四川省内江市第一中学2024-2025学年九年级上学期开学考试数学试题
1．（2024九上·内江开学考）在中，分式有（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
2．（2024九上·内江开学考）人体中红细胞的直径约为，用科学记数法表示是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024九上·内江开学考）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024九上·内江开学考）函数y=中，自变量x的取值范围为（ ）
A． B． C．且 D．
5．（2024九上·内江开学考）选项中的曲线不能表示y是x的函数的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2024九上·内江开学考）某班七个合作学习小组人数如下：5，5，6，，6，7，8，已知这组数据的平均数为6，则这组数据的中位数和众数是（ ）
A．6，5 B．6，6 C．和6 D．和6
7．（2024九上·内江开学考）如图，在矩形中，，，将矩形沿折叠，点D落在点处，则重叠部分的面积为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
8．（2024九上·内江开学考）函数和在同一坐标系中的图像大致是（ ）
A． B．
C． D．
9．（2024九上·内江开学考）若关于x的方程的解为正数，则m的取值范围是（ ）
A． B．
C．且 D．且
10．（2024九上·内江开学考）已知四边形中，对角线与相交于点O，，下列判断错误的是（ ）
A．如果，，那么四边形是矩形
B．如果，，那么四边形是矩形
C．如果，，那么四边形是菱形
D．如果，，那么四边形是菱形
11．（2024九上·内江开学考）一次函数与的图象如图所示，则下列结论：
①，②；③随的增大而增大；④当时，；⑤；其中正确的个数是（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
12．（2024九上·内江开学考）如图①，中，，，两动点M，N同时从点A出发，点M在边上以的速度匀速运动，到达点B时停止运动，点N沿A→D→C→B的路径匀速运动，到达点B时停止运动．的面积与点N的运动时间t（s）的关系图象如图②所示．有下列说法：
①点N的运动速度是；
②的长度为；③a的值为7；
④当时，t的值为．
其中正确的个数（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
13．（2024九上·内江开学考）平面直角坐标系中，若点在y轴上，则点A的坐标为 ．
14．（2024九上·内江开学考）若点都在反比例函数的图象上，若则的大小关系是 ．（请用“”号连接）
15．（2024九上·内江开学考）如图，在中，，在边上分别取点D、E、F使四边形为矩形，则对角线的长能取到的所有整数值是 ．
16．（2024九上·内江开学考）如图，点是矩形的对称中心，点，分别在边，上，且经过点，，，，点是边上一动点．则周长的最小值为 ．
17．（2024九上·内江开学考）计算：
（1）．
（2）化简：．
18．（2024九上·内江开学考）如图所示，在 中，对角线与相交于点，过点任作一条直线分别交，于点，．
（1）求证：；
（2）连接，直接写出当与满足什么关系时，四边形是菱形？
19．（2024九上·内江开学考）某中学举行“中国梦．校园好声音”歌手大赛，八（1）、八（2）班根据初赛成绩，两个班各选出的5名选手的决赛成绩如图表．
平均数/分 中位数/分 众数/分
八（1） a 85 c
八（2） 85 b 100
（1）写出上表中a、b、c的值；
（2）结合两个班成绩的平均数和中位数，分析哪个班的决赛成绩较好？
（3）计算两个班决赛成绩的方差，并判断哪个班代表队选手的成绩较为稳定．
20．（2024九上·内江开学考）某校八年级准备购买一批笔记本奖励优秀学生，在购买时发现，每本笔记本可以打九折，用360元钱购买的笔记本，打折后购买的数量比打折前多10本．
（1）求打折前每本笔记本的售价是多少元？
（2）由于考虑学生的需求不同，学校决定购买笔记本和笔袋共90件，笔袋每个原售价为6元，两种物品都打九折，若购买总金额不低于360元，且不超过365元，问有哪几种购买方案？
（3）哪种购买方案花费最少？并算出最少花费．
21．（2024九上·内江开学考）如图，已知一次函数与反比函数的图象在第一、三象限分别交于、两点，连接．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）求ΔAOB的面积；
（3）直接写出≥时，x的取值范围．
22．（2024九上·内江开学考）在菱形中，是直线上一动点，以为边向右侧作等边按逆时针排列)，点的位置随点的位置变化而变化．
（1）如图1，当点在线段上，且点在菱形内部或边上时，连结，小明通过连接后证明得到与的数量关系是______________；
（2）如图2，当点在线段上，且点在菱形外部时，(1)中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由；
（3）当点在的延长线上时，其他条件不变，连接，若，，求的长．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】分式的概念
【解析】【解答】解：分式：，共4个；
整式：
故答案为：C.
