人教A版数学(选择性必修一讲义)第01讲1.1.1空间向量及其线性运算(学生版+解析)
文档属性
| 名称 | 人教A版数学(选择性必修一讲义)第01讲1.1.1空间向量及其线性运算(学生版+解析) |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 3.5MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-11-11 10:30:58 | ||
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文档简介
第01讲 1.1.1空间向量及其线性运算
课程标准 学习目标
①理解空间向量的概念，空间向量的共线定理、共面定理及推论. ②会进行空间向量的线性运算，空间向量的数量积，空间向量的夹角的相关运算. 1．理解空间向量的相关概念的基础上进行与向量的加、减运算、数量积的运算、夹角的相关运算及空间距离的求解. 2．利用空间向量的相关定理及推论进行空间向量共线、共面的判断.
知识点01：空间向量的有关概念
1、空间向量的有关概念
（1）概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量，空间向量的大小叫做空间向量的长度或模；如空间中的位移速度、力等．
（2）几类特殊的空间向量
名称 定义及表示
零向量 长度为0的向量叫做零向量，记为
单位向量 模为1的向量称为单位向量
相反向量 与向量长度相等而方向相反的向量，称为的相反向量，记为
相等向量 方向相同且模相等的向量称为相等向量
2、空间向量的表示
表示方法：和平面向量一样，空间向量有两种表示方法：
（1）几何表示法：用有向线段来表示，叫向量的起点，叫向量的终点；
（2）字母表示法：用表示．向量的起点是，终点是，则向量也可以记作，其模记为或.
【即学即练1】（2023·江苏·高二专题练习）如图所示，在平行六面体的棱中，与向量模相等的向量有______个.
【答案】7
【详解】与模长相等的向量有：共有7个.
故答案为：7
知识点02：空间向量的加法、减法运算
1、空间向量的位置：已知空间向量，可以把它们平移到同一平面内，以任意点为起点，作向量，
2、空间向量的加法运算（首尾相接首尾连）：作向量，则向量叫做向量的和．记作，即
3、空间向量的减法运算（共起点，连终点，指向被减向量）：向量叫做与差，记作，即
4、空间向量的加法运算律
（1）加法交换律：
（2）加法结合律：
【即学即练2】（2023秋·浙江台州·高二期末）如图，在平行六面体中，E是的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】．
故选：A.
知识点03：空间向量的数乘运算
1、定义：与平面向量一样，实数与空间向量的乘积仍然是一个向量，称为向量的数乘运算．
2：数乘向量与向量的关系
的范围 的方向 的模
与向量的方向相同
，其方向是任意的
与向量的方向相反
3、对数乘向量与向量的关系的进一步理解：
（1）可以把向量模扩大（当时），也可缩小（当时）；可以不改变向量的方向（当时），也可以改变向量的方向（当时）．
（2）实数与向量的积的特殊情况：当时，；当时，若，则．
（3）实数与向量可以求积，但是不能进行加减，例如，，没有意义，无法运算．
【即学即练3】（2023春·高一课时练习）如图，已知四棱柱的底面为平行四边形，E为棱的中点，，与平面交于点M，则＝________.
【答案】
【详解】由题可设，
因为，
所以，
因为M，E，F，G四点共面，
所以，
解得.
故答案为：.
知识点04：共线向量与共面向量
1、共线（平行）向量的定义：若表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，若与是共线向量，则记为．
在正确理解共线向量的定义时，要注意以下两点：
（1）零向量和空间任一向量是共线向量．
（2）共线向量不具有传递性，如，那么不一定成立，因为当时，虽然，但不一定与共线（特别注意，与任何向量共线）．
2、共线向量定理：对空间任意两个向量，的充要条件是存在实数，使．
2.1共线向量定理推论：如果为经过点平行于已知非零向量的直线,那么对于空间任一点,点在直线上的充要条件是存在实数,使①，若在上取，则①可以化作：
2.2拓展(高频考点）：对于直线外任意点，空间中三点共线的充要条件是，其中
3、共面向量定义：平行于同一个平面的向量，叫做共面向量．
3.1共面向量定理：如果两个向量不共线，那么向量与向量共面的充要条件是存在唯一的有序实数对，使
3.2空间共面向量的表示
如图空间一点位于平面内的充要条件是存在有序实数对，使．
或者等价于：对空间任意一点，空间一点位于平面内（四点共面）的充要条件是存在有序实数对，使，该式称为空间平面的向量表示式，由此可知，空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定．
3.3拓展
对于空间任意一点，四点共面（其中不共线）的充要条件是（其中）．
【即学即练4】（2023春·四川绵阳·高二四川省绵阳南山中学校考阶段练习）已知为空间任意一点，四点共面，但任意三点不共线．如果，则的值为（ ）
A．-2 B．-1 C．1 D．2
【答案】A
【详解】因为，
所以由
得，
即，
因为为空间任意一点，满足任意三点不共线，且四点共面，
所以，故.
故选：A.
题型01 空间向量的有关概念
【典例1】（2023春·高二课时练习）已知为三维空间中的非零向量，下列说法不正确的是（ ）
A．与共面的单位向量有无数个
B．与垂直的单位向量有无数个
C．与平行的单位向量只有一个
D．与同向的单位向量只有一个
【典例2】（2023春·高二课时练习）给出下列命题：①两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；②若空间向量满足，则；③在正方体中，必有；④若空间向量满足，，则．其中正确的个数为（ ）．
A． B． C． D．
【变式1】（2023春·高二课时练习）下列命题中为真命题的是（ ）
A．空间向量与的长度相等
B．将空间中所有的单位向量移到同一个起点，则它们的终点构成一个圆
C．空间向量就是空间中的一条有向线段
D．不相等的两个空间向量的模必不相等
【变式2】（2023·江苏·高二专题练习）如图所示，已知为平行六面体，若以此平行六面体的顶点为向量的起点、终点，求：
（1）与相等的向量；
（2）与相反的向量；
（3）与平行的向量．
题型02 空间向量加减运算及几何表示
【典例1】（2023秋·湖南湘潭·高二校联考期末）已知在空间四边形中，，则（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（2023春·江苏连云港·高二校联考期中）正方体中，化简（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（2023春·安徽亳州·高二统考开学考试）在长方体中，为线段的中点，则（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2023秋·北京大兴·高二统考期末）空间向量（ ）
A． B． C． D．
题型03空间向量的共线定理（空间向量共线的判定）
【典例1】（2023·江苏·高二专题练习）如图，四边形 都是平行四边形且不共面，,分别是 的中点，判断与是否共线？
【变式1】（2023·江苏·高二专题练习）如图所示，在正方体中，点在上，且，点在体对角线上，且．求证：，，三点共线．
题型04空间向量的共线定理（由空间向量共线求参数）
【典例1】（2023春·江苏南京·高二南京市第一中学校考阶段练习）已知是空间的一个基底，若，，若，则（ ）
A． B． C．3 D．
【典例2】（2023春·高二课时练习）设，是两个不共线的空间向量，若，，，且，，三点共线，则实数的值为______.
【变式1】（2023春·高二课时练习）设是空间两个不共线的非零向量，已知，，，且A， B， D三点共线，求实数k的值．
【变式2】（2023春·江苏镇江·高二江苏省扬中高级中学校考阶段练习）设是空间中两个不共线的向量，已知，，，且三点共线，则实数______．．
题型05空间向量共面（空间向量共面的判定）
【典例1】（多选）（2023秋·江西吉安·高二井冈山大学附属中学校考期末）空间四点及空间任意一点，由下列条件一定可以得出四点共面的有（ ）
A． B．
C． D．
【典例2】（2023春·高二课时练习）设空间任意一点和不共线的三点，，，若点满足向量关系（其中），试问：，，，四点是否共面？
【变式1】（2023春·高一课时练习）下列条件中，一定使空间四点P A B C共面的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】（2023秋·高二课时练习）已知是不共面向量，，证明这三个向量共面.
题型06空间向量共面（由空间向量共面求参数）
【典例1】（2023春·高一课时练习）已知三点不共线，是平面外任意一点，若，则四点共面的充要条件是（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（2023春·高二课时练习）已知为空间中一点，四点共面且任意三点不共线，若，则的值为______．
【变式1】（2023春·高二课时练习）如图,平面内的小方格均为正方形,点为平面内的一点,为平面外一点,设,则的值为（ ）
A．1 B． C．2 D．
【变式2】（2023秋·湖北黄冈·高二统考期末）是空间向量的一组基底，，，，已知点在平面内，则______.
题型07空间向量共面（推论及其应用）
【典例1】（2023春·江苏淮安·高二校联考期中）已知三点不共线，是平面外任意一点，若由确定的一点与三点共面，则等于（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（2023春·高一课时练习）已知为空间中任意一点，、、、四点满足任意三点均不共线，但四点共面，且，则实数的值为_________.
