人教A版数学(选择性必修一讲义)第12讲第一章空间向量与立体几何测评卷(基础卷)(学生版+解析)

第一章 空间向量与立体几何 章节验收测评卷(基础卷）
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．（2023春·江苏徐州·高二统考期中）已知，，且，则x的值为（ ）
A． B． C．6 D．－6
2．（2023春·福建龙岩·高二校联考期中）如图，在直三棱柱中，E为棱的中点.设，，，则（ ）

A． B．
C． D．
3．（2023春·浙江杭州·高二学军中学校考阶段练习）如图，某圆锥的轴截面是等边三角形，点B是底面圆周上的一点，且，点M是的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023秋·辽宁辽阳·高二校联考期末）向量在向量上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·江苏扬州·扬州中学校考模拟预测）定义两个向量与的向量积是一个向量，它的模，它的方向与和同时垂直，且以的顺序符合右手法则（如图），在棱长为2的正四面体中，则（ ）
A． B．. C． D．
6．（2023春·安徽池州·高二池州市第一中学校联考阶段练习）已知直线l的方向向量，平面α的法向量，平面β的法向量，若直线平面α，则直线l与平面β所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
7．（2023·湖北·模拟预测）如图所示的多面体是由底面为的长方体被截面所截得到的，其中，，，，则点到平面的距离为（ ）
A． B． C． D．
8．（2023春·高三统考阶段练习）重庆南滨路钟楼地处长江与嘉陵江交汇处，建筑通过欧式风格将巴渝文化和开埠文化结合，展示了重庆的悠久历史。如图所示，可以将南滨路钟楼看作一个长方体，四个侧面各有一个大钟，则从到这段时间内，相邻两面钟的分针所成角为的次数为（ ）

A． B． C． D．
二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
9．（2023春·高二课时练习）关于空间向量，以下说法不正确的是（ ）
A．向量，，若，则
B．若对空间中任意一点，有，则，，，四点共面
C．设是空间中的一组基底，则也是空间的一组基底
D．若空间四个点，，，，，则，，三点共线
10．（2023·湖北十堰·统考二模）《九章算术》中，将上、下底面为直角三角形的直三棱柱叫做堑堵，在如图所示的堑堵中，，则（ ）．
A．
B．
C．向量在向量上的投影向量为
D．向量在向量上的投影向量为
11．（2023春·福建莆田·高二莆田第十中学校考阶段练习）已知空间向量，则（ ）
A． B．是共面向量
C． D．
12．（2023春·广东广州·高二广东番禺中学校考期中）如图，正方体的棱长为2，动点分别在线段上，则（ ）
A．异面直线和所成的角为
B．点到平面的距离为
C．若分别为线段的中点，则平面
D．线段长度的最小值为
三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分，其中第16题第一空2分，第二空3分.）
13．（2023·高二校考课时练习）已知，，且与的夹角为钝角，则的取值范围是_________.
14．（2023秋·河南南阳·高二统考期末）如图，已知四棱柱的底面是边长为1的正方形，且，，则______．
15．（2023春·江苏徐州·高二统考期中）在直四棱柱中，底面是边长为2的正方形，．点是侧面内的动点（不含边界），，则与平面所成角的正切值的取值范围为__________．
16．（2023春·福建莆田·高二莆田华侨中学校考期中）在如图所示的三棱锥中，平面，，，，为中点，为内的动点（含边界），且.当在上时，________；点的轨迹的长度为________.
四、解答题（本题共6小题，共70分，其中第17题10分，其它每题12分，解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.）
17．（2023秋·江西抚州·高二统考期末）如图在边长是2的正方体中，E，F分别为AB，的中点．
（1）求异面直线EF与所成角的大小．
（2）证明：平面．
18．（2023春·贵州黔东南·高二校考阶段练习）如图，在棱长为3的正方体中，点是棱上的一点，且，点是棱上的一点，且．
(1)求异面直线与所成角的余弦值；
(2)求直线到平面的距离．
19．（2023春·黑龙江鸡西·高二鸡西实验中学校考期中）如图所示，四棱锥的底面是矩形，底面，，，，．
(1)证明：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值．
20．（2023·全国·高三专题练习）在斜三棱柱中，是等腰直角三角形，，平面底面，.
，．是棱上一点， 平面．
(1)求证：为的中点；
(2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求四棱锥的体积．
条件 ①：点到平面的距离为；
条件 ②：直线与平面所成的角为．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
第一章 空间向量与立体几何 章节验收测评卷(基础卷）
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．（2023春·江苏徐州·高二统考期中）已知，，且，则x的值为（ ）
A． B． C．6 D．－6
【答案】D
【详解】因为，所以，解得.
故选：D.
2．（2023春·福建龙岩·高二校联考期中）如图，在直三棱柱中，E为棱的中点.设，，，则（ ）