【分析】根据分式的定义可得形如(A，B是整式，B中含有字母）的式子，即可求得.
2．【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：0.0000077=7.7×10-6，
故答案为：D.
【分析】将大于0小于1的数用科学记数法表示为a×10-n的形式，其中0＜a≤ 1，n为小数点移动的位数，即可求得.
3．【答案】A
【知识点】分式的乘除法；异分母分式的加、减法
【解析】【解答】解：A ，故A项符合题意；
B ，故B项不符合题意；
C ，故C项不符合题意；
D ，故D项不符合题意.
故答案为：A.
【分析】根据分式的乘除法即可判断A和D项，根据异分母分式的加减法运算即可判断B和C项.
4．【答案】D
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有意义的条件；函数自变量的取值范围
【解析】【解答】解：根据题意得，x-1≥0，且x-1≠0，
∴ x＞1.
故答案为：D
【分析】根据二次根式和分式有意义的条件即可求得.
5．【答案】B
【知识点】函数的概念
【解析】【解答】解：A 对于x的每一个值，y都有唯一确定的值与其对应，即y是x的函数，故A项不符合题意；
B 对于x的每一个值，y不都有唯一确定的值与其对应，即y不是x的函数，故B项符合题意；
C 对于x的每一个值，y都有唯一确定的值与其对应，即y是x的函数，故C项不符合题意；
D 对于x的每一个值，y都有唯一确定的值与其对应，即y是x的函数，故D项不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据函数的定义，结合图象逐一判断即可.
6．【答案】A
【知识点】平均数及其计算；中位数；众数
【解析】【解答】解：根据题意得，，
解得，x=5，
∴ 某班七个合作学习小组人数如下：5，5，6，5，6，7，8，
∴ 中位数是6，众数是5.
故答案为：A.
【分析】根据平均数求出x的值，再求中位数和众数即可.
7．【答案】C
【知识点】勾股定理；矩形的性质；矩形翻折模型
【解析】【解答】解：根据折叠和矩形的性质可知，，，
又∵，
∴（），
∴，
设，则，
在中，由勾股定理，得：
，
解得：，
∴；
故答案为：C．
【分析】先利用“AAS”证出，再利用全等三角形的性质可得AF=CF，再设，则，利用勾股定理可得，求出x的值，最后利用三角形的面积公式及割补法求出△AFC的面积即可.
8．【答案】B
【知识点】一次函数的图象；正比例函数的图象
【解析】【解答】解：当a＞0时，y=x+a的图象经过第一，二，三象限，y=ax的图象经过点（0，0）和第一、三象限；当a＜0时，y=x+a的图象经过第第一，三，四象限，y=ax的图象经过点（0，0）和第二，四象限；
故答案为：B.
【分析】分情况a＞0和a＜0，分析出各一次函数和正比例函数的图象，即可求得.
9．【答案】D
【知识点】已知分式方程的解求参数
【解析】【解答】解： ，
方程两边同乘2(x-1)得，
2x-4(x-1)=3m，
解得，，
∵ 解为正数，
∴＞0，
解得，
又∵ x≠1，
∴，
∴且 .
故答案为：D.
【分析】先解分式方程出分式方程的解，根据解为正数和分式有意义的条件，即可求得.
10．【答案】A
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的判定；矩形的判定
【解析】【解答】解：∵，，，
∴四边形是等腰梯形，不是平行四边形也就不是矩形，故A错误；
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∴平行四边形是矩形，故B正确；
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴平行四边形是菱形，故C正确；
∵，AD=BC，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴平行四边形是菱形，故D正确.