【变式1】（2023秋·重庆北碚·高二西南大学附中校考阶段练习）在三棱锥中，M是平面ABC上一点，且，则 （ ）
A．1 B．2 C． D．
【变式2】（2022秋·江西抚州·高二江西省临川第二中学校考阶段练习）已知点在确定的平面内，是空间任意一点，实数满足，则的最小值为（ ）
A． B． C．1 D．2
题型08空间向量数乘运算及几何表示
【典例1】（2023秋·新疆昌吉·高二校考期末）已知正方体，点E是的中点，点F是的三等分点，且，则等于（ ）．
A． B．
C． D．
【典例2】（2023春·高二课时练习）如图，已知为空间的9个点，且，，，，，.
求证：（1）；
（2）.
【变式1】（2023春·云南迪庆·高二迪庆藏族自治州民族中学校考阶段练习）在三棱柱中，D是四边形的中心，且，，，则（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】（2023秋·北京·高二中央民族大学附属中学校考期末）在平行六面体中，点M满足．若，则下列向量中与相等的是（ ）
A． B．
C． D．
1.1.1空间向量及其线性运算
A夯实基础 B能力提升 C综合素养
A夯实基础
一、单选题
1．（2023秋·高二课时练习）当，且不共线时，与的关系是（ ）
A．共面 B．不共面 C．共线 D．无法确定
2．（2023·山东枣庄·统考模拟预测）如图，在长方体中，化简（ ）
A． B． C． D．
3．（2023秋·河北石家庄·高二石家庄二十三中校考期末）如图，已知空间四边形ABCD的对角线为AC，BD，设G是CD的中点，则等于（ ）
A． B． C． D．
4．（2023秋·江西吉安·高二江西省万安中学校考期末）已知在长方体中，，则（ ）
A．3 B．2 C．1 D．
5．（2023秋·山东威海·高二统考期末）在平行六面体中，点E满足，则（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·全国·高二专题练习）已知点在确定的平面内，是平面外任意一点，实数满足，则的最小值为（ ）
A． B． C．1 D．2
7．（2023·江苏·高二专题练习）已知为空间任一点，，，，四点满足任意三点不共线，但四点共面，且，则的值为（ ）
A．1 B． C．2 D．
8．（2023·全国·高三专题练习）如图，在四面体中，、分别是、的中点，过的平面分别交棱、于、（不同于、、、），、分别是棱、上的动点，则下列命题错误的是（ ）
A．存在平面和点，使得平面
B．存在平面和点，使得平面
C．对任意的平面，线段平分线段
D．对任意的平面，线段平分线段
二、多选题
9．（2023春·高二课时练习）下列说法错误的是（ ）
A．空间的任意三个向量都不共面
B．空间的任意两个向量都共面
C．三个向量共面，即它们所在的直线共面
D．若三向量两两共面，则这三个向量一定也共面
10．（2023·全国·高二专题练习）下列命题中正确的是（ ）
A．若∥，则∥
B．是共线的必要条件
C．三点不共线，对空间任一点，若，则四点共面
D．若为空间四点，且有（不共线），则是三点共线的充要条件
三、填空题
11．（2023·全国·高二专题练习）已知是不共面向量，，若三个向量共面，则实数______.
12．（2023·江苏·高二专题练习）已知A，B，C三点不共线，O是平面ABC外任意一点，若由确定的一点P与A，B，C三点共面，则_________．
四、解答题
13．（2023·江苏·高二专题练习）已知、、、、、、、、为空间的个点（如图所示），并且，，，，．求证：．
14．（2023春·高二课时练习）如图所示，已知矩形，为平面外一点，且平面，、分别为、上的点，且，，求满足的实数的值．
B能力提升
1．（2023春·江苏淮安·高二淮阴中学校联考阶段练习）四面体中，，是的中点，是的中点，设，，，则（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023春·高二课时练习）已知长方体，，，M是的中点，点P满足，其中，，且平面，则动点P的轨迹所形成的轨迹长度是（ ）
A． B． C． D．2
3．（2023春·高二课时练习）在正三棱柱中，，点P满足，其中，则三角形周长最小值是___________.
C综合素养
1．（多选）（2023春·高二课时练习）如图，在三棱柱中，P为空间一点，且满足，，则（ ）
A．当时，点P在棱上 B．当时，点P在棱上
C．当时，点P在线段上 D．当时，点P在线段上
2．（2023·全国·高三专题练习）如图所示的平行六面体中，已知，，，为上一点，且．若，则的值为__；若为棱的中点，平面，则的值为__．
3．（2023·江苏·高二专题练习）如图，在三棱锥中，点为的重心，点在上，且，过点任意作一个平面分别交线段，，于点，，，若，，，求证：为定值，并求出该定值.
第01讲 1.1.1空间向量及其线性运算
课程标准 学习目标
①理解空间向量的概念，空间向量的共线定理、共面定理及推论. ②会进行空间向量的线性运算，空间向量的数量积，空间向量的夹角的相关运算. 1．理解空间向量的相关概念的基础上进行与向量的加、减运算、数量积的运算、夹角的相关运算及空间距离的求解. 2．利用空间向量的相关定理及推论进行空间向量共线、共面的判断.
知识点01：空间向量的有关概念
1、空间向量的有关概念
（1）概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量，空间向量的大小叫做空间向量的长度或模；如空间中的位移速度、力等．
（2）几类特殊的空间向量
名称 定义及表示
零向量 长度为0的向量叫做零向量，记为
单位向量 模为1的向量称为单位向量
相反向量 与向量长度相等而方向相反的向量，称为的相反向量，记为
相等向量 方向相同且模相等的向量称为相等向量
2、空间向量的表示
表示方法：和平面向量一样，空间向量有两种表示方法：
（1）几何表示法：用有向线段来表示，叫向量的起点，叫向量的终点；
（2）字母表示法：用表示．向量的起点是，终点是，则向量也可以记作，其模记为或.
【即学即练1】（2023·江苏·高二专题练习）如图所示，在平行六面体的棱中，与向量模相等的向量有______个.
【答案】7
【详解】与模长相等的向量有：共有7个.
故答案为：7
知识点02：空间向量的加法、减法运算
1、空间向量的位置：已知空间向量，可以把它们平移到同一平面内，以任意点为起点，作向量，
2、空间向量的加法运算（首尾相接首尾连）：作向量，则向量叫做向量的和．记作，即
3、空间向量的减法运算（共起点，连终点，指向被减向量）：向量叫做与差，记作，即
4、空间向量的加法运算律
（1）加法交换律：
（2）加法结合律：
【即学即练2】（2023秋·浙江台州·高二期末）如图，在平行六面体中，E是的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】．
故选：A.
知识点03：空间向量的数乘运算
1、定义：与平面向量一样，实数与空间向量的乘积仍然是一个向量，称为向量的数乘运算．
2：数乘向量与向量的关系
的范围 的方向 的模
与向量的方向相同
，其方向是任意的
与向量的方向相反
3、对数乘向量与向量的关系的进一步理解：
（1）可以把向量模扩大（当时），也可缩小（当时）；可以不改变向量的方向（当时），也可以改变向量的方向（当时）．
（2）实数与向量的积的特殊情况：当时，；当时，若，则．
（3）实数与向量可以求积，但是不能进行加减，例如，，没有意义，无法运算．
【即学即练3】（2023春·高一课时练习）如图，已知四棱柱的底面为平行四边形，E为棱的中点，，与平面交于点M，则＝________.
【答案】
【详解】由题可设，
因为，
所以，
因为M，E，F，G四点共面，
所以，
解得.
故答案为：.
知识点04：共线向量与共面向量
1、共线（平行）向量的定义：若表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，若与是共线向量，则记为．
在正确理解共线向量的定义时，要注意以下两点：
（1）零向量和空间任一向量是共线向量．
（2）共线向量不具有传递性，如，那么不一定成立，因为当时，虽然，但不一定与共线（特别注意，与任何向量共线）．
2、共线向量定理：对空间任意两个向量，的充要条件是存在实数，使．
2.1共线向量定理推论：如果为经过点平行于已知非零向量的直线,那么对于空间任一点,点在直线上的充要条件是存在实数,使①，若在上取，则①可以化作：
2.2拓展(高频考点）：对于直线外任意点，空间中三点共线的充要条件是，其中
3、共面向量定义：平行于同一个平面的向量，叫做共面向量．
3.1共面向量定理：如果两个向量不共线，那么向量与向量共面的充要条件是存在唯一的有序实数对，使
3.2空间共面向量的表示
如图空间一点位于平面内的充要条件是存在有序实数对，使．
或者等价于：对空间任意一点，空间一点位于平面内（四点共面）的充要条件是存在有序实数对，使，该式称为空间平面的向量表示式，由此可知，空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定．
3.3拓展
对于空间任意一点，四点共面（其中不共线）的充要条件是（其中）．
【即学即练4】（2023春·四川绵阳·高二四川省绵阳南山中学校考阶段练习）已知为空间任意一点，四点共面，但任意三点不共线．如果，则的值为（ ）
A．-2 B．-1 C．1 D．2
【答案】A
【详解】因为，
所以由
得，
即，
因为为空间任意一点，满足任意三点不共线，且四点共面，
所以，故.