A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】由题意可得
.
故选：A.
3．（2023春·浙江杭州·高二学军中学校考阶段练习）如图，某圆锥的轴截面是等边三角形，点B是底面圆周上的一点，且，点M是的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】以过点O且垂直于平面的直线为x轴，直线分别为y轴，z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系．不妨设，
则根据题意可得，
所以，
设异面直线与所成角为，
则．
故选：A.
4．（2023秋·辽宁辽阳·高二校联考期末）向量在向量上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】向量在向量上的投影向量为.
故选：C.
5．（2023·江苏扬州·扬州中学校考模拟预测）定义两个向量与的向量积是一个向量，它的模，它的方向与和同时垂直，且以的顺序符合右手法则（如图），在棱长为2的正四面体中，则（ ）
A． B．. C． D．
【答案】D
【详解】设,则，过作平面，则为三角形的外心，所以，进而
,
由于与共线，且方向相同，则
，
故选：D

6．（2023春·安徽池州·高二池州市第一中学校联考阶段练习）已知直线l的方向向量，平面α的法向量，平面β的法向量，若直线平面α，则直线l与平面β所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】依题意，，得，故；
而直线l与平面β所成角的正弦值，
故所求余弦值.
故选：A
7．（2023·湖北·模拟预测）如图所示的多面体是由底面为的长方体被截面所截得到的，其中，，，，则点到平面的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】以D为原点，分别以DA，DC，DF所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系D-xyz，
则，
∴，.
设为平面的法向量，，
由，得，
令z=1，∴，
所以.
又，
∴点C到平面AEC1F的距离d=.
故选：C.
8．（2023春·高三统考阶段练习）重庆南滨路钟楼地处长江与嘉陵江交汇处，建筑通过欧式风格将巴渝文化和开埠文化结合，展示了重庆的悠久历史。如图所示，可以将南滨路钟楼看作一个长方体，四个侧面各有一个大钟，则从到这段时间内，相邻两面钟的分针所成角为的次数为（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【详解】在长方体中，以点为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴建立如图的空间直角坐标系．
设分针长为，矩形的对角线的交点为，矩形的对角线的交点为，
考察到这个时间段，
设时刻，侧面，内的钟的分针的针点的位置分别为，，
设，其中，则，，
由已知可得，则，
因为，故的取值为，，，，
即在到这个时间段，相邻两面钟的分针所成角为的次数为4，
因此，从到这段时间内，相邻两面钟的分针所成角为的次数为8．
故选：．

