲 丙必须相邻，则不同的站法共有（ ）
A．18种 B．24种 C．30种 D．36种
【答案】C
【详解】由题意可知，当丙站在左端时，有种站法；
当丙不站在左端时，有种站法.
由分类加法计数原理可得，一共有种不同的站法.
故选：C.
【典例3】（2024·广西·模拟预测）第19届杭州亚运会的吉祥物，分别取名为“琮琮”“莲莲”“宸宸”，是一组承载深厚底蕴和充满时代活力的机器人，组合名为“江南忆”.现有6个不同的吉祥物，其中“琮琮”“莲莲”和“宸宸”各2个，将这6个吉祥物排成前后两排，每排3个，且每排相邻两个吉祥物名称不同，则排法种数共有 .（用数字作答）
【答案】336
【详解】由题意可分两种情形：
①前排含有两种不同名称的吉祥物，
首先，前排从“琮琮”“莲莲”和“宸宸”中取两种，有种情况，
从选出的两种吉祥物中，其中一种取两个，另一种选一个，有种排法，
选出的三个吉祥物进行排列，选一个的一定放中间，名字相同的放两边，
由于属于不同的吉祥物，故有种排法，
综上，有种排法；
其次，后排剩余两个相同名字的吉祥物和另一个名字不同的吉祥物，
故有种排法，故共有种不同的排法；
②前排含有三种不同名称的吉祥物，
先从“琮琮”“莲莲”和“宸宸”各二选一，有种选法，
再进行全排列，故有种排法；
同理后排有种排法，此时共有种排法；
因此，共有种排法，
故答案为：336.
【变式1】（2024·全国·高三专题练习）某班在一次班团活动中，安排2名男生和4名女生讲演，为安排这六名学生讲演的顺序，要求两名男生之间不超过1人讲演，且第一位和最后一位出场讲演的是女生．则不同的安排方法总数为（ ）
A．168 B．192 C．240 D．336
【答案】C
【详解】第一位和最后一位出场讲演的是女生，有种，
中间4人，为2男2女，任意排列有种，
若中间2名女生，则有种，则满足条件的有种，
则共有种不同的安排方法．
故选：C
【变式2】（2024·全国·高三专题练习）已知A、B、C、D、E为0﹣9中五个不重复的数字，且满足以下竖式加法，则满足条件的四位数ABCD共有 个．
【答案】4
【详解】由题可知，个位无进位且为，所以，
千位为，所以千位上的是由百位进1得到的，即，
百位有进位则，所以，，
十位的个位为，则有进位，则，
所以，，，
所以满足条件的四位数ABCD为：5983，3985，1987，7981，共4个．
故答案为：4．
【变式3】（2024·全国·高三专题练习）甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行劳动技能比赛，决出第1名到第5名的名次，已知甲没有得到冠军，并且甲和乙都不是第5名，则这5个人名次排列的可能情况共有 种．
【答案】54
【详解】解：甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行劳动技能比赛，决出第1名到第5名的名次，
已知甲没有得到冠军，并且甲和乙都不是第5名，则甲有种排法，
当乙是冠军时，剩下的有种排法，
当乙不是冠军时，有＝12种排法，
则这5个人名次排列的可能情况共有种．
故答案为：54．
题型06相邻与不相邻问题
【典例1】（2024上·黑龙江牡丹江·高三牡丹江市第二高级中学校联考期末）7个人站成两排，前排3人，后排4人，其中甲乙两人必须挨着，甲丙必须分开站，则一共有（ ）种站排方式．
A．672 B．864 C．936 D．1056
【答案】D
【详解】当甲站在每一排的两端时，有4种站法，此时乙的位置确定，剩下的人随便排，有种站排方式；
当甲不站在每一排的两端时，有3种站法，此时乙和甲相邻有两个位置可选，丙和甲不相邻有四个位置可选，剩下的人随便站，有种站排方式；
故总共有种站排方式.
故选：D．
【典例2】（2023·陕西安康·校联考模拟预测）斐波那契数列，又称黄金分割数列，指的是这样一个数列：1，1，2，3，5，8，…，这个数列从第3项开始，每一项都等于前两项之和，小李以前6项数字的某种排列作为他的银行卡密码，如果数字1与2不相邻，则小李可以设置的不同的密码个数为（ ）
A．144 B．120 C．108 D．96
【答案】A
【详解】命题意图 本题考查排列与组合的应用．
解析 先排数字2，3，5，8，有种排法，4个数字形成5个空当．
第一类：若两个1相邻，则从可选择的3个空当中选出一个放入两个1，有3种排法；
第二类：若两个1也不相邻，则从可选择的3个空当中选出两个分别放入数字1，
有3种排法．所以密码个数为．
故选：A
【典例3】（2023上·江西宜春·高二江西省宜丰中学校考阶段练习）（1）现有4男2女共6个人排成一排照相，其中两个女生相邻的排法种数为多少？
（2）8个体育生名额，分配给5个班级，每班至少1个名额，有多少种分法？
（3）要排一份有4个不同的朗诵节目和3个不同的说唱节目的节目单，如果说唱节目不排在开头，并且任意两个说唱节目不排在一起，则不同的排法种数为多少？
（4）某医院有内科医生7名，其中3名女医生，有外科医生5名，其中只有1名女医生．现选派6名去甲、乙两地参加赈灾医疗队，要求每队必须2名男医生1名女医生，且每队由2名外科医生1名内科医生组成，有多少种派法？（最后结果都用数字作答）
【答案】（1）；（2）；（3）576；（4）.
【详解】（1）两个女生相邻捆绑处理，有种；
（2）将8个体育生名额排成一列，在形成的中间7个空隙中插入4块隔板，
所以不同的放法种数为；
（3）第1步，先排4个朗诵节目共种；
第2步，排说唱节目，不相邻则用插空法，且保证不放到开头，
从剩下4个空中选3个插空共有种，所以一共有=576种排法；
（4）先分类：
①若外科女医生必选，则一组内科4男选1，外科4男选1；
另一组内科3女中选1女，外科3男选2，共有种；
②若外科女医生不选，则一组内科3女选1，外科4男选2；
另一组内科2女选1，外科2男选2 ，共有种；
由于分赴甲乙两地，所以共有种．
【变式1】（2024上·辽宁抚顺·高二校联考期末）某5位同学排成一排准备照相时，又来了甲 乙 丙3位同学要加入，若保持原来5位同学的相对顺序不变，且甲 乙2位同学互不相邻，丙同学不站在两端，则不同的加入方法共有（ ）
A．360种 B．144种 C．180种 D．192种
【答案】D
【详解】分两种情况：
当丙不在甲 乙中间时，先加入甲，有种方法，再加入乙，有种方法，最后加入丙，有种方法，此时不同的加入方法共有种；
当丙在甲 乙中间时，共有种方法.
故不同的加入方法共有种.
故选：D
【变式2】（2024·江西·校联考模拟预测）唐宋八大家，又称唐宋散文八大家，是中国唐代韩愈、柳宗元，宋代苏洵、苏轼、苏辙、王安石、曾巩、欧阳修八位散文家的合称，其中江西独占三家，分别是：王安石、曾巩、欧阳修，他们掀起的古文革新浪潮，使诗文发展的陈旧面貌焕然一新.为弘扬中国传统文化，某校决定从唐宋八大家中挑选五位，于某周末开展他们的散文赏析课，五位散文家的散文赏析课各安排一节，连排五节.若在来自江西的三位散文家中至少选出两人，且他们的散文赏析课互不相邻，则不同的排课方法共有 种.（用数字作答）
【答案】
【详解】由题意可得，若挑选来自江西的三位散文家中选出两人，则另外五位中挑选三人，
则有种情况，且他们互不相邻，则有种情况，即；
若挑选来自江西的三位散文家中选出三人，则另外五位中挑选两人，且他们互不相邻，
则有种情况；
故不同的排课方法共有种情况.
故答案为：.
【变式3】（2023下·重庆荣昌·高二重庆市荣昌中学校校考期中）电影《长津湖》讲述了在极寒严酷环境下，中国人民志愿军凭着钢铁意志和英勇无畏的精神为长津湖战役胜利做出重要贡献的故事，现有4名男生和3名女生相约一起去观看该影片，他们的座位在同一排且连在一起．（列出算式，并计算出结果）
(1)女生必须坐在一起的坐法有多少种？
(2)女生互不相邻的坐法有多少种？
(3)甲、乙两位同学相邻且都不与丙同学相邻的坐法有多少种？
【答案】(1)720种
(2)1440种
(3)960种．
【详解】（1）根据题意，先将3个女生排在一起，有种排法，
将排好的女生视为一个整体，与4个男生进行排列，共有种排法，
由分步乘法计数原理，共有种排法；
（2）根据题意，先将4个男生排好，有种排法，
再在这4个男生之间及两头的5个空位中插入3个女生有种方法，
故符合条件的排法共有种；
（3）根据题意，先排甲、乙、丙以外的其他4人，有种排法，
由于甲、乙相邻，故再把甲、乙排好，有种排法，
最后把排好的甲、乙这个整体与丙分别插入原先排好的4人的5个空挡中有种排法，故符合条件的排法共有种．
题型07分组分配问题
【典例1】（2024上·辽宁·高二盘锦市高级中学校联考期末）2023年杭州亚运会志愿者第一小组有5人，需要分配到击剑 拳击 柔道比赛场馆，每个场馆至少1人，至多2人，则不同的分配方法有多少种（ ）
A．90种 B．150种 C．180种 D．240种
【答案】A
【详解】现将第一小组5人分层组，为一组1人两组2人，
所以有种，再将其分分配到击剑 拳击 柔道比赛场馆种，
所以共有种.
故选：A.
【典例2】（2023·全国·模拟预测）2023年7月28日至8月8日，第31届世界大学生夏季运动会在四川成都成功举办．某中学积极响应，举办学校运动会．小赵、小钱、小孙、小李、小周5位同学报名参加3个项目，每人只报名1个项目，每个项目至少1人，小赵和小钱不参加同一个项目，则不同的报名方法共有（ ）
A．72种 B．114种 C．120种 D．144种
【答案】B
【详解】方法一：5位同学报名参加3个项目，人数构成分为与两种情况，
先分组再将不同组分配去参加运动项目：
①小赵和小钱分别在2人组和2人组：；
②小赵和小钱分别在2人组和1人组：；
③小赵和小钱分别在1人组和1人组：；
④小赵和小钱分别在1人组和3人组：，
所以共有（种）不同的报名方法.
方法二：不考虑小赵与小钱的特殊要求，5位同学报名参加3个项目，
人数构成分为与两种情况：
①；②：，共有150种情况．
假如小赵与小钱参加同一个项目，分为他们都在2人组和都在3人组两种情况，
①都在2人组：；②都在3人组：，
考虑两人的特殊要求之后，共有（种）不同的报名方法.
故选：B．
【典例3】（2024上·天津南开·高三南开中学校考阶段练习）2023年成都大运会期间，5名同学到3个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，每个场馆至少安排1名同学，则不同的安排方法共有 种．
【答案】
【详解】名同学可分为三组，也可分为三组，
若分为三组，则安排的方法有种，
若分为三组，则安排的方法有种，
由分类加法计数原理可知，一共有种安排方法，
故答案为：.
【变式1】（2023上·江西·高二校联考阶段练习）某学校派出五名教师去三所乡村学校支教，其中有一对教师夫妇参与支教活动．根据相关要求，每位教师只能去一所学校参与支教，并且每所学校至少有一名教师参与支教，同时要求教师夫妇必须去同一所学校支教，则不同的安排方案有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
【答案】C
【详解】先将五个人分为三组， 每组的人数分别为、、或、、，
若三组的人数分别为、、，则教师夫妇必在三人的一组，
则教师夫妇这组还需从剩余的三人中抽人，此时，不同的分组方法数为种；
若三组人数分别为、、，则两人一组的有一组是教师夫妇，
只需将剩余三人分为两组，且这两组的人数分别为、，此时，不同的分组方法种数为种.
接下来，将所分的三组分配给三所不同的学校，
因此，不同的安排方案种数为种.
故选：C.
【变式2】（2024上·吉林·高二校联考期末）为了支援与促进边疆少数民族地区教育事业发展，某市教育系统选派了三位男教师和两位女教师支援新疆，这五名教师被分派到三个不同地方对口支援，每位教师只去一个地方，每个地方至少去一人，其中两位女教师分派到同一个地方的方法种数为（ ）
A．18 B．150 C．36 D．54
【答案】C
【详解】五名教师被分派到三个不同地方对口支援，每位教师只去一个地方，每个地方至少去一人，
分派方案可按人数分为3，1，1或2，2，1两种情况，
根据题意两位女教师分派到同一个地方，分派方案可分为两种情况：
若两位女教师分配到同一个地方，且该地方没有男老师，则有：种方法；
若两位女教师分配到同一个地方，且该地方有一位男老师，则有：种方法；
故共有：36种分派方法，
故选：．
【变式3】（2023上·河北沧州·高三泊头市第一中学校联考阶段练习）将六名志愿者分配到四个场所做志愿活动，其中场所至少分配两名志愿者，其他三个场所各至少分配一名志愿者，则不同的分配方案共有 种．（用数字作答）
【答案】660
【详解】第一类：A场所2人，B，C，D其中一场所2人，共有种；
第二类：A场所3人，，C，D每个场所1人，共有种；
则不同的分配方案共有种．
故答案为：660.
