人教A版数学(选择性必修一讲义)第10讲拓展四：空间中距离问题(学生版+解析)

第10讲 拓展四：空间中距离问题（等体积法与向量法）
一、知识点归纳
知识点01：用向量法求空间距离
1、点到直线的距离
已知直线的单位方向向量为，是直线上的定点，是直线外一点.设，则向量在直线上的投影向量，在中，由勾股定理得：
2、点到平面的距离
如图，已知平面的法向量为，是平面内的定点，是平面外一点.过点作平面的垂线，交平面于点，则是直线的方向向量，且点到平面的距离就是在直线上的投影向量的长度.
二、题型精讲
题型01利用向量法求点到直线的距离
【典例1】（2023春·四川雅安·高二雅安中学校考期中）直线的方向向量为，且l过点，则点到直线的距离为（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（2023秋·吉林长春·高二长春吉大附中实验学校校考期末）已知，，，则点到直线的距离为（ ）
A． B． C． D．
【典例3】（2023春·江苏淮安·高二淮阴中学校联考阶段练习）已知点，若点和点在直线上，则点到直线的距离为___________.
【变式1】（2023秋·天津·高二校联考期末）已知空间内三点，，，则点到直线的距离是（ ）．
A． B．1 C． D．
【变式2】（2023春·福建福州·高二校联考期中）已知空间中三点，则点到直线的距离为__________．
题型02点到平面的距离等体积法
【典例1】（2023春·天津河西·高一天津市第四十二中学校考阶段练习）如图，直三棱柱的体积为6，的面积为，则点到平面的距离为（ ）
A． B． C．2 D．
【典例2】（2023春·四川德阳·高二德阳五中校考阶段练习）如图，在四棱锥中，已知底面是正方形，底面，且是棱上一点．

(1)若平面，证明：是的中点．
(2)线段上存在点，使得，求到平面的距离．
【典例3】（2023春·安徽·高一安徽省郎溪中学校联考阶段练习）已知空间几何体中，是边长为2的等边三角形，是腰长为2的等腰三角形，，，，．

(1)作出平面与平面的交线，并说明理由；
(2)求点到平面的距离．
【典例4】（2023春·陕西商洛·高二镇安中学校考期中）如图,在四棱锥中,已知棱两两垂直且长度分别为1,1,2,,．
(1)若中点为,证明:平面;
(2)求点到平面的距离．
【变式1】（2023春·重庆·高一重庆一中校考期中）如图所示，在四棱锥中，四边形为等腰梯形，.

(1)证明：平面：
(2)若，求点到平面的距离.
【变式2】（2023·上海·高三专题练习）如图，在正三棱柱中，已知，是的中点.
(1)求直线与所成的角正切值
(2)求证：平面平面，并求点到平面的距离.
【变式3】（2023·河南·许昌实验中学校联考二模）在四棱锥中，四边形为等腰梯形，，，，．
(1)证明：平面平面．
(2)若，，求点到平面的距离．
【变式4】（2023·全国·高一专题练习）如图所示，在长方体中，，，且E为中点．求到平面的距离．
题型03点到平面的距离的向量法
【典例1】（2023春·浙江温州·高二校联考期末）如图所示，在棱长为1的正方体中为线段的中点.

(1)求证：平面平面；
(2)求到平面的距离.
【典例2】（2023春·高二单元测试）如图，四棱锥中，底面为矩形，侧面为正三角形，,，平面平面，为棱上一点（不与重合），平面交棱于点.

(1)求证：；
(2)若二面角的余弦值为，求点到平面的距离.
【典例3】（2023秋·山西晋中·高二统考期末）在正方体中，为的中点，过的平面截此正方体，得如图所示的多面体，为直线上的动点.

(1)点在棱上，当时，平面，试确定动点在直线上的位置，并说明理由；
(2)若为底面的中心，求点到平面的最大距离.
【变式1】（2023春·江西宜春·高二江西省清江中学校考期中）在棱长为4的正方体中，点P在棱上，且．
(1)求直线与平面所成的角的正弦值大小；
(2)求点到平面的距离．
【变式2】（2023春·重庆·高三重庆一中校考阶段练习）如图所示的几何体是一个半圆柱，点是半圆弧上一动点（点与点，不重合），为弧的中点，.