故答案为：A．
【分析】（1）根据等腰梯形判定求解；
（2）根据平行四边形的判定、矩形的判定求解；
（3）根据平行四边形的判定、菱形的判定求解；
（4）根据平行四边形的判定、菱形的判定求解．
11．【答案】D
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系；两一次函数图象相交或平行问题；一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵一次函数的图象经过第二、四象限，
∴，故①正确；
∵一次函数与y轴交于正半轴，
∴，
∵一次函数的图象与轴的交点位于轴的负半轴上，
∴，
∴，故②正确；
∵一次函数中，，
∴随的增大而减小，故③错误；
当时，一次函数的图象在一次函数的图象上方，
∴当时，，故④正确；
∵一次函数与的图象的交点的横坐标为，
∴当时，，
∴，故⑤正确；
综上所述，其中正确的有个.
故答案为：．
【分析】①根据函数图象，确定k的符号；
②根据函数图象，确定b的符号，再根据一次函数的图象与轴的交点，确定a的符号，再确定ab的符号；
③由①中得出的k的符号来说明增减性；
④根据两直线的交点的横坐标及两直线的位置，来确定时函数值的大小；
⑤根据两直线的交点的横坐标，可知两个函数值相等．
12．【答案】C
【知识点】动点问题的函数图象
【解析】【解答】解：，点的速度为，
当点从点到点时，
，
当时，过点作于点，
，
，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，，
∴∠A+∠D=180°.
∵，
∴∠A+150°=180°.解得.
，
点的运动速度是，
故①正确；
点从到，用时，
由图2可知，点从到用时，
，故②正确；
，故③正确；
当点未到点时，过点作于点，
，
解得，负值舍去；
当点在上时，过点作交延长线于点，
此时，
，
，
解得，
当时，的值为或9．故④错误；
故选：C．
【分析】 ① 先根据t=2时，面积为2，求出NE，再利用平行四边形的性质求得∠A=30°，再利用含有30度角的直角三角形的性质求出AN，然后求出点N的运动速度即可；
② 根据平行四边形的性质，可得AD=BC，求出BC即可；
③只需求出AB或CD的长，再根据运动速度求出a；
④分“点未到点”、“点在上”两种情况讨论求解.
13．【答案】
【知识点】点的坐标
【解析】【解答】解：∵点在y轴上，
∴，解得：，
∴，
∴点A的坐标为．
故答案为：．
【分析】先利用y轴上点的坐标特点，求出a，再求出点A的横、纵坐标．
14．【答案】
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：，
反比例函数的图象在第一、三象限，
反比例函数的图象在每个象限内，随着的增大而减小，
，
，且，
，
故答案为：．
【分析】先确定反比例函数的比例系数的符号，再确定反比例函数的增减性，然后利用增减性确定三个函数值的大小．
15．【答案】
【知识点】垂线段最短及其应用；勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：连接．
在中，∵
，
∵四边形为矩形，
，
当时，有最小值，
此时，
∴，解得，
，
，
∴的长能取到的所有整数值为5或6或7．
故答案为：．
【分析】连接．先利用勾股定理求出AB，再说明当时，有最小值，并利用三角形的面积的不同算法，得到关于CD的方程求解，再根据CD的范围，得出EF的范围，再求出整数解．
16．【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的性质；轴对称的性质
17．【答案】（1）解：原式=3-+1=3-4+1=0；
（2）解：原式=，
=，
=.
【知识点】分式的混合运算；零指数幂；负整数指数幂
【解析】【分析】（1）先计算负整数指数幂和零指数幂，再化简即可求得；
（2）先通分计算括号内的减法，再将除法转化为乘法，化简即可求得.
18．【答案】（1）证明：四边形是平行四边形，
，，
，
在和中，
，
≌，
；
（2）当时，四边形是菱形．
证明：≌，
，，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形．
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的性质
【解析】【分析】（1）利用平行四边形的性质求出，利用ASA证明三角形全等即可求出OE=OF；
（2）根据第一问的三角形全等推出，，从而利用平行四边形的判定证明四边形是平行四边形，利用菱形的性质即可知道 与互相垂直.
