人教A版数学(选择性必修一讲义)第04讲1.3空间向量及其运算的坐标表示(学生版+解析)
文档属性
| 名称 | 人教A版数学(选择性必修一讲义)第04讲1.3空间向量及其运算的坐标表示(学生版+解析) |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 4.2MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-11-11 10:42:41 | ||
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文档简介
第04讲 1.3 空间向量及其运算的坐标表示
课程标准 学习目标
①理解和掌握空间向量的坐标表示及意义 ②会用向量的坐标表达空间向量的相关运算 ③会求空间向量的夹角、长度以及有关平行、垂直的证明 利用空间向量的坐标表示，将形与数有机结合，并能进行相关的计算与证明是学习空间向量及运算的关键.也是解决空间几何的重要手段与工具.
知识点01：空间向量的正交分解及其坐标表示
1、空间直角坐标系
空间直角坐标系及相关概念
(1)空间直角坐标系：在空间选定一点和一个单位正交基底，以为原点，分别以 的方向为正方向，以它们的长为单位长度建立三条数轴：轴、轴、轴，它们都叫做坐标轴，这时我们就建立了一个空间直角坐标系.
(2)相关概念：叫做原点，都叫做坐标向量，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为平面、平面、平面，它们把空间分成八个部分．
2、空间向量的坐标表示
2.1空间一点的坐标：在空间直角坐标系中，为坐标向量，对空间任意一点，对应一个向量，且点的位置由向量唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组，使.在单位正交基底下与向量 对应的有序实数组叫做点在此空间直角坐标系中的坐标，记作，其中叫做点的横坐标，叫做点的纵坐标，叫做点的竖坐标．
2.2空间向量的坐标：在空间直角坐标系中，给定向量，作.由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组，使.有序实数组叫做在空间直角坐标系中的坐标，上式可简记作.
【即学即练1】（2023春·高二课时练习）已知是空间的一个单位正交基底，向量用坐标形式可表示为________．
【答案】
【详解】因为是空间的一个单位正交基底，则有.
所以向量用坐标形式表示为.
故答案为：
知识点02：空间向量运算的坐标表示
设，空间向量的坐标运算法则如下表所示：
运算 坐标表示
加法
减法
数乘
数量积
知识点03：空间向量平行与垂直的条件，几何计算的坐标表示
1、两个向量的平行与垂直
平行（）
垂直（） （均非零向量）
特别提醒：在中，应特别注意，只有在与三个坐标平面都不平行时，才能写成.例如，若与坐标平面平行，则，这样就没有意义了.
【即学即练2】（2023春·四川成都·高二四川省成都列五中学校考阶段练习）已知两个空间向量，，且，则实数的值为__________．
【答案】
【详解】因为，，且，
所以，即，即，解得.
故答案为：
2、向量长度的坐标计算公式
若，则，即
空间向量长度公式表示的是向量的长度，其形式与平面向量长度公式一致，它的几何意义是表示长方体的体对角线的长度
3、两个向量夹角的坐标计算公式
设，则
【即学即练3】（2023春·高二课时练习）已知向量，，，，.
(1)求x，y，z的值；
(2)求向量与所成角的余弦值．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）∵，，， ，
因为，设存在实数，使得，
所以，则.
因为，，则.
∴所以.
（2）由（1）知，，，
∴，，
∴，
，，
∴.
∴向量与所成角的余弦值为.
4、两点间的距离公式
已知，则
题型01空间向量的坐标表示
【典例1】（2023秋·北京丰台·高二北京市第十二中学校考期末）在空间直角坐标系中，已知三点，若点在平面内，则点的坐标可能是（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（多选）（2023·全国·高二专题练习）如图，在正三棱柱中，已知的边长为2，三棱柱的高为的中点分别为，以为原点，分别以的方向为轴 轴 轴的正方向建立空间直角坐标系，则下列空间点及向量坐标表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【典例3】（2023春·内蒙古呼伦贝尔·高二校考开学考试）已知点，，点满足，则点的坐标是________.
【变式1】（2023秋·高二课时练习）如图，在空间直角坐标系中，正方体的棱长为1，，则等于
A． B． C． D．
【变式2】（2023春·高二课时练习）若 ，点在线段上，且，则点的坐标是___________.
题型02空间向量的坐标运算
【典例1】（2023春·高二课时练习）已知向量，，，求：
(1)；
(2)；
(3).
【典例2】（2023春·高二课时练习）如图，在长方体中，，，，以为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系．
(1)写出，，，四点的坐标；
(2)写出向量，，，的坐标．
【变式1】（2023春·福建宁德·高二校联考期中）已知，，，若，，三向量共面，则实数等于（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【变式2】（2023秋·高二课时练习）已知点、，且满足，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
题型03空间向量数量积（坐标形式求空间向量的数量积）
【典例1】（2023秋·北京丰台·高二北京市第十二中学校考期末）若向量，满足条件，则（ ）
A． B． C．1 D．2
【典例2】（2023春·高二课时练习）已知向量，．求．
【变式1】（2023秋·广东深圳·高二统考期末）已知向量，，若，则（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2023秋·天津·高二统考期末）已知空间向量，，，则（ ）
A． B． C． D．
题型04空间向量数量积（坐标形式求空间向量数量积的最值范围问题）
【典例1】（2023秋·湖北·高三校联考阶段练习）在长方体中，，，，，分别是棱，，上的点，且，，，是平面内一动点，若直线与平面平行，则的最小值为（ ）
A． B．17 C． D．
【典例2】（2023春·山东烟台·高二山东省烟台第一中学校考开学考试）正四面体的棱长为2，动点在以为直径的球面上，则的最大值为（ ）
A．2 B． C．4 D．
【典例3】（2023·江苏·高二专题练习）在空间直角坐标系中，，，，点在直线上运动，则当取得最小值时，______．
【变式1】（2023秋·河南郑州·高二郑州市第九中学校考阶段练习）已知空间直角坐标系中，，，，点在直线上运动，则当取得最小值时，点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2023秋·上海徐汇·高二南洋中学校考期末）已知是长方体外接球的一条直径，点P在长方体表面上运动，长方体的棱长分别为1、1、，则的取值范围为________.
题型05空间向量的模（坐标形式求空间向量的模（距离，长度））
【典例1】（2023春·江苏南京·高二南京市第五高级中学校考期中）已知向量，，且，那么等于（ ）
A． B． C． D．5
【典例2】（2023春·高二课时练习）如图，在棱长为1的正方体中，，分别为，的中点，在棱上，且，H为的中点．求||.
【典例3】（2023秋·山东日照·高二统考期末）已知，，且，则_____．
【变式1】（2023秋·上海长宁·高二上海市延安中学校考期末）已知，，且，则为______.
题型06空间向量的模（根据空间向量的模求参数）
【典例1】（2023·全国·高二专题练习）已知向量，且，则____________．
题型07空间向量的模（坐标形式求空间向量模的最值（范围）问题）
【典例1】（2022·高二课时练习）已知正方体的棱长为4，点是棱的中点，动点在正方形内（包括边界）运动，且平面，则长度的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【典例2】（2023·高二课时练习）如图，在直三棱柱中，，，为的中点，点在线段上，点在线段上，求线段长的最小值．
【典例3】（2023·全国·高三专题练习）已知单位空间向量满足．若空间向量满足，且对于任意实数的最小值是2，则的最小值是_________．
【变式1】（2023春·上海宝山·高二统考期末）已知、是空间互相垂直的单位向量，且，，则的最小值是______.
【变式2】（2023·上海·高三专题练习）已知，，是空间两两垂直的单位向量，，且，则的最小值为________．
【变式3】（2023·江苏·高二专题练习）已知，，则的最小值为__________．
题型08空间向量的夹角问题（坐标形式）
【典例1】（2023秋·山东临沂·高二校考期末）已知空间向量，，且，则向量与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（2023春·江苏·高二南师大二附中校联考阶段练习）若向量，且与夹角的余弦值为，则等于（ ）
A． B． C．或 D．2
【典例3】（2023秋·高二课时练习）已知空间三点，，，则与的夹角的大小是________．
【典例4】（2023秋·河南周口·高二统考期末）已知向量
(1)求；
(2)求向量与夹角的余弦值.
【变式1】（2023·江苏淮安·江苏省盱眙中学校考模拟预测）若向量，，且,的夹角的余弦值为，则实数等于（ ）.
A．0 B． C．0或 D．0或
【变式2】（2023春·甘肃白银·高二校考阶段练习）在空间直角坐标系中，已知，，则、夹角的余弦值是______．
【变式3】（2023秋·吉林辽源·高二校联考期末）已知向量，.
(1)求的值；
(2)求向量与夹角的余弦值.
题型09空间向量的投影向量（坐标形式）
【典例1】（2023春·江苏宿迁·高二统考期中）已知向量，，则向量在向量上的投影向量为（ ）．
A． B． C． D．
【典例2】（2023春·江苏徐州·高二统考期中）已知，，，则向量在上的投影向量的坐标是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1】（2023·全国·高二专题练习）已知，则在上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2023秋·广东广州·高二秀全中学校考期末）已知，，则在上的投影向量为（ ）
A．1 B． C． D．
题型10空间向量的平行关系（坐标形式）
【典例1】（2023·江苏·高二专题练习）已知，，且，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【典例2】（2023春·安徽合肥·高二校考开学考试）已知两个向量，，且，则的值为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
【典例3】（2023·高二单元测试）向量，，，且，，则______.
