浙江省温州市安阳实验中学2024-2025学年九年级上学期数学开学考试试题
1．（2024九上·温州开学考） 的相反数是（ ）
A． B．5 C． D．
2．（2024九上·温州开学考）ChatGPT是人工智能研究实验室OpenAI新推出的一种由人工智能技术驱动的自然语言处理工具，其技术底座有着多达175000000000个模型参数，数据175000000000用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024九上·温州开学考）计算的结果是（ ）
A．1 B． C． D．
4．（2024九上·温州开学考）某排球队12名队员的年龄如下：该队队员年龄的众数和中位数分别是（ ）
年龄（岁） 18 19 20 21 22
人数（人） 2 4 3 2 1
A．19岁，19岁 B．19岁，19.5岁
C．19岁，20岁 D．20岁，19.5岁
5．（2024九上·温州开学考）剪纸是中国古代最古老的民间艺术之一．如图是一张蕴含着轴对称变换的蝴蝶剪纸，点A与点B对称，点C与点D对称，将其放置在直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为，，，则点D的坐标为（ ）
A． B． C． D．
6．（2024九上·温州开学考）用反证法证明“若，则”时，应假设（ ）
A． B． C． D．
7．（2024九上·温州开学考）如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则方程的解是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
8．（2024九上·温州开学考）开学初，我校决定购进A，B两种品牌的足球，其中购买A品牌足球共花费2400元，购买B品牌足球共花费3600元，且购买A品牌足球的数量是购买B品牌足球数量的2倍，已知B品牌足球比A品牌足球单价贵了30元，设A品牌足球单价为x元，根据题意，下面所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
9．（2024九上·温州开学考）已知点，，都在二次函数的图象上，当时，y随着x的增大而增大，则，，的大小比较正确的是（ ）
A． B． C． D．
10．（2024九上·温州开学考）如图，C点是线段AB上一动点，分别以AC，BC为边向上作正方形ACEF和正方形CBGD，连结BE，AD，延长AD交BE于点N，过点N作，点M为线段AB的中点，记MQ的长为x，QN的长为y，点C在运动过程中，下列代数式的值不变的是（ ）
A． B．xy C． D．
11．（2024九上·温州开学考）因式分解：x2+4x＝ ．
12．（2024九上·温州开学考）若二次根式有意义，则实数x的取值范围是 ．
13．（2024九上·温州开学考）已知二次函数，则该二次函数图象的顶点坐标是 ．
14．（2024九上·温州开学考）若关于x的一元二次方程有两个实数根，则k的值可以是 （写出一个即可）．
15．（2024九上·温州开学考）如图，在直角坐标系中，点A、B在反比例函数（，）的图象上，点C在y轴上，轴，若，，则 ．
16．（2024九上·温州开学考）如图，在矩形ABCD中，，F为DC边上的中点，将矩形沿AF折叠，使得点D落在点处，延长交BC于点G，在线段上取点E，使得，过点E作交BC于点P，连结PF交于点H，若，则 ．
17．（2024九上·温州开学考）计算：
18．（2024九上·温州开学考）解不等式组：
19．（2024九上·温州开学考）在如图所示的网格中，每个小正方形的边长都为1．
⑴在图1中作一个以A，B，C，D为顶点的平行四边形，使点D落在格点上．
⑵在图2中，仅用无刻度的直尺作边BC上的中线AE．
20．（2024九上·温州开学考）2024年9月10日是我国第40个教师节，某校展开以“烛光引路，感恩墨香”为主题的知识竞赛活动．现从该校八、九年级中各随机抽取10名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理、分析（成绩得分用x表示，共分成四组：A．，B．，C．，D．），下面给出了部分信息：
八年级10名学生的竞赛成绩是：99 80 99 86 99 96 90 100 89 82
九年级10名学生的竞赛成绩在C组中的数据是：94 90 94
九年级抽取的学生竞赛成绩条形统计图
八、九年级抽取的学生竞赛成绩统计表
年级 平均数 中位数 众数 方差
八年级 92 93 c 52
九年级 92 b 100 50.4
根据以上信息，解答下列问题：
（1）上述图表中 ； ； ．
（2）由以上数据，你认为该校八、九年级中哪个年级学生的竞赛成绩较好？请说明理由．
（3）该校八、九年级参加此次竞赛活动的人数分别为650人和780人，估计在本次竞赛活动中八、九年级成绩优秀的学生共有多少人？
21．（2024九上·温州开学考）如图，在中，点D，E分别是边AB，AC的中点，取EC的中点O，连结DE，BO并延长交于点F，连结BE，CF．
（1）求证：四边形EBCF为平行四边形．
（2）若，，求的度数．
22．（2024九上·温州开学考）小华和玲玲沿同一条笔直的马路同时从学校出发到某图书馆查阅资料，学校与图书馆的路程是5千米，小华骑共享单车，玲玲步行．当小华从原路回到学校时，玲玲刚好到达图书馆．图中折线和线段OD分别表示两人离学校的路程s（千米）与所经过的时间t（分钟）之间的函数关系，请根据图象回答下列问题：
（1）玲玲的速度为 千米/分钟，小华返回学校的速度为 千米/分钟．
（2）小华和玲玲在出发a分钟时，两人到学校的距离相等，求a的值．
23．（2024九上·温州开学考）小明在研究某二次函数时，函数值y与自变量x的部分对应值如表：
x … 2 3 5 …
y … 1 0 …
（1）求该二次函数的表达式．
（2）当时，该二次函数的最大值与最小值的差为，求p的值．
（3）已知点C是该二次函数图象与y轴的交点，把点C向下平移个单位得到点M．若点M向左平移个单位，将与该二次函数图象上的点P重合；若点M向右平移5n个单位，将与该二次函数图象上的点Q重合，求m，n的值．
24．（2024九上·温州开学考）在正方形ABCD中，，E，F为对角线BD上不重合的两个点（不包括端点），，连结AE并延长交BC于点G，连结FG，CF．
（1）求证：．
（2）设BE的长为x，的面积为y．
①求y关于x的函数表达式．
②当时，求x的值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】相反数及有理数的相反数
【解析】【解答】解： 的相反数是5，
故答案为：B．
【分析】根据相反数的定义即可．
2．【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：175000000000=1.75×1011．
故答案为：D
【分析】根据科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
3．【答案】A
【知识点】有理数的减法法则
【解析】【解答】解：，
故答案为：A．
【分析】根据减去一个数等于加上这个数的相反数将减法转变为加法，进而根据绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值进行计算即可.
