2.2.1 不等式及其性质 练习（2课时）（含解析）-2024-2025学年高一上学期数学人教B版（2019)必修第一册

2.2　不等式
2.2.1　不等式及其性质
第1课时　不等式及其性质
一、选择题
1.若x>1>y,则下列不等式不一定成立的是(　 )
A.x-y>1-y B.x-1>y-1
C.x-1>1-y D.1-x>y-x
2.若A=-y2+4x-3,B=x2+2x+2y,则A,B的大小关系为 (　 )
A.A>B B.AC.A=B D.无法确定
3.已知a+b>0,b<0,那么a,b,-a,-b的大小关系为 (　 )
A.a>b>-b>-a B.a>-b>b>-a
C.a>-b>-a>b D.a>b>-a>-b
★4.已知-1≤x+y≤4,2≤x-6y≤3,则z=3x-4y的取值范围是 (　 )
A.[-2,8] B.[0,11]
C.[1,7] D.[0,7]
5.甲、乙两人同时于上周和本周到同一加油站给汽车加油两次,甲每次加油20升,乙每次加油200元,若上周与本周油价不同,则在这两次加油中,平均价格较低的是 (　 )
A.甲 B.乙
C.一样低 D.不能确定
6.[2023·北京人大附中高一期中] 如图,数轴上给出了表示实数a,b,c的三个点,下列判断正确的是 (　 )
A.ab>c B.abc>
C.c+2b2b
7.[2023·石家庄高一期中] 若条件p:b条件q:a+bbc2(c∈R);条件s:b2A.条件q和条件r B.条件q和条件t
C.条件s和条件t D.条件r和条件t
8.(多选题)已知<<0,则下列不等式成立的是 (　 )
A.aa+b
C.|a|<|b| D.ab>b2
9.(多选题)已知6A.的取值范围为
B.a+b的取值范围为(21,78)
C.a-b的取值范围为(-9,42)
D.的取值范围为
二、填空题
10.若a=1816,b=1618,则a与b的大小关系为　　　　.
11.若关于x的不等式a-2<2a-x<只有一个整数解2,则实数a的取值范围为　　　　　　.
12.设a,b,c为非零实数,且a>b>c,则下列判断正确的有　　　　.(填序号)
①a+b>c;②ab>c2;③>c;④ac2>bc2;⑤+<.
三、解答题
13.[2023·湖南邵阳一中高一月考] 已知a,b均为正实数.试利用作差法比较a3+b3与a2b+ab2的大小.
14.(1)已知a>b>0,求证:aabb>(ab.
(2)已知h>0,求证:(1+h)100>1+100h.
2.2　不等式
2.2.1　不等式及其性质
第1课时　不等式及其性质
1.C　[解析] 利用不等式的性质可得A,B,D中不等式一定成立,当x=2,y=-3时,C中不等式不成立.故选C.
2.B　[解析] 因为B-A=(x2+2x+2y)-(-y2+4x-3)=(x-1)2+(y+1)2+1>0,所以A3.B　[解析] 由a+b>0,得a>-b,由b<0得-b>0,所以a>-b>0,-a-b>b>-a.故选B.
4.B　[解析] 易知z=3x-4y=2(x+y)+(x-6y),因为-1≤x+y≤4,2≤x-6y≤3,所以-2≤2(x+y)≤8,所以0≤2(x+y)+(x-6y)≤11,故z=3x-4y的取值范围是[0,11].故选B.
[易错点] 此类求范围的问题,在使用不等式性质时,易扩大所求表达式的取值范围,按照本题提供的解法求解则可避免.
5.B　[解析] 设两次加油时的价格分别为x元/升和y元/升,且x≠y,则甲每次加油20升,两次加油中,平均价格为=(元/升),乙每次加油200元,两次加油中,平均价格为=(元/升),因为-==>0,所以乙的平均价格较低.故选B.
6.D　[解析] 由题图可得-1a,故C错误;因为-12b,故D正确.故选D.
7.B　[解析] 对于条件q,因为b0,所以a+b<00,所以<0,所以-<0,所以<,所以条件t是条件p的必要条件.故选B.
