2.2.4 均值不等式及其应用
第1课时 均值不等式
一、选择题
1.在不等式≥中,a,b需满足 ( )
A.a>0,b>0 B.a≥0,b≥0
C.ab≥0 D.ab>0
2.已知x,y均为正数,且满足x+2y=4,则xy的最大值为 ( )
A. B.2 C.2 D.
3.若x>1,则y=的最小值为 ( )
A.3 B.-3 C.4 D.-4
4.已知a>0,若关于x的不等式x+≥3在(-1,+∞)上恒成立,则a的最小值为 ( )
A.1 B.2 C.4 D.8
5.下列函数中,最小值是2的是 ( )
A.y=x+ B.y=x3+
C.y=x2+ D.y=+
6.[2023·广东佛山一中高一月考] 已知x>1,则的最大值为 ( )
A. B. C. D.1
7.已知x>0,y>0,且x+2y=4,则(1+x)(1+2y)的最大值为 ( )
A.36 B.4 C.16 D.9
8.(多选题)以下结论中正确的是 ( )
A.y=x+的最小值为2
B.当a>0,b>0时,++2≥4
C.y=x(1-2x),0
D.当且仅当a,b均为正数时,+≥2恒成立
9.(多选题)[2023·江西抚州一中高一期中] 已知正数m,n满足2m+2n+5=mn,则 ( )
A. m,n∈(0,+∞),mn≥25
B. m,n∈(0,+∞),m+n≥10
C. m,n∈(0,+∞),4m+n=20
D. m,n∈(0,+∞),4m+n<25
二、填空题
★10.设x>0,y>0,x+y=2xy,则x+y的最小值为 .
11.已知不等式x+>m对任意x∈(2,+∞)恒成立,则实数m的取值范围为 .
12.[2023·浙江温州中学高一期末] 若x>0,y>1,则+的最小值为 .
三、解答题
13.已知a>0,b>0,且a+b+ab=3.
(1)求ab的取值范围;
(2)求a+b的取值范围.
14.(1)若x<3,求y=2x+1+的最大值.
(2)已知x>0,求y=的最大值.
15.规定a☉b=+a+b(a,b为正实数).若1☉k=3,则k的值为 ,此时函数y=的最小值为 .
16.(1)已知0(2)已知a>b>c,求(a-c)的最小值.
2.2.4 均值不等式及其应用
第1课时 均值不等式
1.B [解析] 在均值不等式中,我们规定a>0,b>0,但当a=0,b=0时也满足≥.故选B.
2.B [解析] ∵x,y均为正数,x+2y=4,∴xy=×2xy≤×=2(当且仅当x=2y=2时等号成立).故选B.
3.C [解析] ∵x>1,∴y===x+1+=x-1++2≥2+2=4,当且仅当=x-1,即x=2时等号成立,∴y=的最小值为4.故选C.
4.C [解析] 因为x>-1,所以x+1>0,所以x+=x+1+-1≥2-1=2-1,当且仅当x+1=,即x=-1时取等号,所以x+的最小值为2-1.因为不等式x+≥3在(-1,+∞)上恒成立,所以2-1≥3,解得a≥4,所以a的最小值为4.故选C.
5.D [解析] 对于A,当x<0时,y=x+<0,故A不符合题意;对于B,当x<0时,y=x3+<0,故B不符合题意;对于C,当x=0时,y=x2+=,故C不符合题意;对于D,由均值不等式知y=+≥2=2(当且仅当x=2时取等号),故D符合题意.故选D.
6.A [解析] 由x>1,得x-1>0,则==≤=,当且仅当x-1=,即x=1+时取等号,故的最大值为.故选A.
7.D [解析] 由题意得,(1+x)+(1+2y)=6,1+x>1,1+2y>1,所以(1+x)(1+2y)≤=9,当且仅当1+x=1+2y,即x=2,y=1时取等号.故选D.
8.BC [解析] 对于A,当x<0时,y<0,故A错误;对于B,当a>0,b>0时,++2≥2+2=+2≥2·=4,当且仅当a=b=1时取到等号,故B正确;对于C,y=x(1-2x)=×2x(1-2x)≤=,当且仅当x=时取等号,故y的最大值为,故C正确;对于D,当a,b同号时,+≥2=2,当且仅当a=b时取等号,故D错误.故选BC.
9.ABD [解析] 由mn=2m+2n+5≥4+5,得(-5)(+1)≥0,可得mn≥25,当且仅当m=n=5时等号成立,故A正确;由2m+2n+5=mn≤,得(m+n-10)(m+n+2)≥0,可得m+n≥10,当且仅当m=n=5时等号成立,故B正确;显然m≠2,则n==2+,m>2,所以4m+n=4m++2=4(m-2)++10≥2+10=22,当且仅当m=,n=8时等号成立,故C错误,D正确.故选ABD.
10.2 [解析] ∵x>0,y>0,x+y=2xy,xy≤,∴x+y≤,∴x+y≥2,当且仅当x=y=1时等号成立,故x+y的最小值为2.