4．【答案】B
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：观察图表可知：人数最多的是4人，年龄是19岁，故众数是19．
共12人，中位数是第6，7个人平均年龄，因而中位数是.．
故答案为：B.
【分析】根据中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数、众数是数据中出现次数最多的数、进行求解即可.
5．【答案】A
【知识点】坐标与图形变化﹣对称；平面图形的对称轴
【解析】【解答】解：∵A（3，0）和B（5，0）对称，
∴对称轴直线为：，
∵C（1，4）与点D关于x=4对称，
∴D（7，4），
故答案为：A.
【分析】先根据点A与点B对称，求出对称轴为直线x=4，再根据点C与点D对称，即可求解．
6．【答案】C
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：用反证法证明“若a＜3，则a2＜9”应先假设a2≥9.
故答案为：C.
【分析】用反证法证明一个命题，应先假设该命题的结论的反面成立，据此可得答案.
7．【答案】B
【知识点】二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：∵抛物线y=ax2与直线y=kx+b的两个交点坐标分别为A（-1，1），B（3，9），
∴方程ax2=kx+b的解即为抛物线和直线的交点，
∴解为x1=-1，x2=3，
故答案为：B
【分析】根据题意可知方程ax2=kx+b的解即为抛物线y=ax2与直线y=kx+b的交点横坐标，即可求解.
8．【答案】C
【知识点】列分式方程
9．【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：二次函数y=ax2-2ax+3a（a≠0）的对称轴是直线，
∵当x＞2时，y随着x的增大而增大，
∴a＞0，
∴点（-1，y1）关于直线 x=1的对称点是（3，y1），
∵2＜3＜4，
∴y2＜y1＜y3，
故答案为：C.
【分析】根据二次函数的解析式得出对称轴是直线 x=1，结合题意得出抛物线开口向上，再求出点（-1，y1）关于对称轴对称的点的坐标为（3，y1），根据二次函数的增减性即可求解．
10．【答案】A
【知识点】正方形的性质；直角三角形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：连接MN，
∵四边形ACEF，四边形BCDG是正方形，
∴CA=CE，CD=CB，∠ACD=∠ECB=90°，
在△ACD和△ECB中，
，
∴△ACD≌△ECB（SAS），
∴∠CAD=∠CEB，
∵∠CAD+∠CDA=90°，
∴∠CEB+∠CDA=90°，
∴∠CEB+∠EDN=90°，
∴∠ANE=∠ANB=90°，
∵点M为线段AB的中点，
∴，
∵NQ⊥AB，
∴∠NQM=90°，
∴NQ2+MQ2=MN2，即，
∵AB是定值，
故x2+y2是定值，A选项符合题意；
∵x，y都随点C的变化而改变，故xy不一定是定值；故B选项不符合题意；
根据题意可得，而x不是定值，故C不符合题意，
根据题意，得，而∠MNQ不是定角，故D不符合题意；
故答案为：A.
【分析】连接MN，根据正方形的四条边相等，四个角都是直角得出CA=CE，CD=CB，∠ACD=∠ECB=90°，根据两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等可得△ACD≌△ECB，根据全等三角形的对应边相等得出∠CAD=∠CEB，推得∠ANE=∠ANB=90°，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出，根据直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方可得，即可判定A选项正确，根据x，y都随点C的变化而改变，故xy不一定是定值，即可判定B选项错误，根据完全平方公式可得，即可判C选项错误，根据∠MNQ不是定角，故其正切函数也不是定值，即可判D选项错误．
11．【答案】x（x+4）
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：x2+4x=x(x+4)，
故答案为：x(x+4).
【分析】利用提公因式法进行因式分解即可.
12．【答案】
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：由题可知，x-5≥0，
解得：x≥5．
故答案为：x≥5.
【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方式大于等于0，列出不等式，解不等式即可.
13．【答案】（-2，-1）
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的图象
14．【答案】6
【知识点】根据一元二次根的根的情况求参数
【解析】【解答】解：∵一元二次方程x2+5x+k=0有两个实根，
∴Δ=b2-4ac=52-4×1×k≥0，
解得：.
