2024-2025学年北京市朝阳区陈经纶中学高二上学期期中考试数学试题（含答案）

北京市陈经纶中学2024-2025学年高二上学期期中考试
数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．过两点的直线的倾斜角是，则（ ）
A． B．0 C．2 D．4
2．椭圆的焦点为F1，F2，p为椭圆上一点，若，则
A．3 B．5 C．7 D．9
3．以，为直径两端点的圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
4．直线与圆相切，则的值是（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
5．已知直线，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
6．如图，已知斜三棱柱中，，，点是与的交点，则的值为（ ）
A．1 B． C． D．
7．在平面直角坐标系中，圆的方程为，若直线上存在点，使以点为圆心，1为半径的圆与圆有公共点，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
8．劳动教育是国民教育体系的重要内容，是学生成长的必要途径，具有树德、增智、强体、育美的综合育人价值．南昌二中作为全国双新示范校，“劳动教育课程”紧跟时代步伐，特在校园的一角专门开辟了一块劳动基地——心远农场（如图1）．现某社团为农场节水计划设计了如下喷灌技术，喷头装在管柱OA的顶端A处，喷出的水流在各个方向上呈抛物线状，如图2所示．现要求水流最高点B离地面4m，点B到管柱OA所在直线的距离为3m，且水流落在地面上以O为圆心，以7m为半径的圆上，则管柱OA的高度为（ ）
A． B． C． D．
9．在同一坐标系中，直线与圆的图形情况可能是（ ）
A． B．
C． D．
10．曲线，其中均为正数，则下列命题正确的个数是（ ）
①当时，曲线是轴对称图形
②当时，曲线关于中心对称
③当时，曲线所围成的面积小于
④当时，曲线上的点与距离的最小值等于1
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
11．抛物线的准线方程是 .
12．已知空间向量，，共面，则实数
13．已知直线与曲线的图象有公共点，则实数的一个取值为 ；实数的最大值为 ．
14．若双曲线的离心率为3，则该双曲线焦点到渐近线的距离为 ．
15．圆锥曲线的光学性质在实际生活中有着广泛的应用．我国首先研制成功的“双曲线电瓶新闻灯”就是利用了双曲线的光学性质，即从双曲线的一个焦点射出的光线，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线都经过双曲线的另一个焦点．如图，已知双曲线的左、右焦点分别为，当入射光线和反射光线互相垂直时（其中为入射点），，则该双曲线的标准方程为 ．
16．如图，在多面体中，平面，四边形是正方形，且，分别是线段的中点，是线段上的一个动点（不含端点），给出下列结论：
①存在点，使得；
②不存在点，使得异面直线与所成的角为；
③点到平面的距离有最小值无最大值；
④当点自向处运动时，直线与平面所成的角逐渐增大．
其中正确结论的序号是 ．

三、解答题
17．如图，在几何体中，底面是边长为的正方形，平面，，且．

(1)求证：平面平面；
(2)求二面角的余弦值．
18．已知曲线的方程为，直线．
(1)写出的短轴长和离心率；
(2)当时，求被截得的弦长；
(3)已知与交于两点，为坐标原点，当时，求的值．
19．已知在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，是正三角形，分别是的中点．再从条件①、条件②这两个条件中选择一个合适的条件作为已知，解决下列问题：

(1)求证：平面；
(2)求到平面的距离；
(3)线段上是否存在点，使得直线与平面所成角为？若存在，求线段的长度；若不存在，说明理由．
条件①：；条件②：平面．
20．已知为椭圆上一点，点与椭圆的两个焦点构成的三角形面积为．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)不经过点的直线与椭圆相交于两点，若直线与的斜率之和为，证明：直线必过定点，并求出这个定点坐标．
21．已知n是正整数，集合.若集合且P中元素个数为k，则称P是的k元子集.若P是的一个k元子集，且对任意：，都存在P中若干个不同元素，，，，满足，则称P是的k元基子集.
(1)判断是否是的4元基子集，说明理由；
(2)设P是的7元子集，判断P是否一定是的7元基子集，说明理由；
(3)若的任意k元子集均是k元基子集，求k的最小值.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B C A D C B C B D C
11．
12．3
13． （答案不唯一） /
14．/
15．
16．②④
17．（1）由已知四边形为正方形可知，
又，
且，平面，，平面，，
平面平面；
（2）

由已知四边形是边长为的正方形，
则，
又平面，
以点为坐标原点，，，方向分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，
则，，，，
即，，
设平面的法向量，
则，
令，得，
又平面的一个法向量，
，
二面角为锐二面角，
二面角的余弦值为.
18．（1）由，可得，所以，
所以椭圆的短轴长为，离心率为；
（2）当时，直线
联立方程： ，整理可得：，
根据韦达定理：，
根据弦长公式椭圆被直线截得的弦长为：
；
（3）设，，
联立方程：，整理可得：，
因为存在两个交点，故，解得，
根据韦达定理：，
所以，
因为，所以，所以，
所以，解得.
19．（1）由题意知是正三角形，是的中点，则；
底面是边长为4的正方形，则，
连接,
若选条件①：，则，即不垂直，
而如果平面，平面，则必有；
故选条件①不能推出平面，该条件不恰当；
故选条件②：平面，结合平面，得，
而平面，
故平面；
（2）连接，则，以O为坐标原点，以所在直线为轴，
建立空间直角坐标系，

则，
则，
设平面的法向量为，则，
令，则，
故到平面的距离为；
（3）假设线段上存在点，使得直线与平面所成角为，
，
设，则，
平面的法向量为
故，
即，则，该方程无解，
故线段上不存在点，使得直线与平面所成角为.
20．（1）因为点与椭圆的两个焦点构成的三角形面积为，所以且，
所以，，所以，
所以椭圆的标准方程：；
（2）设，
当直线的斜率不存在时，则，
由，
解得，此时，故重合，不符合题意，
所以直线的斜率一定存在，设不经过点的直线方程为：，
由得，
且，即，
所以，
因为，
所以，
所以，
所以，即，
化简可得：，
因为，所以，
所以，
所以直线必过定点．
21．（1）由于，
因为且，
所以是的4元基子集
（2）P不一定是的7元基子集，理由如下：
，
取，则，故4不能写成中若干个元素之和，
所以不是的7元基子集
（3）当时，考虑的元子集，
当时，中的元素均不是正数，
此时中的正整数均不能写成中若干个元素之和，
当时，中所有的正元素之和为，
故不能写成中若干个元素之和,
所以，
设，则,
任取的15元子集，因为，所以或存在使得,
所以0可以表示为中若干个元素之和,
由对称性，只需要证明整数，均可表示为中若干个元素之和,
设，
因为中至多包含11个非正数，所以，
下面证明这11个数中至少有个数可表示为中若干个不同元素之和,
①若中存在不小于的数，设其中最小的一个为，
则，所以中至少有个数可表示为中若干个不同元素之和,
②若，设在所有可表示中若干个元素之和的数中，小于的最大数为，
则，所以，解得，
设是在中的补集，
则对于任意的，均有，
即中至少有个数可表示为中若干个不同元素之和,
设,，
因为的元素个数，中的元素个数，又,
所以，即不为空集，，
设，则可表示为中若干个不同元素之和,
所以可表示为中若干个不同元素之和,
综上可得：最小值为15
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页