【变式1】（2023秋·江西宜春·高二校考期末）设，向量，，，且，，则（ ）
A． B． C．4 D．3
【变式2】（2023春·福建宁德·高二校联考期中）已知向量，，若，则实数（ ）
A． B． C． D．
题型11空间向量的垂直关系（坐标形式）
【典例1】（2023春·内蒙古呼伦贝尔·高二校考开学考试）已知，，且与互相垂直，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（2023春·江苏盐城·高二江苏省响水中学校考阶段练习）已知向量．
(1)求；
(2)当时，若向量与垂直，求实数和的值；
(3)若向量与向量共面向量，求的值．
【典例3】（2023春·高二课时练习）已知点、、，，．
(1)若，且，求；
(2)求；
(3)若与垂直，求．
【变式1】（2023春·福建宁德·高二校联考期中）已知向量，.
(1)求与的夹角余弦值；
(2)若，求的值.
【变式2】（2023春·江苏淮安·高二校考阶段练习）已知向量，，，且．
(1)求实数的值；
(2)若，求实数的值．
题型12易错题型根据空间向量成锐角（钝角）求参数
【典例1】（多选）（2023春·江苏宿迁·高二统考期中）若向量与的夹角为锐角，则实数的值可能为（ ）.
A．4 B．5 C．6 D．7
【典例2】（2023春·江苏宿迁·高二校考阶段练习）已知向量，，若与的夹角为钝角，则实数的取值范围为______.
【典例3】（2023春·高二课时练习）已知向量，，若与的夹角为钝角，则实数的取值范围为________．
【变式1】（2023春·高二课时练习）若，，若与的夹角是钝角，则的值的取值范围为__________.
【变式2】（2023春·高二课时练习）若，若与的夹角是锐角，则的值的取值范围为__________.
1.3 空间向量及其运算的坐标表示
A夯实基础 B能力提升 C综合素养
A夯实基础
一、单选题
1．（2023秋·山东滨州·高二统考期末）已知向量，，若，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·全国·高二专题练习）已知向量，，则（ ）
A． B．40 C．6 D．36
3．（2023春·江苏扬州·高二统考期中），，，若，，共面，则实数为（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·全国·高二专题练习）已知在空间单位正交基底下，是空间的一组单位正交基底，是空间的另一组基底.若向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标为（ ）
A． B． C． D．
5．（2023春·吉林通化·高二梅河口市第五中学校考开学考试）设，向量，且，则（ ）
A． B． C． D．
6．（2023春·高二课时练习）已知，，与的夹角为120°，则的值为（ ）
A． B． C． D．
7．（2023·江苏·高二专题练习）已知长方体中，，若棱上存在点，使得，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．（2023·全国·高二专题练习）《九章算术》是中国古代张苍、耿寿昌所撰写的一部数学专著，是《算经十书》中最重要的一部，成于公元一世纪左右，是当时世界上最简练有效的应用数学专著，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系.在《九章算术》里，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”.已知在“堑堵”中，，，动点在“堑堵”的侧面上运动，且，则的最大值为（ ）.
A． B． C． D．
二、多选题
9．（2023春·山东临沂·高二统考期末）空间中三点是坐标原点，则（ ）
A．
B．
C．点关于平面对称的点为
D．与夹角的余弦值是
10．（2023·全国·高二专题练习）已知，，，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．为钝角 D．在方向上的投影向量为
三、填空题
11．（2023春·江苏连云港·高二校联考期中）已知向量满足，且，则_________，在上的投影向量的坐标为______________．
12．（2023·高三课时练习）已知，，且与的夹角为钝角，则x的取值范围是___.
四、解答题
13．（2023春·高二课时练习）已知向量，，，且，.
(1)求向量，，；
(2)求向量与向量所成角的余弦值.
14．（2023·江苏·高二专题练习）（1）已知向量.
①计算和
②求.
（2）已知向量.
①若，求实数；
②若，求实数.
B能力提升
1．（2023秋·陕西西安·高二长安一中校考期末）在棱长为2的正方体中，点分别在棱和上，且，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．1
2．（2023春·高二课时练习）已知，，则取最小值时的值是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023春·江苏连云港·高二江苏省海头高级中学校考期中）如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，，M为PC上一动点，，若∠BMD为钝角，则实数t可能为（ ）
A． B． C． D．
4．（2023秋·高二课时练习）已知O为坐标原点，＝(1,2,3)，＝(2,1,2)，＝(1,1,2)，点Q在直线OP上运动，则当取得最小值时，点Q的坐标为（ ）
A． B． C． D．
问题：如图，在正方体，中，以为坐标原点，建立空间直角坐标系．已知点的坐标为，为棱上的动点，为棱上的动点，______，则是否存在点，，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
第04讲 1.3 空间向量及其运算的坐标表示
课程标准 学习目标
①理解和掌握空间向量的坐标表示及意义 ②会用向量的坐标表达空间向量的相关运算 ③会求空间向量的夹角、长度以及有关平行、垂直的证明 利用空间向量的坐标表示，将形与数有机结合，并能进行相关的计算与证明是学习空间向量及运算的关键.也是解决空间几何的重要手段与工具.
知识点01：空间向量的正交分解及其坐标表示
1、空间直角坐标系
空间直角坐标系及相关概念
(1)空间直角坐标系：在空间选定一点和一个单位正交基底，以为原点，分别以 的方向为正方向，以它们的长为单位长度建立三条数轴：轴、轴、轴，它们都叫做坐标轴，这时我们就建立了一个空间直角坐标系.
(2)相关概念：叫做原点，都叫做坐标向量，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为平面、平面、平面，它们把空间分成八个部分．
2、空间向量的坐标表示
2.1空间一点的坐标：在空间直角坐标系中，为坐标向量，对空间任意一点，对应一个向量，且点的位置由向量唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组，使.在单位正交基底下与向量 对应的有序实数组叫做点在此空间直角坐标系中的坐标，记作，其中叫做点的横坐标，叫做点的纵坐标，叫做点的竖坐标．
2.2空间向量的坐标：在空间直角坐标系中，给定向量，作.由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组，使.有序实数组叫做在空间直角坐标系中的坐标，上式可简记作.
【即学即练1】（2023春·高二课时练习）已知是空间的一个单位正交基底，向量用坐标形式可表示为________．
【答案】
【详解】因为是空间的一个单位正交基底，则有.
所以向量用坐标形式表示为.
故答案为：
知识点02：空间向量运算的坐标表示
设，空间向量的坐标运算法则如下表所示：
运算 坐标表示
加法
减法
数乘
数量积
知识点03：空间向量平行与垂直的条件，几何计算的坐标表示
1、两个向量的平行与垂直
平行（）
垂直（） （均非零向量）
特别提醒：在中，应特别注意，只有在与三个坐标平面都不平行时，才能写成.例如，若与坐标平面平行，则，这样就没有意义了.
【即学即练2】（2023春·四川成都·高二四川省成都列五中学校考阶段练习）已知两个空间向量，，且，则实数的值为__________．
【答案】
【详解】因为，，且，
所以，即，即，解得.
故答案为：
2、向量长度的坐标计算公式
若，则，即
空间向量长度公式表示的是向量的长度，其形式与平面向量长度公式一致，它的几何意义是表示长方体的体对角线的长度
3、两个向量夹角的坐标计算公式
设，则
【即学即练3】（2023春·高二课时练习）已知向量，，，，.
(1)求x，y，z的值；
(2)求向量与所成角的余弦值．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）∵，，， ，
因为，设存在实数，使得，
所以，则.
因为，，则.
∴所以.
（2）由（1）知，，，
∴，，
∴，
，，
∴.
∴向量与所成角的余弦值为.
4、两点间的距离公式
已知，则
题型01空间向量的坐标表示
【典例1】（2023秋·北京丰台·高二北京市第十二中学校考期末）在空间直角坐标系中，已知三点，若点在平面内，则点的坐标可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由，，
显然，不共线，
根据向量基本定理可得，
故C点坐标为，
经验算只有B选项符合条件，
此时，
故选：B
【典例2】（多选）（2023·全国·高二专题练习）如图，在正三棱柱中，已知的边长为2，三棱柱的高为的中点分别为，以为原点，分别以的方向为轴 轴 轴的正方向建立空间直角坐标系，则下列空间点及向量坐标表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【详解】在等边中，，所以，则，，则.
故选：ABC
【典例3】（2023春·内蒙古呼伦贝尔·高二校考开学考试）已知点，，点满足，则点的坐标是________.
【答案】
【详解】设，为坐标原点.由点满足，得，可得，则点的坐标是.
故答案为：．
【变式1】（2023秋·高二课时练习）如图，在空间直角坐标系中，正方体的棱长为1，，则等于
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由题，在空间直角坐标系中，正方体的棱长为1， 则
故选C．
【变式2】（2023春·高二课时练习）若 ，点在线段上，且，则点的坐标是___________.
【答案】
【详解】解：点 ，为线段上一点，且，
所以，
设点的坐标为，则，
则，即，
解得，即；
故答案为：．
题型02空间向量的坐标运算
【典例1】（2023春·高二课时练习）已知向量，，，求：
(1)；
(2)；
(3).
【答案】(1)(2)2(3)4
【详解】（1）由，得
（2）
（3）
【典例2】（2023春·高二课时练习）如图，在长方体中，，，，以为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系．
(1)写出，，，四点的坐标；
(2)写出向量，，，的坐标．
【答案】(1)点，点，点C，
(2)；；；．
【详解】（1）点在z轴上，且，
所以点的坐标是．
同理，点C的坐标是．
点在x轴、y轴、z轴上的射影分别为A，O，，
它们在坐标轴上的坐标分别为3，0，2，所以点的坐标是．
点在x轴、y轴、z轴上的射影分别为A，C，，
它们在坐标轴上的坐标分别为3，4，2，所以点的坐标是．
（2）；
；
；
．
【变式1】（2023春·福建宁德·高二校联考期中）已知，，，若，，三向量共面，则实数等于（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】D
【详解】因为，，，且，，三向量共面，
设，则，
即，解得.
故选：D
【变式2】（2023秋·高二课时练习）已知点、，且满足，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】设点，由，则，
所以，，解得，故点.
故选：B.