故答案为：6
【分析】根据一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：当△≥0时，方程有两个两个实数根，据此即可列出不等式，解不等式求出k的取值范围，即可求解.
15．【答案】15
【知识点】反比例函数的性质；待定系数法求反比例函数解析式
【解析】【解答】解：过点B作BD⊥AC于点D，如图：
设CD=x，
∵，，
∴AD=AC-CD=10-x，
在Rt△BCD中，BD2=BC2-CD2=40-x2，
在Rt△ABD中，AB2=AD2+BD2，
即102=（10-x）2+40-x2，
解得：x=2，
∴AD=8，BD2=36，
∴BD=6，
∵轴，
∴A，C两点的纵坐标相同，设A，C两点的纵坐标为y1，
则B（2，6+y1），A（10，y1），
将点A和点B的坐标带入反比例函数，
得，
解得：，
故答案为：15.
【分析】过点B作BD⊥AC于点D，设CD=x，根据图得出AD=10-x，根据直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方可得BD2=40-x2，AB2=AD2+BD2，据此列出方程，解方程求出x=2，即可求出AD=8，BD=6，根据题意设A，C两点的纵坐标为y1，待定系数法求出反比例函数的解析式即可求解.
16．【答案】
【知识点】翻折变换（折叠问题）；三角形的综合；四边形的综合
【解析】【解答】解：连接AP，连接PD'，过点H作HQ⊥BC于点Q，
∵矩形ABCD中，DC=2，F为DC边上的中点，
∴AB=CD=2，，∠ABC=∠BCD=∠BAD=90°，
∵将矩形沿AF折叠，使得点D落在点D'处，
故∠ADF=∠AD'F=90°，∠DAF=∠D'AF，
∵PE∥FG，
∴∠AEP=∠PED'=∠AD'F=90°，
∴∠AEP=∠ABC，
在Rt△ABP和Rt△AEP中，
，
∴Rt△ABP≌Rt△AEP（HL），
∴∠BAP=∠EAP，PE=PB，
∴，
∵∠AFP=45°，
∴∠PAF=∠AFP，
∴∠APF=90°，PA=PF，
∴∠BAP=90°-∠BPA=∠CPF，
在△ABP和△PCF中，
，
∴△ABP≌△PCF（AAS），
∴PC=AB=2，BP=CF=1，
∴PE=BP=CF=DF=D'F=1，AE=2，AD=BC=AD'=2+1=3，
∴ED'=3-2=1，
则四边形PD'FE是平行四边形，
∴H为PF，D'E的中点，S△EHF=S△PHD'，
∴，PH=HF，
则HQ∥CF，
∴HQ是△PCF的中位线，
∴，
∴HQ=HE，
∴PH平分∠EPC，
∴∠EPF=∠GPF，
∵PE∥FG，
∴∠EPF=∠PFG，
∴∠GPF=∠PFG，
∴GP=GF，
设GP=GF=x，则CG=PC-GP=2-x，
根据勾股定理，得x2=（2-x）2+1，
解得：，
∴，
∴，
∴.
故答案为：.
【分析】连接AP，连接PD'，过点H作HQ⊥BC于点Q，根据矩形的对边相等，四个角都是直角得出AB=CD=2，，∠ABC=∠BCD=∠BAD=90°，根据折叠得出∠DAF=∠D'AF，∠ADF=∠AD'F=90°，根据两直线平行，内错角相等，同位角相等得出∠AEP=∠PED'=∠AD'F=90°，即∠AEP=∠ABC，根据斜边及另一条直角边对应相等的两个直角三角形是全等三角形得出△ABP≌△AEP，根据全等三角形的对应边相等，对应角相等得出∠BAP=∠EAP，PE=PB，求得∠PAF=45°，推得∠PAF=∠AFP，根据两角及其一角的对边对应相等的两个三角形全等得出△ABP≌△PCF，根据全等三角形的对应边相等得出PC=AB=2，BP=CF=1，求得PE=1，AE=2，AD=BC=AD'=3，ED'=1，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出四边形PD'FE是平行四边形，根据平行四边形的对角线互相平分得出S△EHF=S△PHD'，，PH=HF， 根据三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半可得，推得HQ=HE，根据到角两边距离相等的点在角的角平分线上，得出PH平分∠EPC，根据角平分线的定义得出∠EPF=∠GPF，根据两直线平行，内错角相等得出∠EPF=∠PFG，推得∠GPF=∠PFG，根据等角对等边得出GP=GF，设GP=GF=x，则CG=PC-GP=2-x，根据直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方求出，求得，结合三角形的面积公式即可求解.
17．【答案】解：原式．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；实数的混合运算（含开方）
18．【答案】解：由①得，
由②得，
．
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】先分别求解两个一元一次不等式，再求不等式组的解集即可．
19．【答案】解：（1）如图，四边形ABCD是平行四边形，
（2） 如图，AE即为所求.
或
【知识点】平行四边形的判定；作图-平行线；尺规作图-中线
【解析】【分析】（1）根据直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方求出AB=CD=10，BC=AD=10，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形即可得出四边形ABCD是平行四边形；
（2）以BC为矩形的其中一个对角线，确定出另一条对角线，即可确定BC的中点E，连接AE，即可.