8.BC　[解析] 由<<0,可得b0,a+b<0,所以ab>a+b,故选项B成立;因为b|a|,即|a|<|b|,故选项C成立;因为b0,所以ab-b2=b(a-b)<0,即 ab9.AB　[解析] 因为610.a0,1618>0,∴1816<1618,即a11.　[解析] 由a-2<2a-x<,得2a-12.③④　[解析] 对于①,取a=-1,b=-2,c=-3满足a>b>c,但a+b>c不成立,故①错误;对于②,取a=1,b=-2,c=-3满足a>b>c,但ab>c2不成立,故②错误;对于③,∵a>c,b>c,∴a+b>2c,∴>c,故③正确;对于④,∵a>b,c2>0,∴ac2>bc2,故④正确;对于⑤,取a=,b=,c=-1满足a>b>c,但+<不成立,故⑤错误.故答案为③④.
13.解:∵a3+b3-(a2b+ab2)=(a3-a2b)+(b3-ab2)=a2(a-b)+b2(b-a)=(a-b)(a2-b2)=(a-b)2(a+b).当a=b时,a-b=0,则a3+b3=a2b+ab2;当a≠b时,(a-b)2>0,a+b>0,则a3+b3>a2b+ab2.综上所述,a3+b3≥a2b+ab2.
14.证明:(1)∵a>b>0,∴>1,且a-b>0.∴=>1,∴aabb>(ab.
(2)对正数A和B有(1+A)(1+B)=1+A+B+AB>1+A+B,∴(1+h)2>1+2h,∴(1+h)3>(1+2h)(1+h)>1+3h,∴(1+h)10>[(1+h)2(1+h)3]2>[(1+2h)(1+3h)]2>(1+5h)2>1+10h,∴(1+h)100>(1+10h)10>1+100h.第2课时　不等式的证明方法
一、选择题
1.下图是解决数学问题的思维过程的流程图,在此流程图中,与①②两条流程线的思维方法匹配正确的是 (　 )
A.①综合法,②反证法
B.①分析法,②反证法
C.①综合法,②分析法
D.①分析法,②综合法
2.已知a>b>c,且a+b+c=0,则下列不等式恒成立的是 (　 )
A.ac>bc B.ab>ac
C.a|b|>c|b| D.a2>b2>c2
3.分析法又叫执果索因法,若使用分析法证明“设a>b>c,且a+b+c=0,求证:A.(a-b)(a-c)>0
B.(a-b)(a-c)<0
C.(b-a)(b-c)>0
D.(b-a)(b-c)<0
4.利用反证法证明:若+b2=0,则a=0且b=0,应假设 (　 )
A.a,b不都为0
B.a,b都不为0
C.a,b不都为0,且a≠b
D.a,b至少有一个为0
5.实数a,b,c满足a2=2a+c-b-1且a+b2+1=0,则下列关系式成立的是 (　 )
A.b>a>c B.c>a>b
C.b>c>a D.c>b>a
6.已知a1,a2∈(1,+∞),若P=+,Q=+1,则P与Q的大小关系为 (　 )
A.P>Q B.P=Q
C.P7.已知a>b>c,则++的值 (　 )
A.为正数 B.为非正数
C.为非负数 D.不确定
8.(多选题)要证明x<,只需证明不等式M,不等式M可能是 (　 )
A.x2C.-x< D.x<0
★9.(多选题)下列命题为真命题的是 (　 )
A. a,b∈R,|a-2|+(b+1)2≤0
B. a∈R, x∈R,使得ax>2
C.ab≠0是a2+b2≠0的充要条件
D.若a≥b>0,则≥
二、填空题
10.设a=+,b=+,则a,b的大小关系为　　　　.(用“>”连接)
11.已知x<1,则x2+2与3x的大小关系为　　　　　　.(用“>”连接)
12.若a+b>a+b,则实数a,b应满足的条件是　　　　　　　　.
三、解答题
13.已知x,y∈R,求证:x2+2y2≥2xy+2y-1.
14.(1)若a,b∈(1,+∞),证明:<.
(2)已知x∈R,a=x2+,b=2-x,c=x2-x+1,试证明a,b,c至少有一个不小于1.