题型03空间向量数量积（坐标形式求空间向量的数量积）
【典例1】（2023秋·北京丰台·高二北京市第十二中学校考期末）若向量，满足条件，则（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】B
【详解】根据向量的运算可得：
，
所以
，
所以，
故选：B
【典例2】（2023春·高二课时练习）已知向量，．求．
【答案】
【详解】由向量，，
可得.
【变式1】（2023秋·广东深圳·高二统考期末）已知向量，，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由题意知，
由，得，
解得.
故选：B.
【变式2】（2023秋·天津·高二统考期末）已知空间向量，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】，
，
故选：A
题型04空间向量数量积（坐标形式求空间向量数量积的最值范围问题）
【典例1】（2023秋·湖北·高三校联考阶段练习）在长方体中，，，，，分别是棱，，上的点，且，，，是平面内一动点，若直线与平面平行，则的最小值为（ ）
A． B．17 C． D．
【答案】A
【详解】以D作坐标原点，DA，DC，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，
则，
设平面MPN的法向量为，
则，
令，则，故，
设，则，
因为直线与平面平行，所以，
，
因为，所以，
故
，
故当时，取得最小值，最小值为.
故选：A
【典例2】（2023春·山东烟台·高二山东省烟台第一中学校考开学考试）正四面体的棱长为2，动点在以为直径的球面上，则的最大值为（ ）
A．2 B． C．4 D．
【答案】C
【详解】设的中点为，以为原点建立如图所示的空间坐标系，
则，
设，则，，
，
在以为球心，以为半径的球面上，
，
，，
令，
则直线与单位圆相切时，截距取得最小值，
令，解得或
的最大值为.
故选：C
【典例3】（2023·江苏·高二专题练习）在空间直角坐标系中，，，，点在直线上运动，则当取得最小值时，______．
【答案】/
【详解】解：因为点在直线上运动，，
所以设，
则
，
所以当时，取得最小值，此时，
所以
故答案为：
【变式1】（2023秋·河南郑州·高二郑州市第九中学校考阶段练习）已知空间直角坐标系中，，，，点在直线上运动，则当取得最小值时，点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】设，
由点在直线上，可得存在实数使得，
即，可得,
所以,
则，
根据二次函数的性质，可得当时，取得最小值，此时.
故选：C.
【变式2】（2023秋·上海徐汇·高二南洋中学校考期末）已知是长方体外接球的一条直径，点P在长方体表面上运动，长方体的棱长分别为1、1、，则的取值范围为________.
【答案】
【详解】因为MN是长方体外接球的一条直径，长方体的棱长分别为1、1、
所以，如图，
设，则
因为
当时取等号，此时点P在ABCD平面内，
又
当时取等号，此时点P在ABCD平面内.
即所求的范围是.
故答案为：
题型05空间向量的模（坐标形式求空间向量的模（距离，长度））
【典例1】（2023春·江苏南京·高二南京市第五高级中学校考期中）已知向量，，且，那么等于（ ）
A． B． C． D．5
【答案】C
【详解】因为，，且，
所以，即，所以，
所以，
故选：C．
【典例2】（2023春·高二课时练习）如图，在棱长为1的正方体中，，分别为，的中点，在棱上，且，H为的中点．求||.
【答案】
【详解】如图，建立空间直角坐标系D－xyz，D为坐标原点，
则有，，，，，，，，
.
【典例3】（2023秋·山东日照·高二统考期末）已知，，且，则_____．
【答案】
【详解】因为，所以，解得
所以，.
故答案为：
【变式1】（2023秋·上海长宁·高二上海市延安中学校考期末）已知，，且，则为______.
【答案】
【详解】，，且，
，
即，解得
又
故答案为：
题型06空间向量的模（根据空间向量的模求参数）
【典例1】（2023·全国·高二专题练习）已知向量，且，则____________．
【答案】3
【详解】因为，
所以，
可得，
因为，解得，故答案为3.
题型07空间向量的模（坐标形式求空间向量模的最值（范围）问题）
【典例1】（2022·高二课时练习）已知正方体的棱长为4，点是棱的中点，动点在正方形内（包括边界）运动，且平面，则长度的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】以D为原点，以，，的方向为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．则，，，，，，，，.
取的中点为H，连接，.
在正方体中，且，所以四边形为平行四边形，所以.
又面，面，
所以面.
同理可证：面.
又，所以平面平面．
因为平面，所以点P只能在线段上运动．易知，设（），，则，，
，
．
当时，取得最小值；当时，取得最大值36．
故PC长度的取值范围为．
故选：C
【典例2】（2023·高二课时练习）如图，在直三棱柱中，，，为的中点，点在线段上，点在线段上，求线段长的最小值．
【答案】
【详解】依题意，、、两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，则，，
设，，则，
设，，则．
若线段EF的长最小，则必满足，则，可得，即，
因此，，
当且仅当时等号成立，所以线段EF长的最小值为．
【典例3】（2023·全国·高三专题练习）已知单位空间向量满足．若空间向量满足，且对于任意实数的最小值是2，则的最小值是_________．
【答案】
【详解】以，方向为轴，垂直于，方向为轴建立空间直角坐标系，则 ，
由可设，由是单位空间向量可得，
由可设，
，
当，的最小值是2，所以 ，取，
，
，
当时，最小值为.
故答案为：.
【变式1】（2023春·上海宝山·高二统考期末）已知、是空间互相垂直的单位向量，且，，则的最小值是______.
【答案】4
【详解】是空间相互垂直的单位向量，
设，，设，
又，，
又，
，
，其中，
，
，
当且仅当时取得等号，
的最小值是4．
故答案为：4．
【变式2】（2023·上海·高三专题练习）已知，，是空间两两垂直的单位向量，，且，则的最小值为________．
【答案】
【详解】由题意可设，，,
由，得，
，
，
所以
（当且仅当，时等号成立），
所以的最小值为.
故答案为：.
【变式3】（2023·江苏·高二专题练习）已知，，则的最小值为__________．
【答案】/
【详解】解：，，
∴
，
，当且仅当时等号成立，即的最小值为
故答案为：.
题型08空间向量的夹角问题（坐标形式）
【典例1】（2023秋·山东临沂·高二校考期末）已知空间向量，，且，则向量与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】，解得，则，
，，
设向量与的夹角为，则，
，，即与的夹角为．
故选：A．
【典例2】（2023春·江苏·高二南师大二附中校联考阶段练习）若向量，且与夹角的余弦值为，则等于（ ）
A． B． C．或 D．2
【答案】A
【详解】因为，
所以，，
又与夹角的余弦值为，，
所以，解得，
注意到，即，所以.
故选：A.
【典例3】（2023秋·高二课时练习）已知空间三点，，，则与的夹角的大小是________．
【答案】120°
【详解】由题意，空间三点A(1,1,1)，B(－1,0,4)，C(2，－2,3)，
则，
所以,
又因为，所以.
故答案为：
【典例4】（2023秋·河南周口·高二统考期末）已知向量
(1)求；
(2)求向量与夹角的余弦值.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为，所以.
（2）因为，所以，
又因为，所以
故与夹角的余弦值为.
【变式1】（2023·江苏淮安·江苏省盱眙中学校考模拟预测）若向量，，且,的夹角的余弦值为，则实数等于（ ）.
A．0 B． C．0或 D．0或
【答案】C
【详解】由题意得，解得或，
故选:C．
【变式2】（2023春·甘肃白银·高二校考阶段练习）在空间直角坐标系中，已知，，则、夹角的余弦值是______．
【答案】/
【详解】因为，，由空间向量的夹角公式可得，
，
所以、夹角的余弦值是，
故答案为：.
【变式3】（2023秋·吉林辽源·高二校联考期末）已知向量，.
(1)求的值；
(2)求向量与夹角的余弦值.
【答案】(1)；
(2).
【详解】（1）∵，，
∴，，
∴；
（2）设与的夹角为，则，
，，，，
∴，
∴向量与夹角的余弦值为.
题型09空间向量的投影向量（坐标形式）
【典例1】（2023春·江苏宿迁·高二统考期中）已知向量，，则向量在向量上的投影向量为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】向量在向量上的投影向量为.
故选:C.
【典例2】（2023春·江苏徐州·高二统考期中）已知，，，则向量在上的投影向量的坐标是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】因为，，，
所以，
所以，，
，
所以向量在上的投影向量是，
所以向量在上的投影向量的坐标是，
故选：D.
【变式1】（2023·全国·高二专题练习）已知，则在上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为，所以，
所以，
所以在上的投影向量为
故选：B
【变式2】（2023秋·广东广州·高二秀全中学校考期末）已知，，则在上的投影向量为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】C
【详解】解：因为，，所以，
所以，
所以在上的投影向量为
故选：C
题型10空间向量的平行关系（坐标形式）
【典例1】（2023·江苏·高二专题练习）已知，，且，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】B
【详解】，，
则，
由，可得，解之得
故选：B
【典例2】（2023春·安徽合肥·高二校考开学考试）已知两个向量，，且，则的值为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
【答案】C
【详解】∵，∴，使，得，解得：，所以
故选：C
【典例3】（2023·高二单元测试）向量，，，且，，则______.
【答案】
【详解】因，，而，则有，解得，即
又，且，则有，解得，即，
于是得，，
所以.
故答案为：
【变式1】（2023秋·江西宜春·高二校考期末）设，向量，，，且，，则（ ）
A． B． C．4 D．3
【答案】D
【详解】因为，故，故，
因为，故，故，故，，
故，故，
故选：D.
【变式2】（2023春·福建宁德·高二校联考期中）已知向量，，若，则实数（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：若，则，
因为已知向量，，所以，解得，
所以.
故选：.
题型11空间向量的垂直关系（坐标形式）
【典例1】（2023春·内蒙古呼伦贝尔·高二校考开学考试）已知，，且与互相垂直，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：根据题意，向量 .，，则， ，，，2，，
若向量.与.互相垂直，则有，
解可得：；
故选：D.