题型08二项展开式及其逆应用
【典例1】（2024上·广东广州·高三华南师大附中校考开学考试）设数列 的通项公式为，其前n项和为，则使的最小n是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由二项式定理，，，
根据指数函数单调性知则单调递增，
当时，，时，故的最小值为7.
故选：C.
【典例2】（2023上·高二课时练习）化简．
【答案】
【详解】原式
.
【变式1】 （2023下·河北·高二校联考阶段练习）若对，恒成立，其中，，则（ ）
A．3 B．2 C．0 D．
【答案】C
【详解】由，
得，所以，所以.
故选：C.
【变式2】（2023下·甘肃武威·高二校联考阶段练习）若对，恒成立，其中，则（ ）
A． B．0 C．2 D．3
【答案】C
【详解】由，
得，所以，.
故选：C.
题型09特定项（特定项系数）
【典例1】（2023上·山东·高三校联考阶段练习）已知的展开式中第4项与第6项的二项式系数相等，写出展开式中的一个有理项 ．
【答案】，，（写出其中一个即可）
【详解】由题意知，所以，
整理得，解得或（舍去），
所以的展开式的通项为：
，，．
若为有理项，则，所以，4，8，
故展开式中所有的有理项为：，
，．
故答案为：，，
【典例2】（2023·全国·模拟预测）展开式中的常数项为 ．
【答案】
【详解】因为，
则的展开通项公式为，
的展开通项公式为，
令，即，
可得和，
相加得，
故答案为：.
【典例3】（2023下·湖北荆门·高二统考期末）已知，设．
(1)求的值；
(2)求的展开式中的有理项．
【答案】(1)
(2)，，
【详解】（1）由已知得：,
解得：．
（2）当，展开式的通项为
，
要使之为有理项则为整数，
此时可以取到0，3，6
所以有理项分别是第1项，第4项，第7项，
，，．
【变式1】 （2023·全国·模拟预测）的展开式中常数项为 （用数字作答）．
【答案】46
【详解】若要得到展开式中的常数项，则只能第一个括号选且第二个括号里选6个，
或者第一个括号里面选一个3且第二个括号里面分别各选2个、4个，
所以展开式中常数项为．
故答案为：46.
【变式2】（2023上·天津和平·高三天津一中校考阶段练习）在的展开式中，的系数为 ．
【答案】24
【详解】二项式展开式的通项为，
由，得，则，所以x的系数为24.
故答案为：24.
【变式3】（2023下·湖北十堰·高二校考阶段练习）已知的展开式中，第6项为常数项.
(1)求含项的系数；
(2)求展开式中所有的有理项.
【答案】(1)
(2)，，.
【详解】（1）通项公式为.
因为第项为常数项，所以时，有，解得.
令，解得.
所以含项的系数为.
（2）由题意可知，，
则可能的取值为，，.
所以第项，第项，第项为有理项，分别为，，.
题型10二项式系数（含最值问题）
【典例1】（多选）（2023下·江苏无锡·高二江阴市华士高级中学校联考期中）若（）的展开式中第5项的二项式系数最大，则的可能取值为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】ABC
【详解】A选项，此时展开式有8项，第4项二次项系数，第5项二次项系数最大且相等，故满足题意，故A正确；
B选项，此时展开式有9项，第5项二次项系数最大，故满足题意，故B正确；
C选项，此时展开式有10项，第5项二次项系数，第6项二次项系数最大且相等，故满足题意，故C正确；
D选项，此时展开式有11项，第6项二次项系数最大，不合题意，故D错误.
故选：ABC
【典例2】（ 2023上·天津北辰·高三校考阶段练习）若展开式的二项式系数和为64，则展开式中第三项的二项式系数为 .
【答案】
【详解】展开式的二项式系数和为，故，
展开式中第三项的二项式系数为.
故答案为：.
【典例3】（2023·湖南邵阳·邵阳市第二中学校考模拟预测）已知在的展开式中，第3项的二项式系数与第4项的二项式系数相等，且的系数为，则 .
【答案】
【详解】二项式的展开式的通项公式为
，，
所以第3项的二项式系数，第4项的二项式系数为，
因为第3项的二项式系数与第4项的二项式系数相等，
所以，解得，
所以在的展开式中的系数为，
由已知，解得，
故答案为：.
【典例4】（2023下·河南郑州·高二校联考期中）已知展开式前三项的二项式系数和为.
(1)求展开式中各项的二项式系数和；
(2)求展开式中的常数项；
(3)求展开式中二项式系数最大的项.
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）由题意，展开式前三项的二项式系数和为.
二项式定理展开前三项二项式系数和为：，
解得：或（舍去），即的值为，
故有展开式中，各项二项式系数之和为.
（2）由通项公式，，
令，可得：.
展开式中的常数项为；
（3）是偶数，展开式共有项，则第四项最大，
展开式中二项式系数最大的项为.
【变式1】（2024上·山东日照·高三山东省五莲县第一中学校考期末）已知展开式中第3项和第5项的二项式系数相等，则 ，且展开式中的常数项为 .
【答案】 6 240
【详解】由题意得，所以.
又的展开式通项公式：
，
令，得
所以常数项为,
故答案为：①6;②240.
【变式2】（2023下·福建福州·高二福建省福州第八中学校考期末）的展开式中，若二项式系数最大的项仅是第4项，则展开式中的系数为 ．
【答案】
【详解】因为在二项式的展开式中，二项式系数最大的项仅是第4项，
所以展开式中第4项是中间项，共有7项，则，
所以展开式的通项公式为，
令，得，
所以展开式中含项的系数是.
故答案为：．
【变式3】（2023上·高二课时练习）已知的展开式中第7项和第8项的二项式系数相等，求展开式中系数最大的项及二项式系数最大的项．
【答案】答案见解析
【详解】因为的展开式中第7项的二项式系数是，第8项的二项式系数是，
则，解得，
所以的展开式共有项，则二项式系数最大的是第7和第8项，
又的展开通项公式为，
则，；
而第项的系数是，不妨设第项为系数最大的项，
则，即，
即，即，解得，则，
即第10项的系数最大，；
综上，展开式中系数最大的项为，二项式系数最大的项为与.
【变式4】（2023下·湖北宜昌·高二校联考期中）若展开式前三项的二项式系数之和为22.
(1)求展开式中二项式系数最大的项；
(2)求展开式中的常数项.
【答案】(1)
(2)135
【详解】（1）因为展开式前三项的二项式系数之和为22，所以，
即，
解得或（舍），故的值为6，
即展开式中最大的二项式系数为，所以展开式中二项式系数最大的项为第4项，
即.
（2）由题意知展开式中通项公式为，
令，解得，
所以，故展开式中的常数项为135.
题型11系数（含系数最大，小项）
【典例1】（2023上·山东日照·高三山东省五莲县第一中学校考期中）的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则的展开式中系数最大的项的系数为 .
【答案】1792
【详解】由得，
所以的展开式
一、数学思想方法
1、分类讨论思想
1．（2023上·高二课时练习）在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数的个数是（ ）
A．18 B．36
C．72 D．48
2．（2023下·海南省直辖县级单位·高二校考期中）有名歌舞演员，其中名会唱歌，名会跳舞，从中选出人，并指派一人唱歌，另一个跳舞，则不同的选派方法有 （ ）A．种 B．种 C．种 D．72种
3．（2023下·辽宁·高三朝阳市第一高级中学校联考阶段练习）武术是中国的四大国粹之一，某武校上午开设文化课，下午开设武术课，某年级武术课有太极拳、形意拳、长拳、兵器四门，计划从周一到周五每天下午排两门课，每周太极拳和形意拳上课三次，长拳和兵器上课两次，同样的课每天只上一次，则排课方式共有（ ）
A．19840种 B．16000种 C．31360种 D．9920种
4．（2024上·甘肃·高二统考期末）“莺啼岸柳弄春晴，柳弄春晴夜月明：明月夜晴春弄柳，晴春弄柳岸啼莺.”这是清代女诗人吴绛雪的一首回文诗，“回文”是汉语特有的一种使用语序回环往复的修辞手法，而数学上也有类似这样特征的一类“回文数”，如232，251152等，那么在所有五位正整数中，有且仅有两位数字是偶数的“回文数”共有 个.
5．（2023下·吉林白城·高二校考期末）部队是青年学生成长成才的大学校，是砥砺品格、增强意志的好课堂，是施展才华、成就事业的大舞台，国防和军队现代化建设迫切需要一大批有责任、敢担当的有志青年携笔从戎、报效祖国．为响应征兵号召，某高等院校7名男生和5名女生报名参军，经过逐层篮选，有5人通过入伍审核．
(1)若学生甲和乙都接到了入伍通知，其余入伍人员尚未接到通知，求所有可能结果有多少种？
(2)若至少有2名女生通过入伍审核，但入伍人员尚未接到通知，求所有可能结果有多少种？
2、整体思想
1．（2023上·广东东莞·高三校考阶段练习）某中学为庆祝建校130周年，高二年级派出甲 乙 丙 丁 戊5名老师参加“130周年办学成果展”活动，活动结束后5名老师排成一排合影留念，要求甲、乙两人不相邻且丙、丁两人必须相邻，则排法共有 种(用数字作答)．
2．（2023下·浙江温州·高二校联考期中），，，，，，6名同学站成一排参加文艺汇演，若不站在两端，和必须相邻，则不同的排列方式共有 种．
3．（2023上·高二课时练习）将5个人排成一排，若甲和乙必须排在一起，则有多少种不同的排法？
4．（2023上·高二课时练习）用1、2、3、4、5、6组成没有重复数字的六位数，要求所有相邻两个数字的奇偶性都不同，且1和2相邻．问：有多少个这样的六位数？
5．（2023下·山西晋城·高二晋城市第一中学校校考阶段练习）现有8个人（5男3女）站成一排.
(1)女生必须排在一起，共有多少种不同的排法
(2)女生两旁必须有男生，有多少种不同排法
3、 主元思想
1．（2023上·重庆永川·高三重庆市永川北山中学校校考阶段练习）为了全面推进乡村振兴，加快农村、农业现代化建设，某市准备派6位乡村振兴指导员到A，B，C，3地指导工作；每地上午和下午各安排一位乡村振兴指导员，且每位乡村振兴指导员只能被安排一次，其中张指导员不安排到地，李指导员不安排在下午，则不同的安排方案共有（ ）
A．180种 B．240种 C．480种 D．540种
2．（2023·全国·模拟预测）2022年10月16日至10月22日，中国共产党第二十次全国人民代表大会在北京召开．会议圆满结束后，某市为了宣传好二十大会议精神，市宣传部决定组织去甲、乙、丙、丁4个村开展二十大宣讲工作，每村至少1人，其中不去甲村，且不去同一个村，则宣讲的分配方案种数为（ ）
A．216 B．198 C．180 D．162
3．（2024上·上海·高二上海南汇中学校考期末）学校安排甲乙丙丁4名运动员参加米接力赛，其中甲不跑第一棒，则共有 种不同的接力方式.
4．（2023·全国·模拟预测）某医院选派甲、乙等4名医生到3个乡镇义诊，每个乡镇至少有一人，每名医生只能去一个乡镇，且甲、乙不在同一个乡镇，则不同的选派方法有 种．
5．（2023下·山西晋城·高二晋城市第一中学校校考阶段练习）现有包括甲、乙在内的5名同学在比赛后合影留念，若甲，乙均不在最左端，乙不在最右端，则符合要求的排列方法共有 种
4、“正难则反”思想
1．（2023下·河南洛阳·高二校考期中）某班团支部换届选举，从已产生的甲、乙、丙、丁四名候选人中选出三人分别担任书记、副书记和组织委员，并且规定：上届任职的甲、乙、丙三人不能连任原职，则不同的任职结果有（ ）.
A．15 B．11 C．14 D．23
2．（2023上·辽宁大连·高二大连市第十二中学校考阶段练习）将2个男生和4个女生排成一排，要求2个男生都不与女生甲相邻的排法有 种.
3．（2023上·安徽合肥·高三合肥一中校联考开学考试）第六届进博会招募志愿者，某校高一年级有3位同学报名，高二年级有5位同学报名，现要从报名的学生中选取4人，要求高一年级和高二年级的同学都有，则不同的选取方法种数为 .（结果用数值表示）
4．（2023上·高二课时练面上有10个点，其中有4个点在同一条直线上，除此以外，不再有三点共线.问：由这些点可以确定多少条直线？
5．（2023上·高二课时练习）（1）从10男8女中任选5人，共有多少种不同的选法？
（2）从10男8女中任选5人（男女都有）担任5项不同的工作，共有多少种不同的选法？
5、函数思想
1．（2022·湖北武汉·高三华中师大一附中校考阶段练习）设为正整数，展开式的二项式系数的最大值为，展开式的二项式系数的最大值为，若，则
A．5 B．6 C．7 D．8
2．（2023下·安徽滁州·高二校联考阶段练习）已知，则（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
3．（2022·高二课时练习）已知的展开式中所有的二项式系数之和为128.
（1）求展开式中二项式系数最大的项；
（2）求展开式中系数最大的项.