19．【答案】（1）解：a=（75+80+85+85+100）÷5=85；b=80；c=85；
（2）解：两个班的平均成绩相同，而八（1）班的成绩的中位数高于八（2）班的成绩的中位数，
∴ 八 （1）班决赛成绩较好；
（3）解：八（1）班方差=；
八（2）班方差=；
∵ 八（1）班方差较小，
∴ 八（1）班的选手成绩较为稳定.
【知识点】方差；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【分析】（1）根据平均数，中位数和众数的定义，分别计算即可；
（2）比较平均数和中位数，数值越大，成绩越好，即可求得；
（3）根据方差的定义分别计算，方差越小，成绩越稳定.
20．【答案】（1）解：设打折前每本笔记本的售价为x元，
0.9x（）=360，
解得，x=4，
答：打折前每本笔记本的售价为4元.
（2）解：设购买笔记本m件，笔袋（90-m）件，
360≤3.6m+5.4(90-m)≤365，
解得，，
∵ m为正整数，
∴ m=68，69，70，
即共有3种购买方案，
方案一：购买笔记本68本，笔袋22本；
方案二：购买笔记本69本，笔袋21本；
方案三：购买笔记本70本，笔袋20本；
（3）解：设花费为w，则w=486-1.8m，
∵ -1.8＜0，
∴ m越大，w越小，
∴ 购买笔记本70本，笔袋20本时，花费最小，
花费为486-1.8×70=360（元）.
【知识点】一次函数的实际应用-方案问题；一元一次不等式组的实际应用-方案问题
【解析】【分析】（1）设打折前每本笔记本的售价为x元，列一元一次方程，即可求得；
（2）设购买笔记本m件，笔袋（90-m）件，列出不等式，求出m的取值范围，即可求得；
（3）设花费为w，得到一次函数w=486-1.8m，根据一次函数的性质可知m=70时，花费最少.
21．【答案】（1）解：将点A代入 得，m=6，
∴，
∴ B（-2，-3），
将点A和B代入 得，
，解得，
∴；
（2）解：将y=0代入得，x=4，即OC=4，
△AOB的面积=△AOC的面积+△BOC的面积==2.5；
（3）解：-2≤x＜0，x≥6.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积；反比例函数的两点和原点型
【解析】【解答】解：（3）由图象可知，
≥表示即为一次函数不在反比例函数下方时，在图中的红色部分，
而≥的解即为红色部分对应的自变量的取值范围，即为-2≤x＜0，x≥6.
【分析】（1）根据待定系数法求得反比例函数的解析式，求出B点坐标后，再根据待定系数法求出一次函数的解析式即可；
（2）先求出OC的长，根据三角形的面积公式分别计算△AOC的面积和△BOC的面积，即可求得；
（3）观察图象，数形结合， ≥表示一次函数图象不在反比例函数下方时对应的自变量的取值范围，即可求得.
22．【答案】（1）
（2）解：仍然成立，理由如下：如图，连接，延长交于点，
∵四边形是菱形，
∴，，，
∵，
∴是等边三角形，
∴，，，，
∵是等边三角形 ，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）当点在的延长线上时，连接交于点，连接，，
∵四边形是菱形，
∴，平分，，
∵，，
∴，
∴，
由（2）可知：，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴在中，，
∴．
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；菱形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：（1），理由如下：
如图，连接，延长交于点，
∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，，
∵是等边三角形，
∴，，
∴.
∴
在与中，
∴，
∴；
故答案为；
【分析】（1）先证明△ABC是等边三角形，再根据等边三角形的性质，得出AB=AC，AP=AE，再利用角的和差说明
就可利用SAS证明，再利用全等三角形的性质得出；
（2）根据菱形的性质及等边三角形的性质可知，再根据全等三角形的判定与性质即可解答；
（3）根据菱形的性质及直角三角形可知，再根据全等三角形的判定与性质可知，最后利用直角三角形的性质 及勾股定理即可解答．
（1）解：，理由如下：
如图，连接，延长交于点，
∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，，
∵是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴；
故答案为；
（2）解：仍然成立，理由如下：
如图，连接，延长交于点，
∵四边形是菱形，
∴，，，
∵，
∴是等边三角形，
∴，，，，
∵是等边三角形 ，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解： 当点在的延长线上时，连接交于点，连接，，
∵四边形是菱形，
∴，平分，，
∵，，
∴，
∴，
由（2）可知：，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴在中，，
∴．
1 / 1四川省内江市第一中学2024-2025学年九年级上学期开学考试数学试题
1．（2024九上·内江开学考）在中，分式有（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【知识点】分式的概念
【解析】【解答】解：分式：，共4个；
整式：
故答案为：C.