二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
9．（2023春·高二课时练习）关于空间向量，以下说法不正确的是（ ）
A．向量，，若，则
B．若对空间中任意一点，有，则，，，四点共面
C．设是空间中的一组基底，则也是空间的一组基底
D．若空间四个点，，，，，则，，三点共线
【答案】AC
【详解】对于A，向量，，若，若向量，均为非零向量，则由向量垂直的性质可得；若向量，其中一个为零向量，则与不垂直，故A错误；
对于B，若对空间中任意一点，有，
因为，所以，，，四点共面，故B正确；
对于C，设是空间中的一组基底，由向量的加法法则可知：，所以不能构成空间的一组基底，故C错误；
对于D，若空间四个点，，，，，由共线向量定理可知：，，三点共线，故D正确，
故选：.
10．（2023·湖北十堰·统考二模）《九章算术》中，将上、下底面为直角三角形的直三棱柱叫做堑堵，在如图所示的堑堵中，，则（ ）．
A．
B．
C．向量在向量上的投影向量为
D．向量在向量上的投影向量为
【答案】BD
【详解】因为
，故A不正确，B正确．
如图所示，故D作DU垂直BC，过U作VU垂直AB，UW垂直AC，
故向量在向量上的投影向量为,向量在向量上的投影向量为，
由题意易得故，C不正确． ，D正确．
故选：BD
11．（2023春·福建莆田·高二莆田第十中学校考阶段练习）已知空间向量，则（ ）
A． B．是共面向量
C． D．
【答案】ABC
【详解】，A项正确；
设，即，解得，，
即，所以，，共面，B项正确；
，所以，C项正确；
，D项错误.
故选：ABC.
12．（2023春·广东广州·高二广东番禺中学校考期中）如图，正方体的棱长为2，动点分别在线段上，则（ ）
A．异面直线和所成的角为
B．点到平面的距离为
C．若分别为线段的中点，则平面
D．线段长度的最小值为
【答案】BCD
【详解】因为，
所以异面直线和所成的角即为和所成的角，
因为，
所以为等边三角形，即，
故错误.
连接如图所示：
点到平面的距离为，
因为，
所以.
因为，
所以，
所以点到平面的距离为，
故B正确，
当分别为线段的中点时，
则为的中位线，
所以，
又平面，平面，
所以平面，
故C正确.
以为坐标原点，分别为轴建立空间直角坐标系，
如图所示：
则，
设，，
所以，
所以，
设，，
又
所以，
所以，
所以
当时，
有最小值，即，故D选项正确，
故选：BCD.
三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分，其中第16题第一空2分，第二空3分.）
13．（2023·高二校考课时练习）已知，，且与的夹角为钝角，则的取值范围是_________.
【答案】
【详解】因为与的夹角为钝角，
，解得，
由题意得与不共线，则，解得，
的取值范围是.
故答案为：
14．（2023秋·河南南阳·高二统考期末）如图，已知四棱柱的底面是边长为1的正方形，且，，则______．
【答案】
【详解】设 ，，， 则 ，
底面是边长为1的正方形，且，，
则有，，，，，，
则 ，
所以.
故答案为：
15．（2023春·江苏徐州·高二统考期中）在直四棱柱中，底面是边长为2的正方形，．点是侧面内的动点（不含边界），，则与平面所成角的正切值的取值范围为__________．
【答案】
【详解】如图所示建立空间直角坐标系，
则，，设，得，，
由题意得，故，得，
故点轨迹是以为圆心，1为半径的圆在正方形内的部分，
由题可知为的中点，如图，
当共线时，取得最小值为，
而，
所以，
因为平面，所以与平面所成角即为，
所以，
故答案为：.
16．（2023春·福建莆田·高二莆田华侨中学校考期中）在如图所示的三棱锥中，平面，，，，为中点，为内的动点（含边界），且.当在上时，________；点的轨迹的长度为________.
【答案】
【详解】因为平面，平面，所以，又，所以，
又平面，所以平面，过，如图建立空间直角坐标系，
则，设，所以，则
①当在上时，设，因为，所以，故，则
所以；
②为内的动点（含边界）时，如图，取中点，过作，垂足为
由①可得，又，平面，所以平面，因为平面，所以
即在线段上运动时，，
点的轨迹为线段．
则．
故答案为：；.
四、解答题（本题共6小题，共70分，其中第17题10分，其它每题12分，解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.）
17．（2023秋·江西抚州·高二统考期末）如图在边长是2的正方体中，E，F分别为AB，的中点．
（1）求异面直线EF与所成角的大小．
（2）证明：平面．
【答案】（1）；（2）证明见解析．
【详解】据题意，建立如图坐标系．于是：
，，，，，
∴，，，．
（1），
∴
∴异面直线EF和所成的角为．
（2）
∴，即
，
∴即．
又∵，平面且
∴平面．
18．（2023春·贵州黔东南·高二校考阶段练习）如图，在棱长为3的正方体中，点是棱上的一点，且，点是棱上的一点，且．
(1)求异面直线与所成角的余弦值；
(2)求直线到平面的距离．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）建立如图所示的空间直角坐标系，
，
，
所以，
所以异面直线与所成角的余弦值为；
（2）连接，显然，因为， ．
所以，于是，
因为平面，平面，
所以平面，
因此直线到平面的距离就是点到平面的距离，
设平面的法向量为，
，
则有，
，
点到平面的距离为：
.
19．（2023春·黑龙江鸡西·高二鸡西实验中学校考期中）如图所示，四棱锥的底面是矩形，底面，，，，．
(1)证明：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）由题意知，，，两两互相垂直，以为原点，，，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
所以，．
底面，底面，
又，，
且平面,
平面，
所以是平面的一个法向量．
因为，
所以．
又平面，所以平面．
（2）因为，，，，，
所以，，，
设平面的法向量为，则
由，解得，令，
得平面的一个法向量为．
设直线与平面所成的角为，
则．
故：直线与平面所成角的正弦值为．
20．（2023·全国·高三专题练习）在斜三棱柱中，是等腰直角三角形，，平面底面，.
(1)证明：；
(2)求二面角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）证明：取中点，连接，如图所示：
∵是等腰直角三角形，
∴，且，
∵平面底面，平面底面平面，
∴平面，
∵平面，
∴，
∵，
∴，
∴，（符合勾股定理），
∴，
∵平面，
∴平面，
∵平面，
∴.
（2）由（1）知，可以建立分别以为轴的空间直角坐标系，
则，
又因为斜三棱柱中，，
所以，
所以，
设平面的法向量，
则，令，则，
∴平面的法向量，
设平面的法向量，
则，令，则，
∴平面的法向量，
设二面角的平面角为，
则.
所以，
故二面角的正弦值为.
21．（2023·全国·高三对口高考）如图所示的几何体中，四边形是等腰梯形，，，平面，，.