二、重点题型精讲
题型01两个计数原理的综合应用
【典例1】（2024上·甘肃白银·高二校考期末）安排5名志愿者完成四项工作，其中项工作需2人，项工作不安排5人中的甲完成，5名志愿者均分配了工作，且每项工作均有人完成，则不同的安排方法共有（ ）
A．66种 B．60种 C．54种 D．48种
【典例2】（2023上·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考阶段练习）教务处准备给高三某班的学生排周六的课表，上午五节课，下午三节课．若准备英语、物理、化学、地理各排一节课，数学、语文各排两节课连堂，且数学不排上午的第一节课，则不同的排课方式有（ ）
A．216种 B．384种 C．408种 D．432种
【典例3】（2023·全国·高二课堂例题）用0，1，2，…，9这十个数字，可以排成多少个没有重复数字的四位偶数？
【变式1】（2023·辽宁·辽宁实验中学校考模拟预测）2023年的五一劳动节是疫情后的第一个小长假，公司筹备优秀员工假期免费旅游．除常见的五个旅游热门地北京、上海、广州、深圳、成都外，淄博烧烤火爆全国，则甲、乙、丙、丁四个部门至少有三个部门所选旅游地全不相同的方法种数共有（ ）
A．1800 B．1080 C．720 D．360
【变式2】（2023·全国·模拟预测）为贯彻落实“立德树人”的根本任务，探索德智体美劳“五育并举”的实施路径，某校统筹推进以“五育并举＋教师教育”为特色的第二课堂养成体系，引导学生崇尚劳动、尊重劳动者、提高劳动素养，以劳动周的形式开展劳育工作的创新实践．若学生可以参加“民俗文化”“茶艺文化”“茶壶制作”“水果培育”“蔬菜种植”“3D打印”这六门劳动课中的一门，则甲、乙、丙、丁这4名学生中至少有3名所选劳动课全不相同的方法共有 种．
【变式3】（2023上·上海虹口·高三上海财经大学附属北郊高级中学校考期中）在由数字1，2，3，4，5组成的数字不重复的五位数中，小于50000的奇数有 个．
题型02数字排列问题
【典例1】（2023下·北京东城·高二景山学校校考期中）在，，，，，，这个数中任取个数，将其组成无重复数字的四位数，则能被整除，且比大的数共有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【典例2】（2023上·高二单元测试）由数字0，1，2，3，4，5可以组成无重复数字且奇偶数字相间的六位数的个数为 ．
【典例3】（2023下·高二课时练习）已知0， 1， 2， 3， 4， 5这六个数字．
(1)可以组成多少个数字不重复的三位奇数？
(2)可以组成多少个数字不重复的小于1 000的自然数？
(3)可以组成多少个数字不重复的大于3 000且小于5 421的四位数？
【变式1】（2023上·江苏·高三海安高级中学校联考阶段练习）若一个五位数的各个数位上的数字之和为3，则这样的五位数共有 个．
【变式2】（2023上·辽宁朝阳·高二建平县实验中学校考期末）将0，1，2，3，4这五个数字组成无重复数字的五位数，则：
(1)可以组成多少个偶数？
(2)可以组成多少个比13123大的数？
【变式3】（2023上·高二课时练习）用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的自然数，问：
(1)能够组成多少个五位偶数？
(2)能够组成多少个小于的正整数？
题型03涂色问题
【典例1】（2024上·辽宁沈阳·高二沈阳市第八十三中学校联考期末）学习涂色能锻炼手眼协调能力，更能提高审美能力.现有四种不同的颜色：湖蓝色 米白色 橄榄绿 薄荷绿，欲给小房子中的四个区域涂色，要求相邻区域不涂同一颜色，且橄榄绿与薄荷绿也不涂在相邻的区域内，则共有（ ）种不同的涂色方法.
A．78 B．66 C．56 D．48
【典例2】（2023·浙江·模拟预测）五行是华夏民族创造的哲学思想，多用于哲学 中医学和占卜方面，五行学说是华夏文明重要组成部分.古代先民认为，天下万物皆由五类元素组成，分别是金 木 水 火 土，彼此之间存在相生相克的关系.下图是五行图，现有5种颜色可供选择给五“行”涂色，要求五行相生不能用同一种颜色（例如金生火，水生木，不能同色），五行相克可以用同一种颜色（例如水克火，木克土，可以用同一种颜色），则不同的涂色方法种数有（ ）
A．3125 B．1000 C．1040 D．1020
【典例3】（2023下·湖北十堰·高二校考阶段练习）如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案共有 种（用数字作答）.
【变式1】（2023上·江西南昌·高三南昌市外国语学校校考阶段练习）某植物园要在如图所示的5个区域种植果树，现有5种不同的果树供选择，要求相邻区域不能种同一种果树，则共有（ ）种不同的方法.
A．120 B．360 C．420 D．480
【变式2】（2023下·江西·高三统考阶段练习）中国是世界上最早发明雨伞的国家，伞是中国劳动人民一个重要的创造.如图所示的雨伞，其伞面被伞骨分成8个区域，每个区域分别印有数字1，2，3，..，8，现准备给该伞面的每个区域涂色，要求每个区域涂一种颜色，相邻两个区域所涂颜色不能相同，对称的两个区域（如区域1与区域5）所涂颜色相同.若有7种不同颜色的颜料可供选择，则不同的涂色方案有（ ）
A．1050种 B．1260种 C．1302种 D．1512种
【变式3】（多选）（2023上·甘肃白银·高二校考期末）用种不同的颜色涂图中的矩形，要求相邻的矩形涂色不同，不同的涂色方法总种数记为，则（ ）
A． B．
C． D．
题型04全排列问题
【典例1】（2023上·湖南长沙·高二长郡中学校考阶段练习）为了弘扬我国古代的“六艺文化”，某学校欲利用每周的社团活动课开设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门课程，每周开设一门，连续开设六周，若课程“射”不排在第二周，课程“乐”不排在第五周，则所有可能的排法种数为
【典例2】（2023下·安徽滁州·高二校考期中）班级迎接元旦晚会有个唱歌节目、个相声节目和个魔术节目，要求排出一个节目单．
(1)2个相声节目要排在一起，有多少种排法？
(2)相声节目不排在第一个节目、魔术节目不排在最后一个节目，有多少种排法？
(3)现在临时增加个魔术节目，要求重新编排节目单，要求个相声节目不相邻且个魔术节目也不相邻，有多少种排法？
【典例3】（2023上·江西上饶·高二统考期末）求下列问题的排列数:
(1)3名男生和3名女生排成一排,男生甲和女生乙不能相邻;
(2)3名男生和3名女生排成一排,男生甲不能排排头,女生乙不能排排尾.
【变式1】（2023下·江苏扬州·高二统考期中）有四名男生，两名女生和两名老师站成一排照相，在下列情况下，各有多少种不同的站法？（结果用数字作答）
(1)两名老师站正中间；
(2)四名男生身高都不相等，从左向右看，四名男生按从高到低的顺序站.
【变式2】（2023下·江苏常州·高二常州市第一中学校考阶段练习）毕业典礼期间，国际班的7名师生站成一排拍照留念，其中老师1人，男学生4人.在下列各种情况下，有多少种不同的站法？请分别列式计算出结果
(1)前排站3人，后排站4人
(2)老师的左右两边都是女学生
(3)男学生互不相邻
(4)老师不站中间，且女学生不站两端
【变式3】（2021上·高二课时练习）如图，某伞厂生产的太阳伞蓬是由块相同的区域组成的，用种颜色分别涂在伞蓬的个区域内，且恰有一种颜色涂在相对区域内，则不同的颜色图案的此类太阳伞至多有多少种
题型05元素位置有限制问题
【典例1】（2024上·黑龙江·高二校联考期末）2023杭州亚运会于9月23日至10月8日举办，组委会将6名志愿者随机派往黄龙体育中心 杭州奥体中心 浙江大学紫金港校区三座体育馆工作，若每名志愿者只去一座体育馆工作，每座体育馆至少派1名志愿者，其中志愿者甲不去黄龙体育中心，则不同的分配方案种数为（ ）
A．180 B．300 C．360 D．380
【典例2】（2024上·河南·高二校联考期末）2023年10月23日，杭州亚运会历时16天圆满结束.亚运会结束后，甲 乙 丙 丁 戊五名同学排成一排合影留念，其中甲 乙均不能站左端，且甲 丙必须相邻，则不同的站法共有（ ）
A．18种 B．24种 C．30种 D．36种
【典例3】（2024·广西·模拟预测）第19届杭州亚运会的吉祥物，分别取名为“琮琮”“莲莲”“宸宸”，是一组承载深厚底蕴和充满时代活力的机器人，组合名为“江南忆”.现有6个不同的吉祥物，其中“琮琮”“莲莲”和“宸宸”各2个，将这6个吉祥物排成前后两排，每排3个，且每排相邻两个吉祥物名称不同，则排法种数共有 .（用数字作答）
【变式1】（2024·全国·高三专题练习）某班在一次班团活动中，安排2名男生和4名女生讲演，为安排这六名学生讲演的顺序，要求两名男生之间不超过1人讲演，且第一位和最后一位出场讲演的是女生．则不同的安排方法总数为（ ）
A．168 B．192 C．240 D．336
【变式2】（2024·全国·高三专题练习）已知A、B、C、D、E为0﹣9中五个不重复的数字，且满足以下竖式加法，则满足条件的四位数ABCD共有 个．
【变式3】（2024·全国·高三专题练习）甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行劳动技能比赛，决出第1名到第5名的名次，已知甲没有得到冠军，并且甲和乙都不是第5名，则这5个人名次排列的可能情况共有 种．
题型06相邻与不相邻问题
【典例1】（2024上·黑龙江牡丹江·高三牡丹江市第二高级中学校联考期末）7个人站成两排，前排3人，后排4人，其中甲乙两人必须挨着，甲丙必须分开站，则一共有（ ）种站排方式．
A．672 B．864 C．936 D．1056
【典例2】（2023·陕西安康·校联考模拟预测）斐波那契数列，又称黄金分割数列，指的是这样一个数列：1，1，2，3，5，8，…，这个数列从第3项开始，每一项都等于前两项之和，小李以前6项数字的某种排列作为他的银行卡密码，如果数字1与2不相邻，则小李可以设置的不同的密码个数为（ ）
A．144 B．120 C．108 D．96
【典例3】（2023上·江西宜春·高二江西省宜丰中学校考阶段练习）（1）现有4男2女共6个人排成一排照相，其中两个女生相邻的排法种数为多少？
（2）8个体育生名额，分配给5个班级，每班至少1个名额，有多少种分法？
（3）要排一份有4个不同的朗诵节目和3个不同的说唱节目的节目单，如果说唱节目不排在开头，并且任意两个说唱节目不排在一起，则不同的排法种数为多少？
（4）某医院有内科医生7名，其中3名女医生，有外科医生5名，其中只有1名女医生．现选派6名去甲、乙两地参加赈灾医疗队，要求每队必须2名男医生1名女医生，且每队由2名外科医生1名内科医生组成，有多少种派法？（最后结果都用数字作答）
【变式1】（2024上·辽宁抚顺·高二校联考期末）某5位同学排成一排准备照相时，又来了甲 乙 丙3位同学要加入，若保持原来5位同学的相对顺序不变，且甲 乙2位同学互不相邻，丙同学不站在两端，则不同的加入方法共有（ ）
A．360种 B．144种 C．180种 D．192种
【变式2】（2024·江西·校联考模拟预测）唐宋八大家，又称唐宋散文八大家，是中国唐代韩愈、柳宗元，宋代苏洵、苏轼、苏辙、王安石、曾巩、欧阳修八位散文家的合称，其中江西独占三家，分别是：王安石、曾巩、欧阳修，他们掀起的古文革新浪潮，使诗文发展的陈旧面貌焕然一新.为弘扬中国传统文化，某校决定从唐宋八大家中挑选五位，于某周末开展他们的散文赏析课，五位散文家的散文赏析课各安排一节，连排五节.若在来自江西的三位散文家中至少选出两人，且他们的散文赏析课互不相邻，则不同的排课方法共有 种.（用数字作答）
【变式3】（2023下·重庆荣昌·高二重庆市荣昌中学校校考期中）电影《长津湖》讲述了在极寒严酷环境下，中国人民志愿军凭着钢铁意志和英勇无畏的精神为长津湖战役胜利做出重要贡献的故事，现有4名男生和3名女生相约一起去观看该影片，他们的座位在同一排且连在一起．（列出算式，并计算出结果）
(1)女生必须坐在一起的坐法有多少种？
(2)女生互不相邻的坐法有多少种？
(3)甲、乙两位同学相邻且都不与丙同学相邻的坐法有多少种？
题型07分组分配问题
【典例1】（2024上·辽宁·高二盘锦市高级中学校联考期末）2023年杭州亚运会志愿者第一小组有5人，需要分配到击剑 拳击 柔道比赛场馆，每个场馆至少1人，至多2人，则不同的分配方法有多少种（ ）
A．90种 B．150种 C．180种 D．240种
【典例2】（2023·全国·模拟预测）2023年7月28日至8月8日，第31届世界大学生夏季运动会在四川成都成功举办．某中学积极响应，举办学校运动会．小赵、小钱、小孙、小李、小周5位同学报名参加3个项目，每人只报名1个项目，每个项目至少1人，小赵和小钱不参加同一个项目，则不同的报名方法共有（ ）
A．72种 B．114种 C．120种 D．144种
【典例3】（2024上·天津南开·高三南开中学校考阶段练习）2023年成都大运会期间，5名同学到3个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，每个场馆至少安排1名同学，则不同的安排方法共有 种．
【变式1】（2023上·江西·高二校联考阶段练习）某学校派出五名教师去三所乡村学校支教，其中有一对教师夫妇参与支教活动．根据相关要求，每位教师只能去一所学校参与支教，并且每所学校至少有一名教师参与支教，同时要求教师夫妇必须去同一所学校支教，则不同的安排方案有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
【变式2】（2024上·吉林·高二校联考期末）为了支援与促进边疆少数民族地区教育事业发展，某市教育系统选派了三位男教师和两位女教师支援新疆，这五名教师被分派到三个不同地方对口支援，每位教师只去一个地方，每个地方至少去一人，其中两位女教师分派到同一个地方的方法种数为（ ）
A．18 B．150 C．36 D．54
【变式3】（2023上·河北沧州·高三泊头市第一中学校联考阶段练习）将六名志愿者分配到四个场所做志愿活动，其中场所至少分配两名志愿者，其他三个场所各至少分配一名志愿者，则不同的分配方案共有 种．（用数字作答）
题型08二项展开式及其逆应用
【典例1】（2024上·广东广州·高三华南师大附中校考开学考试）设数列 的通项公式为，其前n项和为，则使的最小n是（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（2023上·高二课时练习）化简．
【变式1】 （2023下·河北·高二校联考阶段练习）若对，恒成立，其中，，则（ ）
A．3 B．2 C．0 D．
【变式2】（2023下·甘肃武威·高二校联考阶段练习）若对，恒成立，其中，则（ ）
A． B．0 C．2 D．3
题型09特定项（特定项系数）
【典例1】（2023上·山东·高三校联考阶段练习）已知的展开式中第4项与第6项的二项式系数相等，写出展开式中的一个有理项 ．
【典例2】（2023·全国·模拟预测）展开式中的常数项为 ．
【典例3】（2023下·湖北荆门·高二统考期末）已知，设．
(1)求的值；
(2)求的展开式中的有理项．
【变式1】 （2023·全国·模拟预测）的展开式中常数项为 （用数字作答）．
【变式2】（2023上·天津和平·高三天津一中校考阶段练习）在的展开式中，的系数为 ．
【变式3】（2023下·湖北十堰·高二校考阶段练习）已知的展开式中，第6项为常数项.