20．【答案】（1）1；94；99
（2）解：九年级成绩较好．①虽然八、九年级竞赛成绩的平均数相同，②但是九年级的竞赛成绩的中位数、众数都比七年级的高，③且九年级的方差小于八年级的方差，成绩稳定，因此九年级的成绩较好．
（3）解：（人）
故优秀的学生共有936人．
【知识点】用样本估计总体；中位数；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）；众数
【解析】【解答】解：（1）a=10-2-3-4=1，
八年级成绩出现最多的是99，c=99，
九年级成绩从小到大排列后处在中间位置的两个数都是94，
故b=94，
故答案为：1；94；99．
【分析】（1）用总人数减去A、C、D组的人数，即可求出A组的人数，根据中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数）；一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，即可求解；
（2）根据八年级和九年级的平均数，中位数，众数，方差，作出决策即可．
（3）用总人数乘以优秀占抽取人数的比值，再求八年级和九年级的人数和，即可求解．
21．【答案】（1）证明：∵点D，E分别是边AB，AC的中点，
∴DE∥BC，BC=2DE，
∴∠EFB=∠FBC，
∵点O是边EC的中点，
∴OE=OC，
∵∠EOF=∠BOC，
∴△EOF≌△BOC（AAS），
∴EF=BC，
∵DE∥BC，
∴四边形EBCF是平行四边形．
（2）解：∵BE=2DE，BC=2DE，
∴BE=BC，
∴平行四边形BEFC是菱形，
∴BF⊥CE，∠ACB=∠ACF=80°，
∴∠BFC=90°-∠ACF=10°．
【知识点】平行四边形的判定；三角形全等的判定-AAS；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）根据根据连接三角形任意两边中点的连线叫中位线，三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半可得DE∥BC、BC=2DE，根据两直线平行，内错角相等得出∠EFB=∠FBC，根据等边对等角得出∠EOF=∠BOC，根据两角及其一角的对边对应相等的两个三角形全等证得△EOF≌△BOC，根据全等三角形的对应边相等得出EF=BC，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可证明；
（2）根据一组邻边相等的平行四边形是菱形得出平行四边形BEFC是菱形，根据菱形的对角线互相垂直，对角线平分对角得出BF⊥CE，∠ACB=∠ACF=80°，根据直角三角形两锐角互余，即可求解.
22．【答案】（1）0.125；0.5
（2）解：由题意，得：5-0.5（a-30）=0.125a，
解得：a=32．
【知识点】一元一次方程的实际应用-行程问题；通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：（1）由图象可知：玲玲的速度为：5÷40=0.125千米/分钟，
小华返回学校的速度为：5÷（40-30）=0.5千米/分钟．
故答案为：0.125；0.5.
【分析】（1）根据速度等于路程除以时间，从函数图象中获取信息，进行计算即可；
（2）根据“两人到学校的距离相等”，列出方程，解方程即可求出a的值.
23．【答案】（1）解：设该二次函数的表达式为y=ax2+bx+c，由题意得：
，
解得，
∴该二次函数的表达式为y=-x2+4x-3.
（2）解：∵y=-x2+4x-3=-（x-2）2+1，
∴抛物线的对称轴为直线x=2，抛物线的顶点坐标为（2，1），
∵a=-1＜0，
∴当x＜2时，二次函数的值随x的增大而增大；当x=2时，该二次函数的最大值为1，
∵当p≤x≤2时，该二次函数的最大值与最小值的差为，
∴，
解得（舍去），，
故
（3）解：把代入，得，即．
由题意可得，，
点P、点Q都在二次函数的图象上且纵坐标相同，对称轴，
，
，
可得，
再把代入y=-x2+4x-3，得-3-m=-（-1-2）2+1=-8，
∴m=5，
故m=5，n=1
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数的对称性及应用
【解析】【分析】（1）根据待定系数法求抛物线的解析式即可；
（2）下求出抛物线的对称轴和顶点坐标，得出当x=2时，该二次函数的最大值为1，根据题意列出方程，解方程求出p的值，结合x的取值范围，即可求解；
（3）先求得点C的坐标，根据题意得出，，根据题意列出方程，解方程求出n的值，即可求出点P的坐标，将点P的坐标代入抛物线解析式，即可求出m的值.
24．【答案】（1）证明：在正方形ABCD中，AB=CD，∠ABE=∠CDF=45°，
∵BE=DF，
∴△ABE≌△CDF（SAS），
∴∠AEB=∠CFD，
∴∠AED=∠CFB，
∴AG∥FC
（2）解：①连接CE，AC交BD于点H．
∵AB=4，
在正方形ABCD中，AB=BC=4，
故，
在正方形ABCD中，，，
，
，
，
．
②过F作于点I，作于点J，
，
，
，
，
解得
【知识点】正方形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）根据正方形的四条边都相等，四个角都是直角得出，AB=CD，∠ABE=∠CDF=45°，根据两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等得出△ABE≌△CDF，根据全等三角形的对应角相等得出∠AEB=∠CFD，推得∠AED=∠CFB，根据内错角相等，两直线平行即可证明；
（2）①连接CE，AC交BD于点H，根据直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方得出AC的值，根据正方形的对角线互相垂直且平分，求出CH的值，根据三角形面积公式及S△CFG=S△CFE即可求解；
②过F作FI⊥CD于点I，作FJ⊥BC于点J，根据等腰直角三角形的定义和直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方可得，根据三角形的面积，建立方程，解方程求出x的值即可.