故选：A.
题型01 空间向量的有关概念
【典例1】（2023春·高二课时练习）已知为三维空间中的非零向量，下列说法不正确的是（ ）
A．与共面的单位向量有无数个
B．与垂直的单位向量有无数个
C．与平行的单位向量只有一个
D．与同向的单位向量只有一个
【答案】C
【详解】解：与共面的单位向量，方向可任意，所以有无数个，故A正确；
与垂直的单位向量，方向可任意，所以有无数个，故B正确；
与平行的单位向量，方向有两个方向，故不唯一，故C错误；
与同向的单位向量，方向唯一，故只有一个，故D正确．
故选：C．
【典例2】（2023春·高二课时练习）给出下列命题：①两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；②若空间向量满足，则；③在正方体中，必有；④若空间向量满足，，则．其中正确的个数为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】对于①，当两个空间向量起点相同，终点也相同时，这两个向量必相等；但两个向量相等，它们的起点和终点都不一定相同，①错误；
对于②，根据向量相等的定义，要保证两个向量相等，不仅模要相等，而且方向还要相同，但②中向量与的方向不一定相同，②错误；
对于③，根据正方体的性质，在正方体中，向量与向量的方向相同，模也相等，则，③正确；
对于④，由向量相等关系可知，④正确．
故选：C.
【变式1】（2023春·高二课时练习）下列命题中为真命题的是（ ）
A．空间向量与的长度相等
B．将空间中所有的单位向量移到同一个起点，则它们的终点构成一个圆
C．空间向量就是空间中的一条有向线段
D．不相等的两个空间向量的模必不相等
【答案】A
【详解】对于A，因为空间向量与互为相反向量，所以空间向量与的长度相等，所以A正确，
对于B，将空间所有的单位向量平移到一个起点，则它们的终点构成一个球面，所以B错误，
对于C，空间向量可以用空间中的一条有向线段表示，但空间向量不是有向线段，所以C错误，
对于D，两个空间向量不相等，它们的模可能相等，也可能不相等，如向量与的模相等，所以D错误，
故选：A
【变式2】（2023·江苏·高二专题练习）如图所示，已知为平行六面体，若以此平行六面体的顶点为向量的起点、终点，求：
（1）与相等的向量；
（2）与相反的向量；
（3）与平行的向量．
【答案】（1）；（2）；（3）．
【详解】（1）∵平行六面体是棱柱，∴侧棱都平行且相等，
∴与相等的向量为；
（2）连接，由平行六面体的性质可得，
∴是平行四边形，
∴，与相反的向量为．
（3）连接，由平行六面体的性质可得，
∴是平行四边形，
∴，与平行的向量为．
题型02 空间向量加减运算及几何表示
【典例1】（2023秋·湖南湘潭·高二校联考期末）已知在空间四边形中，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因为，故G为CD的中点，如图，
由平行四边形法则可得，
所以.
故选：A.
【典例2】（2023春·江苏连云港·高二校联考期中）正方体中，化简（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】.
故选：C.
【变式1】（2023春·安徽亳州·高二统考开学考试）在长方体中，为线段的中点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为为线段的中点，所以,
所以，
因为长方体中，，
所以，即.
故选：C.
【变式2】（2023秋·北京大兴·高二统考期末）空间向量（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
故选：D
题型03空间向量的共线定理（空间向量共线的判定）
【典例1】（2023·江苏·高二专题练习）如图，四边形 都是平行四边形且不共面，,分别是 的中点，判断与是否共线？
【答案】共线.
【详解】因为M N分别是AC BF的中点，而四边形ABCD ABEF都是平行四边形，
所以.
又，
所以.
所以，
即，即与共线.
【变式1】（2023·江苏·高二专题练习）如图所示，在正方体中，点在上，且，点在体对角线上，且．求证：，，三点共线．
【答案】证明见解析
【详解】证明： 连接，．
∵
，
，
∴，∴．
又，∴，，三点共线．
题型04空间向量的共线定理（由空间向量共线求参数）
【典例1】（2023春·江苏南京·高二南京市第一中学校考阶段练习）已知是空间的一个基底，若，，若，则（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】C
【详解】，，
因为，所以存在实数，使，
所以，
所以，
所以，得，，
所以，
故选：C
【典例2】（2023春·高二课时练习）设，是两个不共线的空间向量，若，，，且，，三点共线，则实数的值为______.
【答案】/0.4
【详解】∵，，，
∴，又∵A，C，D三点共线，∴，
∴，∴.
故答案为：.
【变式1】（2023春·高二课时练习）设是空间两个不共线的非零向量，已知，，，且A， B， D三点共线，求实数k的值．
【答案】.
【详解】因为，，则有，
又A， B， D三点共线，于是，即，而不共线，
因此，解得，
所以实数k的值是.
【变式2】（2023春·江苏镇江·高二江苏省扬中高级中学校考阶段练习）设是空间中两个不共线的向量，已知，，，且三点共线，则实数______．．
【答案】
【详解】，，
，
三点共线，存在实数，使得，即，
，解得：．
故答案为：.
题型05空间向量共面（空间向量共面的判定）
【典例1】（多选）（2023秋·江西吉安·高二井冈山大学附属中学校考期末）空间四点及空间任意一点，由下列条件一定可以得出四点共面的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【详解】对A：，定有共面，且有公共顶点，
故四点共面，故A正确；
对B：，，
故四点不共面，故B错误；
对C：，可得三点共线，
则四点一定共面，故C正确；
对D：，，
故四点一定共面，故D正确.
故选：ACD.
【典例2】（2023春·高二课时练习）设空间任意一点和不共线的三点，，，若点满足向量关系（其中），试问：，，，四点是否共面？
【答案】共面
【详解】解：，，，四点共面．
理由如下：，，
，
即，由，，三点不共线，可知和不共线，
由共面定理可知向量，，共面，
，，，四点共面．
【变式1】（2023春·高一课时练习）下列条件中，一定使空间四点P A B C共面的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】对于A选项，，，所以点与、、三点不共面；
对于B选项，，，所以点与、、三点不共面；
对于C选项，，，所以点与、、三点不共面；
对于D选项，，,所以点与、、三点共面.
故选：D.
【变式2】（2023秋·高二课时练习）已知是不共面向量，，证明这三个向量共面.
【答案】证明见解析
【详解】由是不共面向量，得与不共线，
设，则，
所以，解得，所以，
所以这三个向量共面.
题型06空间向量共面（由空间向量共面求参数）
【典例1】（2023春·高一课时练习）已知三点不共线，是平面外任意一点，若，则四点共面的充要条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】四点共面的充要条件是，，整理可得，
由，则，解得，
故选：A.
【典例2】（2023春·高二课时练习）已知为空间中一点，四点共面且任意三点不共线，若，则的值为______．
【答案】
【详解】依题意，四点共面且任意三点不共线，
所以，
所以，
，
，
所以，解得.
故答案为：
【变式1】（2023春·高二课时练习）如图,平面内的小方格均为正方形,点为平面内的一点,为平面外一点,设,则的值为（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】B
【详解】由题知，
四点共面,
根据平面向量基本定理,
不妨设,，
则
,
，
,
.
故选:B
【变式2】（2023秋·湖北黄冈·高二统考期末）是空间向量的一组基底，，，，已知点在平面内，则______.
【答案】3
【详解】因为点在平面内，所以，，共面，
所以存在与 使得,
即，
所以，解得.
故.
故答案为:3.
题型07空间向量共面（推论及其应用）
【典例1】（2023春·江苏淮安·高二校联考期中）已知三点不共线，是平面外任意一点，若由确定的一点与三点共面，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由与三点共面以及，
可得，，所以.
故选：C.
【典例2】（2023春·高一课时练习）已知为空间中任意一点，、、、四点满足任意三点均不共线，但四点共面，且，则实数的值为_________.
【答案】
【详解】，
又∵是空间任意一点，、、、四点满足任三点均不共线，但四点共面，
∴，
解得 x=，
故答案为：
【点睛】方法点睛：设是平面上任一点，是平面上的三点，（不共线），则三点共线，把此结论类比到空间上就是：不共面，若，则四点共面．
【变式1】（2023秋·重庆北碚·高二西南大学附中校考阶段练习）在三棱锥中，M是平面ABC上一点，且，则 （ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】B
【详解】因为，
所以，
因为M是平面ABC上一点，即四点共面，
所以，所以．
故选：B.