(1)求含项的系数；
(2)求展开式中所有的有理项.
题型10二项式系数（含最值问题）
【典例1】（多选）（2023下·江苏无锡·高二江阴市华士高级中学校联考期中）若（）的展开式中第5项的二项式系数最大，则的可能取值为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【典例2】（ 2023上·天津北辰·高三校考阶段练习）若展开式的二项式系数和为64，则展开式中第三项的二项式系数为 .
【典例3】（2023·湖南邵阳·邵阳市第二中学校考模拟预测）已知在的展开式中，第3项的二项式系数与第4项的二项式系数相等，且的系数为，则 .
【典例4】（2023下·河南郑州·高二校联考期中）已知展开式前三项的二项式系数和为.
(1)求展开式中各项的二项式系数和；
(2)求展开式中的常数项；
(3)求展开式中二项式系数最大的项.
【变式1】（2024上·山东日照·高三山东省五莲县第一中学校考期末）已知展开式中第3项和第5项的二项式系数相等，则 ，且展开式中的常数项为 .
【变式2】（2023下·福建福州·高二福建省福州第八中学校考期末）的展开式中，若二项式系数最大的项仅是第4项，则展开式中的系数为 ．
【变式3】（2023上·高二课时练习）已知的展开式中第7项和第8项的二项式系数相等，求展开式中系数最大的项及二项式系数最大的项．
【变式4】（2023下·湖北宜昌·高二校联考期中）若展开式前三项的二项式系数之和为22.
(1)求展开式中二项式系数最大的项；
(2)求展开式中的常数项.
题型11系数（含系数最大，小项）
【典例1】（2023上·山东日照·高三山东省五莲县第一中学校考期中）的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则的展开式中系数最大的项的系数为 .
【典例2】（2023下·高二课时练习）在的展开式中.
(1)求第三项的系数；
(2)系数的绝对值最大的项是第几项？
(3)求系数最大的项与系数最小的项.
【典例3】（2022·高二课时练习）已知的展开式中，二项式系数和为256.
(1)此展开式中有没有常数项？有理项的个数是几个？并说明理由；
(2)求展开式中系数最小的项.
【变式1】（2024上·上海·高二上海市复旦中学校考期末）已知在的展开式中，前三项的系数分别为，，，且满足．
(1)求展开式中系数最大的项；
(2)求展开式中所有有理项．
【变式2】（2023上·高二课时练习）求的二项展开式中系数最大的项．
【变式3】（2023·高二课时练习）(1)已知在的二项展开式中，只有第六项的二项式系数最大，求该二项展开式中不含x的项；
(2)已知在的二项展开式中，只有第七项的系数最大，求n的值；
(3)已知在的二项展开式中，第六项的系数最小，求n的值．
题型12二项式系数和与系数和
【典例1】（2023上·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习）若，则（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（多选）（2023·广西·模拟预测）已知，则（ ）
A．展开式中所有二项式的系数和为 B．展开式中二项式系数最大项为第1012项
C． D．
【典例3】（2023上·广西河池·高三贵港市高级中学校联考阶段练习）在的二项式中，所有的二项式系数之和为64，则各项的系数的绝对值之和为 ．
【典例4】（2024上·辽宁葫芦岛·高二统考期末）已知二项式，且满足.
(1)求的值；
(2)求的值.
【变式1】（2023下·河南郑州·高二校考阶段练习）已知，则下列结论不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】（2023上·重庆·高三重庆市万州沙河中学校联考阶段练习）已知展开式的二项式系数之和为256，则其展开式中的系数为 .（用数字作答）
【变式3】（2023下·江苏宿迁·高二统考期中）已知，若展开式各项的二项式系数的和为1024，则的值为 ．
【变式4】（2022上·辽宁铁岭·高三校联考期末）已知的二项式系数和为256，则展开式中含项的系数为 ．
题型13 二项式定理应用
【典例1】（2023上·江苏南京·高三南京市第一中学校考阶段练习）中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究.设a，b，m(m＞0)为整数，若和被除得的余数相同，则称和对模同余，记为.若，，则的值可以是（ ）
A．2018 B．2020
C．2022 D．2024
【典例2】（2023·全国·高三专题练习）泰勒公式是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式，得名于英国数学家泰勒．根据泰勒公式，有，其中，，，．现用上述式子求的值，下列选项中与该值最接近的是（ ）
A． B． C． D．
【典例3】（2024上·上海松江·高二上海市松江二中校考期末）已知.
(1)求的值；
(2)设，求被6除的余数.
【变式1】（2023下·甘肃武威·高二校联考阶段练习）若，且（，且），则（ ）
A．1 B．2 C．15 D．16
【变式2】（多选）（2023上·江苏镇江·高三江苏省镇江中学校考阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．精确到0.1的近似数为1.6
C．被8整除的余数为1
D．
【变式3】（2024·陕西咸阳·校考模拟预测）已知正项等比数列中，成等差数列，其前项和为，若，则除以7的余数为 .
题型14 杨辉三角形
【典例1】（2023上·四川成都·高一四川省蒲江县蒲江中学校考开学考试）我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下的《详解九章算法》，书中记载的图表给出了展开式的系数规律.
当代数式的值为1时，则x的值为（ ）
A．2或4 B．2或 C．2 D．
【典例2】（多选）（2023上·江西·高三校联考阶段练习）为引导游客领略传统数学研究的精彩并传播中国传统文化，某景点推出了“解数学题获取名胜古迹入场码”的活动.活动规则如下：如图所示，将杨辉三角第行第个数记为，并从左腰上的各数出发，引一组平行的斜线，记第条斜线上所有数字之和为，入场码由两段数字组成，前段的数字是的值，后段的数字是的值，则（ ）
A． B．
C． D．该景点入场码为
【典例3】（2023下·安徽芜湖·高二统考期末）杨辉是我国古代数学史上一位著述丰富的数学家，著有《详解九章算法》 《日用算法》和《杨辉算法》，杨辉在1261年所著的《详解九章算法》给出了如下图1所示的表，我们称这个表为杨辉三角，图2是杨辉三角的数字表示，杨辉三角的发现要比欧洲早500年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的.
杨辉三角本身包含了很多有趣的性质，利用这些性质，可以解决很多数学问题.
性质1：杨辉三角的第行就是的展开式的二项式系数；
性质2（对称性）：每行中与首末两端“等距离”之数相等，即；
性质3（递归性）：除1以外的数都等于肩上两数之和，即；
性质4：自腰上的某个1开始平行于腰的一条线上的连续个数的和等于最后一个数斜右下方的那个数，比如：；
请回答以下问题：
(1)求杨辉三角中第8行的各数之和；
(2)证明：；
(3)在的展开式中，求含项的系数.
【变式1】（2023·江西景德镇·统考三模）如图为“杨辉三角”示意图，已知每行的数字之和构成的数列为等比数列且记该数列前项和为，设，将数列中的整数项依次取出组成新的数列记为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（多选）（2023下·山东菏泽·高二山东省鄄城县第一中学校考阶段练习）将杨辉三角中的每一个数都换成，得到如图所示的分数三角形，称为莱布尼茨三角形．莱布尼茨三角形具有很多优美的性质，如从第0行开始每一个数均等于其“脚下”两个数之和，如果，那么下面关于莱布尼茨三角形的结论正确的是（ ）
A．当n是偶数时，中间的一项取得最大值；当n是奇数时，中间的两项相等，且同时取得最大值
B．第8行第2个数是
C．（，）
D．（，）
【变式3】（2023下·河北石家庄·高二河北新乐市第一中学校考阶段练习）将杨辉三角中的每一个数都换成，得到如图所示的分数三角形，称为莱布尼茨三角形.莱布尼茨三角形具有很多优美的性质，如从第0行开始每一个数均等于其“脚下”两个数之和，如果（n为正整数），那么下面关于莱布尼茨三角形的结论中正确的序号是 .
①当n是偶数时，中间的一项取得最大值；当n是奇数时，中间的两项相等，且同时取得最大值；②第8行第2个数是；③（，）；
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第06讲 第六章 计数原理 章末题型大总结
一、数学思想方法
1、分类讨论思想
1．（2023上·高二课时练习）在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数的个数是（ ）
A．18 B．36
C．72 D．48
【答案】B
【详解】解法一：
按十位上的数字分别是1，2，3，4，5，6，7，8分成八类，
在每一类中满足条件的两位数分别有8个、7个、6个、5个、4个、3个、2个、1个．
由分类加法计数原理知，满足条件的两位数共有个．
解法二：
按个位上的数字分别是2，3，4，5，6，7，8，9分成八类，
在每一类中满足条件的两位数分别有1个、2个、3个、4个、5个、6个、7个、8个．
由分类加法计数原理知，满足条件的两位数共有个．
解法三 ：
所有的两位数共有90个，
其中个位数字等于十位数字的两位数为11，22，33，…，99，共9个；
有10，20，30，…，90共9个两位数的个位数字与十位数字不能调换位置，
则剩余的两位数有个．
在这72个两位数中，每一个个位数字（a）小于十位数字（b）的两位数都有一个十位数字（a）小于个位数字（b）的两位数与之对应，
故满足条件的两位数的个数是.
故选：B.
2．（2023下·海南省直辖县级单位·高二校考期中）有名歌舞演员，其中名会唱歌，名会跳舞，从中选出人，并指派一人唱歌，另一个跳舞，则不同的选派方法有 （ ）A．种 B．种 C．种 D．72种
【答案】C
【详解】根据题意，有名歌舞演员，其中名会唱歌，名会跳舞，
则既会跳舞又会唱歌的有人，
只会唱歌的有人，只会跳舞的有人;
若选出2人，没有既会跳舞又会唱歌，则有种选法，
若选出2人中有1人既会跳舞又会唱歌，则有种选法，
若选出2人全部是既会跳舞又会唱歌的，则有种选法，
综上共有种选法.
故选：C.
3．（2023下·辽宁·高三朝阳市第一高级中学校联考阶段练习）武术是中国的四大国粹之一，某武校上午开设文化课，下午开设武术课，某年级武术课有太极拳、形意拳、长拳、兵器四门，计划从周一到周五每天下午排两门课，每周太极拳和形意拳上课三次，长拳和兵器上课两次，同样的课每天只上一次，则排课方式共有（ ）
A．19840种 B．16000种 C．31360种 D．9920种
【答案】D
【详解】先从5天中选3天排太极拳，有种，
然后再从所选的3天中选一节排太极拳有种，
所以太极拳有种排法，
若五天中有天既有太极拳又有形意拳，
则哪一天重复有种，
再从另外不重复的2天中每天选1天排形意拳，有种，
再从剩下的4节课中选2节排长拳，有种，则另外2节排兵器，
所以有种，
若五天中有天既有太极拳又有形意拳，
则哪两天重复有种，
再从另外不重复的2天中排形意拳，有种，
再从剩下的4节课中抽2节课排长拳，有种，则另外2节排兵器，
但排在同一天不合适，所以有种，
所以共有种，
若五天中有天既有太极拳又有形意拳，
则剩下的4节课中选2节排长拳，有种，再去掉排同一天的种，
所以有种，
综上所述：共有
种.
故选：D.