1 / 1浙江省温州市安阳实验中学2024-2025学年九年级上学期数学开学考试试题
1．（2024九上·温州开学考） 的相反数是（ ）
A． B．5 C． D．
【答案】B
【知识点】相反数及有理数的相反数
【解析】【解答】解： 的相反数是5，
故答案为：B．
【分析】根据相反数的定义即可．
2．（2024九上·温州开学考）ChatGPT是人工智能研究实验室OpenAI新推出的一种由人工智能技术驱动的自然语言处理工具，其技术底座有着多达175000000000个模型参数，数据175000000000用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：175000000000=1.75×1011．
故答案为：D
【分析】根据科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
3．（2024九上·温州开学考）计算的结果是（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】A
【知识点】有理数的减法法则
【解析】【解答】解：，
故答案为：A．
【分析】根据减去一个数等于加上这个数的相反数将减法转变为加法，进而根据绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值进行计算即可.
4．（2024九上·温州开学考）某排球队12名队员的年龄如下：该队队员年龄的众数和中位数分别是（ ）
年龄（岁） 18 19 20 21 22
人数（人） 2 4 3 2 1
A．19岁，19岁 B．19岁，19.5岁
C．19岁，20岁 D．20岁，19.5岁
【答案】B
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：观察图表可知：人数最多的是4人，年龄是19岁，故众数是19．
共12人，中位数是第6，7个人平均年龄，因而中位数是.．
故答案为：B.
【分析】根据中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数、众数是数据中出现次数最多的数、进行求解即可.
5．（2024九上·温州开学考）剪纸是中国古代最古老的民间艺术之一．如图是一张蕴含着轴对称变换的蝴蝶剪纸，点A与点B对称，点C与点D对称，将其放置在直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为，，，则点D的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】坐标与图形变化﹣对称；平面图形的对称轴
【解析】【解答】解：∵A（3，0）和B（5，0）对称，
∴对称轴直线为：，
∵C（1，4）与点D关于x=4对称，
∴D（7，4），
故答案为：A.
【分析】先根据点A与点B对称，求出对称轴为直线x=4，再根据点C与点D对称，即可求解．
6．（2024九上·温州开学考）用反证法证明“若，则”时，应假设（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：用反证法证明“若a＜3，则a2＜9”应先假设a2≥9.
故答案为：C.
【分析】用反证法证明一个命题，应先假设该命题的结论的反面成立，据此可得答案.
7．（2024九上·温州开学考）如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则方程的解是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】B
【知识点】二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：∵抛物线y=ax2与直线y=kx+b的两个交点坐标分别为A（-1，1），B（3，9），
∴方程ax2=kx+b的解即为抛物线和直线的交点，
∴解为x1=-1，x2=3，
故答案为：B
【分析】根据题意可知方程ax2=kx+b的解即为抛物线y=ax2与直线y=kx+b的交点横坐标，即可求解.
8．（2024九上·温州开学考）开学初，我校决定购进A，B两种品牌的足球，其中购买A品牌足球共花费2400元，购买B品牌足球共花费3600元，且购买A品牌足球的数量是购买B品牌足球数量的2倍，已知B品牌足球比A品牌足球单价贵了30元，设A品牌足球单价为x元，根据题意，下面所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】列分式方程
9．（2024九上·温州开学考）已知点，，都在二次函数的图象上，当时，y随着x的增大而增大，则，，的大小比较正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：二次函数y=ax2-2ax+3a（a≠0）的对称轴是直线，
∵当x＞2时，y随着x的增大而增大，
∴a＞0，
∴点（-1，y1）关于直线 x=1的对称点是（3，y1），
∵2＜3＜4，
∴y2＜y1＜y3，
故答案为：C.
【分析】根据二次函数的解析式得出对称轴是直线 x=1，结合题意得出抛物线开口向上，再求出点（-1，y1）关于对称轴对称的点的坐标为（3，y1），根据二次函数的增减性即可求解．
10．（2024九上·温州开学考）如图，C点是线段AB上一动点，分别以AC，BC为边向上作正方形ACEF和正方形CBGD，连结BE，AD，延长AD交BE于点N，过点N作，点M为线段AB的中点，记MQ的长为x，QN的长为y，点C在运动过程中，下列代数式的值不变的是（ ）
A． B．xy C． D．
【答案】A
【知识点】正方形的性质；直角三角形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：连接MN，
∵四边形ACEF，四边形BCDG是正方形，
∴CA=CE，CD=CB，∠ACD=∠ECB=90°，
在△ACD和△ECB中，
，
∴△ACD≌△ECB（SAS），
∴∠CAD=∠CEB，
∵∠CAD+∠CDA=90°，
∴∠CEB+∠CDA=90°，
∴∠CEB+∠EDN=90°，
∴∠ANE=∠ANB=90°，
∵点M为线段AB的中点，
∴，
∵NQ⊥AB，
∴∠NQM=90°，
∴NQ2+MQ2=MN2，即，
∵AB是定值，
故x2+y2是定值，A选项符合题意；
∵x，y都随点C的变化而改变，故xy不一定是定值；故B选项不符合题意；
根据题意可得，而x不是定值，故C不符合题意，
根据题意，得，而∠MNQ不是定角，故D不符合题意；
故答案为：A.