【变式2】（2022秋·江西抚州·高二江西省临川第二中学校考阶段练习）已知点在确定的平面内，是空间任意一点，实数满足，则的最小值为（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】A
【详解】由题意因为四点共面且平面唯一确定，，
所以，即，
所以，
由一元二次函数的图像和性质可得当时，取得最小值，
所以，
故选：A
题型08空间向量数乘运算及几何表示
【典例1】（2023秋·新疆昌吉·高二校考期末）已知正方体，点E是的中点，点F是的三等分点，且，则等于（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】如图所示，
由于，故，，，
，，，
∴
，
故选：D．
【典例2】（2023春·高二课时练习）如图，已知为空间的9个点，且，，，，，.
求证：（1）；
（2）.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【详解】证明：（1）
∴.
（2）.
【变式1】（2023春·云南迪庆·高二迪庆藏族自治州民族中学校考阶段练习）在三棱柱中，D是四边形的中心，且，，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】
.
故选：D.
【变式2】（2023秋·北京·高二中央民族大学附属中学校考期末）在平行六面体中，点M满足．若，则下列向量中与相等的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】
由点M满足，所以M为中点，
因为四边形ABCD为平行四边形，所以M为中点,
所以，
所以.
故选：C
1.1.1空间向量及其线性运算
A夯实基础 B能力提升 C综合素养
A夯实基础
一、单选题
1．（2023秋·高二课时练习）当，且不共线时，与的关系是（ ）
A．共面 B．不共面 C．共线 D．无法确定
【答案】A
【详解】根据平行四边形法则可得，以，为邻边，则可得平行四边形的两条对角线对应的向量分别为，
所以与共面.
故选：A.
2．（2023·山东枣庄·统考模拟预测）如图，在长方体中，化简（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由长方体的结构特征，有，
则.
故选：B
3．（2023秋·河北石家庄·高二石家庄二十三中校考期末）如图，已知空间四边形ABCD的对角线为AC，BD，设G是CD的中点，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】G是CD的中点,所以
故选：A.
4．（2023秋·江西吉安·高二江西省万安中学校考期末）已知在长方体中，，则（ ）
A．3 B．2 C．1 D．
【答案】C
【详解】依题知，，
∴，
∴．
故选：C.
5．（2023秋·山东威海·高二统考期末）在平行六面体中，点E满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由得，
整理得.
故选：A.
6．（2023·全国·高二专题练习）已知点在确定的平面内，是平面外任意一点，实数满足，则的最小值为（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】D
【详解】因为，点在确定的平面内，
所以，即，所以，
所以当时，的有最小值2．
故选：D
7．（2023·江苏·高二专题练习）已知为空间任一点，，，，四点满足任意三点不共线，但四点共面，且，则的值为（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】B
【详解】解：，，
又，，，四点满足任意三点不共线，但四点共面，
，，
故选：B．
8．（2023·全国·高三专题练习）如图，在四面体中，、分别是、的中点，过的平面分别交棱、于、（不同于、、、），、分别是棱、上的动点，则下列命题错误的是（ ）
A．存在平面和点，使得平面
B．存在平面和点，使得平面
C．对任意的平面，线段平分线段
D．对任意的平面，线段平分线段
【答案】D
【详解】对于A选项，当时，因为平面，平面，此时平面，A对；
对于B选项，当时，因为平面，平面，此时平面，B对；
对于C选项，取的中点，的中点为，设，，
则有，
同理可得，，
，
，
所以，所以，，
因为、、、四点共面，则，所以，，
所以，，则，
所以，，可得，
即、、三点共线，即的中点在上，即线段平分线段，C对；
对于D选项，若线段平分线段，又因为线段平分线段，则四边形为平行四边形，
事实上，四边形不一定为平行四边形，故假设不成立，D错.
故选：D.
二、多选题
9．（2023春·高二课时练习）下列说法错误的是（ ）
A．空间的任意三个向量都不共面
B．空间的任意两个向量都共面
C．三个向量共面，即它们所在的直线共面
D．若三向量两两共面，则这三个向量一定也共面
【答案】ACD
【详解】A.如图所示： ，三个向量共面，故错误；
B.由相等向量知：通过平移，两个向量的起点总可以在同一点，故两个向量都共面，故正确；
C.如图所示：，在正方体中三个向量共面，但它们所在的直线不共面，故错误；
D. 如图所示：，在正方体中三向量两两共面，但这三个向量一定共面，故错误；
故选：ACD
10．（2023·全国·高二专题练习）下列命题中正确的是（ ）
A．若∥，则∥
B．是共线的必要条件
C．三点不共线，对空间任一点，若，则四点共面
D．若为空间四点，且有（不共线），则是三点共线的充要条件
【答案】ACD
【详解】对于A,由∥，则一定有∥，故A正确；
对于B，由反向共线，可得，故B不正确；
对于C，由三点不共线，对空间任一点，若，则
，即，
所以四点共面，故C正确；
对于D,若为空间四点，且有（不共线），
当，即时，可得，即，
所以三点共线，反之也成立，即是三点共线的充要条件，
故D正确.
故选：ACD.
三、填空题
11．（2023·全国·高二专题练习）已知是不共面向量，，若三个向量共面，则实数______.
【答案】4
【详解】以为空间一组基底，
由于三个向量共面，所以存在，
使得，
即，
整理得，
所以，解得.
故答案为：
12．（2023·江苏·高二专题练习）已知A，B，C三点不共线，O是平面ABC外任意一点，若由确定的一点P与A，B，C三点共面，则_________．
【答案】
【详解】因为P，A，B，C四点共面，所以存在不全为0的使得，
O是平面ABC外任意一点，则，
即，
若A，B，C三点共线，则，即，
整理得：，所以，
此时若，则，
因为A，B，C三点不共线，，
所以，
所以，
令，则，
所以，所以．
故答案为：
四、解答题
13．（2023·江苏·高二专题练习）已知、、、、、、、、为空间的个点（如图所示），并且，，，，．求证：．
【答案】证明见解析．
【详解】，，，
，
，
因为、无公共点，故.
14．（2023春·高二课时练习）如图所示，已知矩形，为平面外一点，且平面，、分别为、上的点，且，，求满足的实数的值．
【答案】，，．
【详解】，
所以，，，．
B能力提升
1．（2023春·江苏淮安·高二淮阴中学校联考阶段练习）四面体中，，是的中点，是的中点，设，，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】因为，所以，
因为Q是的中点，所以，
因为M为PQ的中点，所以，
故选：C.
2．（2023春·高二课时练习）已知长方体，，，M是的中点，点P满足，其中，，且平面，则动点P的轨迹所形成的轨迹长度是（ ）
A． B． C． D．2
【答案】A
【详解】如图所示，E，F，G，H，N分别为，，，DA，AB的中点，
则，，
所以平面平面，
所以动点P的轨迹是六边形MEFGHN及其内部.
又因为，所以点在侧面，
所以点的轨迹为线段，
因为AB=AD=2，，
所以.
故选：A.
3．（2023春·高二课时练习）在正三棱柱中，，点P满足，其中，则三角形周长最小值是___________.
【答案】/
【详解】根据题意，因为，其中，
所以点在线段上.
如图所示，沿展开正三棱柱的侧面，
故三角形周长为，
当、、三点共线时，取等号.
故答案为：.
C综合素养
1．（多选）（2023春·高二课时练习）如图，在三棱柱中，P为空间一点，且满足，，则（ ）
A．当时，点P在棱上 B．当时，点P在棱上
C．当时，点P在线段上 D．当时，点P在线段上
【答案】BCD
【详解】当时，，所以，
则，即P在棱上，故A错误；
同理当时，则，故P在棱上，故B正确；
当时，，所以，即，
故点P在线段上，故C正确；
当时，，故点在线段上，故D正确．
故选：BCD．
2．（2023·全国·高三专题练习）如图所示的平行六面体中，已知，，，为上一点，且．若，则的值为__；若为棱的中点，平面，则的值为__．
【答案】
【详解】解：①，不妨取，
．
．
②连接，与交于点．连接，交于点，连接．
平面，．
点为的中点，点为的中点．
延长交线段的延长线于点．
，．
．
，
．
则．
故答案为：，．
3．（2023·江苏·高二专题练习）如图，在三棱锥中，点为的重心，点在上，且，过点任意作一个平面分别交线段，，于点，，，若，，，求证：为定值，并求出该定值.
【答案】为定值4；证明见解析；
【详解】联结AG并延长交BC于H，由题意，令为空间向量的一组基底，
则
.