4．（2024上·甘肃·高二统考期末）“莺啼岸柳弄春晴，柳弄春晴夜月明：明月夜晴春弄柳，晴春弄柳岸啼莺.”这是清代女诗人吴绛雪的一首回文诗，“回文”是汉语特有的一种使用语序回环往复的修辞手法，而数学上也有类似这样特征的一类“回文数”，如232，251152等，那么在所有五位正整数中，有且仅有两位数字是偶数的“回文数”共有 个.
【答案】225
【详解】依题意，五位正整数中 “回文数”具有：
万位与个位数字相同，且不为0，千位与十位数字相同，
求有且仅有两位数字是偶数的“回文数”的个数有两类办法：
第一类：万位数字为偶数且不为0有4种，千位选一个奇数有5种，
百位选一个奇数有5种，
不同 “回文数”的个数为个，
第二类：万位数字为奇数有5种，千位选一个偶数有5种，百位选一个奇数有5种，
不同 “回文数”的个数为，
由分类加法原理得，
在所有五位正整数中，有且仅有两位数字是偶数的“回文数”共有：个.
故答案为：225
5．（2023下·吉林白城·高二校考期末）部队是青年学生成长成才的大学校，是砥砺品格、增强意志的好课堂，是施展才华、成就事业的大舞台，国防和军队现代化建设迫切需要一大批有责任、敢担当的有志青年携笔从戎、报效祖国．为响应征兵号召，某高等院校7名男生和5名女生报名参军，经过逐层篮选，有5人通过入伍审核．
(1)若学生甲和乙都接到了入伍通知，其余入伍人员尚未接到通知，求所有可能结果有多少种？
(2)若至少有2名女生通过入伍审核，但入伍人员尚未接到通知，求所有可能结果有多少种？
【答案】(1)120
(2)596
【详解】（1）因为学生甲和乙都接到了入伍通知，其余入伍人员尚未接到通知，
所以从学生甲和乙以外的10人中任选3人，
所以所有的可能结果有种．
（2）从12人中任选5人的所有可能结果有种，
选出的5人中没有女生所有可能结果有种，
选出的5人中有1名女生所有可能结果有种，
所以至少有2名女生被选出的选法数为种．
2、整体思想
1．（2023上·广东东莞·高三校考阶段练习）某中学为庆祝建校130周年，高二年级派出甲 乙 丙 丁 戊5名老师参加“130周年办学成果展”活动，活动结束后5名老师排成一排合影留念，要求甲、乙两人不相邻且丙、丁两人必须相邻，则排法共有 种(用数字作答)．
【答案】24
【详解】将丙、丁捆绑排列有种，再把他们作为整体与戊排成一排有种，
排完后其中有3个空，最后将甲、乙插入其中的两个空有种，
综上，共有种排法.
故答案为：
2．（2023下·浙江温州·高二校联考期中），，，，，，6名同学站成一排参加文艺汇演，若不站在两端，和必须相邻，则不同的排列方式共有 种．
【答案】
【详解】根据题意，由于和相邻，把和看成一个元素，与其他个人全排列，有种排法，
其中站在两端的排法有种，
则有种符合题意的排法．
故答案为：．
3．（2023上·高二课时练习）将5个人排成一排，若甲和乙必须排在一起，则有多少种不同的排法？
【答案】48
【详解】根据捆绑法，
共有种不同的排法.
4．（2023上·高二课时练习）用1、2、3、4、5、6组成没有重复数字的六位数，要求所有相邻两个数字的奇偶性都不同，且1和2相邻．问：有多少个这样的六位数？
【答案】40
【详解】先排3、5，有种方法，再将4、6插空排列，有种方法，
最后将捆绑放到3、4、5、6形成的5个空中，
且保持所有相邻两个数字的奇偶性都不同，共有种方法，
综上：一共有个这样的六位数.
5．（2023下·山西晋城·高二晋城市第一中学校校考阶段练习）现有8个人（5男3女）站成一排.
(1)女生必须排在一起，共有多少种不同的排法
(2)女生两旁必须有男生，有多少种不同排法
【答案】(1)4320
(2)2880
【详解】（1）根据题意，先将3名女生看成一个整体，考虑三人之间的顺序，有种情况，
将这个整体与5名男生全排列，有种情况，
则女生必须排在一起的排法有种；
（2）根据题意，将5名男生全排列，有种情况，
排好后除去2端有4个空位可选，在4个空位中任选3个，安排3名女生，有种情况，
则女生两旁必须有男生，有种不同排法
3、 主元思想
1．（2023上·重庆永川·高三重庆市永川北山中学校校考阶段练习）为了全面推进乡村振兴，加快农村、农业现代化建设，某市准备派6位乡村振兴指导员到A，B，C，3地指导工作；每地上午和下午各安排一位乡村振兴指导员，且每位乡村振兴指导员只能被安排一次，其中张指导员不安排到地，李指导员不安排在下午，则不同的安排方案共有（ ）
A．180种 B．240种 C．480种 D．540种
【答案】B
【详解】李指导员安排在C地上午时，张指导员有种安排方案，其余4位指导员有种安排方案，则共有种安排方案；
李指导员不安排在C地上午时，李指导员有种安排方案，张指导员有种安排方案，其余4位指导员有种安排方案，则共有种安排方案；
综上，共有96+144=240种安排方案.
故选：B
2．（2023·全国·模拟预测）2022年10月16日至10月22日，中国共产党第二十次全国人民代表大会在北京召开．会议圆满结束后，某市为了宣传好二十大会议精神，市宣传部决定组织去甲、乙、丙、丁4个村开展二十大宣讲工作，每村至少1人，其中不去甲村，且不去同一个村，则宣讲的分配方案种数为（ ）
A．216 B．198 C．180 D．162
【答案】D
【详解】当单独去一个村时，有种，
当与除以外的另外一人去一个村时，有种，
所以共有种分配方案．
故选：D
3．（2024上·上海·高二上海南汇中学校考期末）学校安排甲乙丙丁4名运动员参加米接力赛，其中甲不跑第一棒，则共有 种不同的接力方式.
【答案】
【详解】甲先在第二、三、四棒中选一棒，有种选法，
乙丙丁三人选择除甲选择之外的三棒，全排列即可，有种选法，
所以一共有种接力方式，
故答案为：.
4．（2023·全国·模拟预测）某医院选派甲、乙等4名医生到3个乡镇义诊，每个乡镇至少有一人，每名医生只能去一个乡镇，且甲、乙不在同一个乡镇，则不同的选派方法有 种．
【答案】30
【详解】由题意知可按甲、乙两人的选派情况分两类：
①甲、乙均单独去一个乡镇，则剩下的2人一起去另一个乡镇，共有种选派方法；
②甲、乙两人有一人和另外2人中的一人一起去一个乡镇，剩下的2人均单独去一个乡镇，共有种选派方法．
由分类加法计数原理可知，不同的选派方法共有（种）．
故答案为：
5．（2023下·山西晋城·高二晋城市第一中学校校考阶段练习）现有包括甲、乙在内的5名同学在比赛后合影留念，若甲，乙均不在最左端，乙不在最右端，则符合要求的排列方法共有 种
【答案】54
【详解】先排乙，从中间的3个位置中选1个安排乙，则有种方法，
再排甲，从除左端外，剩下的3个位置中选1个安排甲，则有种方法，
最后排其余3个，有种方法，
所以由分步乘法原理可知共有种方法，
故答案为：54
4、“正难则反”思想
1．（2023下·河南洛阳·高二校考期中）某班团支部换届选举，从已产生的甲、乙、丙、丁四名候选人中选出三人分别担任书记、副书记和组织委员，并且规定：上届任职的甲、乙、丙三人不能连任原职，则不同的任职结果有（ ）.
A．15 B．11 C．14 D．23
【答案】B
【详解】四人中选出三人分别任职三个不同的岗位，其方法数为，
三个职位中有一位连任，假设上届任职的甲、乙、丙三人分别担任书记、副书记和组织委员，
假设甲连任书记，副书记可选的人选分别为丙和丁，
当丁担任了副书记，则组织委员只能选乙；当丙担任了副书记，则组织委员只能选乙和丁，
故其方法数为；
三个职位中有两位连任，其方法数为；
三个职位中三位都连任，其方法数为1.
故符合题意的方法数为.
故选：B.
2．（2023上·辽宁大连·高二大连市第十二中学校考阶段练习）将2个男生和4个女生排成一排，要求2个男生都不与女生甲相邻的排法有 种.
【答案】288
【详解】先将除甲外其它3个女生排一排有种，共有4个空，
若2个男生与女生甲排一起有种，再将他们插入上述4个空中的一个有种，
此时，共有种；
若2个男生中的一个与女生甲排一起有种，再将他们和另一个男生插入上述4个空中的两个有种，
此时，共有种；
又6个人做全排列有种，故2个男生都不与女生甲相邻的排法有种.
故答案为：
3．（2023上·安徽合肥·高三合肥一中校联考开学考试）第六届进博会招募志愿者，某校高一年级有3位同学报名，高二年级有5位同学报名，现要从报名的学生中选取4人，要求高一年级和高二年级的同学都有，则不同的选取方法种数为 .（结果用数值表示）
【答案】65
【详解】由题意，要求高一年级和高二年级的同学都有，
则有.
另解：间接法：.
故答案为：65
4．（2023上·高二课时练面上有10个点，其中有4个点在同一条直线上，除此以外，不再有三点共线.问：由这些点可以确定多少条直线？
【答案】
【详解】方法一（直接法）共线的4点记为A，B，C，D.
第一类：A，B，C，D确定1条直线
第二类：A，B，C，D以外的6个点可确定条直线；
第三类：从A，B，C，D中任取1点，其余6点中任取1点可确定条直线．
根据分类计数原理，共有不同直线（条）.
方法二（间接法）10个点取2个点共有种，
4个共线点取2个共有种，以上均表示同一条直线，再加上4个共线点所在的直线，
则可确定不同的直线有（条）.
5．（2023上·高二课时练习）（1）从10男8女中任选5人，共有多少种不同的选法？
（2）从10男8女中任选5人（男女都有）担任5项不同的工作，共有多少种不同的选法？
【答案】（1）；（2）
【详解】（1）从10男8女中任选5人有种不同的选法；
（2）从10男8女中任选5人担任5项不同的工作有种不同的选法，
其中5人全部是男生的有种不同的选法，全部是女生有种不同的选法，
故符合条件的方法种数为：.
5、函数思想
1．（2022·湖北武汉·高三华中师大一附中校考阶段练习）设为正整数，展开式的二项式系数的最大值为，展开式的二项式系数的最大值为，若，则
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】B
【详解】为正整数，由展开式的二项式系数的最大值为，以及二项式系数的性质可得，
同理，由展开式的二项式系数的最大值为，可得．
再由，可得，即，
即，即，解得，
故选：．
2．（2023下·安徽滁州·高二校联考阶段练习）已知，则（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】C
【详解】因为，
所以，即，解得或，
因为，所以.
故选：C．
3．（2022·高二课时练习）已知的展开式中所有的二项式系数之和为128.
（1）求展开式中二项式系数最大的项；
（2）求展开式中系数最大的项.
【答案】（1），；（2）.
【详解】（1）由题意，知，所以.在二项式系数中，最大的是与，
故二项式系数最大的项是第4项与第5项，即，.
（2）设第项的系数最大，
则有，由于，故，所以系数最大的项是第6项，即.
二、重点题型精讲
题型01两个计数原理的综合应用
【典例1】（2024上·甘肃白银·高二校考期末）安排5名志愿者完成四项工作，其中项工作需2人，项工作不安排5人中的甲完成，5名志愿者均分配了工作，且每项工作均有人完成，则不同的安排方法共有（ ）
A．66种 B．60种 C．54种 D．48种
【答案】D
【详解】甲去完成项工作，有种不同的安排方式；
甲不去完成项工作，又项工作不安排甲完成，有种不同的安排方式，
故共有种不同的安排方式．
故选：D
【典例2】（2023上·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考阶段练习）教务处准备给高三某班的学生排周六的课表，上午五节课，下午三节课．若准备英语、物理、化学、地理各排一节课，数学、语文各排两节课连堂，且数学不排上午的第一节课，则不同的排课方式有（ ）
A．216种 B．384种 C．408种 D．432种
【答案】D
【详解】由题意，数学、语文不能同时安排在下午，
若数学（连堂）安排在下午，在英语、物理、化学、地理中选一种安排在下午有种，
再把余下的三科与语文（连堂）安排在上午，把上午看作四节课，则有种，
此时共有种；
若语文（连堂）安排在下午，在英语、物理、化学、地理中选一种安排在下午有种，
再把余下的三科与数学（连堂）安排在上午，且数学不排上午的第一节课，
把上午看作四节课，数学只能安排在后三节有种，其余三科全排有种，
此时共有种；
若数学、语文都安排在上午，在英语、物理、化学、地理中选一种安排在上午有种，
将上午看作三节课，且数学不排上午的第一节课，有种，
再把余下的三科安排在下午作全排有种，
此时共有种；
综上，共有种.
故选：D
【典例3】（2023·全国·高二课堂例题）用0，1，2，…，9这十个数字，可以排成多少个没有重复数字的四位偶数？
【答案】2296
【详解】满足条件的四位数可以分为两类：
第一类的末位数字是0，有个，
第二类的末位数字不是0，要排成这样的四位数，可以分成三个步骤来完成：
第一步，确定末位数字，因为只能是2，4，6或8，所以有种方法；
第二步，确定首位数字，因为数字不能重复，所以有种方法；
第三步，确定中间两位数字，有种方法，
由分步乘法计数原理可知，这样的数字有个，
由分类加法计数原理可知，满足条件的四位数个数为
.