【典例2】（2023春·江苏盐城·高二江苏省响水中学校考阶段练习）已知向量．
(1)求；
(2)当时，若向量与垂直，求实数和的值；
(3)若向量与向量共面向量，求的值．
【答案】(1)
(2)，
(3)
【详解】（1），，
，
．
（2）因为，
所以，解得，
因为，且向量与垂直，
所以，
即，
．
所以实数和的值分别为和；
（3）解：设，
则
解得，
即，
所以向量与向量，共面．
【典例3】（2023春·高二课时练习）已知点、、，，．
(1)若，且，求；
(2)求；
(3)若与垂直，求．
【答案】(1)或；
(2)
(3)或
【详解】（1）、，，，且，
设，且，
解得，或；
（2）、、，，，
，，
；
（3），，
又与垂直，
，
解得或．
【变式1】（2023春·福建宁德·高二校联考期中）已知向量，.
(1)求与的夹角余弦值；
(2)若，求的值.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为，，
所以，
，，
所以；
（2），
因为，所以，
解得.
【变式2】（2023春·江苏淮安·高二校考阶段练习）已知向量，，，且．
(1)求实数的值；
(2)若，求实数的值．
【答案】(1)，；
(2).
【详解】（1）因为，所以，使得，
所以有，解得，所以，.
（2）由（1）知，，所以，.
因为，所以，
即，解得.
题型12易错题型根据空间向量成锐角（钝角）求参数
【典例1】（多选）（2023春·江苏宿迁·高二统考期中）若向量与的夹角为锐角，则实数的值可能为（ ）.
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】CD
【详解】因为与的夹角为锐角，
所以，解得，
当与共线时，，解得，所以实数x的取值范围是，
经检验，选项C、D符合题意.
故选：CD
【典例2】（2023春·江苏宿迁·高二校考阶段练习）已知向量，，若与的夹角为钝角，则实数的取值范围为______.
【答案】
【详解】解：因为向量，，且与的夹角为钝角，
所以，且，
解得，
所以实数的取值范围为，
故答案为：
【典例3】（2023春·高二课时练习）已知向量，，若与的夹角为钝角，则实数的取值范围为________．
【答案】
【详解】由已知与的夹角为钝角，则，
即，解得.
若a与b的夹角为180°，则存在，使.
所以，所以，，所以且.
故t的取值范围是.
故答案为：.
【变式1】（2023春·高二课时练习）若，，若与的夹角是钝角，则的值的取值范围为__________.
【答案】
【详解】已知，，
因为与的夹角是钝角，所以，即，
即，解得.
若与的夹角为180°，则存在，使，
所以，解得，.
所以，且.
故的取值范围是.
【变式2】（2023春·高二课时练习）若，若与的夹角是锐角，则的值的取值范围为__________.
【答案】
【详解】因为与的夹角是锐角，所以，
即，解得，
若与的夹角为，则存在，使，
即，所以，解得.
故t的取值范围是.
故答案为：.
1.3 空间向量及其运算的坐标表示
A夯实基础 B能力提升 C综合素养
A夯实基础
一、单选题
1．（2023秋·山东滨州·高二统考期末）已知向量，，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】，，解得：.
故选：B.
2．（2023·全国·高二专题练习）已知向量，，则（ ）
A． B．40 C．6 D．36
【答案】C
【详解】由题意，
∵，，
∴，
∴.
故选：C.
3．（2023春·江苏扬州·高二统考期中），，，若，，共面，则实数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】向量，，，
若向量，，共面，则存在唯一的实数对，使，
即
，解得，
实数的值为．
故选：D
4．（2023·全国·高二专题练习）已知在空间单位正交基底下，是空间的一组单位正交基底，是空间的另一组基底.若向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】设向量在基底下的坐标为，则，
又向量在基底下的坐标为，则，
所以，即，
所以解得
所以向量在基底下的坐标为.
故选：C.
5．（2023春·吉林通化·高二梅河口市第五中学校考开学考试）设，向量，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】向量，
且，
∴，解得
∴，
∴，选项C正确.
故选：C．
6．（2023春·高二课时练习）已知，，与的夹角为120°，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因为，0，，，，，，
所以，，，
所以，
所以，且，解得：．
故选：A．
7．（2023·江苏·高二专题练习）已知长方体中，，若棱上存在点，使得，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：如图建立坐标系，
设，，
则，，，
，，
，
，
即，所以，
当时，所以，所以．
故选：C．
8．（2023·全国·高二专题练习）《九章算术》是中国古代张苍、耿寿昌所撰写的一部数学专著，是《算经十书》中最重要的一部，成于公元一世纪左右，是当时世界上最简练有效的应用数学专著，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系.在《九章算术》里，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”.已知在“堑堵”中，，，动点在“堑堵”的侧面上运动，且，则的最大值为（ ）.
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由题意可知三棱柱为直三棱柱，且，
以为坐标原点， 分别为轴，建立如图所示的直角坐标系，如下图所示：
因为，则，
由于动点在“堑堵”的侧面上运动，则存在实数使得，
又，所以，
所以，
又，所以，
化简可得，即，
又，
又，所以，,
所以，
又，函数在上单调递减，且，
所以的最大值为.
故选：B.
二、多选题
9．（2023春·山东临沂·高二统考期末）空间中三点是坐标原点，则（ ）
A．
B．
C．点关于平面对称的点为
D．与夹角的余弦值是
【答案】AB
【详解】，，故A正确；
，，
，故B正确；
由点关于平面对称的点为，故C错误；
因为，所以D错误.
故选：AB
10．（2023·全国·高二专题练习）已知，，，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．为钝角 D．在方向上的投影向量为
【答案】BD
【详解】因为，所以，不垂直，A错，
因为，所以，B对，
因为，所以，所以不是钝角，C错，
因为在方向上的投影向量，D对，
故选：BD.
三、填空题
11．（2023春·江苏连云港·高二校联考期中）已知向量满足，且，则_________，在上的投影向量的坐标为______________．
【答案】
【详解】两边平方化简得：，①
因为，所以，
又，代入①得：，解得：，
，
所以，在上的投影向量坐标为
．
故答案为：2，．
12．（2023·高三课时练习）已知，，且与的夹角为钝角，则x的取值范围是___.
【答案】∪
【详解】∵与的夹角为钝角，且与不共线，
即，且，
解得，且，
∴x的取值范围是∪.
故答案为：∪.
四、解答题
13．（2023春·高二课时练习）已知向量，，，且，.
(1)求向量，，；
(2)求向量与向量所成角的余弦值.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为，，
所以，解得，故，
又因为，
所以，即，解得，故，
故.
（2）由（1）得，，
，
所以，
故向量与向量所成角的余弦值为.
14．（2023·江苏·高二专题练习）（1）已知向量.
①计算和
②求.
（2）已知向量.
①若，求实数；
②若，求实数.
【答案】（1）①，；②；（2）①；②
【详解】（1）①向量，
，，
②，即
，，
（2）因为向量，
，
①，
，解得，
②，
，解得.
B能力提升
1．（2023秋·陕西西安·高二长安一中校考期末）在棱长为2的正方体中，点分别在棱和上，且，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】B
【详解】
如图所示，以为中心建立空间直角坐标系，设，
则，，
，当时取得最大值.
故选：B
2．（2023春·高二课时练习）已知，，则取最小值时的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】因为，，
所以，
则，
由二次函数的图象和性质可知：当时，取最小值，
故选：.
3．（2023春·江苏连云港·高二江苏省海头高级中学校考期中）如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，，M为PC上一动点，，若∠BMD为钝角，则实数t可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】分别以、、为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示，
设， ，故，,，,
由可知，，即，
又因为为钝角，所以，
由,,可知，，
，整理得，
解得，
故选：D.
4．（2023秋·高二课时练习）已知O为坐标原点，＝(1,2,3)，＝(2,1,2)，＝(1,1,2)，点Q在直线OP上运动，则当取得最小值时，点Q的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】设，则＝－＝－λ＝(1－λ，2－λ，3－2λ)，
＝－＝－λ＝(2－λ，1－λ，2－2λ)，
所以＝(1－λ，2－λ，3－2λ)·(2－λ，1－λ，2－2λ)＝2(3λ2－8λ＋5)＝.
所以当λ＝时，取得最小值，此时＝＝，
即点Q的坐标为.
故选：C
5．（2023春·高二课时练习）已知向量，，，若向量与所成角为钝角，则实数的范围是______.
【答案】
【详解】解：因为，，，
所以，解得，
所以，
所以，，
因为向量与所成角为钝角，
所以，解得，
若向量与共线，则，解得，
此时与共线同向，
综上可得.
故答案为：
C综合素养
1．（2023春·江苏徐州·高二统考期中）在如图所示的试验装置中，两个正方形框架ABCD，ABEF的边长都是2，且它们所在的平面互相垂直，活动弹子M，N分别在正方形对角线AC和BF上移动，且CM和BN的长度保持相等，记，其中．则MN的长的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】平面平面，平面平面，，平面，平面，
则以为坐标原点，为轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
，，，
；
则，
当时，最小，最小值为.
故选：A.
2．（2023·全国·高三专题练习）两个非零向量，，定义．若，，则___________．
【答案】
【详解】因为，，
所以，
故，
所以，
故答案为：
3．（2023秋·江西吉安·高二江西省吉水县第二中学校考期末）已知，，点，．
(1)求的值．
(2)在线段AB上，是否存在一点E，使得？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．（O为坐标原点）
【答案】(1)
(2)存在，
【详解】（1）因为，，
所以，
则.
（2）假设线段AB上存在一点E，使得，则设，
因为，，所以，
又因为，
所以，
因为，，
所以，解得，满足，
所以，即，
所以线段AB上存在一点E，使得，且.