联结DM，点，，，M共面，故存在实数，
满足，即，
因此，
由空间向量基本定理知，
，
故，为定值.
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课程标准 学习目标
①理解空间向量的概念，空间向量的共线定理、共面定理及推论. ②会进行空间向量的线性运算，空间向量的数量积，空间向量的夹角的相关运算. 1．理解空间向量的相关概念的基础上进行与向量的加、减运算、数量积的运算、夹角的相关运算及空间距离的求解. 2．利用空间向量的相关定理及推论进行空间向量共线、共面的判断.
知识点01：空间向量的有关概念
1、空间向量的有关概念
（1）概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量，空间向量的大小叫做空间向量的长度或模；如空间中的位移速度、力等．
（2）几类特殊的空间向量
名称 定义及表示
零向量 长度为0的向量叫做零向量，记为
单位向量 模为1的向量称为单位向量
相反向量 与向量长度相等而方向相反的向量，称为的相反向量，记为
相等向量 方向相同且模相等的向量称为相等向量
2、空间向量的表示
表示方法：和平面向量一样，空间向量有两种表示方法：
（1）几何表示法：用有向线段来表示，叫向量的起点，叫向量的终点；
（2）字母表示法：用表示．向量的起点是，终点是，则向量也可以记作，其模记为或.
【即学即练1】（2023·江苏·高二专题练习）如图所示，在平行六面体的棱中，与向量模相等的向量有______个.
【答案】7
【详解】与模长相等的向量有：共有7个.
故答案为：7
知识点02：空间向量的加法、减法运算
1、空间向量的位置：已知空间向量，可以把它们平移到同一平面内，以任意点为起点，作向量，
2、空间向量的加法运算（首尾相接首尾连）：作向量，则向量叫做向量的和．记作，即
3、空间向量的减法运算（共起点，连终点，指向被减向量）：向量叫做与差，记作，即
4、空间向量的加法运算律
（1）加法交换律：
（2）加法结合律：
【即学即练2】（2023秋·浙江台州·高二期末）如图，在平行六面体中，E是的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】．
故选：A.
知识点03：空间向量的数乘运算
1、定义：与平面向量一样，实数与空间向量的乘积仍然是一个向量，称为向量的数乘运算．
2：数乘向量与向量的关系
的范围 的方向 的模
与向量的方向相同
，其方向是任意的
与向量的方向相反
3、对数乘向量与向量的关系的进一步理解：
（1）可以把向量模扩大（当时），也可缩小（当时）；可以不改变向量的方向（当时），也可以改变向量的方向（当时）．
（2）实数与向量的积的特殊情况：当时，；当时，若，则．
（3）实数与向量可以求积，但是不能进行加减，例如，，没有意义，无法运算．
【即学即练3】（2023春·高一课时练习）如图，已知四棱柱的底面为平行四边形，E为棱的中点，，与平面交于点M，则＝________.
【答案】
【详解】由题可设，
因为，
所以，
因为M，E，F，G四点共面，
所以，
解得.
故答案为：.
知识点04：共线向量与共面向量
1、共线（平行）向量的定义：若表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，若与是共线向量，则记为．
在正确理解共线向量的定义时，要注意以下两点：
（1）零向量和空间任一向量是共线向量．
（2）共线向量不具有传递性，如，那么不一定成立，因为当时，虽然，但不一定与共线（特别注意，与任何向量共线）．
2、共线向量定理：对空间任意两个向量，的充要条件是存在实数，使．
2.1共线向量定理推论：如果为经过点平行于已知非零向量的直线,那么对于空间任一点,点在直线上的充要条件是存在实数,使①，若在上取，则①可以化作：
2.2拓展(高频考点）：对于直线外任意点，空间中三点共线的充要条件是，其中
3、共面向量定义：平行于同一个平面的向量，叫做共面向量．
3.1共面向量定理：如果两个向量不共线，那么向量与向量共面的充要条件是存在唯一的有序实数对，使
3.2空间共面向量的表示
如图空间一点位于平面内的充要条件是存在有序实数对，使．
或者等价于：对空间任意一点，空间一点位于平面内（四点共面）的充要条件是存在有序实数对，使，该式称为空间平面的向量表示式，由此可知，空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定．
3.3拓展
对于空间任意一点，四点共面（其中不共线）的充要条件是（其中）．
【即学即练4】（2023春·四川绵阳·高二四川省绵阳南山中学校考阶段练习）已知为空间任意一点，四点共面，但任意三点不共线．如果，则的值为（ ）
A．-2 B．-1 C．1 D．2
【答案】A
【详解】因为，
所以由
得，
即，
因为为空间任意一点，满足任意三点不共线，且四点共面，
所以，故.
故选：A.
题型01 空间向量的有关概念
【典例1】（2023春·高二课时练习）已知为三维空间中的非零向量，下列说法不正确的是（ ）
A．与共面的单位向量有无数个
B．与垂直的单位向量有无数个
C．与平行的单位向量只有一个
D．与同向的单位向量只有一个
【典例2】（2023春·高二课时练习）给出下列命题：①两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；②若空间向量满足，则；③在正方体中，必有；④若空间向量满足，，则．其中正确的个数为（ ）．
A． B． C． D．
【变式1】（2023春·高二课时练习）下列命题中为真命题的是（ ）
A．空间向量与的长度相等
B．将空间中所有的单位向量移到同一个起点，则它们的终点构成一个圆
C．空间向量就是空间中的一条有向线段
D．不相等的两个空间向量的模必不相等
【变式2】（2023·江苏·高二专题练习）如图所示，已知为平行六面体，若以此平行六面体的顶点为向量的起点、终点，求：
（1）与相等的向量；
（2）与相反的向量；
（3）与平行的向量．
题型02 空间向量加减运算及几何表示
【典例1】（2023秋·湖南湘潭·高二校联考期末）已知在空间四边形中，，则（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（2023春·江苏连云港·高二校联考期中）正方体中，化简（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（2023春·安徽亳州·高二统考开学考试）在长方体中，为线段的中点，则（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2023秋·北京大兴·高二统考期末）空间向量（ ）
A． B． C． D．
题型03空间向量的共线定理（空间向量共线的判定）
【典例1】（2023·江苏·高二专题练习）如图，四边形 都是平行四边形且不共面，,分别是 的中点，判断与是否共线？
【变式1】（2023·江苏·高二专题练习）如图所示，在正方体中，点在上，且，点在体对角线上，且．求证：，，三点共线．
题型04空间向量的共线定理（由空间向量共线求参数）
【典例1】（2023春·江苏南京·高二南京市第一中学校考阶段练习）已知是空间的一个基底，若，，若，则（ ）
A． B． C．3 D．
【典例2】（2023春·高二课时练习）设，是两个不共线的空间向量，若，，，且，，三点共线，则实数的值为______.
【变式1】（2023春·高二课时练习）设是空间两个不共线的非零向量，已知，，，且A， B， D三点共线，求实数k的值．
【变式2】（2023春·江苏镇江·高二江苏省扬中高级中学校考阶段练习）设是空间中两个不共线的向量，已知，，，且三点共线，则实数______．．
题型05空间向量共面（空间向量共面的判定）
【典例1】（多选）（2023秋·江西吉安·高二井冈山大学附属中学校考期末）空间四点及空间任意一点，由下列条件一定可以得出四点共面的有（ ）
A． B．
C． D．
【典例2】（2023春·高二课时练习）设空间任意一点和不共线的三点，，，若点满足向量关系（其中），试问：，，，四点是否共面？
【变式1】（2023春·高一课时练习）下列条件中，一定使空间四点P A B C共面的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】（2023秋·高二课时练习）已知是不共面向量，，证明这三个向量共面.
题型06空间向量共面（由空间向量共面求参数）
【典例1】（2023春·高一课时练习）已知三点不共线，是平面外任意一点，若，则四点共面的充要条件是（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（2023春·高二课时练习）已知为空间中一点，四点共面且任意三点不共线，若，则的值为______．
【变式1】（2023春·高二课时练习）如图,平面内的小方格均为正方形,点为平面内的一点,为平面外一点,设,则的值为（ ）
A．1 B． C．2 D．
【变式2】（2023秋·湖北黄冈·高二统考期末）是空间向量的一组基底，，，，已知点在平面内，则______.
题型07空间向量共面（推论及其应用）
【典例1】（2023春·江苏淮安·高二校联考期中）已知三点不共线，是平面外任意一点，若由确定的一点与三点共面，则等于（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（2023春·高一课时练习）已知为空间中任意一点，、、、四点满足任意三点均不共线，但四点共面，且，则实数的值为_________.