【变式1】（2023·辽宁·辽宁实验中学校考模拟预测）2023年的五一劳动节是疫情后的第一个小长假，公司筹备优秀员工假期免费旅游．除常见的五个旅游热门地北京、上海、广州、深圳、成都外，淄博烧烤火爆全国，则甲、乙、丙、丁四个部门至少有三个部门所选旅游地全不相同的方法种数共有（ ）
A．1800 B．1080 C．720 D．360
【答案】B
【详解】①恰有2个部门所选的旅游地相同，
第一步，先将选相同的2个部门取出，有种；
第二步，从6个旅游地中选出3个排序，有种，
根据分步计数原理可得，方法有种；
②4个部门所选的旅游地都不相同的方法有种，
根据分类加法计数原理得，则甲、乙、丙、丁四个部门至少有三个部门所选旅游地全不相同的方法种数共有种．
故选：B
【变式2】（2023·全国·模拟预测）为贯彻落实“立德树人”的根本任务，探索德智体美劳“五育并举”的实施路径，某校统筹推进以“五育并举＋教师教育”为特色的第二课堂养成体系，引导学生崇尚劳动、尊重劳动者、提高劳动素养，以劳动周的形式开展劳育工作的创新实践．若学生可以参加“民俗文化”“茶艺文化”“茶壶制作”“水果培育”“蔬菜种植”“3D打印”这六门劳动课中的一门，则甲、乙、丙、丁这4名学生中至少有3名所选劳动课全不相同的方法共有 种．
【答案】1080
【详解】分两种情况讨论：
若4名学生选的课全不同，则有种方法；
若有3名学生选的课全不同，即只有2名学生选的课相同，则有种方法．
故共有种方法．
故答案为：1080
【变式3】（2023上·上海虹口·高三上海财经大学附属北郊高级中学校考期中）在由数字1，2，3，4，5组成的数字不重复的五位数中，小于50000的奇数有 个．
【答案】
【详解】小于50000的奇数万位只能是1，2，3，4，个位只能为1，3，5，
①万位为或，则万位有种方法，个位有种方法，
其余各位为种方法，则种方法；
②万位为或，则万位有种方法，个位有种方法，
其余各位为种方法，则种方法；
共有：种方法.
故答案为：.
题型02数字排列问题
【典例1】（2023下·北京东城·高二景山学校校考期中）在，，，，，，这个数中任取个数，将其组成无重复数字的四位数，则能被整除，且比大的数共有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】C
【详解】若这个数的千位数为，百位数为，则这个数可以是，，共个，
若这个数的千位数为，百位数为，则这个数的个位只能是，
满足条件的数共有个，
若这个数的千位数为，百位数为，则满足条件的数共有个，
若这个数的千位数为，这个数的个位只能是，则满足条件的数共有个，
若这个数的千位数为，则满足条件的数共有个，
根据分类计数原理，可得满足条件的数共有个．
故选：C．
【典例2】（2023上·高二单元测试）由数字0，1，2，3，4，5可以组成无重复数字且奇偶数字相间的六位数的个数为 ．
【答案】60
【详解】当首位为奇数时，则奇数位上都是奇数才能满足题意，这样三个位奇数在三个奇数位置排列，
三个偶数在三个偶数位置排列共有种结果，
当首位是偶数时，三个奇数在偶数位置排列，三个偶数有两个可以排在首位，
共有种结果，
根据分类计数原理可以得到共有种结果.
故答案为：60．
【典例3】（2023下·高二课时练习）已知0， 1， 2， 3， 4， 5这六个数字．
(1)可以组成多少个数字不重复的三位奇数？
(2)可以组成多少个数字不重复的小于1 000的自然数？
(3)可以组成多少个数字不重复的大于3 000且小于5 421的四位数？
【答案】(1)48
(2)131
(3)175
【详解】（1）分3步：
①先选个位数字，由于组成的三位数是奇数，因此有3种选法；
②再选百位数字有4种选法；
③十位数字也有4种选法；
由分步计数原理知所求三位数共有个.
（2）分3类：
①一位数，共有6个；
②两位数，先选十位数字，有种选法；再选个位数字也有种选法，共有个；
③三位数，先选百位数字，有种选法；再选十位数字也有种选法；再选个位数字，有种选法，共有个；
因此，比1 000小的自然数共有个．
（3）分4类：
①千位数字为或时，后面三个数位上可随便选择，此时共有个；
②千位数字为，百位数字为之一时，共有个；
③千位数字为，百位数字是，十位数字为之一时，共有个；
④也满足条件；
故所求四位数共有个.
【变式1】（2023上·江苏·高三海安高级中学校联考阶段练习）若一个五位数的各个数位上的数字之和为3，则这样的五位数共有 个．
【答案】
【详解】若一个五位数的各个数位上的数字之和为3，则这样的五位数可分为类：
第一类，五位数的各个数位上的数字是个，个组成，
则由首位不为可知，在首位，其余各位为，即，仅有种方法；
第二类，五位数的各个数位上的数字是个，个，个组成，
则由首位不为可知，或在首位，选个放在首位，另个则从其它个位选个位放上，其余各位为，
共有种方法；
第三类，五位数的各个数位上的数字是个，个组成，
则由首位不为可知，在首位，在其它个位中选个位为，其余各位为，共有种方法；
所以由分类计数原理可得共有个这样的五位数.
故答案为：.
【变式2】（2023上·辽宁朝阳·高二建平县实验中学校考期末）将0，1，2，3，4这五个数字组成无重复数字的五位数，则：
(1)可以组成多少个偶数？
(2)可以组成多少个比13123大的数？
【答案】(1)60；
(2)82.
【详解】（1）当个位数字为0时，可以组成个偶数；
当个位数字不为0时，可以组成个偶数；
所以可以组成个偶数.
（2）所组成的比13123大的五位数，可以分为以下2类：
第一类：形如，共有个，
第二类：形如，共有个，
所以可以组成个比13123大的数.
【变式3】（2023上·高二课时练习）用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的自然数，问：
(1)能够组成多少个五位偶数？
(2)能够组成多少个小于的正整数？
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）依题意，当0在个位时，组成五位偶数个数为；
当2,4在个位时，组成五位偶数，首位不为0，则个数为，
共计组成的五位偶数个数为；
（2）小于的正整数有：
一位数有5个；
两位数有个；
三位数有个；
四位数1为千位时有
四位数2为千位时有，3个；
小于的正整数共有个.
题型03涂色问题
【典例1】（2024上·辽宁沈阳·高二沈阳市第八十三中学校联考期末）学习涂色能锻炼手眼协调能力，更能提高审美能力.现有四种不同的颜色：湖蓝色 米白色 橄榄绿 薄荷绿，欲给小房子中的四个区域涂色，要求相邻区域不涂同一颜色，且橄榄绿与薄荷绿也不涂在相邻的区域内，则共有（ ）种不同的涂色方法.
A．78 B．66 C．56 D．48
【答案】B
【详解】当选择两种颜色时，因为榄绿与薄荷绿不涂在相邻的区域内，
所以共有种选法，因此不同的涂色方法有种，
当选择三种颜色且橄榄绿与薄荷绿都被选中，则有种方法选法，
因此不同的涂色方法有种，
当选择三种颜色且橄榄绿与薄荷绿只有一个被选中，则有种方法选法，
因此不同的涂色方法有种，
当选择四种颜色时，不同的涂色方法有种，
所以共有种不不同的涂色方法，
故选：B.
【典例2】（2023·浙江·模拟预测）五行是华夏民族创造的哲学思想，多用于哲学 中医学和占卜方面，五行学说是华夏文明重要组成部分.古代先民认为，天下万物皆由五类元素组成，分别是金 木 水 火 土，彼此之间存在相生相克的关系.下图是五行图，现有5种颜色可供选择给五“行”涂色，要求五行相生不能用同一种颜色（例如金生火，水生木，不能同色），五行相克可以用同一种颜色（例如水克火，木克土，可以用同一种颜色），则不同的涂色方法种数有（ ）
A．3125 B．1000 C．1040 D．1020
【答案】D
【详解】五行相克可以用同一种颜色，也可以不用同一种颜色，即无限制条件.
五行相生不能用同一种颜色，即相邻位置不能用同一种颜色.
故问题转化为如图五个区域，
有种不同的颜色可用，要求相邻区域不能涂同一种颜色，即色区域的环状涂色问题.
分为以下两类情况：
第一类：三个区域涂三种不同的颜色，
第一步涂区域，
从种不同的颜色中选种按序涂在不同的个区域上，则有种方法，
第二步涂区域，由于颜色不同，有种方法，
第三步涂区域，由于颜色不同，则有种方法，
由分步计数原理，则共有种方法；
第二类：三个区域涂两种不同的颜色，
由于不能涂同一色，则涂一色，或涂同一色，两种情况方法数相同.
若涂一色，
第一步涂区域，可看成同一区域，且区域不同色，
即涂个区域不同色，
从种不同的颜色中选种按序涂在不同的个区域上，则有种方法，
第二步涂区域，由于颜色相同，则有种方法，
第三步涂区域，由于颜色不同，则有种方法，
由分步计数原理，则共有种方法；
若涂一色，与涂一色的方法数相同，
则共有种方法.
由分类计数原理可知，不同的涂色方法共有种.
故选：D.
【典例3】（2023下·湖北十堰·高二校考阶段练习）如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案共有 种（用数字作答）.
【答案】
【详解】如图，用表示个区域，
分4步进行分析：
①，对于区域，有5种颜色可选；
②，对于区域，与区域相邻，有4种颜色可选；
③，对于区域，与、区域相邻，有3种颜色可选；
④，对于区域、，若与颜色相同，区域有3种颜色可选，
若与颜色不相同，区域有2种颜色可选，区域有2种颜色可选，
则区域、有种选择，
则不同的涂色方案有种.
故答案为：.
【变式1】（2023上·江西南昌·高三南昌市外国语学校校考阶段练习）某植物园要在如图所示的5个区域种植果树，现有5种不同的果树供选择，要求相邻区域不能种同一种果树，则共有（ ）种不同的方法.
A．120 B．360 C．420 D．480
【答案】C
【详解】分两类情况：
第一类：2与4种同一种果树，
第一步种1区域，有5种方法；
第二步种2与4区域，有4种方法；
第三步种3区域，有3种方法；
最后一步种5区域，有3种方法，
由分步计数原理共有种方法；
第二类：2与4种不同果树，
第一步在1234四个区域，从5种不同的果树中选出4种果树种上，是排列问题，共有种方法；
第二步种5号区域，有2种方法，
由分步计数原理共有种方法.
再由分类计数原理，共有种不同的方法.
故选：C.
【变式2】（2023下·江西·高三统考阶段练习）中国是世界上最早发明雨伞的国家，伞是中国劳动人民一个重要的创造.如图所示的雨伞，其伞面被伞骨分成8个区域，每个区域分别印有数字1，2，3，..，8，现准备给该伞面的每个区域涂色，要求每个区域涂一种颜色，相邻两个区域所涂颜色不能相同，对称的两个区域（如区域1与区域5）所涂颜色相同.若有7种不同颜色的颜料可供选择，则不同的涂色方案有（ ）
A．1050种 B．1260种 C．1302种 D．1512种
【答案】C
【详解】由题意可得，只需确定区域的颜色，即可确定整个伞面的涂色.
先涂区域1，有7种选择；再涂区域2，有6种选择.
当区域3与区域1涂的颜色不同时，区域3有5种选择，剩下的区域4有5种选择.
当区域3与区域1涂的颜色相同时，剩下的区域4有6种选择.
故不同的涂色方案有种.
故选：C
【变式3】（多选）（2023上·甘肃白银·高二校考期末）用种不同的颜色涂图中的矩形，要求相邻的矩形涂色不同，不同的涂色方法总种数记为，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【详解】当时，分四步：
第一步，涂处，有3种涂色方案；第二步，涂处，有2种涂色方案；
第三步，涂处，有2种涂色方案；第四步，涂处，有1种涂色方案.
所以不同的涂色方法共种数为，所以，故A正确；
当时，分四步：
第一步，涂处，有4种涂色方案；第二步，涂处，有3种涂色方案；
第三步，涂处，有3种涂色方案；第四步，涂处，有2种涂色方案.
所以不同的涂色方法共种数为，所以，故B错误；
当时，分四步：
第一步，涂处，有5种涂色方案；第二步，涂处，有4种涂色方案；
第三步，涂处，有4种涂色方案；第四步，涂处，有3种涂色方案.
所以不同的涂色方法共种数为，所以，故C错误；
当时，分四步：
第一步，涂处，有6种涂色方案；第二步，涂处，有5种涂色方案；
第三步，涂处，有5种涂色方案；第四步，涂处，有4种涂色方案.
所以不同的涂色方法共种数为，所以，故D正确.
故选：AD.