【分析】根据分式的定义可得形如(A，B是整式，B中含有字母）的式子，即可求得.
2．（2024九上·内江开学考）人体中红细胞的直径约为，用科学记数法表示是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：0.0000077=7.7×10-6，
故答案为：D.
【分析】将大于0小于1的数用科学记数法表示为a×10-n的形式，其中0＜a≤ 1，n为小数点移动的位数，即可求得.
3．（2024九上·内江开学考）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】分式的乘除法；异分母分式的加、减法
【解析】【解答】解：A ，故A项符合题意；
B ，故B项不符合题意；
C ，故C项不符合题意；
D ，故D项不符合题意.
故答案为：A.
【分析】根据分式的乘除法即可判断A和D项，根据异分母分式的加减法运算即可判断B和C项.
4．（2024九上·内江开学考）函数y=中，自变量x的取值范围为（ ）
A． B． C．且 D．
【答案】D
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有意义的条件；函数自变量的取值范围
【解析】【解答】解：根据题意得，x-1≥0，且x-1≠0，
∴ x＞1.
故答案为：D
【分析】根据二次根式和分式有意义的条件即可求得.
5．（2024九上·内江开学考）选项中的曲线不能表示y是x的函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】函数的概念
【解析】【解答】解：A 对于x的每一个值，y都有唯一确定的值与其对应，即y是x的函数，故A项不符合题意；
B 对于x的每一个值，y不都有唯一确定的值与其对应，即y不是x的函数，故B项符合题意；
C 对于x的每一个值，y都有唯一确定的值与其对应，即y是x的函数，故C项不符合题意；
D 对于x的每一个值，y都有唯一确定的值与其对应，即y是x的函数，故D项不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据函数的定义，结合图象逐一判断即可.
6．（2024九上·内江开学考）某班七个合作学习小组人数如下：5，5，6，，6，7，8，已知这组数据的平均数为6，则这组数据的中位数和众数是（ ）
A．6，5 B．6，6 C．和6 D．和6
【答案】A
【知识点】平均数及其计算；中位数；众数
【解析】【解答】解：根据题意得，，
解得，x=5，
∴ 某班七个合作学习小组人数如下：5，5，6，5，6，7，8，
∴ 中位数是6，众数是5.
故答案为：A.
【分析】根据平均数求出x的值，再求中位数和众数即可.
7．（2024九上·内江开学考）如图，在矩形中，，，将矩形沿折叠，点D落在点处，则重叠部分的面积为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】C
【知识点】勾股定理；矩形的性质；矩形翻折模型
【解析】【解答】解：根据折叠和矩形的性质可知，，，
又∵，
∴（），
∴，
设，则，
在中，由勾股定理，得：
，
解得：，
∴；
故答案为：C．
【分析】先利用“AAS”证出，再利用全等三角形的性质可得AF=CF，再设，则，利用勾股定理可得，求出x的值，最后利用三角形的面积公式及割补法求出△AFC的面积即可.
8．（2024九上·内江开学考）函数和在同一坐标系中的图像大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】一次函数的图象；正比例函数的图象
【解析】【解答】解：当a＞0时，y=x+a的图象经过第一，二，三象限，y=ax的图象经过点（0，0）和第一、三象限；当a＜0时，y=x+a的图象经过第第一，三，四象限，y=ax的图象经过点（0，0）和第二，四象限；
故答案为：B.
【分析】分情况a＞0和a＜0，分析出各一次函数和正比例函数的图象，即可求得.
9．（2024九上·内江开学考）若关于x的方程的解为正数，则m的取值范围是（ ）
A． B．
C．且 D．且
【答案】D
【知识点】已知分式方程的解求参数
【解析】【解答】解： ，
方程两边同乘2(x-1)得，
2x-4(x-1)=3m，
解得，，
∵ 解为正数，
∴＞0，
解得，
又∵ x≠1，
∴，
∴且 .