【分析】连接MN，根据正方形的四条边相等，四个角都是直角得出CA=CE，CD=CB，∠ACD=∠ECB=90°，根据两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等可得△ACD≌△ECB，根据全等三角形的对应边相等得出∠CAD=∠CEB，推得∠ANE=∠ANB=90°，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出，根据直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方可得，即可判定A选项正确，根据x，y都随点C的变化而改变，故xy不一定是定值，即可判定B选项错误，根据完全平方公式可得，即可判C选项错误，根据∠MNQ不是定角，故其正切函数也不是定值，即可判D选项错误．
11．（2024九上·温州开学考）因式分解：x2+4x＝ ．
【答案】x（x+4）
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：x2+4x=x(x+4)，
故答案为：x(x+4).
【分析】利用提公因式法进行因式分解即可.
12．（2024九上·温州开学考）若二次根式有意义，则实数x的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：由题可知，x-5≥0，
解得：x≥5．
故答案为：x≥5.
【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方式大于等于0，列出不等式，解不等式即可.
13．（2024九上·温州开学考）已知二次函数，则该二次函数图象的顶点坐标是 ．
【答案】（-2，-1）
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的图象
14．（2024九上·温州开学考）若关于x的一元二次方程有两个实数根，则k的值可以是 （写出一个即可）．
【答案】6
【知识点】根据一元二次根的根的情况求参数
【解析】【解答】解：∵一元二次方程x2+5x+k=0有两个实根，
∴Δ=b2-4ac=52-4×1×k≥0，
解得：.
故答案为：6
【分析】根据一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：当△≥0时，方程有两个两个实数根，据此即可列出不等式，解不等式求出k的取值范围，即可求解.
15．（2024九上·温州开学考）如图，在直角坐标系中，点A、B在反比例函数（，）的图象上，点C在y轴上，轴，若，，则 ．
【答案】15
【知识点】反比例函数的性质；待定系数法求反比例函数解析式
【解析】【解答】解：过点B作BD⊥AC于点D，如图：
设CD=x，
∵，，
∴AD=AC-CD=10-x，
在Rt△BCD中，BD2=BC2-CD2=40-x2，
在Rt△ABD中，AB2=AD2+BD2，
即102=（10-x）2+40-x2，
解得：x=2，
∴AD=8，BD2=36，
∴BD=6，
∵轴，
∴A，C两点的纵坐标相同，设A，C两点的纵坐标为y1，
则B（2，6+y1），A（10，y1），
将点A和点B的坐标带入反比例函数，
得，
解得：，
故答案为：15.
【分析】过点B作BD⊥AC于点D，设CD=x，根据图得出AD=10-x，根据直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方可得BD2=40-x2，AB2=AD2+BD2，据此列出方程，解方程求出x=2，即可求出AD=8，BD=6，根据题意设A，C两点的纵坐标为y1，待定系数法求出反比例函数的解析式即可求解.
16．（2024九上·温州开学考）如图，在矩形ABCD中，，F为DC边上的中点，将矩形沿AF折叠，使得点D落在点处，延长交BC于点G，在线段上取点E，使得，过点E作交BC于点P，连结PF交于点H，若，则 ．
【答案】
【知识点】翻折变换（折叠问题）；三角形的综合；四边形的综合
【解析】【解答】解：连接AP，连接PD'，过点H作HQ⊥BC于点Q，
∵矩形ABCD中，DC=2，F为DC边上的中点，
∴AB=CD=2，，∠ABC=∠BCD=∠BAD=90°，
∵将矩形沿AF折叠，使得点D落在点D'处，
故∠ADF=∠AD'F=90°，∠DAF=∠D'AF，
∵PE∥FG，
∴∠AEP=∠PED'=∠AD'F=90°，
∴∠AEP=∠ABC，
在Rt△ABP和Rt△AEP中，
，
∴Rt△ABP≌Rt△AEP（HL），
∴∠BAP=∠EAP，PE=PB，
∴，
∵∠AFP=45°，
∴∠PAF=∠AFP，
∴∠APF=90°，PA=PF，
∴∠BAP=90°-∠BPA=∠CPF，
在△ABP和△PCF中，
，
∴△ABP≌△PCF（AAS），
∴PC=AB=2，BP=CF=1，
∴PE=BP=CF=DF=D'F=1，AE=2，AD=BC=AD'=2+1=3，
∴ED'=3-2=1，
则四边形PD'FE是平行四边形，
∴H为PF，D'E的中点，S△EHF=S△PHD'，
∴，PH=HF，
则HQ∥CF，
∴HQ是△PCF的中位线，
∴，
∴HQ=HE，
∴PH平分∠EPC，
∴∠EPF=∠GPF，
∵PE∥FG，
∴∠EPF=∠PFG，
∴∠GPF=∠PFG，
∴GP=GF，
设GP=GF=x，则CG=PC-GP=2-x，
根据勾股定理，得x2=（2-x）2+1，
解得：，
∴，
∴，
∴.
故答案为：.