(1)证明：；
(2)若平面与平面所成的锐二面角的平面角为，求此时点到平面的距离.
【变式3】（2023·江苏苏州·模拟预测）在如图所示的圆锥中，已知为圆锥的顶点，为底面的圆心，
(1)求证:⊥平面;
(2)求与平面所成角的正弦值;
(3)在线段上是否存在点,使得点到平面的距离为？若存在,确定点的位置;若不存在,请说明理由．
【变式1】（2023·江苏·高二专题练习）如图，在直三棱柱中，.
(1)若，求证：平面；
(2)若，是棱上的一动点.试确定点的位置，使点到平面的距离等于.
第10讲 拓展四：空间中距离问题（等体积法与向量法）
一、知识点归纳
知识点01：用向量法求空间距离
1、点到直线的距离
已知直线的单位方向向量为，是直线上的定点，是直线外一点.设，则向量在直线上的投影向量，在中，由勾股定理得：
2、点到平面的距离
如图，已知平面的法向量为，是平面内的定点，是平面外一点.过点作平面的垂线，交平面于点，则是直线的方向向量，且点到平面的距离就是在直线上的投影向量的长度.
二、题型精讲
题型01利用向量法求点到直线的距离
【典例1】（2023春·四川雅安·高二雅安中学校考期中）直线的方向向量为，且l过点，则点到直线的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】∵，，
∴，又，
∴在方向上的投影，
∴P到l距离.
故选：C
【典例2】（2023秋·吉林长春·高二长春吉大附中实验学校校考期末）已知，，，则点到直线的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由，，，可得，
则向量在方向上的投影为，
所以点A到直线的距离．
故选：B.
【典例3】（2023春·江苏淮安·高二淮阴中学校联考阶段练习）已知点，若点和点在直线上，则点到直线的距离为___________.
【答案】/
【详解】由题意知，点，，，
可得，则，
所以，可得，
所以点到直线的距离为.
故答案为：.
【变式1】（2023秋·天津·高二校联考期末）已知空间内三点，，，则点到直线的距离是（ ）．
A． B．1 C． D．
【答案】A
【详解】空间内三点，，，
所以，，，，
由，所以，
所以点A到直线的距离.
故选：A.
【变式2】（2023春·福建福州·高二校联考期中）已知空间中三点，则点到直线的距离为__________．
【答案】
【详解】，
,
，
，
设点A到直线的距离为，则
.
故答案为：.
题型02点到平面的距离等体积法
【典例1】（2023春·天津河西·高一天津市第四十二中学校考阶段练习）如图，直三棱柱的体积为6，的面积为，则点到平面的距离为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】B
【详解】由直三棱柱的体积为6，可得，
设到平面的距离为，由，
，，解得，
即到平面的距离为.
故选：B.
【典例2】（2023春·四川德阳·高二德阳五中校考阶段练习）如图，在四棱锥中，已知底面是正方形，底面，且是棱上一点．

(1)若平面，证明：是的中点．
(2)线段上存在点，使得，求到平面的距离．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）如图，连接BD交AC于点O，连接EO，
因为ABCD是正方形，所以O是BD的中点，
又平面ACE，平面PBD，平面平面ACE＝EO，所以，
因为O为BD的中点，所以E是PB的中点．

（2）平面,平面,所以,又平面,所以平面,平面,故,
因为，即BE＝2PE，且PC＝BC＝1，则，，
E到平面ABCD的距离为，到平面PCD的距离为．设E到平面PAD的距离为h．
，，
，，
，所以．
【典例3】（2023春·安徽·高一安徽省郎溪中学校联考阶段练习）已知空间几何体中，是边长为2的等边三角形，是腰长为2的等腰三角形，，，，．

(1)作出平面与平面的交线，并说明理由；
(2)求点到平面的距离．
【答案】(1)作图见解析，理由见解析
(2)
【详解】（1）如图所示，分别延长，交于点，连接，

则即为平面与平面的交线.
理由如下：
因为．
故，，，四点共面，又，则，交于点．
由，平面，得平面；
由，平面，得平面．
所以是平面与平面的公共点，又也是平面与平面的公共点，
所以即为平面与平面的交线.
（2）连接交于点，

因为，，所以，
则点到平面的距离是点到平面的距离的2倍．
因为，，所以，
又，，，平面，
所以平面
同理可证平面．
所以三棱锥的体积
因为是腰长为2的等腰三角形，所以．
所以，
同理
又已知，故的面积．
设点到平面的距离为，
则，
即，解得．
故点到平面的距离为．
【典例4】（2023春·陕西商洛·高二镇安中学校考期中）如图,在四棱锥中,已知棱两两垂直且长度分别为1,1,2,,．
(1)若中点为,证明:平面;
(2)求点到平面的距离．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）证明:取中点为,连接,如图所示:
分别为中点,
,且,
,,
,
故四边形为平行四边形,
故,
不含于平面,平面,
故平面;
（2）连接,两两垂直且长度分别为1,1,2,
且,,
,
将底面拿出考虑如下:
,,,
,
,
,
记到平面的距离为,
则
,
解得:,
故到平面的距离为.
【变式1】（2023春·重庆·高一重庆一中校考期中）如图所示，在四棱锥中，四边形为等腰梯形，.