故答案为：D.
【分析】先解分式方程出分式方程的解，根据解为正数和分式有意义的条件，即可求得.
10．（2024九上·内江开学考）已知四边形中，对角线与相交于点O，，下列判断错误的是（ ）
A．如果，，那么四边形是矩形
B．如果，，那么四边形是矩形
C．如果，，那么四边形是菱形
D．如果，，那么四边形是菱形
【答案】A
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的判定；矩形的判定
【解析】【解答】解：∵，，，
∴四边形是等腰梯形，不是平行四边形也就不是矩形，故A错误；
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∴平行四边形是矩形，故B正确；
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴平行四边形是菱形，故C正确；
∵，AD=BC，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴平行四边形是菱形，故D正确.
故答案为：A．
【分析】（1）根据等腰梯形判定求解；
（2）根据平行四边形的判定、矩形的判定求解；
（3）根据平行四边形的判定、菱形的判定求解；
（4）根据平行四边形的判定、菱形的判定求解．
11．（2024九上·内江开学考）一次函数与的图象如图所示，则下列结论：
①，②；③随的增大而增大；④当时，；⑤；其中正确的个数是（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】D
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系；两一次函数图象相交或平行问题；一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵一次函数的图象经过第二、四象限，
∴，故①正确；
∵一次函数与y轴交于正半轴，
∴，
∵一次函数的图象与轴的交点位于轴的负半轴上，
∴，
∴，故②正确；
∵一次函数中，，
∴随的增大而减小，故③错误；
当时，一次函数的图象在一次函数的图象上方，
∴当时，，故④正确；
∵一次函数与的图象的交点的横坐标为，
∴当时，，
∴，故⑤正确；
综上所述，其中正确的有个.
故答案为：．
【分析】①根据函数图象，确定k的符号；
②根据函数图象，确定b的符号，再根据一次函数的图象与轴的交点，确定a的符号，再确定ab的符号；
③由①中得出的k的符号来说明增减性；
④根据两直线的交点的横坐标及两直线的位置，来确定时函数值的大小；
⑤根据两直线的交点的横坐标，可知两个函数值相等．
12．（2024九上·内江开学考）如图①，中，，，两动点M，N同时从点A出发，点M在边上以的速度匀速运动，到达点B时停止运动，点N沿A→D→C→B的路径匀速运动，到达点B时停止运动．的面积与点N的运动时间t（s）的关系图象如图②所示．有下列说法：
①点N的运动速度是；
②的长度为；③a的值为7；
④当时，t的值为．
其中正确的个数（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】动点问题的函数图象
【解析】【解答】解：，点的速度为，
当点从点到点时，
，
当时，过点作于点，
，
，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，，
∴∠A+∠D=180°.
∵，
∴∠A+150°=180°.解得.
，
点的运动速度是，
故①正确；
点从到，用时，
由图2可知，点从到用时，
，故②正确；
，故③正确；
当点未到点时，过点作于点，
，
解得，负值舍去；
当点在上时，过点作交延长线于点，
此时，
，
，
解得，
当时，的值为或9．故④错误；
故选：C．
【分析】 ① 先根据t=2时，面积为2，求出NE，再利用平行四边形的性质求得∠A=30°，再利用含有30度角的直角三角形的性质求出AN，然后求出点N的运动速度即可；
② 根据平行四边形的性质，可得AD=BC，求出BC即可；
③只需求出AB或CD的长，再根据运动速度求出a；
④分“点未到点”、“点在上”两种情况讨论求解.