【分析】连接AP，连接PD'，过点H作HQ⊥BC于点Q，根据矩形的对边相等，四个角都是直角得出AB=CD=2，，∠ABC=∠BCD=∠BAD=90°，根据折叠得出∠DAF=∠D'AF，∠ADF=∠AD'F=90°，根据两直线平行，内错角相等，同位角相等得出∠AEP=∠PED'=∠AD'F=90°，即∠AEP=∠ABC，根据斜边及另一条直角边对应相等的两个直角三角形是全等三角形得出△ABP≌△AEP，根据全等三角形的对应边相等，对应角相等得出∠BAP=∠EAP，PE=PB，求得∠PAF=45°，推得∠PAF=∠AFP，根据两角及其一角的对边对应相等的两个三角形全等得出△ABP≌△PCF，根据全等三角形的对应边相等得出PC=AB=2，BP=CF=1，求得PE=1，AE=2，AD=BC=AD'=3，ED'=1，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出四边形PD'FE是平行四边形，根据平行四边形的对角线互相平分得出S△EHF=S△PHD'，，PH=HF， 根据三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半可得，推得HQ=HE，根据到角两边距离相等的点在角的角平分线上，得出PH平分∠EPC，根据角平分线的定义得出∠EPF=∠GPF，根据两直线平行，内错角相等得出∠EPF=∠PFG，推得∠GPF=∠PFG，根据等角对等边得出GP=GF，设GP=GF=x，则CG=PC-GP=2-x，根据直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方求出，求得，结合三角形的面积公式即可求解.
17．（2024九上·温州开学考）计算：
【答案】解：原式．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；实数的混合运算（含开方）
18．（2024九上·温州开学考）解不等式组：
【答案】解：由①得，
由②得，
．
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】先分别求解两个一元一次不等式，再求不等式组的解集即可．
19．（2024九上·温州开学考）在如图所示的网格中，每个小正方形的边长都为1．
⑴在图1中作一个以A，B，C，D为顶点的平行四边形，使点D落在格点上．
⑵在图2中，仅用无刻度的直尺作边BC上的中线AE．
【答案】解：（1）如图，四边形ABCD是平行四边形，
（2） 如图，AE即为所求.
或
【知识点】平行四边形的判定；作图-平行线；尺规作图-中线
【解析】【分析】（1）根据直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方求出AB=CD=10，BC=AD=10，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形即可得出四边形ABCD是平行四边形；
（2）以BC为矩形的其中一个对角线，确定出另一条对角线，即可确定BC的中点E，连接AE，即可.
20．（2024九上·温州开学考）2024年9月10日是我国第40个教师节，某校展开以“烛光引路，感恩墨香”为主题的知识竞赛活动．现从该校八、九年级中各随机抽取10名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理、分析（成绩得分用x表示，共分成四组：A．，B．，C．，D．），下面给出了部分信息：
八年级10名学生的竞赛成绩是：99 80 99 86 99 96 90 100 89 82
九年级10名学生的竞赛成绩在C组中的数据是：94 90 94
九年级抽取的学生竞赛成绩条形统计图
八、九年级抽取的学生竞赛成绩统计表
年级 平均数 中位数 众数 方差
八年级 92 93 c 52
九年级 92 b 100 50.4
根据以上信息，解答下列问题：
（1）上述图表中 ； ； ．
（2）由以上数据，你认为该校八、九年级中哪个年级学生的竞赛成绩较好？请说明理由．
（3）该校八、九年级参加此次竞赛活动的人数分别为650人和780人，估计在本次竞赛活动中八、九年级成绩优秀的学生共有多少人？
【答案】（1）1；94；99
（2）解：九年级成绩较好．①虽然八、九年级竞赛成绩的平均数相同，②但是九年级的竞赛成绩的中位数、众数都比七年级的高，③且九年级的方差小于八年级的方差，成绩稳定，因此九年级的成绩较好．
（3）解：（人）
故优秀的学生共有936人．
【知识点】用样本估计总体；中位数；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）；众数
【解析】【解答】解：（1）a=10-2-3-4=1，
八年级成绩出现最多的是99，c=99，
九年级成绩从小到大排列后处在中间位置的两个数都是94，
故b=94，
故答案为：1；94；99．
【分析】（1）用总人数减去A、C、D组的人数，即可求出A组的人数，根据中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数）；一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，即可求解；
（2）根据八年级和九年级的平均数，中位数，众数，方差，作出决策即可．
（3）用总人数乘以优秀占抽取人数的比值，再求八年级和九年级的人数和，即可求解．
21．（2024九上·温州开学考）如图，在中，点D，E分别是边AB，AC的中点，取EC的中点O，连结DE，BO并延长交于点F，连结BE，CF．
（1）求证：四边形EBCF为平行四边形．
（2）若，，求的度数．
【答案】（1）证明：∵点D，E分别是边AB，AC的中点，
∴DE∥BC，BC=2DE，
∴∠EFB=∠FBC，
∵点O是边EC的中点，
∴OE=OC，
∵∠EOF=∠BOC，
∴△EOF≌△BOC（AAS），
∴EF=BC，
∵DE∥BC，
∴四边形EBCF是平行四边形．
（2）解：∵BE=2DE，BC=2DE，
∴BE=BC，
∴平行四边形BEFC是菱形，
∴BF⊥CE，∠ACB=∠ACF=80°，
∴∠BFC=90°-∠ACF=10°．
【知识点】平行四边形的判定；三角形全等的判定-AAS；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）根据根据连接三角形任意两边中点的连线叫中位线，三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半可得DE∥BC、BC=2DE，根据两直线平行，内错角相等得出∠EFB=∠FBC，根据等边对等角得出∠EOF=∠BOC，根据两角及其一角的对边对应相等的两个三角形全等证得△EOF≌△BOC，根据全等三角形的对应边相等得出EF=BC，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可证明；
（2）根据一组邻边相等的平行四边形是菱形得出平行四边形BEFC是菱形，根据菱形的对角线互相垂直，对角线平分对角得出BF⊥CE，∠ACB=∠ACF=80°，根据直角三角形两锐角互余，即可求解.