题型04全排列问题
【典例1】（2023上·湖南长沙·高二长郡中学校考阶段练习）为了弘扬我国古代的“六艺文化”，某学校欲利用每周的社团活动课开设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门课程，每周开设一门，连续开设六周，若课程“射”不排在第二周，课程“乐”不排在第五周，则所有可能的排法种数为
【答案】504
【详解】“射”不在第二周且“乐”不在第五周的排法可以分为两类：
第一类“射”排在第五周的排法，排法有种，
第二类“射”不在第二和第五周且“乐”不在第五周的排法，
①若“乐”在第二周，则射有四种选法，然后剩余四项全排列，则共有种排法
②若“乐”不在第二周，则“射”与乐共有种选法，然后剩余四项全排列则共有种，
由分类加法原理可得总的排法数为，
故答案为：504.
【典例2】（2023下·安徽滁州·高二校考期中）班级迎接元旦晚会有个唱歌节目、个相声节目和个魔术节目，要求排出一个节目单．
(1)2个相声节目要排在一起，有多少种排法？
(2)相声节目不排在第一个节目、魔术节目不排在最后一个节目，有多少种排法？
(3)现在临时增加个魔术节目，要求重新编排节目单，要求个相声节目不相邻且个魔术节目也不相邻，有多少种排法？
【答案】(1)种
(2)种
(3)种
【详解】（1）将个相声节目捆绑在一起，看成个节目，与其余个节目一起排，
则共有种不同排法；
（2）若相声节目排在第一个节目，则有种不同排法，
若魔术节目排在最后一个节目，则有种不同排法，
若相声节目排在第一个节目，并且魔术节目排在最后一个节目，则有种不同排法，
则相声节目不排在第一个节目、魔术节目不排在最后一个节目，
可以用个节目的全排列减去相声节目排在第一个节目的排列数和魔术节目排在最后一个节目的排列数，
再加上相声节目排在第一个节目并且魔术节目排在最后一个节目的排列数，
所以共有种不同排法；
（3）若个相声节目相邻，则有种不同排法，
若个魔术节目相邻，也有种不同排法，
若个相声节目相邻，并且个魔术节目也相邻，则有种不同排法，
则个相声节目不相邻且个魔术节目也不相邻，可由个节目的全排列减去个相声节目相邻的排列数和个魔术节目相邻的排列数，
再加上个相声节目相邻并且个魔术节目也相邻的排列数，
所以共有种不同排法．
【典例3】（2023上·江西上饶·高二统考期末）求下列问题的排列数:
(1)3名男生和3名女生排成一排,男生甲和女生乙不能相邻;
(2)3名男生和3名女生排成一排,男生甲不能排排头,女生乙不能排排尾.
【答案】(1)480
(2)504
【详解】（1）解:由题知共6人,除去男生甲和女生乙外,还有4人,
将4人全排共种,
4人排好后留下5个位置,将这5个位置分给甲乙,有种,
所以男生甲和女生乙不能相邻共种
（2）由于男生甲不能排排头,女生乙不能排排尾,
当乙排排头时,甲没有限制,此时排列数为种,
当乙不排排头,因为乙不能排排尾,
所以乙只能排中间4个位置中,共种,
因为甲不能排排头,除去排头位置和已经排好的乙外,
还有4个位置,选一个位置给甲,有种,
此时还有另4人,没有限制,全排列有种,
故当乙不排派头时有种,
所以男生甲不能排排头,女生乙不能排排尾共计:
种.
【变式1】（2023下·江苏扬州·高二统考期中）有四名男生，两名女生和两名老师站成一排照相，在下列情况下，各有多少种不同的站法？（结果用数字作答）
(1)两名老师站正中间；
(2)四名男生身高都不相等，从左向右看，四名男生按从高到低的顺序站.
【答案】(1)1440
(2)1680
【详解】（1）2名老师站中间，有种站法，6名学生有种站法，
故共有种；
（2）先从8个位置中选出4个位置给4名男生，有种方法，再在剩下的4个位置上排其余4人，有种站法，
故四名男生从左到右按照由高到低的顺序的站法有=1680（种）．
【变式2】（2023下·江苏常州·高二常州市第一中学校考阶段练习）毕业典礼期间，国际班的7名师生站成一排拍照留念，其中老师1人，男学生4人.在下列各种情况下，有多少种不同的站法？请分别列式计算出结果
(1)前排站3人，后排站4人
(2)老师的左右两边都是女学生
(3)男学生互不相邻
(4)老师不站中间，且女学生不站两端
【答案】(1)5040
(2)240
(3)144
(4)2112
【详解】（1）解：因为前排站3人，后排站4人，只需全排，将后4人站到后排即可，
即共种；
（2）因为老师1人，男学生4人，所以女学生2人，
将两名女生与一名老师捆绑共种，
再将捆绑后的三位和剩余4人一起排列共有：种，
所以共种；
（3）先将两名女生和一名老师全排，共种，
共有4个空，将4名男生插空有种，
所以共种；
（4）当老师站两端时，先排老师，有2种情况，再在中间5个位置选两个给女生进行排列，
再将剩余的4位男生全排列，共种，
当老师不站两端时，且不站中间，则有4种情况，
再选2个男生站两端进行排列，剩下的人全排，
共有种，
所以共有种.
【变式3】（2021上·高二课时练习）如图，某伞厂生产的太阳伞蓬是由块相同的区域组成的，用种颜色分别涂在伞蓬的个区域内，且恰有一种颜色涂在相对区域内，则不同的颜色图案的此类太阳伞至多有多少种
【答案】
【详解】如图，对个区域进行编号，任选一组对称区域（如与）同色，
用种颜色涂个区域的不同涂法有种，
又由于与，与，与，与是对称的，即重复染色次，
故此种图案至多有（种）.
题型05元素位置有限制问题
【典例1】（2024上·黑龙江·高二校联考期末）2023杭州亚运会于9月23日至10月8日举办，组委会将6名志愿者随机派往黄龙体育中心 杭州奥体中心 浙江大学紫金港校区三座体育馆工作，若每名志愿者只去一座体育馆工作，每座体育馆至少派1名志愿者，其中志愿者甲不去黄龙体育中心，则不同的分配方案种数为（ ）
A．180 B．300 C．360 D．380
【答案】C
【详解】若甲单独一组：由于甲同学不去黄龙体育中心，所以先排甲共有种，
再将其余5人分成两组共有种，分配到另外两个体育中心共有，
所以此类情况共有种；
若甲与其他志愿者一组：先安排甲共有种，
然后将其余5人分成三组共有种，
再将三组分配到三个体育馆共种，
所以此类情况共有种.
综上，不同的分配方案共有360种.
故选：C.
【典例2】（2024上·河南·高二校联考期末）2023年10月23日，杭州亚运会历时16天圆满结束.亚运会结束后，甲 乙 丙 丁 戊五名同学排成一排合影留念，其中甲 乙均不能站左端，且甲 丙必须相邻，则不同的站法共有（ ）
A．18种 B．24种 C．30种 D．36种
【答案】C
【详解】由题意可知，当丙站在左端时，有种站法；
当丙不站在左端时，有种站法.
由分类加法计数原理可得，一共有种不同的站法.
故选：C.
【典例3】（2024·广西·模拟预测）第19届杭州亚运会的吉祥物，分别取名为“琮琮”“莲莲”“宸宸”，是一组承载深厚底蕴和充满时代活力的机器人，组合名为“江南忆”.现有6个不同的吉祥物，其中“琮琮”“莲莲”和“宸宸”各2个，将这6个吉祥物排成前后两排，每排3个，且每排相邻两个吉祥物名称不同，则排法种数共有 .（用数字作答）
【答案】336
【详解】由题意可分两种情形：
①前排含有两种不同名称的吉祥物，
首先，前排从“琮琮”“莲莲”和“宸宸”中取两种，有种情况，
从选出的两种吉祥物中，其中一种取两个，另一种选一个，有种排法，
选出的三个吉祥物进行排列，选一个的一定放中间，名字相同的放两边，
由于属于不同的吉祥物，故有种排法，
综上，有种排法；
其次，后排剩余两个相同名字的吉祥物和另一个名字不同的吉祥物，
故有种排法，故共有种不同的排法；
②前排含有三种不同名称的吉祥物，
先从“琮琮”“莲莲”和“宸宸”各二选一，有种选法，
再进行全排列，故有种排法；
同理后排有种排法，此时共有种排法；
因此，共有种排法，
故答案为：336.
【变式1】（2024·全国·高三专题练习）某班在一次班团活动中，安排2名男生和4名女生讲演，为安排这六名学生讲演的顺序，要求两名男生之间不超过1人讲演，且第一位和最后一位出场讲演的是女生．则不同的安排方法总数为（ ）
A．168 B．192 C．240 D．336
【答案】C
【详解】第一位和最后一位出场讲演的是女生，有种，
中间4人，为2男2女，任意排列有种，
若中间2名女生，则有种，则满足条件的有种，
则共有种不同的安排方法．
故选：C
【变式2】（2024·全国·高三专题练习）已知A、B、C、D、E为0﹣9中五个不重复的数字，且满足以下竖式加法，则满足条件的四位数ABCD共有 个．
【答案】4
【详解】由题可知，个位无进位且为，所以，
千位为，所以千位上的是由百位进1得到的，即，
百位有进位则，所以，，
十位的个位为，则有进位，则，
所以，，，
所以满足条件的四位数ABCD为：5983，3985，1987，7981，共4个．
故答案为：4．
【变式3】（2024·全国·高三专题练习）甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行劳动技能比赛，决出第1名到第5名的名次，已知甲没有得到冠军，并且甲和乙都不是第5名，则这5个人名次排列的可能情况共有 种．
【答案】54
【详解】解：甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行劳动技能比赛，决出第1名到第5名的名次，
已知甲没有得到冠军，并且甲和乙都不是第5名，则甲有种排法，
当乙是冠军时，剩下的有种排法，
当乙不是冠军时，有＝12种排法，
则这5个人名次排列的可能情况共有种．
故答案为：54．
题型06相邻与不相邻问题
【典例1】（2024上·黑龙江牡丹江·高三牡丹江市第二高级中学校联考期末）7个人站成两排，前排3人，后排4人，其中甲乙两人必须挨着，甲丙必须分开站，则一共有（ ）种站排方式．
A．672 B．864 C．936 D．1056
【答案】D
【详解】当甲站在每一排的两端时，有4种站法，此时乙的位置确定，剩下的人随便排，有种站排方式；
当甲不站在每一排的两端时，有3种站法，此时乙和甲相邻有两个位置可选，丙和甲不相邻有四个位置可选，剩下的人随便站，有种站排方式；
故总共有种站排方式.
故选：D．
【典例2】（2023·陕西安康·校联考模拟预测）斐波那契数列，又称黄金分割数列，指的是这样一个数列：1，1，2，3，5，8，…，这个数列从第3项开始，每一项都等于前两项之和，小李以前6项数字的某种排列作为他的银行卡密码，如果数字1与2不相邻，则小李可以设置的不同的密码个数为（ ）
A．144 B．120 C．108 D．96
【答案】A
【详解】命题意图 本题考查排列与组合的应用．
解析 先排数字2，3，5，8，有种排法，4个数字形成5个空当．
第一类：若两个1相邻，则从可选择的3个空当中选出一个放入两个1，有3种排法；
第二类：若两个1也不相邻，则从可选择的3个空当中选出两个分别放入数字1，
有3种排法．所以密码个数为．
故选：A
【典例3】（2023上·江西宜春·高二江西省宜丰中学校考阶段练习）（1）现有4男2女共6个人排成一排照相，其中两个女生相邻的排法种数为多少？
（2）8个体育生名额，分配给5个班级，每班至少1个名额，有多少种分法？
（3）要排一份有4个不同的朗诵节目和3个不同的说唱节目的节目单，如果说唱节目不排在开头，并且任意两个说唱节目不排在一起，则不同的排法种数为多少？
（4）某医院有内科医生7名，其中3名女医生，有外科医生5名，其中只有1名女医生．现选派6名去甲、乙两地参加赈灾医疗队，要求每队必须2名男医生1名女医生，且每队由2名外科医生1名内科医生组成，有多少种派法？（最后结果都用数字作答）
【答案】（1）；（2）；（3）576；（4）.
【详解】（1）两个女生相邻捆绑处理，有种；
（2）将8个体育生名额排成一列，在形成的中间7个空隙中插入4块隔板，
所以不同的放法种数为；
（3）第1步，先排4个朗诵节目共种；
第2步，排说唱节目，不相邻则用插空法，且保证不放到开头，
从剩下4个空中选3个插空共有种，所以一共有=576种排法；
（4）先分类：
①若外科女医生必选，则一组内科4男选1，外科4男选1；
另一组内科3女中选1女，外科3男选2，共有种；
②若外科女医生不选，则一组内科3女选1，外科4男选2；
另一组内科2女选1，外科2男选2 ，共有种；
由于分赴甲乙两地，所以共有种．
【变式1】（2024上·辽宁抚顺·高二校联考期末）某5位同学排成一排准备照相时，又来了甲 乙 丙3位同学要加入，若保持原来5位同学的相对顺序不变，且甲 乙2位同学互不相邻，丙同学不站在两端，则不同的加入方法共有（ ）
A．360种 B．144种 C．180种 D．192种
【答案】D
【详解】分两种情况：
当丙不在甲 乙中间时，先加入甲，有种方法，再加入乙，有种方法，最后加入丙，有种方法，此时不同的加入方法共有种；
当丙在甲 乙中间时，共有种方法.
故不同的加入方法共有种.