13．（2024九上·内江开学考）平面直角坐标系中，若点在y轴上，则点A的坐标为 ．
【答案】
【知识点】点的坐标
【解析】【解答】解：∵点在y轴上，
∴，解得：，
∴，
∴点A的坐标为．
故答案为：．
【分析】先利用y轴上点的坐标特点，求出a，再求出点A的横、纵坐标．
14．（2024九上·内江开学考）若点都在反比例函数的图象上，若则的大小关系是 ．（请用“”号连接）
【答案】
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：，
反比例函数的图象在第一、三象限，
反比例函数的图象在每个象限内，随着的增大而减小，
，
，且，
，
故答案为：．
【分析】先确定反比例函数的比例系数的符号，再确定反比例函数的增减性，然后利用增减性确定三个函数值的大小．
15．（2024九上·内江开学考）如图，在中，，在边上分别取点D、E、F使四边形为矩形，则对角线的长能取到的所有整数值是 ．
【答案】
【知识点】垂线段最短及其应用；勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：连接．
在中，∵
，
∵四边形为矩形，
，
当时，有最小值，
此时，
∴，解得，
，
，
∴的长能取到的所有整数值为5或6或7．
故答案为：．
【分析】连接．先利用勾股定理求出AB，再说明当时，有最小值，并利用三角形的面积的不同算法，得到关于CD的方程求解，再根据CD的范围，得出EF的范围，再求出整数解．
16．（2024九上·内江开学考）如图，点是矩形的对称中心，点，分别在边，上，且经过点，，，，点是边上一动点．则周长的最小值为 ．
【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的性质；轴对称的性质
17．（2024九上·内江开学考）计算：
（1）．
（2）化简：．
【答案】（1）解：原式=3-+1=3-4+1=0；
（2）解：原式=，
=，
=.
【知识点】分式的混合运算；零指数幂；负整数指数幂
【解析】【分析】（1）先计算负整数指数幂和零指数幂，再化简即可求得；
（2）先通分计算括号内的减法，再将除法转化为乘法，化简即可求得.
18．（2024九上·内江开学考）如图所示，在 中，对角线与相交于点，过点任作一条直线分别交，于点，．
（1）求证：；
（2）连接，直接写出当与满足什么关系时，四边形是菱形？
【答案】（1）证明：四边形是平行四边形，
，，
，
在和中，
，
≌，
；
（2）当时，四边形是菱形．
证明：≌，
，，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形．
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的性质
【解析】【分析】（1）利用平行四边形的性质求出，利用ASA证明三角形全等即可求出OE=OF；
（2）根据第一问的三角形全等推出，，从而利用平行四边形的判定证明四边形是平行四边形，利用菱形的性质即可知道 与互相垂直.
19．（2024九上·内江开学考）某中学举行“中国梦．校园好声音”歌手大赛，八（1）、八（2）班根据初赛成绩，两个班各选出的5名选手的决赛成绩如图表．
平均数/分 中位数/分 众数/分
八（1） a 85 c
八（2） 85 b 100
（1）写出上表中a、b、c的值；
（2）结合两个班成绩的平均数和中位数，分析哪个班的决赛成绩较好？
（3）计算两个班决赛成绩的方差，并判断哪个班代表队选手的成绩较为稳定．
【答案】（1）解：a=（75+80+85+85+100）÷5=85；b=80；c=85；
（2）解：两个班的平均成绩相同，而八（1）班的成绩的中位数高于八（2）班的成绩的中位数，
∴ 八 （1）班决赛成绩较好；
（3）解：八（1）班方差=；
八（2）班方差=；
∵ 八（1）班方差较小，
∴ 八（1）班的选手成绩较为稳定.
【知识点】方差；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【分析】（1）根据平均数，中位数和众数的定义，分别计算即可；
（2）比较平均数和中位数，数值越大，成绩越好，即可求得；
（3）根据方差的定义分别计算，方差越小，成绩越稳定.
20．（2024九上·内江开学考）某校八年级准备购买一批笔记本奖励优秀学生，在购买时发现，每本笔记本可以打九折，用360元钱购买的笔记本，打折后购买的数量比打折前多10本．
（1）求打折前每本笔记本的售价是多少元？
（2）由于考虑学生的需求不同，学校决定购买笔记本和笔袋共90件，笔袋每个原售价为6元，两种物品都打九折，若购买总金额不低于360元，且不超过365元，问有哪几种购买方案？
（3）哪种购买方案花费最少？并算出最少花费．
【答案】（1）解：设打折前每本笔记本的售价为x元，
0.9x（）=360，
解得，x=4，
答：打折前每本笔记本的售价为4元.