4．（2023·江苏·高二专题练习）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答．
则，，，，所以，．
设，，则．因为，
所以与不共线，所以，即，
则，
故不存在点，满足．
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课程标准 学习目标
①理解和掌握空间向量的坐标表示及意义 ②会用向量的坐标表达空间向量的相关运算 ③会求空间向量的夹角、长度以及有关平行、垂直的证明 利用空间向量的坐标表示，将形与数有机结合，并能进行相关的计算与证明是学习空间向量及运算的关键.也是解决空间几何的重要手段与工具.
知识点01：空间向量的正交分解及其坐标表示
1、空间直角坐标系
空间直角坐标系及相关概念
(1)空间直角坐标系：在空间选定一点和一个单位正交基底，以为原点，分别以 的方向为正方向，以它们的长为单位长度建立三条数轴：轴、轴、轴，它们都叫做坐标轴，这时我们就建立了一个空间直角坐标系.
(2)相关概念：叫做原点，都叫做坐标向量，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为平面、平面、平面，它们把空间分成八个部分．
2、空间向量的坐标表示
2.1空间一点的坐标：在空间直角坐标系中，为坐标向量，对空间任意一点，对应一个向量，且点的位置由向量唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组，使.在单位正交基底下与向量 对应的有序实数组叫做点在此空间直角坐标系中的坐标，记作，其中叫做点的横坐标，叫做点的纵坐标，叫做点的竖坐标．
2.2空间向量的坐标：在空间直角坐标系中，给定向量，作.由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组，使.有序实数组叫做在空间直角坐标系中的坐标，上式可简记作.
【即学即练1】（2023春·高二课时练习）已知是空间的一个单位正交基底，向量用坐标形式可表示为________．
【答案】
【详解】因为是空间的一个单位正交基底，则有.
所以向量用坐标形式表示为.
故答案为：
知识点02：空间向量运算的坐标表示
设，空间向量的坐标运算法则如下表所示：
运算 坐标表示
加法
减法
数乘
数量积
知识点03：空间向量平行与垂直的条件，几何计算的坐标表示
1、两个向量的平行与垂直
平行（）
垂直（） （均非零向量）
特别提醒：在中，应特别注意，只有在与三个坐标平面都不平行时，才能写成.例如，若与坐标平面平行，则，这样就没有意义了.
【即学即练2】（2023春·四川成都·高二四川省成都列五中学校考阶段练习）已知两个空间向量，，且，则实数的值为__________．
【答案】
【详解】因为，，且，
所以，即，即，解得.
故答案为：
2、向量长度的坐标计算公式
若，则，即
空间向量长度公式表示的是向量的长度，其形式与平面向量长度公式一致，它的几何意义是表示长方体的体对角线的长度
3、两个向量夹角的坐标计算公式
设，则
【即学即练3】（2023春·高二课时练习）已知向量，，，，.
(1)求x，y，z的值；
(2)求向量与所成角的余弦值．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）∵，，， ，
因为，设存在实数，使得，
所以，则.
因为，，则.
∴所以.
（2）由（1）知，，，
∴，，
∴，
，，
∴.
∴向量与所成角的余弦值为.
4、两点间的距离公式
已知，则
题型01空间向量的坐标表示
【典例1】（2023秋·北京丰台·高二北京市第十二中学校考期末）在空间直角坐标系中，已知三点，若点在平面内，则点的坐标可能是（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（多选）（2023·全国·高二专题练习）如图，在正三棱柱中，已知的边长为2，三棱柱的高为的中点分别为，以为原点，分别以的方向为轴 轴 轴的正方向建立空间直角坐标系，则下列空间点及向量坐标表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【典例3】（2023春·内蒙古呼伦贝尔·高二校考开学考试）已知点，，点满足，则点的坐标是________.
【变式1】（2023秋·高二课时练习）如图，在空间直角坐标系中，正方体的棱长为1，，则等于
A． B． C． D．
【变式2】（2023春·高二课时练习）若 ，点在线段上，且，则点的坐标是___________.
题型02空间向量的坐标运算
【典例1】（2023春·高二课时练习）已知向量，，，求：
(1)；
(2)；
(3).
【典例2】（2023春·高二课时练习）如图，在长方体中，，，，以为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系．
(1)写出，，，四点的坐标；
(2)写出向量，，，的坐标．
【变式1】（2023春·福建宁德·高二校联考期中）已知，，，若，，三向量共面，则实数等于（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【变式2】（2023秋·高二课时练习）已知点、，且满足，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
题型03空间向量数量积（坐标形式求空间向量的数量积）
【典例1】（2023秋·北京丰台·高二北京市第十二中学校考期末）若向量，满足条件，则（ ）
A． B． C．1 D．2
【典例2】（2023春·高二课时练习）已知向量，．求．
【变式1】（2023秋·广东深圳·高二统考期末）已知向量，，若，则（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2023秋·天津·高二统考期末）已知空间向量，，，则（ ）
A． B． C． D．
题型04空间向量数量积（坐标形式求空间向量数量积的最值范围问题）
【典例1】（2023秋·湖北·高三校联考阶段练习）在长方体中，，，，，分别是棱，，上的点，且，，，是平面内一动点，若直线与平面平行，则的最小值为（ ）
A． B．17 C． D．
【典例2】（2023春·山东烟台·高二山东省烟台第一中学校考开学考试）正四面体的棱长为2，动点在以为直径的球面上，则的最大值为（ ）
A．2 B． C．4 D．
【典例3】（2023·江苏·高二专题练习）在空间直角坐标系中，，，，点在直线上运动，则当取得最小值时，______．
【变式1】（2023秋·河南郑州·高二郑州市第九中学校考阶段练习）已知空间直角坐标系中，，，，点在直线上运动，则当取得最小值时，点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2023秋·上海徐汇·高二南洋中学校考期末）已知是长方体外接球的一条直径，点P在长方体表面上运动，长方体的棱长分别为1、1、，则的取值范围为________.
题型05空间向量的模（坐标形式求空间向量的模（距离，长度））
【典例1】（2023春·江苏南京·高二南京市第五高级中学校考期中）已知向量，，且，那么等于（ ）
A． B． C． D．5
【典例2】（2023春·高二课时练习）如图，在棱长为1的正方体中，，分别为，的中点，在棱上，且，H为的中点．求||.
【典例3】（2023秋·山东日照·高二统考期末）已知，，且，则_____．
【变式1】（2023秋·上海长宁·高二上海市延安中学校考期末）已知，，且，则为______.
题型06空间向量的模（根据空间向量的模求参数）
【典例1】（2023·全国·高二专题练习）已知向量，且，则____________．
题型07空间向量的模（坐标形式求空间向量模的最值（范围）问题）
【典例1】（2022·高二课时练习）已知正方体的棱长为4，点是棱的中点，动点在正方形内（包括边界）运动，且平面，则长度的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【典例2】（2023·高二课时练习）如图，在直三棱柱中，，，为的中点，点在线段上，点在线段上，求线段长的最小值．
【典例3】（2023·全国·高三专题练习）已知单位空间向量满足．若空间向量满足，且对于任意实数的最小值是2，则的最小值是_________．
【变式1】（2023春·上海宝山·高二统考期末）已知、是空间互相垂直的单位向量，且，，则的最小值是______.
【变式2】（2023·上海·高三专题练习）已知，，是空间两两垂直的单位向量，，且，则的最小值为________．
【变式3】（2023·江苏·高二专题练习）已知，，则的最小值为__________．
题型08空间向量的夹角问题（坐标形式）
【典例1】（2023秋·山东临沂·高二校考期末）已知空间向量，，且，则向量与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（2023春·江苏·高二南师大二附中校联考阶段练习）若向量，且与夹角的余弦值为，则等于（ ）
A． B． C．或 D．2
【典例3】（2023秋·高二课时练习）已知空间三点，，，则与的夹角的大小是________．
【典例4】（2023秋·河南周口·高二统考期末）已知向量
(1)求；
(2)求向量与夹角的余弦值.
【变式1】（2023·江苏淮安·江苏省盱眙中学校考模拟预测）若向量，，且,的夹角的余弦值为，则实数等于（ ）.
A．0 B． C．0或 D．0或
【变式2】（2023春·甘肃白银·高二校考阶段练习）在空间直角坐标系中，已知，，则、夹角的余弦值是______．
【变式3】（2023秋·吉林辽源·高二校联考期末）已知向量，.
(1)求的值；
(2)求向量与夹角的余弦值.
题型09空间向量的投影向量（坐标形式）
【典例1】（2023春·江苏宿迁·高二统考期中）已知向量，，则向量在向量上的投影向量为（ ）．
A． B． C． D．
【典例2】（2023春·江苏徐州·高二统考期中）已知，，，则向量在上的投影向量的坐标是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1】（2023·全国·高二专题练习）已知，则在上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2023秋·广东广州·高二秀全中学校考期末）已知，，则在上的投影向量为（ ）
A．1 B． C． D．
题型10空间向量的平行关系（坐标形式）
【典例1】（2023·江苏·高二专题练习）已知，，且，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【典例2】（2023春·安徽合肥·高二校考开学考试）已知两个向量，，且，则的值为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
【典例3】（2023·高二单元测试）向量，，，且，，则______.
【变式1】（2023秋·江西宜春·高二校考期末）设，向量，，，且，，则（ ）
A． B． C．4 D．3
【变式2】（2023春·福建宁德·高二校联考期中）已知向量，，若，则实数（ ）
A． B． C． D．
题型11空间向量的垂直关系（坐标形式）
【典例1】（2023春·内蒙古呼伦贝尔·高二校考开学考试）已知，，且与互相垂直，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（2023春·江苏盐城·高二江苏省响水中学校考阶段练习）已知向量．
(1)求；
(2)当时，若向量与垂直，求实数和的值；
(3)若向量与向量共面向量，求的值．
【典例3】（2023春·高二课时练习）已知点、、，，．
(1)若，且，求；
(2)求；
(3)若与垂直，求．
【变式1】（2023春·福建宁德·高二校联考期中）已知向量，.