(1)证明：平面：
(2)若，求点到平面的距离.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）四边形为等腰梯形，，
过点C作于E，如图所示，

则，可知，
由余弦定理知，
则，所以，
又，平面，，
所以平面.
（2）连接BD，如图所示,

由（1）可知平面，平面，所以平面平面，
平面平面，平面，，平面，
又，，
所以，
在中，由，得，
设点到平面的距离为d，则，
，解得，即点到平面的距离为.
【变式2】（2023·上海·高三专题练习）如图，在正三棱柱中，已知，是的中点.
(1)求直线与所成的角正切值
(2)求证：平面平面，并求点到平面的距离.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由正三棱柱结构特征可知：，平面，为等边三角形；
直线与所成角即为，
平面，，
在中，，
即直线与所成角的正切值为
（2）作，垂足为，
平面平面，平面平面，平面，，
平面，点到平面的距离即为的长，
由（1）知：，，
，即，
点到平面的距离为.
【变式3】（2023·河南·许昌实验中学校联考二模）在四棱锥中，四边形为等腰梯形，，，，．
(1)证明：平面平面．
(2)若，，求点到平面的距离．
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【详解】（1）在等腰梯形ABCD中，，，，
过点C作于E，则，，，
所以，
则，所以．
又，，BC，平面PBC，
所以平面PBC，又平面ABCD，
所以平面平面PBC；
（2）连接BD，由（1）知平面平面PBC，因为，平面平面，平面，
所以平面BCD．
又，所以，
所以三棱锥的体积．
在中，因为，所以．
设点D到平面PBC的距离为d，所以三棱锥的体积．
由，得，
解得．
【变式4】（2023·全国·高一专题练习）如图所示，在长方体中，，，且E为中点．求到平面的距离．
【答案】．
【详解】由题意，可得长方体中，，，
所以．
设到平面的距离为，则．
在直角中，由勾股定理得，
所以，
所以，解得，
即到平面的距离为．
题型03点到平面的距离的向量法
【典例1】（2023春·浙江温州·高二校联考期末）如图所示，在棱长为1的正方体中为线段的中点.

(1)求证：平面平面；
(2)求到平面的距离.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）因为是正方体，所以平面，所以.
又，，所以平面，
平面，所以平面平面.
（2）在正方体中，以为原点，建立空间直角坐标系如图所示，则，，，，，，，设平面的一个法向量为，.
由令，则，，即.
设到平面的距离为，则，即点到平面的距离为.

【典例2】（2023春·高二单元测试）如图，四棱锥中，底面为矩形，侧面为正三角形，,，平面平面，为棱上一点（不与重合），平面交棱于点.

(1)求证：；
(2)若二面角的余弦值为，求点到平面的距离.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）因为为矩形，所以，
又平面，平面，
所以平面，又平面平面，AD在面AEFD内，
所以.
（2）取的中点，连，取的中点，连，则，
因为侧面为正三角形，所以，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，又平面，所以，
所以两两垂直，
以为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系：
因为,且侧面为正三角形，所以，又，
所以，，，，，
设，显然，
所以，，，
，
设平面的一个法向量为，
则，取，则，，
则，
取平面的一个法向量为，
则，得，解得.
所以，所以，，
所以点到平面的距离为.

【典例3】（2023秋·山西晋中·高二统考期末）在正方体中，为的中点，过的平面截此正方体，得如图所示的多面体，为直线上的动点.

(1)点在棱上，当时，平面，试确定动点在直线上的位置，并说明理由；
(2)若为底面的中心，求点到平面的最大距离.
【答案】(1)为的中点，理由见解析；
(2).
【详解】（1）设平面与平面的交线为，
因为平面平面，
平面平面，所以.
由正方体知，平面平面，
又因为平面平面，平面平面，
所以，所以，
取的中点，连接，易知，所以，
又因为为的中点，所以为的中点.