【变式1】（2023秋·重庆北碚·高二西南大学附中校考阶段练习）在三棱锥中，M是平面ABC上一点，且，则 （ ）
A．1 B．2 C． D．
【变式2】（2022秋·江西抚州·高二江西省临川第二中学校考阶段练习）已知点在确定的平面内，是空间任意一点，实数满足，则的最小值为（ ）
A． B． C．1 D．2
题型08空间向量数乘运算及几何表示
【典例1】（2023秋·新疆昌吉·高二校考期末）已知正方体，点E是的中点，点F是的三等分点，且，则等于（ ）．
A． B．
C． D．
【典例2】（2023春·高二课时练习）如图，已知为空间的9个点，且，，，，，.
求证：（1）；
（2）.
【变式1】（2023春·云南迪庆·高二迪庆藏族自治州民族中学校考阶段练习）在三棱柱中，D是四边形的中心，且，，，则（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】（2023秋·北京·高二中央民族大学附属中学校考期末）在平行六面体中，点M满足．若，则下列向量中与相等的是（ ）
A． B．
C． D．
1.1.1空间向量及其线性运算
A夯实基础 B能力提升 C综合素养
A夯实基础
一、单选题
1．（2023秋·高二课时练习）当，且不共线时，与的关系是（ ）
A．共面 B．不共面 C．共线 D．无法确定
2．（2023·山东枣庄·统考模拟预测）如图，在长方体中，化简（ ）
A． B． C． D．
3．（2023秋·河北石家庄·高二石家庄二十三中校考期末）如图，已知空间四边形ABCD的对角线为AC，BD，设G是CD的中点，则等于（ ）
A． B． C． D．
4．（2023秋·江西吉安·高二江西省万安中学校考期末）已知在长方体中，，则（ ）
A．3 B．2 C．1 D．
5．（2023秋·山东威海·高二统考期末）在平行六面体中，点E满足，则（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·全国·高二专题练习）已知点在确定的平面内，是平面外任意一点，实数满足，则的最小值为（ ）
A． B． C．1 D．2
7．（2023·江苏·高二专题练习）已知为空间任一点，，，，四点满足任意三点不共线，但四点共面，且，则的值为（ ）
A．1 B． C．2 D．
8．（2023·全国·高三专题练习）如图，在四面体中，、分别是、的中点，过的平面分别交棱、于、（不同于、、、），、分别是棱、上的动点，则下列命题错误的是（ ）
A．存在平面和点，使得平面
B．存在平面和点，使得平面
C．对任意的平面，线段平分线段
D．对任意的平面，线段平分线段
二、多选题
9．（2023春·高二课时练习）下列说法错误的是（ ）
A．空间的任意三个向量都不共面
B．空间的任意两个向量都共面
C．三个向量共面，即它们所在的直线共面
D．若三向量两两共面，则这三个向量一定也共面
10．（2023·全国·高二专题练习）下列命题中正确的是（ ）
A．若∥，则∥
B．是共线的必要条件
C．三点不共线，对空间任一点，若，则四点共面
D．若为空间四点，且有（不共线），则是三点共线的充要条件
三、填空题
11．（2023·全国·高二专题练习）已知是不共面向量，，若三个向量共面，则实数______.
12．（2023·江苏·高二专题练习）已知A，B，C三点不共线，O是平面ABC外任意一点，若由确定的一点P与A，B，C三点共面，则_________．
四、解答题
13．（2023·江苏·高二专题练习）已知、、、、、、、、为空间的个点（如图所示），并且，，，，．求证：．
14．（2023春·高二课时练习）如图所示，已知矩形，为平面外一点，且平面，、分别为、上的点，且，，求满足的实数的值．
B能力提升
1．（2023春·江苏淮安·高二淮阴中学校联考阶段练习）四面体中，，是的中点，是的中点，设，，，则（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023春·高二课时练习）已知长方体，，，M是的中点，点P满足，其中，，且平面，则动点P的轨迹所形成的轨迹长度是（ ）
A． B． C． D．2
3．（2023春·高二课时练习）在正三棱柱中，，点P满足，其中，则三角形周长最小值是___________.
C综合素养
1．（多选）（2023春·高二课时练习）如图，在三棱柱中，P为空间一点，且满足，，则（ ）
A．当时，点P在棱上 B．当时，点P在棱上
C．当时，点P在线段上 D．当时，点P在线段上
2．（2023·全国·高三专题练习）如图所示的平行六面体中，已知，，，为上一点，且．若，则的值为__；若为棱的中点，平面，则的值为__．
3．（2023·江苏·高二专题练习）如图，在三棱锥中，点为的重心，点在上，且，过点任意作一个平面分别交线段，，于点，，，若，，，求证：为定值，并求出该定值.
第01讲 1.1.1空间向量及其线性运算
课程标准 学习目标
①理解空间向量的概念，空间向量的共线定理、共面定理及推论. ②会进行空间向量的线性运算，空间向量的数量积，空间向量的夹角的相关运算. 1．理解空间向量的相关概念的基础上进行与向量的加、减运算、数量积的运算、夹角的相关运算及空间距离的求解. 2．利用空间向量的相关定理及推论进行空间向量共线、共面的判断.
知识点01：空间向量的有关概念
1、空间向量的有关概念
（1）概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量，空间向量的大小叫做空间向量的长度或模；如空间中的位移速度、力等．
（2）几类特殊的空间向量
名称 定义及表示
零向量 长度为0的向量叫做零向量，记为
单位向量 模为1的向量称为单位向量
相反向量 与向量长度相等而方向相反的向量，称为的相反向量，记为
相等向量 方向相同且模相等的向量称为相等向量
2、空间向量的表示
表示方法：和平面向量一样，空间向量有两种表示方法：
（1）几何表示法：用有向线段来表示，叫向量的起点，叫向量的终点；
（2）字母表示法：用表示．向量的起点是，终点是，则向量也可以记作，其模记为或.
【即学即练1】（2023·江苏·高二专题练习）如图所示，在平行六面体的棱中，与向量模相等的向量有______个.
【答案】7
【详解】与模长相等的向量有：共有7个.
故答案为：7
知识点02：空间向量的加法、减法运算
1、空间向量的位置：已知空间向量，可以把它们平移到同一平面内，以任意点为起点，作向量，
2、空间向量的加法运算（首尾相接首尾连）：作向量，则向量叫做向量的和．记作，即
3、空间向量的减法运算（共起点，连终点，指向被减向量）：向量叫做与差，记作，即
4、空间向量的加法运算律
（1）加法交换律：
（2）加法结合律：
【即学即练2】（2023秋·浙江台州·高二期末）如图，在平行六面体中，E是的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】．
故选：A.
知识点03：空间向量的数乘运算
1、定义：与平面向量一样，实数与空间向量的乘积仍然是一个向量，称为向量的数乘运算．
2：数乘向量与向量的关系
的范围 的方向 的模
与向量的方向相同
，其方向是任意的
与向量的方向相反
3、对数乘向量与向量的关系的进一步理解：
（1）可以把向量模扩大（当时），也可缩小（当时）；可以不改变向量的方向（当时），也可以改变向量的方向（当时）．
（2）实数与向量的积的特殊情况：当时，；当时，若，则．
（3）实数与向量可以求积，但是不能进行加减，例如，，没有意义，无法运算．
【即学即练3】（2023春·高一课时练习）如图，已知四棱柱的底面为平行四边形，E为棱的中点，，与平面交于点M，则＝________.
【答案】
【详解】由题可设，
因为，
所以，
因为M，E，F，G四点共面，
所以，
解得.
故答案为：.
知识点04：共线向量与共面向量
1、共线（平行）向量的定义：若表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，若与是共线向量，则记为．
在正确理解共线向量的定义时，要注意以下两点：
（1）零向量和空间任一向量是共线向量．
（2）共线向量不具有传递性，如，那么不一定成立，因为当时，虽然，但不一定与共线（特别注意，与任何向量共线）．
2、共线向量定理：对空间任意两个向量，的充要条件是存在实数，使．
2.1共线向量定理推论：如果为经过点平行于已知非零向量的直线,那么对于空间任一点,点在直线上的充要条件是存在实数,使①，若在上取，则①可以化作：
2.2拓展(高频考点）：对于直线外任意点，空间中三点共线的充要条件是，其中
3、共面向量定义：平行于同一个平面的向量，叫做共面向量．
3.1共面向量定理：如果两个向量不共线，那么向量与向量共面的充要条件是存在唯一的有序实数对，使
3.2空间共面向量的表示
如图空间一点位于平面内的充要条件是存在有序实数对，使．
或者等价于：对空间任意一点，空间一点位于平面内（四点共面）的充要条件是存在有序实数对，使，该式称为空间平面的向量表示式，由此可知，空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定．
3.3拓展
对于空间任意一点，四点共面（其中不共线）的充要条件是（其中）．
【即学即练4】（2023春·四川绵阳·高二四川省绵阳南山中学校考阶段练习）已知为空间任意一点，四点共面，但任意三点不共线．如果，则的值为（ ）
A．-2 B．-1 C．1 D．2
【答案】A
【详解】因为，
所以由
得，
即，
因为为空间任意一点，满足任意三点不共线，且四点共面，
所以，故.