故选：D
【变式2】（2024·江西·校联考模拟预测）唐宋八大家，又称唐宋散文八大家，是中国唐代韩愈、柳宗元，宋代苏洵、苏轼、苏辙、王安石、曾巩、欧阳修八位散文家的合称，其中江西独占三家，分别是：王安石、曾巩、欧阳修，他们掀起的古文革新浪潮，使诗文发展的陈旧面貌焕然一新.为弘扬中国传统文化，某校决定从唐宋八大家中挑选五位，于某周末开展他们的散文赏析课，五位散文家的散文赏析课各安排一节，连排五节.若在来自江西的三位散文家中至少选出两人，且他们的散文赏析课互不相邻，则不同的排课方法共有 种.（用数字作答）
【答案】
【详解】由题意可得，若挑选来自江西的三位散文家中选出两人，则另外五位中挑选三人，
则有种情况，且他们互不相邻，则有种情况，即；
若挑选来自江西的三位散文家中选出三人，则另外五位中挑选两人，且他们互不相邻，
则有种情况；
故不同的排课方法共有种情况.
故答案为：.
【变式3】（2023下·重庆荣昌·高二重庆市荣昌中学校校考期中）电影《长津湖》讲述了在极寒严酷环境下，中国人民志愿军凭着钢铁意志和英勇无畏的精神为长津湖战役胜利做出重要贡献的故事，现有4名男生和3名女生相约一起去观看该影片，他们的座位在同一排且连在一起．（列出算式，并计算出结果）
(1)女生必须坐在一起的坐法有多少种？
(2)女生互不相邻的坐法有多少种？
(3)甲、乙两位同学相邻且都不与丙同学相邻的坐法有多少种？
【答案】(1)720种
(2)1440种
(3)960种．
【详解】（1）根据题意，先将3个女生排在一起，有种排法，
将排好的女生视为一个整体，与4个男生进行排列，共有种排法，
由分步乘法计数原理，共有种排法；
（2）根据题意，先将4个男生排好，有种排法，
再在这4个男生之间及两头的5个空位中插入3个女生有种方法，
故符合条件的排法共有种；
（3）根据题意，先排甲、乙、丙以外的其他4人，有种排法，
由于甲、乙相邻，故再把甲、乙排好，有种排法，
最后把排好的甲、乙这个整体与丙分别插入原先排好的4人的5个空挡中有种排法，故符合条件的排法共有种．
题型07分组分配问题
【典例1】（2024上·辽宁·高二盘锦市高级中学校联考期末）2023年杭州亚运会志愿者第一小组有5人，需要分配到击剑 拳击 柔道比赛场馆，每个场馆至少1人，至多2人，则不同的分配方法有多少种（ ）
A．90种 B．150种 C．180种 D．240种
【答案】A
【详解】现将第一小组5人分层组，为一组1人两组2人，
所以有种，再将其分分配到击剑 拳击 柔道比赛场馆种，
所以共有种.
故选：A.
【典例2】（2023·全国·模拟预测）2023年7月28日至8月8日，第31届世界大学生夏季运动会在四川成都成功举办．某中学积极响应，举办学校运动会．小赵、小钱、小孙、小李、小周5位同学报名参加3个项目，每人只报名1个项目，每个项目至少1人，小赵和小钱不参加同一个项目，则不同的报名方法共有（ ）
A．72种 B．114种 C．120种 D．144种
【答案】B
【详解】方法一：5位同学报名参加3个项目，人数构成分为与两种情况，
先分组再将不同组分配去参加运动项目：
①小赵和小钱分别在2人组和2人组：；
②小赵和小钱分别在2人组和1人组：；
③小赵和小钱分别在1人组和1人组：；
④小赵和小钱分别在1人组和3人组：，
所以共有（种）不同的报名方法.
方法二：不考虑小赵与小钱的特殊要求，5位同学报名参加3个项目，
人数构成分为与两种情况：
①；②：，共有150种情况．
假如小赵与小钱参加同一个项目，分为他们都在2人组和都在3人组两种情况，
①都在2人组：；②都在3人组：，
考虑两人的特殊要求之后，共有（种）不同的报名方法.
故选：B．
【典例3】（2024上·天津南开·高三南开中学校考阶段练习）2023年成都大运会期间，5名同学到3个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，每个场馆至少安排1名同学，则不同的安排方法共有 种．
【答案】
【详解】名同学可分为三组，也可分为三组，
若分为三组，则安排的方法有种，
若分为三组，则安排的方法有种，
由分类加法计数原理可知，一共有种安排方法，
故答案为：.
【变式1】（2023上·江西·高二校联考阶段练习）某学校派出五名教师去三所乡村学校支教，其中有一对教师夫妇参与支教活动．根据相关要求，每位教师只能去一所学校参与支教，并且每所学校至少有一名教师参与支教，同时要求教师夫妇必须去同一所学校支教，则不同的安排方案有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
【答案】C
【详解】先将五个人分为三组， 每组的人数分别为、、或、、，
若三组的人数分别为、、，则教师夫妇必在三人的一组，
则教师夫妇这组还需从剩余的三人中抽人，此时，不同的分组方法数为种；
若三组人数分别为、、，则两人一组的有一组是教师夫妇，
只需将剩余三人分为两组，且这两组的人数分别为、，此时，不同的分组方法种数为种.
接下来，将所分的三组分配给三所不同的学校，
因此，不同的安排方案种数为种.
故选：C.
【变式2】（2024上·吉林·高二校联考期末）为了支援与促进边疆少数民族地区教育事业发展，某市教育系统选派了三位男教师和两位女教师支援新疆，这五名教师被分派到三个不同地方对口支援，每位教师只去一个地方，每个地方至少去一人，其中两位女教师分派到同一个地方的方法种数为（ ）
A．18 B．150 C．36 D．54
【答案】C
【详解】五名教师被分派到三个不同地方对口支援，每位教师只去一个地方，每个地方至少去一人，
分派方案可按人数分为3，1，1或2，2，1两种情况，
根据题意两位女教师分派到同一个地方，分派方案可分为两种情况：
若两位女教师分配到同一个地方，且该地方没有男老师，则有：种方法；
若两位女教师分配到同一个地方，且该地方有一位男老师，则有：种方法；
故共有：36种分派方法，
故选：．
【变式3】（2023上·河北沧州·高三泊头市第一中学校联考阶段练习）将六名志愿者分配到四个场所做志愿活动，其中场所至少分配两名志愿者，其他三个场所各至少分配一名志愿者，则不同的分配方案共有 种．（用数字作答）
【答案】660
【详解】第一类：A场所2人，B，C，D其中一场所2人，共有种；
第二类：A场所3人，，C，D每个场所1人，共有种；
则不同的分配方案共有种．
故答案为：660.
题型08二项展开式及其逆应用
【典例1】（2024上·广东广州·高三华南师大附中校考开学考试）设数列 的通项公式为，其前n项和为，则使的最小n是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由二项式定理，，，
根据指数函数单调性知则单调递增，
当时，，时，故的最小值为7.
故选：C.
【典例2】（2023上·高二课时练习）化简．
【答案】
【详解】原式
.
【变式1】 （2023下·河北·高二校联考阶段练习）若对，恒成立，其中，，则（ ）
A．3 B．2 C．0 D．
【答案】C
【详解】由，
得，所以，所以.
故选：C.
【变式2】（2023下·甘肃武威·高二校联考阶段练习）若对，恒成立，其中，则（ ）
A． B．0 C．2 D．3
【答案】C
【详解】由，
得，所以，.
故选：C.
题型09特定项（特定项系数）
【典例1】（2023上·山东·高三校联考阶段练习）已知的展开式中第4项与第6项的二项式系数相等，写出展开式中的一个有理项 ．
【答案】，，（写出其中一个即可）
【详解】由题意知，所以，
整理得，解得或（舍去），
所以的展开式的通项为：
，，．
若为有理项，则，所以，4，8，
故展开式中所有的有理项为：，
，．
故答案为：，，
【典例2】（2023·全国·模拟预测）展开式中的常数项为 ．
【答案】
【详解】因为，
则的展开通项公式为，
的展开通项公式为，
令，即，
可得和，
相加得，
故答案为：.
【典例3】（2023下·湖北荆门·高二统考期末）已知，设．
(1)求的值；
(2)求的展开式中的有理项．
【答案】(1)
(2)，，
【详解】（1）由已知得：,
解得：．
（2）当，展开式的通项为
，
要使之为有理项则为整数，
此时可以取到0，3，6
所以有理项分别是第1项，第4项，第7项，
，，．
【变式1】 （2023·全国·模拟预测）的展开式中常数项为 （用数字作答）．
【答案】46
【详解】若要得到展开式中的常数项，则只能第一个括号选且第二个括号里选6个，
或者第一个括号里面选一个3且第二个括号里面分别各选2个、4个，
所以展开式中常数项为．
故答案为：46.
【变式2】（2023上·天津和平·高三天津一中校考阶段练习）在的展开式中，的系数为 ．
【答案】24
【详解】二项式展开式的通项为，
由，得，则，所以x的系数为24.
故答案为：24.
【变式3】（2023下·湖北十堰·高二校考阶段练习）已知的展开式中，第6项为常数项.
(1)求含项的系数；
(2)求展开式中所有的有理项.
【答案】(1)
(2)，，.
【详解】（1）通项公式为.
因为第项为常数项，所以时，有，解得.
令，解得.
所以含项的系数为.
（2）由题意可知，，
则可能的取值为，，.
所以第项，第项，第项为有理项，分别为，，.
题型10二项式系数（含最值问题）
【典例1】（多选）（2023下·江苏无锡·高二江阴市华士高级中学校联考期中）若（）的展开式中第5项的二项式系数最大，则的可能取值为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】ABC
【详解】A选项，此时展开式有8项，第4项二次项系数，第5项二次项系数最大且相等，故满足题意，故A正确；
B选项，此时展开式有9项，第5项二次项系数最大，故满足题意，故B正确；
C选项，此时展开式有10项，第5项二次项系数，第6项二次项系数最大且相等，故满足题意，故C正确；
D选项，此时展开式有11项，第6项二次项系数最大，不合题意，故D错误.
故选：ABC
【典例2】（ 2023上·天津北辰·高三校考阶段练习）若展开式的二项式系数和为64，则展开式中第三项的二项式系数为 .
【答案】
【详解】展开式的二项式系数和为，故，
展开式中第三项的二项式系数为.
故答案为：.
【典例3】（2023·湖南邵阳·邵阳市第二中学校考模拟预测）已知在的展开式中，第3项的二项式系数与第4项的二项式系数相等，且的系数为，则 .
【答案】
【详解】二项式的展开式的通项公式为
，，
所以第3项的二项式系数，第4项的二项式系数为，
因为第3项的二项式系数与第4项的二项式系数相等，
所以，解得，
所以在的展开式中的系数为，
由已知，解得，
故答案为：.
【典例4】（2023下·河南郑州·高二校联考期中）已知展开式前三项的二项式系数和为.
(1)求展开式中各项的二项式系数和；
(2)求展开式中的常数项；
(3)求展开式中二项式系数最大的项.
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）由题意，展开式前三项的二项式系数和为.
二项式定理展开前三项二项式系数和为：，
解得：或（舍去），即的值为，
故有展开式中，各项二项式系数之和为.
（2）由通项公式，，
令，可得：.
展开式中的常数项为；
（3）是偶数，展开式共有项，则第四项最大，
展开式中二项式系数最大的项为.
【变式1】（2024上·山东日照·高三山东省五莲县第一中学校考期末）已知展开式中第3项和第5项的二项式系数相等，则 ，且展开式中的常数项为 .
【答案】 6 240
【详解】由题意得，所以.
又的展开式通项公式：
，
令，得
所以常数项为,
故答案为：①6;②240.
【变式2】（2023下·福建福州·高二福建省福州第八中学校考期末）的展开式中，若二项式系数最大的项仅是第4项，则展开式中的系数为 ．
【答案】
【详解】因为在二项式的展开式中，二项式系数最大的项仅是第4项，
所以展开式中第4项是中间项，共有7项，则，
所以展开式的通项公式为，
令，得，
所以展开式中含项的系数是.
故答案为：．
【变式3】（2023上·高二课时练习）已知的展开式中第7项和第8项的二项式系数相等，求展开式中系数最大的项及二项式系数最大的项．
【答案】答案见解析
【详解】因为的展开式中第7项的二项式系数是，第8项的二项式系数是，
则，解得，
所以的展开式共有项，则二项式系数最大的是第7和第8项，
又的展开通项公式为，
则，；
而第项的系数是，不妨设第项为系数最大的项，
则，即，
即，即，解得，则，
即第10项的系数最大，；
综上，展开式中系数最大的项为，二项式系数最大的项为与.
【变式4】（2023下·湖北宜昌·高二校联考期中）若展开式前三项的二项式系数之和为22.
(1)求展开式中二项式系数最大的项；
(2)求展开式中的常数项.
【答案】(1)
(2)135
【详解】（1）因为展开式前三项的二项式系数之和为22，所以，
即，
解得或（舍），故的值为6，
即展开式中最大的二项式系数为，所以展开式中二项式系数最大的项为第4项，
即.
（2）由题意知展开式中通项公式为，
令，解得，
所以，故展开式中的常数项为135.
题型11系数（含系数最大，小项）
【典例1】（2023上·山东日照·高三山东省五莲县第一中学校考期中）的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则的展开式中系数最大的项的系数为 .
【答案】1792
【详解】由得，
所以的展开式