22．（2024九上·温州开学考）小华和玲玲沿同一条笔直的马路同时从学校出发到某图书馆查阅资料，学校与图书馆的路程是5千米，小华骑共享单车，玲玲步行．当小华从原路回到学校时，玲玲刚好到达图书馆．图中折线和线段OD分别表示两人离学校的路程s（千米）与所经过的时间t（分钟）之间的函数关系，请根据图象回答下列问题：
（1）玲玲的速度为 千米/分钟，小华返回学校的速度为 千米/分钟．
（2）小华和玲玲在出发a分钟时，两人到学校的距离相等，求a的值．
【答案】（1）0.125；0.5
（2）解：由题意，得：5-0.5（a-30）=0.125a，
解得：a=32．
【知识点】一元一次方程的实际应用-行程问题；通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：（1）由图象可知：玲玲的速度为：5÷40=0.125千米/分钟，
小华返回学校的速度为：5÷（40-30）=0.5千米/分钟．
故答案为：0.125；0.5.
【分析】（1）根据速度等于路程除以时间，从函数图象中获取信息，进行计算即可；
（2）根据“两人到学校的距离相等”，列出方程，解方程即可求出a的值.
23．（2024九上·温州开学考）小明在研究某二次函数时，函数值y与自变量x的部分对应值如表：
x … 2 3 5 …
y … 1 0 …
（1）求该二次函数的表达式．
（2）当时，该二次函数的最大值与最小值的差为，求p的值．
（3）已知点C是该二次函数图象与y轴的交点，把点C向下平移个单位得到点M．若点M向左平移个单位，将与该二次函数图象上的点P重合；若点M向右平移5n个单位，将与该二次函数图象上的点Q重合，求m，n的值．
【答案】（1）解：设该二次函数的表达式为y=ax2+bx+c，由题意得：
，
解得，
∴该二次函数的表达式为y=-x2+4x-3.
（2）解：∵y=-x2+4x-3=-（x-2）2+1，
∴抛物线的对称轴为直线x=2，抛物线的顶点坐标为（2，1），
∵a=-1＜0，
∴当x＜2时，二次函数的值随x的增大而增大；当x=2时，该二次函数的最大值为1，
∵当p≤x≤2时，该二次函数的最大值与最小值的差为，
∴，
解得（舍去），，
故
（3）解：把代入，得，即．
由题意可得，，
点P、点Q都在二次函数的图象上且纵坐标相同，对称轴，
，
，
可得，
再把代入y=-x2+4x-3，得-3-m=-（-1-2）2+1=-8，
∴m=5，
故m=5，n=1
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数的对称性及应用
【解析】【分析】（1）根据待定系数法求抛物线的解析式即可；
（2）下求出抛物线的对称轴和顶点坐标，得出当x=2时，该二次函数的最大值为1，根据题意列出方程，解方程求出p的值，结合x的取值范围，即可求解；
（3）先求得点C的坐标，根据题意得出，，根据题意列出方程，解方程求出n的值，即可求出点P的坐标，将点P的坐标代入抛物线解析式，即可求出m的值.
24．（2024九上·温州开学考）在正方形ABCD中，，E，F为对角线BD上不重合的两个点（不包括端点），，连结AE并延长交BC于点G，连结FG，CF．
（1）求证：．
（2）设BE的长为x，的面积为y．
①求y关于x的函数表达式．
②当时，求x的值．
【答案】（1）证明：在正方形ABCD中，AB=CD，∠ABE=∠CDF=45°，
∵BE=DF，
∴△ABE≌△CDF（SAS），
∴∠AEB=∠CFD，
∴∠AED=∠CFB，
∴AG∥FC
（2）解：①连接CE，AC交BD于点H．
∵AB=4，
在正方形ABCD中，AB=BC=4，
故，
在正方形ABCD中，，，
，
，
，
．
②过F作于点I，作于点J，
，
，
，
，
解得
【知识点】正方形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）根据正方形的四条边都相等，四个角都是直角得出，AB=CD，∠ABE=∠CDF=45°，根据两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等得出△ABE≌△CDF，根据全等三角形的对应角相等得出∠AEB=∠CFD，推得∠AED=∠CFB，根据内错角相等，两直线平行即可证明；
（2）①连接CE，AC交BD于点H，根据直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方得出AC的值，根据正方形的对角线互相垂直且平分，求出CH的值，根据三角形面积公式及S△CFG=S△CFE即可求解；
②过F作FI⊥CD于点I，作FJ⊥BC于点J，根据等腰直角三角形的定义和直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方可得，根据三角形的面积，建立方程，解方程求出x的值即可.
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