(1)求与的夹角余弦值；
(2)若，求的值.
【变式2】（2023春·江苏淮安·高二校考阶段练习）已知向量，，，且．
(1)求实数的值；
(2)若，求实数的值．
题型12易错题型根据空间向量成锐角（钝角）求参数
【典例1】（多选）（2023春·江苏宿迁·高二统考期中）若向量与的夹角为锐角，则实数的值可能为（ ）.
A．4 B．5 C．6 D．7
【典例2】（2023春·江苏宿迁·高二校考阶段练习）已知向量，，若与的夹角为钝角，则实数的取值范围为______.
【典例3】（2023春·高二课时练习）已知向量，，若与的夹角为钝角，则实数的取值范围为________．
【变式1】（2023春·高二课时练习）若，，若与的夹角是钝角，则的值的取值范围为__________.
【变式2】（2023春·高二课时练习）若，若与的夹角是锐角，则的值的取值范围为__________.
1.3 空间向量及其运算的坐标表示
A夯实基础 B能力提升 C综合素养
A夯实基础
一、单选题
1．（2023秋·山东滨州·高二统考期末）已知向量，，若，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·全国·高二专题练习）已知向量，，则（ ）
A． B．40 C．6 D．36
3．（2023春·江苏扬州·高二统考期中），，，若，，共面，则实数为（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·全国·高二专题练习）已知在空间单位正交基底下，是空间的一组单位正交基底，是空间的另一组基底.若向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标为（ ）
A． B． C． D．
5．（2023春·吉林通化·高二梅河口市第五中学校考开学考试）设，向量，且，则（ ）
A． B． C． D．
6．（2023春·高二课时练习）已知，，与的夹角为120°，则的值为（ ）
A． B． C． D．
7．（2023·江苏·高二专题练习）已知长方体中，，若棱上存在点，使得，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．（2023·全国·高二专题练习）《九章算术》是中国古代张苍、耿寿昌所撰写的一部数学专著，是《算经十书》中最重要的一部，成于公元一世纪左右，是当时世界上最简练有效的应用数学专著，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系.在《九章算术》里，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”.已知在“堑堵”中，，，动点在“堑堵”的侧面上运动，且，则的最大值为（ ）.
A． B． C． D．
二、多选题
9．（2023春·山东临沂·高二统考期末）空间中三点是坐标原点，则（ ）
A．
B．
C．点关于平面对称的点为
D．与夹角的余弦值是
10．（2023·全国·高二专题练习）已知，，，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．为钝角 D．在方向上的投影向量为
三、填空题
11．（2023春·江苏连云港·高二校联考期中）已知向量满足，且，则_________，在上的投影向量的坐标为______________．
12．（2023·高三课时练习）已知，，且与的夹角为钝角，则x的取值范围是___.
四、解答题
13．（2023春·高二课时练习）已知向量，，，且，.
(1)求向量，，；
(2)求向量与向量所成角的余弦值.
14．（2023·江苏·高二专题练习）（1）已知向量.
①计算和
②求.
（2）已知向量.
①若，求实数；
②若，求实数.
B能力提升
1．（2023秋·陕西西安·高二长安一中校考期末）在棱长为2的正方体中，点分别在棱和上，且，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．1
2．（2023春·高二课时练习）已知，，则取最小值时的值是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023春·江苏连云港·高二江苏省海头高级中学校考期中）如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，，M为PC上一动点，，若∠BMD为钝角，则实数t可能为（ ）
A． B． C． D．
4．（2023秋·高二课时练习）已知O为坐标原点，＝(1,2,3)，＝(2,1,2)，＝(1,1,2)，点Q在直线OP上运动，则当取得最小值时，点Q的坐标为（ ）
A． B． C． D．
问题：如图，在正方体，中，以为坐标原点，建立空间直角坐标系．已知点的坐标为，为棱上的动点，为棱上的动点，______，则是否存在点，，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
第04讲 1.3 空间向量及其运算的坐标表示
课程标准 学习目标
①理解和掌握空间向量的坐标表示及意义 ②会用向量的坐标表达空间向量的相关运算 ③会求空间向量的夹角、长度以及有关平行、垂直的证明 利用空间向量的坐标表示，将形与数有机结合，并能进行相关的计算与证明是学习空间向量及运算的关键.也是解决空间几何的重要手段与工具.
知识点01：空间向量的正交分解及其坐标表示
1、空间直角坐标系
空间直角坐标系及相关概念
(1)空间直角坐标系：在空间选定一点和一个单位正交基底，以为原点，分别以 的方向为正方向，以它们的长为单位长度建立三条数轴：轴、轴、轴，它们都叫做坐标轴，这时我们就建立了一个空间直角坐标系.
(2)相关概念：叫做原点，都叫做坐标向量，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为平面、平面、平面，它们把空间分成八个部分．
2、空间向量的坐标表示
2.1空间一点的坐标：在空间直角坐标系中，为坐标向量，对空间任意一点，对应一个向量，且点的位置由向量唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组，使.在单位正交基底下与向量 对应的有序实数组叫做点在此空间直角坐标系中的坐标，记作，其中叫做点的横坐标，叫做点的纵坐标，叫做点的竖坐标．
2.2空间向量的坐标：在空间直角坐标系中，给定向量，作.由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组，使.有序实数组叫做在空间直角坐标系中的坐标，上式可简记作.
【即学即练1】（2023春·高二课时练习）已知是空间的一个单位正交基底，向量用坐标形式可表示为________．
【答案】
【详解】因为是空间的一个单位正交基底，则有.
所以向量用坐标形式表示为.
故答案为：
知识点02：空间向量运算的坐标表示
设，空间向量的坐标运算法则如下表所示：
运算 坐标表示
加法
减法
数乘
数量积
知识点03：空间向量平行与垂直的条件，几何计算的坐标表示
1、两个向量的平行与垂直
平行（）
垂直（） （均非零向量）
特别提醒：在中，应特别注意，只有在与三个坐标平面都不平行时，才能写成.例如，若与坐标平面平行，则，这样就没有意义了.
【即学即练2】（2023春·四川成都·高二四川省成都列五中学校考阶段练习）已知两个空间向量，，且，则实数的值为__________．
【答案】
【详解】因为，，且，
所以，即，即，解得.
故答案为：
2、向量长度的坐标计算公式
若，则，即
空间向量长度公式表示的是向量的长度，其形式与平面向量长度公式一致，它的几何意义是表示长方体的体对角线的长度
3、两个向量夹角的坐标计算公式
设，则
【即学即练3】（2023春·高二课时练习）已知向量，，，，.
(1)求x，y，z的值；
(2)求向量与所成角的余弦值．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）∵，，， ，
因为，设存在实数，使得，
所以，则.
因为，，则.
∴所以.
（2）由（1）知，，，
∴，，
∴，
，，
∴.
∴向量与所成角的余弦值为.
4、两点间的距离公式
已知，则
题型01空间向量的坐标表示
【典例1】（2023秋·北京丰台·高二北京市第十二中学校考期末）在空间直角坐标系中，已知三点，若点在平面内，则点的坐标可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由，，
显然，不共线，
根据向量基本定理可得，
故C点坐标为，
经验算只有B选项符合条件，
此时，
故选：B
【典例2】（多选）（2023·全国·高二专题练习）如图，在正三棱柱中，已知的边长为2，三棱柱的高为的中点分别为，以为原点，分别以的方向为轴 轴 轴的正方向建立空间直角坐标系，则下列空间点及向量坐标表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【详解】在等边中，，所以，则，，则.
故选：ABC
【典例3】（2023春·内蒙古呼伦贝尔·高二校考开学考试）已知点，，点满足，则点的坐标是________.
【答案】
【详解】设，为坐标原点.由点满足，得，可得，则点的坐标是.
故答案为：．
【变式1】（2023秋·高二课时练习）如图，在空间直角坐标系中，正方体的棱长为1，，则等于
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由题，在空间直角坐标系中，正方体的棱长为1， 则
故选C．
【变式2】（2023春·高二课时练习）若 ，点在线段上，且，则点的坐标是___________.
【答案】
【详解】解：点 ，为线段上一点，且，
所以，
设点的坐标为，则，
则，即，
解得，即；
故答案为：．
题型02空间向量的坐标运算
【典例1】（2023春·高二课时练习）已知向量，，，求：
(1)；
(2)；
(3).
【答案】(1)(2)2(3)4
【详解】（1）由，得
（2）
（3）
【典例2】（2023春·高二课时练习）如图，在长方体中，，，，以为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系．
(1)写出，，，四点的坐标；
(2)写出向量，，，的坐标．
【答案】(1)点，点，点C，
(2)；；；．
【详解】（1）点在z轴上，且，
所以点的坐标是．
同理，点C的坐标是．
点在x轴、y轴、z轴上的射影分别为A，O，，
它们在坐标轴上的坐标分别为3，0，2，所以点的坐标是．
点在x轴、y轴、z轴上的射影分别为A，C，，
它们在坐标轴上的坐标分别为3，4，2，所以点的坐标是．
（2）；
；
；
．
【变式1】（2023春·福建宁德·高二校联考期中）已知，，，若，，三向量共面，则实数等于（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】D
【详解】因为，，，且，，三向量共面，
设，则，
即，解得.
故选：D
【变式2】（2023秋·高二课时练习）已知点、，且满足，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】设点，由，则，
所以，，解得，故点.
故选：B.
题型03空间向量数量积（坐标形式求空间向量的数量积）
【典例1】（2023秋·北京丰台·高二北京市第十二中学校考期末）若向量，满足条件，则（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】B
【详解】根据向量的运算可得：
，
所以
，
所以，
故选：B
【典例2】（2023春·高二课时练习）已知向量，．求．
【答案】
【详解】由向量，，
可得.