（2）解：设购买笔记本m件，笔袋（90-m）件，
360≤3.6m+5.4(90-m)≤365，
解得，，
∵ m为正整数，
∴ m=68，69，70，
即共有3种购买方案，
方案一：购买笔记本68本，笔袋22本；
方案二：购买笔记本69本，笔袋21本；
方案三：购买笔记本70本，笔袋20本；
（3）解：设花费为w，则w=486-1.8m，
∵ -1.8＜0，
∴ m越大，w越小，
∴ 购买笔记本70本，笔袋20本时，花费最小，
花费为486-1.8×70=360（元）.
【知识点】一次函数的实际应用-方案问题；一元一次不等式组的实际应用-方案问题
【解析】【分析】（1）设打折前每本笔记本的售价为x元，列一元一次方程，即可求得；
（2）设购买笔记本m件，笔袋（90-m）件，列出不等式，求出m的取值范围，即可求得；
（3）设花费为w，得到一次函数w=486-1.8m，根据一次函数的性质可知m=70时，花费最少.
21．（2024九上·内江开学考）如图，已知一次函数与反比函数的图象在第一、三象限分别交于、两点，连接．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）求ΔAOB的面积；
（3）直接写出≥时，x的取值范围．
【答案】（1）解：将点A代入 得，m=6，
∴，
∴ B（-2，-3），
将点A和B代入 得，
，解得，
∴；
（2）解：将y=0代入得，x=4，即OC=4，
△AOB的面积=△AOC的面积+△BOC的面积==2.5；
（3）解：-2≤x＜0，x≥6.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积；反比例函数的两点和原点型
【解析】【解答】解：（3）由图象可知，
≥表示即为一次函数不在反比例函数下方时，在图中的红色部分，
而≥的解即为红色部分对应的自变量的取值范围，即为-2≤x＜0，x≥6.
【分析】（1）根据待定系数法求得反比例函数的解析式，求出B点坐标后，再根据待定系数法求出一次函数的解析式即可；
（2）先求出OC的长，根据三角形的面积公式分别计算△AOC的面积和△BOC的面积，即可求得；
（3）观察图象，数形结合， ≥表示一次函数图象不在反比例函数下方时对应的自变量的取值范围，即可求得.
22．（2024九上·内江开学考）在菱形中，是直线上一动点，以为边向右侧作等边按逆时针排列)，点的位置随点的位置变化而变化．
（1）如图1，当点在线段上，且点在菱形内部或边上时，连结，小明通过连接后证明得到与的数量关系是______________；
（2）如图2，当点在线段上，且点在菱形外部时，(1)中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由；
（3）当点在的延长线上时，其他条件不变，连接，若，，求的长．
【答案】（1）
（2）解：仍然成立，理由如下：如图，连接，延长交于点，
∵四边形是菱形，
∴，，，
∵，
∴是等边三角形，
∴，，，，
∵是等边三角形 ，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）当点在的延长线上时，连接交于点，连接，，
∵四边形是菱形，
∴，平分，，
∵，，
∴，
∴，
由（2）可知：，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴在中，，
∴．
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；菱形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：（1），理由如下：
如图，连接，延长交于点，
∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，，
∵是等边三角形，
∴，，
∴.
∴
在与中，
∴，
∴；
故答案为；
【分析】（1）先证明△ABC是等边三角形，再根据等边三角形的性质，得出AB=AC，AP=AE，再利用角的和差说明
就可利用SAS证明，再利用全等三角形的性质得出；
（2）根据菱形的性质及等边三角形的性质可知，再根据全等三角形的判定与性质即可解答；
（3）根据菱形的性质及直角三角形可知，再根据全等三角形的判定与性质可知，最后利用直角三角形的性质 及勾股定理即可解答．
（1）解：，理由如下：
如图，连接，延长交于点，
∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，，
∵是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴；
故答案为；
（2）解：仍然成立，理由如下：
如图，连接，延长交于点，
∵四边形是菱形，
∴，，，
∵，
∴是等边三角形，
∴，，，，
∵是等边三角形 ，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解： 当点在的延长线上时，连接交于点，连接，，
∵四边形是菱形，
∴，平分，，
∵，，
∴，
∴，
由（2）可知：，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴在中，，
∴．
1 / 1