故选：A.
题型01 空间向量的有关概念
【典例1】（2023春·高二课时练习）已知为三维空间中的非零向量，下列说法不正确的是（ ）
A．与共面的单位向量有无数个
B．与垂直的单位向量有无数个
C．与平行的单位向量只有一个
D．与同向的单位向量只有一个
【答案】C
【详解】解：与共面的单位向量，方向可任意，所以有无数个，故A正确；
与垂直的单位向量，方向可任意，所以有无数个，故B正确；
与平行的单位向量，方向有两个方向，故不唯一，故C错误；
与同向的单位向量，方向唯一，故只有一个，故D正确．
故选：C．
【典例2】（2023春·高二课时练习）给出下列命题：①两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；②若空间向量满足，则；③在正方体中，必有；④若空间向量满足，，则．其中正确的个数为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】对于①，当两个空间向量起点相同，终点也相同时，这两个向量必相等；但两个向量相等，它们的起点和终点都不一定相同，①错误；
对于②，根据向量相等的定义，要保证两个向量相等，不仅模要相等，而且方向还要相同，但②中向量与的方向不一定相同，②错误；
对于③，根据正方体的性质，在正方体中，向量与向量的方向相同，模也相等，则，③正确；
对于④，由向量相等关系可知，④正确．
故选：C.
【变式1】（2023春·高二课时练习）下列命题中为真命题的是（ ）
A．空间向量与的长度相等
B．将空间中所有的单位向量移到同一个起点，则它们的终点构成一个圆
C．空间向量就是空间中的一条有向线段
D．不相等的两个空间向量的模必不相等
【答案】A
【详解】对于A，因为空间向量与互为相反向量，所以空间向量与的长度相等，所以A正确，
对于B，将空间所有的单位向量平移到一个起点，则它们的终点构成一个球面，所以B错误，
对于C，空间向量可以用空间中的一条有向线段表示，但空间向量不是有向线段，所以C错误，
对于D，两个空间向量不相等，它们的模可能相等，也可能不相等，如向量与的模相等，所以D错误，
故选：A
【变式2】（2023·江苏·高二专题练习）如图所示，已知为平行六面体，若以此平行六面体的顶点为向量的起点、终点，求：
（1）与相等的向量；
（2）与相反的向量；
（3）与平行的向量．
【答案】（1）；（2）；（3）．
【详解】（1）∵平行六面体是棱柱，∴侧棱都平行且相等，
∴与相等的向量为；
（2）连接，由平行六面体的性质可得，
∴是平行四边形，
∴，与相反的向量为．
（3）连接，由平行六面体的性质可得，
∴是平行四边形，
∴，与平行的向量为．
题型02 空间向量加减运算及几何表示
【典例1】（2023秋·湖南湘潭·高二校联考期末）已知在空间四边形中，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因为，故G为CD的中点，如图，
由平行四边形法则可得，
所以.
故选：A.
【典例2】（2023春·江苏连云港·高二校联考期中）正方体中，化简（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】.
故选：C.
【变式1】（2023春·安徽亳州·高二统考开学考试）在长方体中，为线段的中点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为为线段的中点，所以,
所以，
因为长方体中，，
所以，即.
故选：C.
【变式2】（2023秋·北京大兴·高二统考期末）空间向量（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
故选：D
题型03空间向量的共线定理（空间向量共线的判定）
【典例1】（2023·江苏·高二专题练习）如图，四边形 都是平行四边形且不共面，,分别是 的中点，判断与是否共线？
【答案】共线.
【详解】因为M N分别是AC BF的中点，而四边形ABCD ABEF都是平行四边形，
所以.
又，
所以.
所以，
即，即与共线.
【变式1】（2023·江苏·高二专题练习）如图所示，在正方体中，点在上，且，点在体对角线上，且．求证：，，三点共线．
【答案】证明见解析
【详解】证明： 连接，．
∵
，
，
∴，∴．
又，∴，，三点共线．
题型04空间向量的共线定理（由空间向量共线求参数）
【典例1】（2023春·江苏南京·高二南京市第一中学校考阶段练习）已知是空间的一个基底，若，，若，则（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】C
【详解】，，
因为，所以存在实数，使，
所以，
所以，
所以，得，，
所以，
故选：C
【典例2】（2023春·高二课时练习）设，是两个不共线的空间向量，若，，，且，，三点共线，则实数的值为______.
【答案】/0.4
【详解】∵，，，
∴，又∵A，C，D三点共线，∴，
∴，∴.
故答案为：.
【变式1】（2023春·高二课时练习）设是空间两个不共线的非零向量，已知，，，且A， B， D三点共线，求实数k的值．
【答案】.
【详解】因为，，则有，
又A， B， D三点共线，于是，即，而不共线，
因此，解得，
所以实数k的值是.
【变式2】（2023春·江苏镇江·高二江苏省扬中高级中学校考阶段练习）设是空间中两个不共线的向量，已知，，，且三点共线，则实数______．．
【答案】
【详解】，，
，
三点共线，存在实数，使得，即，
，解得：．
故答案为：.
题型05空间向量共面（空间向量共面的判定）
【典例1】（多选）（2023秋·江西吉安·高二井冈山大学附属中学校考期末）空间四点及空间任意一点，由下列条件一定可以得出四点共面的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【详解】对A：，定有共面，且有公共顶点，
故四点共面，故A正确；
对B：，，
故四点不共面，故B错误；
对C：，可得三点共线，
则四点一定共面，故C正确；
对D：，，
故四点一定共面，故D正确.
故选：ACD.
【典例2】（2023春·高二课时练习）设空间任意一点和不共线的三点，，，若点满足向量关系（其中），试问：，，，四点是否共面？
【答案】共面
【详解】解：，，，四点共面．
理由如下：，，
，
即，由，，三点不共线，可知和不共线，
由共面定理可知向量，，共面，
，，，四点共面．
【变式1】（2023春·高一课时练习）下列条件中，一定使空间四点P A B C共面的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】对于A选项，，，所以点与、、三点不共面；
对于B选项，，，所以点与、、三点不共面；
对于C选项，，，所以点与、、三点不共面；
对于D选项，，,所以点与、、三点共面.
故选：D.
【变式2】（2023秋·高二课时练习）已知是不共面向量，，证明这三个向量共面.
【答案】证明见解析
【详解】由是不共面向量，得与不共线，
设，则，
所以，解得，所以，
所以这三个向量共面.
题型06空间向量共面（由空间向量共面求参数）
【典例1】（2023春·高一课时练习）已知三点不共线，是平面外任意一点，若，则四点共面的充要条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】四点共面的充要条件是，，整理可得，
由，则，解得，
故选：A.
【典例2】（2023春·高二课时练习）已知为空间中一点，四点共面且任意三点不共线，若，则的值为______．
【答案】
【详解】依题意，四点共面且任意三点不共线，
所以，
所以，
，
，
所以，解得.
故答案为：
【变式1】（2023春·高二课时练习）如图,平面内的小方格均为正方形,点为平面内的一点,为平面外一点,设,则的值为（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】B
【详解】由题知，
四点共面,
根据平面向量基本定理,
不妨设,，
则
,
，
,
.
故选:B
【变式2】（2023秋·湖北黄冈·高二统考期末）是空间向量的一组基底，，，，已知点在平面内，则______.
【答案】3
【详解】因为点在平面内，所以，，共面，
所以存在与 使得,
即，
所以，解得.
故.
故答案为:3.
题型07空间向量共面（推论及其应用）
【典例1】（2023春·江苏淮安·高二校联考期中）已知三点不共线，是平面外任意一点，若由确定的一点与三点共面，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由与三点共面以及，
可得，，所以.
故选：C.
【典例2】（2023春·高一课时练习）已知为空间中任意一点，、、、四点满足任意三点均不共线，但四点共面，且，则实数的值为_________.
【答案】
【详解】，
又∵是空间任意一点，、、、四点满足任三点均不共线，但四点共面，
∴，
解得 x=，
故答案为：
【点睛】方法点睛：设是平面上任一点，是平面上的三点，（不共线），则三点共线，把此结论类比到空间上就是：不共面，若，则四点共面．
【变式1】（2023秋·重庆北碚·高二西南大学附中校考阶段练习）在三棱锥中，M是平面ABC上一点，且，则 （ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】B
【详解】因为，
所以，
因为M是平面ABC上一点，即四点共面，
所以，所以．
故选：B.