【变式1】（2023秋·广东深圳·高二统考期末）已知向量，，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由题意知，
由，得，
解得.
故选：B.
【变式2】（2023秋·天津·高二统考期末）已知空间向量，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】，
，
故选：A
题型04空间向量数量积（坐标形式求空间向量数量积的最值范围问题）
【典例1】（2023秋·湖北·高三校联考阶段练习）在长方体中，，，，，分别是棱，，上的点，且，，，是平面内一动点，若直线与平面平行，则的最小值为（ ）
A． B．17 C． D．
【答案】A
【详解】以D作坐标原点，DA，DC，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，
则，
设平面MPN的法向量为，
则，
令，则，故，
设，则，
因为直线与平面平行，所以，
，
因为，所以，
故
，
故当时，取得最小值，最小值为.
故选：A
【典例2】（2023春·山东烟台·高二山东省烟台第一中学校考开学考试）正四面体的棱长为2，动点在以为直径的球面上，则的最大值为（ ）
A．2 B． C．4 D．
【答案】C
【详解】设的中点为，以为原点建立如图所示的空间坐标系，
则，
设，则，，
，
在以为球心，以为半径的球面上，
，
，，
令，
则直线与单位圆相切时，截距取得最小值，
令，解得或
的最大值为.
故选：C
【典例3】（2023·江苏·高二专题练习）在空间直角坐标系中，，，，点在直线上运动，则当取得最小值时，______．
【答案】/
【详解】解：因为点在直线上运动，，
所以设，
则
，
所以当时，取得最小值，此时，
所以
故答案为：
【变式1】（2023秋·河南郑州·高二郑州市第九中学校考阶段练习）已知空间直角坐标系中，，，，点在直线上运动，则当取得最小值时，点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】设，
由点在直线上，可得存在实数使得，
即，可得,
所以,
则，
根据二次函数的性质，可得当时，取得最小值，此时.
故选：C.
【变式2】（2023秋·上海徐汇·高二南洋中学校考期末）已知是长方体外接球的一条直径，点P在长方体表面上运动，长方体的棱长分别为1、1、，则的取值范围为________.
【答案】
【详解】因为MN是长方体外接球的一条直径，长方体的棱长分别为1、1、
所以，如图，
设，则
因为
当时取等号，此时点P在ABCD平面内，
又
当时取等号，此时点P在ABCD平面内.
即所求的范围是.
故答案为：
题型05空间向量的模（坐标形式求空间向量的模（距离，长度））
【典例1】（2023春·江苏南京·高二南京市第五高级中学校考期中）已知向量，，且，那么等于（ ）
A． B． C． D．5
【答案】C
【详解】因为，，且，
所以，即，所以，
所以，
故选：C．
【典例2】（2023春·高二课时练习）如图，在棱长为1的正方体中，，分别为，的中点，在棱上，且，H为的中点．求||.
【答案】
【详解】如图，建立空间直角坐标系D－xyz，D为坐标原点，
则有，，，，，，，，
.
【典例3】（2023秋·山东日照·高二统考期末）已知，，且，则_____．
【答案】
【详解】因为，所以，解得
所以，.
故答案为：
【变式1】（2023秋·上海长宁·高二上海市延安中学校考期末）已知，，且，则为______.
【答案】
【详解】，，且，
，
即，解得
又
故答案为：
题型06空间向量的模（根据空间向量的模求参数）
【典例1】（2023·全国·高二专题练习）已知向量，且，则____________．
【答案】3
【详解】因为，
所以，
可得，
因为，解得，故答案为3.
题型07空间向量的模（坐标形式求空间向量模的最值（范围）问题）
【典例1】（2022·高二课时练习）已知正方体的棱长为4，点是棱的中点，动点在正方形内（包括边界）运动，且平面，则长度的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】以D为原点，以，，的方向为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．则，，，，，，，，.
取的中点为H，连接，.
在正方体中，且，所以四边形为平行四边形，所以.
又面，面，
所以面.
同理可证：面.
又，所以平面平面．
因为平面，所以点P只能在线段上运动．易知，设（），，则，，
，
．
当时，取得最小值；当时，取得最大值36．
故PC长度的取值范围为．
故选：C
【典例2】（2023·高二课时练习）如图，在直三棱柱中，，，为的中点，点在线段上，点在线段上，求线段长的最小值．
【答案】
【详解】依题意，、、两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，则，，
设，，则，
设，，则．
若线段EF的长最小，则必满足，则，可得，即，
因此，，
当且仅当时等号成立，所以线段EF长的最小值为．
【典例3】（2023·全国·高三专题练习）已知单位空间向量满足．若空间向量满足，且对于任意实数的最小值是2，则的最小值是_________．
【答案】
【详解】以，方向为轴，垂直于，方向为轴建立空间直角坐标系，则 ，
由可设，由是单位空间向量可得，
由可设，
，
当，的最小值是2，所以 ，取，
，
，
当时，最小值为.
故答案为：.
【变式1】（2023春·上海宝山·高二统考期末）已知、是空间互相垂直的单位向量，且，，则的最小值是______.
【答案】4
【详解】是空间相互垂直的单位向量，
设，，设，
又，，
又，
，
，其中，
，
，
当且仅当时取得等号，
的最小值是4．
故答案为：4．
【变式2】（2023·上海·高三专题练习）已知，，是空间两两垂直的单位向量，，且，则的最小值为________．
【答案】
【详解】由题意可设，，,
由，得，
，
，
所以
（当且仅当，时等号成立），
所以的最小值为.
故答案为：.
【变式3】（2023·江苏·高二专题练习）已知，，则的最小值为__________．
【答案】/
【详解】解：，，
∴
，
，当且仅当时等号成立，即的最小值为
故答案为：.
题型08空间向量的夹角问题（坐标形式）
【典例1】（2023秋·山东临沂·高二校考期末）已知空间向量，，且，则向量与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】，解得，则，
，，
设向量与的夹角为，则，
，，即与的夹角为．
故选：A．
【典例2】（2023春·江苏·高二南师大二附中校联考阶段练习）若向量，且与夹角的余弦值为，则等于（ ）
A． B． C．或 D．2
【答案】A
【详解】因为，
所以，，
又与夹角的余弦值为，，
所以，解得，
注意到，即，所以.
故选：A.
【典例3】（2023秋·高二课时练习）已知空间三点，，，则与的夹角的大小是________．
【答案】120°
【详解】由题意，空间三点A(1,1,1)，B(－1,0,4)，C(2，－2,3)，
则，
所以,
又因为，所以.
故答案为：
【典例4】（2023秋·河南周口·高二统考期末）已知向量
(1)求；
(2)求向量与夹角的余弦值.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为，所以.
（2）因为，所以，
又因为，所以
故与夹角的余弦值为.
【变式1】（2023·江苏淮安·江苏省盱眙中学校考模拟预测）若向量，，且,的夹角的余弦值为，则实数等于（ ）.
A．0 B． C．0或 D．0或
【答案】C
【详解】由题意得，解得或，
故选:C．
【变式2】（2023春·甘肃白银·高二校考阶段练习）在空间直角坐标系中，已知，，则、夹角的余弦值是______．
【答案】/
【详解】因为，，由空间向量的夹角公式可得，
，
所以、夹角的余弦值是，
故答案为：.
【变式3】（2023秋·吉林辽源·高二校联考期末）已知向量，.
(1)求的值；
(2)求向量与夹角的余弦值.
【答案】(1)；
(2).
【详解】（1）∵，，
∴，，
∴；
（2）设与的夹角为，则，
，，，，
∴，
∴向量与夹角的余弦值为.
题型09空间向量的投影向量（坐标形式）
【典例1】（2023春·江苏宿迁·高二统考期中）已知向量，，则向量在向量上的投影向量为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】向量在向量上的投影向量为.
故选:C.
【典例2】（2023春·江苏徐州·高二统考期中）已知，，，则向量在上的投影向量的坐标是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】因为，，，
所以，
所以，，
，
所以向量在上的投影向量是，
所以向量在上的投影向量的坐标是，
故选：D.
【变式1】（2023·全国·高二专题练习）已知，则在上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为，所以，
所以，
所以在上的投影向量为
故选：B
【变式2】（2023秋·广东广州·高二秀全中学校考期末）已知，，则在上的投影向量为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】C
【详解】解：因为，，所以，
所以，
所以在上的投影向量为
故选：C
题型10空间向量的平行关系（坐标形式）
【典例1】（2023·江苏·高二专题练习）已知，，且，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】B
【详解】，，
则，
由，可得，解之得
故选：B
【典例2】（2023春·安徽合肥·高二校考开学考试）已知两个向量，，且，则的值为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
【答案】C
【详解】∵，∴，使，得，解得：，所以
故选：C
【典例3】（2023·高二单元测试）向量，，，且，，则______.
【答案】
【详解】因，，而，则有，解得，即
又，且，则有，解得，即，
于是得，，
所以.
故答案为：
【变式1】（2023秋·江西宜春·高二校考期末）设，向量，，，且，，则（ ）
A． B． C．4 D．3
【答案】D
【详解】因为，故，故，
因为，故，故，故，，
故，故，
故选：D.
【变式2】（2023春·福建宁德·高二校联考期中）已知向量，，若，则实数（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：若，则，
因为已知向量，，所以，解得，
所以.
故选：.
题型11空间向量的垂直关系（坐标形式）
【典例1】（2023春·内蒙古呼伦贝尔·高二校考开学考试）已知，，且与互相垂直，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：根据题意，向量 .，，则， ，，，2，，
若向量.与.互相垂直，则有，
解可得：；
故选：D.