(1)求二面角的余弦值；
(2)在线段AB（含端点）上，是否存在一点P，使得平面.若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)存在，
【详解】（1）过作于，由于，则,由于,且四边形是等腰梯形，所以,在三角形中，由余弦定理可得，所以,故,

以为坐标原点，，为轴，轴，过点作的平行线为轴，建立空间直角坐标系，设，则，
设面的法向量，
则，即，取，得．
设面的法向量，
则，即，则取，得．
，
由几何体的特征可知二面角的平面角为锐角，
二面角的余弦值为．
（2），,， 面，
面．
设,
若平面，则 ,所以，
所以
22．（2023秋·北京·高三校考期末）如图，在四棱锥中，， ，，，，．是棱上一点， 平面．
(1)求证：为的中点；
(2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求四棱锥的体积．
条件 ①：点到平面的距离为；
条件 ②：直线与平面所成的角为．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
【答案】(1)证明见解析
(2)条件选择见解析，
【详解】（1）过点作交于点，连接，如图所示：

因为，所以 ．
所以四点共面．
又因为平面 ，平面平面
所以
所以四边形是平行四边形
所以，
由，，
所以，所以
所以为的中位线，
所以为的中点．
（2）过作于，连接．
因为，又因为 ，
且，
所以 平面．
又平面，
所以 平面平面．
因为，所以为中点，
又因为平面平面，
所以平面．
又平面，
所以
如图建立空间直角坐标系．
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