【变式2】（2022秋·江西抚州·高二江西省临川第二中学校考阶段练习）已知点在确定的平面内，是空间任意一点，实数满足，则的最小值为（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】A
【详解】由题意因为四点共面且平面唯一确定，，
所以，即，
所以，
由一元二次函数的图像和性质可得当时，取得最小值，
所以，
故选：A
题型08空间向量数乘运算及几何表示
【典例1】（2023秋·新疆昌吉·高二校考期末）已知正方体，点E是的中点，点F是的三等分点，且，则等于（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】如图所示，
由于，故，，，
，，，
∴
，
故选：D．
【典例2】（2023春·高二课时练习）如图，已知为空间的9个点，且，，，，，.
求证：（1）；
（2）.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【详解】证明：（1）
∴.
（2）.
【变式1】（2023春·云南迪庆·高二迪庆藏族自治州民族中学校考阶段练习）在三棱柱中，D是四边形的中心，且，，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】
.
故选：D.
【变式2】（2023秋·北京·高二中央民族大学附属中学校考期末）在平行六面体中，点M满足．若，则下列向量中与相等的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】
由点M满足，所以M为中点，
因为四边形ABCD为平行四边形，所以M为中点,
所以，
所以.
故选：C
1.1.1空间向量及其线性运算
A夯实基础 B能力提升 C综合素养
A夯实基础
一、单选题
1．（2023秋·高二课时练习）当，且不共线时，与的关系是（ ）
A．共面 B．不共面 C．共线 D．无法确定
【答案】A
【详解】根据平行四边形法则可得，以，为邻边，则可得平行四边形的两条对角线对应的向量分别为，
所以与共面.
故选：A.
2．（2023·山东枣庄·统考模拟预测）如图，在长方体中，化简（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由长方体的结构特征，有，
则.
故选：B
3．（2023秋·河北石家庄·高二石家庄二十三中校考期末）如图，已知空间四边形ABCD的对角线为AC，BD，设G是CD的中点，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】G是CD的中点,所以
故选：A.
4．（2023秋·江西吉安·高二江西省万安中学校考期末）已知在长方体中，，则（ ）
A．3 B．2 C．1 D．
【答案】C
【详解】依题知，，
∴，
∴．
故选：C.
5．（2023秋·山东威海·高二统考期末）在平行六面体中，点E满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由得，
整理得.
故选：A.
6．（2023·全国·高二专题练习）已知点在确定的平面内，是平面外任意一点，实数满足，则的最小值为（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】D
【详解】因为，点在确定的平面内，
所以，即，所以，
所以当时，的有最小值2．
故选：D
7．（2023·江苏·高二专题练习）已知为空间任一点，，，，四点满足任意三点不共线，但四点共面，且，则的值为（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】B
【详解】解：，，
又，，，四点满足任意三点不共线，但四点共面，
，，
故选：B．
8．（2023·全国·高三专题练习）如图，在四面体中，、分别是、的中点，过的平面分别交棱、于、（不同于、、、），、分别是棱、上的动点，则下列命题错误的是（ ）
A．存在平面和点，使得平面
B．存在平面和点，使得平面
C．对任意的平面，线段平分线段
D．对任意的平面，线段平分线段
【答案】D
【详解】对于A选项，当时，因为平面，平面，此时平面，A对；
对于B选项，当时，因为平面，平面，此时平面，B对；
对于C选项，取的中点，的中点为，设，，
则有，
同理可得，，
，
，
所以，所以，，
因为、、、四点共面，则，所以，，
所以，，则，
所以，，可得，
即、、三点共线，即的中点在上，即线段平分线段，C对；
对于D选项，若线段平分线段，又因为线段平分线段，则四边形为平行四边形，
事实上，四边形不一定为平行四边形，故假设不成立，D错.
故选：D.
二、多选题
9．（2023春·高二课时练习）下列说法错误的是（ ）
A．空间的任意三个向量都不共面
B．空间的任意两个向量都共面
C．三个向量共面，即它们所在的直线共面
D．若三向量两两共面，则这三个向量一定也共面
【答案】ACD
【详解】A.如图所示： ，三个向量共面，故错误；
B.由相等向量知：通过平移，两个向量的起点总可以在同一点，故两个向量都共面，故正确；
C.如图所示：，在正方体中三个向量共面，但它们所在的直线不共面，故错误；
D. 如图所示：，在正方体中三向量两两共面，但这三个向量一定共面，故错误；
故选：ACD
10．（2023·全国·高二专题练习）下列命题中正确的是（ ）
A．若∥，则∥
B．是共线的必要条件
C．三点不共线，对空间任一点，若，则四点共面
D．若为空间四点，且有（不共线），则是三点共线的充要条件
【答案】ACD
【详解】对于A,由∥，则一定有∥，故A正确；
对于B，由反向共线，可得，故B不正确；
对于C，由三点不共线，对空间任一点，若，则
，即，
所以四点共面，故C正确；
对于D,若为空间四点，且有（不共线），
当，即时，可得，即，
所以三点共线，反之也成立，即是三点共线的充要条件，
故D正确.
故选：ACD.
三、填空题
11．（2023·全国·高二专题练习）已知是不共面向量，，若三个向量共面，则实数______.
【答案】4
【详解】以为空间一组基底，
由于三个向量共面，所以存在，
使得，
即，
整理得，
所以，解得.
故答案为：
12．（2023·江苏·高二专题练习）已知A，B，C三点不共线，O是平面ABC外任意一点，若由确定的一点P与A，B，C三点共面，则_________．
【答案】
【详解】因为P，A，B，C四点共面，所以存在不全为0的使得，
O是平面ABC外任意一点，则，
即，
若A，B，C三点共线，则，即，
整理得：，所以，
此时若，则，
因为A，B，C三点不共线，，
所以，
所以，
令，则，
所以，所以．
故答案为：
四、解答题
13．（2023·江苏·高二专题练习）已知、、、、、、、、为空间的个点（如图所示），并且，，，，．求证：．
【答案】证明见解析．
【详解】，，，
，
，
因为、无公共点，故.
14．（2023春·高二课时练习）如图所示，已知矩形，为平面外一点，且平面，、分别为、上的点，且，，求满足的实数的值．
【答案】，，．
【详解】，
所以，，，．
B能力提升
1．（2023春·江苏淮安·高二淮阴中学校联考阶段练习）四面体中，，是的中点，是的中点，设，，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】因为，所以，
因为Q是的中点，所以，
因为M为PQ的中点，所以，
故选：C.
2．（2023春·高二课时练习）已知长方体，，，M是的中点，点P满足，其中，，且平面，则动点P的轨迹所形成的轨迹长度是（ ）
A． B． C． D．2
【答案】A
【详解】如图所示，E，F，G，H，N分别为，，，DA，AB的中点，
则，，
所以平面平面，
所以动点P的轨迹是六边形MEFGHN及其内部.
又因为，所以点在侧面，
所以点的轨迹为线段，
因为AB=AD=2，，
所以.
故选：A.
3．（2023春·高二课时练习）在正三棱柱中，，点P满足，其中，则三角形周长最小值是___________.
【答案】/
【详解】根据题意，因为，其中，
所以点在线段上.
如图所示，沿展开正三棱柱的侧面，
故三角形周长为，
当、、三点共线时，取等号.
故答案为：.
C综合素养
1．（多选）（2023春·高二课时练习）如图，在三棱柱中，P为空间一点，且满足，，则（ ）
A．当时，点P在棱上 B．当时，点P在棱上
C．当时，点P在线段上 D．当时，点P在线段上
【答案】BCD
【详解】当时，，所以，
则，即P在棱上，故A错误；
同理当时，则，故P在棱上，故B正确；
当时，，所以，即，
故点P在线段上，故C正确；
当时，，故点在线段上，故D正确．
故选：BCD．
2．（2023·全国·高三专题练习）如图所示的平行六面体中，已知，，，为上一点，且．若，则的值为__；若为棱的中点，平面，则的值为__．
【答案】
【详解】解：①，不妨取，
．
．
②连接，与交于点．连接，交于点，连接．
平面，．
点为的中点，点为的中点．
延长交线段的延长线于点．
，．
．
，
．
则．
故答案为：，．
3．（2023·江苏·高二专题练习）如图，在三棱锥中，点为的重心，点在上，且，过点任意作一个平面分别交线段，，于点，，，若，，，求证：为定值，并求出该定值.
【答案】为定值4；证明见解析；
【详解】联结AG并延长交BC于H，由题意，令为空间向量的一组基底，
则
.
联结DM，点，，，M共面，故存在实数，
满足，即，
因此，
由空间向量基本定理知，
，
故，为定值.
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