【典例2】（2023春·江苏盐城·高二江苏省响水中学校考阶段练习）已知向量．
(1)求；
(2)当时，若向量与垂直，求实数和的值；
(3)若向量与向量共面向量，求的值．
【答案】(1)
(2)，
(3)
【详解】（1），，
，
．
（2）因为，
所以，解得，
因为，且向量与垂直，
所以，
即，
．
所以实数和的值分别为和；
（3）解：设，
则
解得，
即，
所以向量与向量，共面．
【典例3】（2023春·高二课时练习）已知点、、，，．
(1)若，且，求；
(2)求；
(3)若与垂直，求．
【答案】(1)或；
(2)
(3)或
【详解】（1）、，，，且，
设，且，
解得，或；
（2）、、，，，
，，
；
（3），，
又与垂直，
，
解得或．
【变式1】（2023春·福建宁德·高二校联考期中）已知向量，.
(1)求与的夹角余弦值；
(2)若，求的值.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为，，
所以，
，，
所以；
（2），
因为，所以，
解得.
【变式2】（2023春·江苏淮安·高二校考阶段练习）已知向量，，，且．
(1)求实数的值；
(2)若，求实数的值．
【答案】(1)，；
(2).
【详解】（1）因为，所以，使得，
所以有，解得，所以，.
（2）由（1）知，，所以，.
因为，所以，
即，解得.
题型12易错题型根据空间向量成锐角（钝角）求参数
【典例1】（多选）（2023春·江苏宿迁·高二统考期中）若向量与的夹角为锐角，则实数的值可能为（ ）.
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】CD
【详解】因为与的夹角为锐角，
所以，解得，
当与共线时，，解得，所以实数x的取值范围是，
经检验，选项C、D符合题意.
故选：CD
【典例2】（2023春·江苏宿迁·高二校考阶段练习）已知向量，，若与的夹角为钝角，则实数的取值范围为______.
【答案】
【详解】解：因为向量，，且与的夹角为钝角，
所以，且，
解得，
所以实数的取值范围为，
故答案为：
【典例3】（2023春·高二课时练习）已知向量，，若与的夹角为钝角，则实数的取值范围为________．
【答案】
【详解】由已知与的夹角为钝角，则，
即，解得.
若a与b的夹角为180°，则存在，使.
所以，所以，，所以且.
故t的取值范围是.
故答案为：.
【变式1】（2023春·高二课时练习）若，，若与的夹角是钝角，则的值的取值范围为__________.
【答案】
【详解】已知，，
因为与的夹角是钝角，所以，即，
即，解得.
若与的夹角为180°，则存在，使，
所以，解得，.
所以，且.
故的取值范围是.
【变式2】（2023春·高二课时练习）若，若与的夹角是锐角，则的值的取值范围为__________.
【答案】
【详解】因为与的夹角是锐角，所以，
即，解得，
若与的夹角为，则存在，使，
即，所以，解得.
故t的取值范围是.
故答案为：.
1.3 空间向量及其运算的坐标表示
A夯实基础 B能力提升 C综合素养
A夯实基础
一、单选题
1．（2023秋·山东滨州·高二统考期末）已知向量，，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】，，解得：.
故选：B.
2．（2023·全国·高二专题练习）已知向量，，则（ ）
A． B．40 C．6 D．36
【答案】C
【详解】由题意，
∵，，
∴，
∴.
故选：C.
3．（2023春·江苏扬州·高二统考期中），，，若，，共面，则实数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】向量，，，
若向量，，共面，则存在唯一的实数对，使，
即
，解得，
实数的值为．
故选：D
4．（2023·全国·高二专题练习）已知在空间单位正交基底下，是空间的一组单位正交基底，是空间的另一组基底.若向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】设向量在基底下的坐标为，则，
又向量在基底下的坐标为，则，
所以，即，
所以解得
所以向量在基底下的坐标为.
故选：C.
5．（2023春·吉林通化·高二梅河口市第五中学校考开学考试）设，向量，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】向量，
且，
∴，解得
∴，
∴，选项C正确.
故选：C．
6．（2023春·高二课时练习）已知，，与的夹角为120°，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因为，0，，，，，，
所以，，，
所以，
所以，且，解得：．
故选：A．
7．（2023·江苏·高二专题练习）已知长方体中，，若棱上存在点，使得，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：如图建立坐标系，
设，，
则，，，
，，
，
，
即，所以，
当时，所以，所以．
故选：C．
8．（2023·全国·高二专题练习）《九章算术》是中国古代张苍、耿寿昌所撰写的一部数学专著，是《算经十书》中最重要的一部，成于公元一世纪左右，是当时世界上最简练有效的应用数学专著，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系.在《九章算术》里，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”.已知在“堑堵”中，，，动点在“堑堵”的侧面上运动，且，则的最大值为（ ）.
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由题意可知三棱柱为直三棱柱，且，
以为坐标原点， 分别为轴，建立如图所示的直角坐标系，如下图所示：
因为，则，
由于动点在“堑堵”的侧面上运动，则存在实数使得，
又，所以，
所以，
又，所以，
化简可得，即，
又，
又，所以，,
所以，
又，函数在上单调递减，且，
所以的最大值为.
故选：B.
二、多选题
9．（2023春·山东临沂·高二统考期末）空间中三点是坐标原点，则（ ）
A．
B．
C．点关于平面对称的点为
D．与夹角的余弦值是
【答案】AB
【详解】，，故A正确；
，，
，故B正确；
由点关于平面对称的点为，故C错误；
因为，所以D错误.
故选：AB
10．（2023·全国·高二专题练习）已知，，，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．为钝角 D．在方向上的投影向量为
【答案】BD
【详解】因为，所以，不垂直，A错，
因为，所以，B对，
因为，所以，所以不是钝角，C错，
因为在方向上的投影向量，D对，
故选：BD.
三、填空题
11．（2023春·江苏连云港·高二校联考期中）已知向量满足，且，则_________，在上的投影向量的坐标为______________．
【答案】
【详解】两边平方化简得：，①
因为，所以，
又，代入①得：，解得：，
，
所以，在上的投影向量坐标为
．
故答案为：2，．
12．（2023·高三课时练习）已知，，且与的夹角为钝角，则x的取值范围是___.
【答案】∪
【详解】∵与的夹角为钝角，且与不共线，
即，且，
解得，且，
∴x的取值范围是∪.
故答案为：∪.
四、解答题
13．（2023春·高二课时练习）已知向量，，，且，.
(1)求向量，，；
(2)求向量与向量所成角的余弦值.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为，，
所以，解得，故，
又因为，
所以，即，解得，故，
故.
（2）由（1）得，，
，
所以，
故向量与向量所成角的余弦值为.
14．（2023·江苏·高二专题练习）（1）已知向量.
①计算和
②求.
（2）已知向量.
①若，求实数；
②若，求实数.
【答案】（1）①，；②；（2）①；②
【详解】（1）①向量，
，，
②，即
，，
（2）因为向量，
，
①，
，解得，
②，
，解得.
B能力提升
1．（2023秋·陕西西安·高二长安一中校考期末）在棱长为2的正方体中，点分别在棱和上，且，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】B
【详解】
如图所示，以为中心建立空间直角坐标系，设，
则，，
，当时取得最大值.
故选：B
2．（2023春·高二课时练习）已知，，则取最小值时的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】因为，，
所以，
则，
由二次函数的图象和性质可知：当时，取最小值，
故选：.
3．（2023春·江苏连云港·高二江苏省海头高级中学校考期中）如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，，M为PC上一动点，，若∠BMD为钝角，则实数t可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】分别以、、为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示，
设， ，故，,，,
由可知，，即，
又因为为钝角，所以，
由,,可知，，
，整理得，
解得，
故选：D.
4．（2023秋·高二课时练习）已知O为坐标原点，＝(1,2,3)，＝(2,1,2)，＝(1,1,2)，点Q在直线OP上运动，则当取得最小值时，点Q的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】设，则＝－＝－λ＝(1－λ，2－λ，3－2λ)，
＝－＝－λ＝(2－λ，1－λ，2－2λ)，
所以＝(1－λ，2－λ，3－2λ)·(2－λ，1－λ，2－2λ)＝2(3λ2－8λ＋5)＝.
所以当λ＝时，取得最小值，此时＝＝，
即点Q的坐标为.
故选：C
5．（2023春·高二课时练习）已知向量，，，若向量与所成角为钝角，则实数的范围是______.
【答案】
【详解】解：因为，，，
所以，解得，
所以，
所以，，
因为向量与所成角为钝角，
所以，解得，
若向量与共线，则，解得，
此时与共线同向，
综上可得.
故答案为：
C综合素养
1．（2023春·江苏徐州·高二统考期中）在如图所示的试验装置中，两个正方形框架ABCD，ABEF的边长都是2，且它们所在的平面互相垂直，活动弹子M，N分别在正方形对角线AC和BF上移动，且CM和BN的长度保持相等，记，其中．则MN的长的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】平面平面，平面平面，，平面，平面，
则以为坐标原点，为轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
，，，
；
则，
当时，最小，最小值为.
故选：A.
2．（2023·全国·高三专题练习）两个非零向量，，定义．若，，则___________．
【答案】
【详解】因为，，
所以，
故，
所以，
故答案为：
3．（2023秋·江西吉安·高二江西省吉水县第二中学校考期末）已知，，点，．
(1)求的值．
(2)在线段AB上，是否存在一点E，使得？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．（O为坐标原点）
【答案】(1)
(2)存在，
【详解】（1）因为，，
所以，
则.
（2）假设线段AB上存在一点E，使得，则设，
因为，，所以，
又因为，
所以，
因为，，
所以，解得，满足，
所以，即，
所以线段AB上存在一点E，使得，且.
4．（2023·江苏·高二专题练习）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答．
则，，，，所以，．
设，，则．因为，
所以与不共线，所以，即，
则，
故不存在点，满足．
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