第2课时　不等式的证明方法
1.C　 [解析] 由已知到可知,进而得到结论的应为综合法;由未知到需知,进而找到与已知的关系为分析法,故选C.
2.B　[解析] 因为a+b+c=0且a>b>c,所以a-b>0,c<0,所以ac-bc=(a-b)c<0,即ac0,a>0,所以ab-ac=a(b-c)>0,即ab>ac,故B正确;|b|有可能为0,故C不正确;取a=2,b=1,c=-3,显然a>b>c且a+b+c=0,但a2>b2且b23.A　[解析] 因为a>b>c,且a+b+c=0,所以3c0,c<0.要证0,只需证(a-c)(2a+c)>0,只需证(a-c)[a+c+(-b-c)]>0,即证(a-c)(a-b)>0,显然成立.故选A.
4.A　[解析] a=0且b=0表示“a,b都为0”,其否定是“a,b不都为0”.故选A.
5.D　[解析] 由a2=2a+c-b-1,可得(a-1)2=c-b≥0(当且仅当a=1时取等号),所以c≥b,由a+b2+1=0,可得a=-b2-1,所以a≠1,所以c>b.因为b-a=b2+b+1=+>0,所以b>a.综上可得,c>b>a.故选D.
6.C　[解析] 由已知得P-Q=+--1==,∵a1,a2∈(1,+∞),∴1-a1<0,a2-1>0,a1a2>0,∴P-Q<0,即P7.A　[解析] 因为a>b>c,所以a-b>0,b-c>0,a-c>b-c>0,所以>0, >0, <,所以+>0,所以++>0,即++的值为正数.故选A.
8.ABD　[解析] 若x2,故C中不等式不是x<的充分条件;若x<0,则x<0≤,∴x<,故D中不等式是x<的充分条件.故选ABD.
9.AD　[解析] 对于A,当a=2,b=-1时,|a-2|+(b+1)2=0,故A为真命题.对于B,当a=0时,ax>2不成立,故B为假命题.对于C,当“ab≠0”时,“a2+b2≠0”成立;当“a2+b2≠0”时,若a=1,b=0,则ab=0,故“ab≠0”不成立,所以“ab≠0”是“a2+b2≠0”的充分不必要条件,故C为假命题.对于D,当a≥b>0时,a+ab≥b+ab,即a(1+b)≥b(1+a),因为1+b>0,1+a>0,所以≥,故D为真命题.故选AD.
[技巧点拨] 对于与全称量词或存在量词和充分必要条件结合的不等式,要注意是全称量词命题还是存在量词命题,若是有全称量词的不等式,则需要证明,若是有存在量词的不等式,则只需要举出特例即可.
10.a>b　[解析] ∵2>2,∴8+2>8+2,即()2+2+()2>()2+2+()2,∴(+)2>(+)2,∴+>+,故a>b.
11.x2+2>3x　[解析] (x2+2)-3x=(x-1)(x-2),因为x<1,所以x-1<0,x-2<0,所以(x-1)(x-2)>0,所以x2+2>3x.
12.a≥0,b≥0且a≠b　[解析] a+b>a+b a-a>b-b a(-)>b(-) (a-b)(-)>0 (+)(-)2>0,故a≥0,b≥0且a≠b.
13.证明:x2+2y2-(2xy+2y-1)=(x2-2xy+y2)+(y2-2y+1)=(x-y)2+(y-1)2,∵(x-y)2≥0,(y-1)2≥0,∴(x-y)2+(y-1)2≥0(当且仅当x=y=1时等号成立).
14.证明:(1)要证<,只需证()2<()2,只需证a+b<1+ab,即a+b-1-ab<0,即证(a-1)(1-b)<0.因为a>1,b>1,所以a-1>0,1-b<0,即(a-1)(1-b)<0成立,所以原不等式成立.
(2)假设a,b,c均小于1,即a<1,b<1,c<1,则有a+b+c<3,而a+b+c=x2++2-x+x2-x+1=2x2-2x+=2+3≥3,这与a+b+c<3矛盾,假设不成立,故a,b,c至少有一个不小于1.