（2）法一：以点为原点，分别为轴，轴，轴的正方向，
建立空间直角坐标系，
则有，其中，

设平面的法向量为，
则有即，
不妨取，，则，
所以点到平面的距离
当时，；
当时，
当，即时，d取到最大值为.
综上，点到平面的最大距离为
【变式1】（2023春·江西宜春·高二江西省清江中学校考期中）在棱长为4的正方体中，点P在棱上，且．
(1)求直线与平面所成的角的正弦值大小；
(2)求点到平面的距离．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）连接，由正方体的结构特点易知面，为垂足，所以即为所求的线面角，
∵，∴，
由勾股定理知，，
∴．
（2）
以D为坐标原点，以，，所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，
由已知，，，，，
所以，，，
设面的法向量为，
故有，
令，则，故，
故点P到平面的距离．
【变式2】（2023春·重庆·高三重庆一中校考阶段练习）如图所示的几何体是一个半圆柱，点是半圆弧上一动点（点与点，不重合），为弧的中点，.

(1)证明：；
(2)若平面与平面所成的锐二面角的平面角为，求此时点到平面的距离.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）连接BP，在半圆柱中，因为平面，平面，
所以，又因为BC是直径，所以，
又平面，，所以平面，
又平面，所以.
（2）依题意可知，以线段BC的中点O为坐标原点，
以为轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，

则，连接OP，
设，则，
所以，
设平面的一个法向量为，
所以，则，令，则，
所以，
设为平面的一个法向量，
则，，
所以，令，则，
所以，
因为平面PCA与平面所成的锐二面角的平面角为，
所以，
令，则，平方化简得，
即，又由，可解得或（舍去），
所以，所以平面PCA的一个法向量，且，
所以点D到平面PCA的距离.
【变式3】（2023·江苏苏州·模拟预测）在如图所示的圆锥中，已知为圆锥的顶点，为底面的圆心，其母线长为6，边长为的等边内接于圆锥底面，且.

(1)证明：平面平面；
(2)若为中点，射线与底面圆周交于点，当二面角的余弦值为时，求点到平面的距离.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）因为为圆锥的顶点，为底面的圆心，所以面.
又因为面，所以，即.
因为为外接圆圆心，且为正三角形，所以.
又因为且，面，所以面，
因为面，所以面面.
（2）作交于，取中点为.
因为，，所以.
因为面，，面，所以，.
如图，以点为坐标原点，，，所在的直线分别为，，轴建立空间直角坐标系.
因为，，所以，，
所以，，，，.
由，得，，，
，.
设面的法向量为，则，
取，则，，所以.
设面的法向量为，则,
取，则，，所以.
由，且，
解得，所以，.
又因为，所以，
所以到面的距离.

题型04点到平面的距离的探索性问题
【典例1】（2023春·福建·高二校联考阶段练习）如图，三棱锥的底面是以为底边的等腰直角三角形，且，各侧棱长均为3.
(1)求证：平面平面；
(2)若点为棱的中点，线段上是否存在一点，使得到平面的距离与到直线的距离之比为？若存在，求出此时的长；若不存在，说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)存在，此时的长为1
【详解】（1）取中点，连接，如图所示：
因为，，
所以，且，
因为是等腰直角三角形，
所以，且，
又，满足，
所以，
因为，
所以平面，
又因为平面，
所以平面平面.
（2）由（1）知，平面，且，
故可以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，
设，
因为点为棱的中点，
所以到平面的距离为；
则，
则，
所以，
则， ，
所以，
所以，
所以，
设平面的法向量为，
则，即，
令，可得，
则，
由，
得，或（舍去），
此时.
故存在一点，使得到平面的距离与到直线的距离之比为，
此时的长为1
【典例2】（2023春·福建漳州·高二漳州三中校考阶段练习）如图,四棱锥中,底面是边长为2的正方形,,,且,为的中点．
(1)求证:⊥平面;
(2)求与平面所成角的正弦值;
(3)在线段上是否存在点,使得点到平面的距离为？若存在,确定点的位置;若不存在,请说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2);
(3)存在,且点为线段的中点．
【详解】（1）因为四边形为正方形,则,,
因为 , ,,且两直线在平面内，
∴⊥平面,
∵平面,
∴,因为,,,且两直线在平面内
∴⊥平面,
∵平面,
∴,
∵,且两直线在平面内
∴⊥平面.
（2）因为⊥平面,,不妨以点为坐标原点, 、、所在直线分别为轴建立如下图所示的空间直角坐标系,
则、、、,
又因为，，所以平面，所以，
因为，，所以四边形为正方形，所以，
因为，所以平面.
（2）由（1）知，两两垂直，
以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系：
因为，则，，，，
设，
则，，，
设平面的一个法向量为，
则，则，
取，则，，
所以点到平面的距离等于，
又已知点到平面的距离等于，所以，
解得，（舍），
所以点为棱的中点时，使点到平面的距离等于.
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