[技巧点拨] 由含有两个变量的等式求这两个变量的和(或积)的最值,需要借助基本不等式消去积(或和),得到关于这两个变量的和(或积)的一元二次不等式,解这个不等式即可.
11.(-∞,6) [解析] 因为x>2,所以x-2>0,所以x+=x-2++2≥2+2=6,当且仅当x-2=,即x=4时等号成立,又不等式x+>m对任意x∈(2,+∞)恒成立,所以m<6,故实数m的取值范围为(-∞,6).
12.8 [解析] +=+=++.因为+≥2=4x,当且仅当=,即2(y-1)=x2时等号成立,4x+≥2=8,当且仅当4x=,即x=1时等号成立,所以+≥8,当且仅当2(y-1)=x2,x=1,即x=1,y=时等号成立,所以+的最小值为8.
13.解:(1)因为a>0,b>0,且a+b+ab=3,所以a+b=3-ab≥2,当且仅当a=b=1时取等号,可得0<≤1,所以0(2)因为a+b=3-ab≥3-,当且仅当a=b=1时取等号,所以a+b≥2,故a+b的取值范围是[2,+∞).
14.解:(1)因为x<3,所以3-x>0.
y=2(x-3)++7=-+7,由均值不等式可得2(3-x)+≥2=2,
当且仅当2(3-x)=,即x=3-时,等号成立,所以-≤-2,所以y=-+7≤7-2,故y的最大值是7-2.
(2)因为x>0,所以y==,又x+≥2=2,当且仅当x=,即x=1时,等号成立,所以015.1 3 [解析] 由题意得1☉k=+1+k=3,即k+-2=0,可得k=1,则y===1++≥1+2=3,当且仅当=,即x=1时,等号成立.综上可得,k=1,y=的最小值为3.
16.解:(1)∵00,∴4x(3-2x)=2[2x(3-2x)]≤2=,当且仅当2x=3-2x,即x=时,等号成立,∴4x(3-2x)的最大值为.
(2)(a-c)=(a-b+b-c)=1+1++.∵a>b>c,∴a-b>0,b-c>0,∴2++≥2+2=4,当且仅当a-b=b-c,即2b=a+c时取等号,∴(a-c)的最小值为4.2.2.4 均值不等式及其应用
第2课时 均值不等式的应用
一、选择题
1.设正实数a,b满足a+b=2,则+的最小值为 ( )
A. B.
C. D.
2.已知x≥0,y>2,且+=,则x+y的最小值为 ( )
A.4 B.8
C.16 D.32
3.如果两个正方形的边长之和为1,那么它们的面积之和的最小值是 ( )
A. B.
C.1 D.2
4.若正实数x,y满足4x+y=2xy,且不等式x+A.(-1,2) B.(-∞,-2)∪(1,+∞)
C.(-2,1) D.(-∞,-1)∪(2,+∞)
5.[2023·湖北仙桃中学高一期中] 已知x>0,y>0,且+=,若x+2+y>m2+5m恒成立,则实数m的取值范围是 ( )
A.(-4,7) B.(-2,7)
C.(-4,2) D.(-7,2)
6.已知x>0,y>0,x+2y+2xy=8,则x+2y的最小值是 ( )
A.3 B.4 C. D.
7.为提高居民的冬季取暖水平,某社区决定建立一个取暖供热站.已知供热站每月自然消费与供热站到社区的距离成反比,每月供热费与供热站到社区的距离成正比,如果在距离社区20千米处建立供热站,那么这两项费用分别为5千元和8万元,若要使这两项费用之和最小,则供热站应建在离社区 ( )
A.5千米处 B.6千米处
C.7千米处 D.8千米处
★8.(多选题)下列结论正确的是 ( )
A.当x>0时,+≥2
B.当x>0时,的最小值是2
C.当x<0时,2x-1+的最小值是
D.若x>0,y>0,且x+y=2,则+的最小值是
9.(多选题)下列说法中正确的是 ( )
A.的最小值为2
B.已知x>1,则2x+-1的最小值为4+1
C.若正实数x,y满足x+2y=3xy,则2x+y的最小值为3
D.设x,y为正实数,若9x2+y2+xy=1,则3x+y的最大值为
二、填空题
10.已知xy>0,若x+=2,则+y的最小值为 .
11.若正数x,y满足x2+3xy-1=0,则x+y的最小值为 .
12.中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”,即假设在平面内有一个三角形,其边长分别为a,b,c,则该三角形的面积S可由公式S=求得,其中p为三角形周长的一半.现有一个三角形的边长满足a+b=12,c=8,则此三角形的面积的最大值为 .
三、解答题
13.[2024·江苏南京六校高一期中] 某健身器材厂研制了一种足浴气血养生机,具体原理是:在足浴盆右侧离中心x(0(1)求臭氧发生孔工作时对左脚和右脚的干扰度之和y关于x的表达式;
(2)求臭氧发生孔对左脚和右脚的干扰度之和y的最小值.
14.已知a>0,b>0,且a+b=1,证明:+≤2.
15.若a,b∈(0,1),且2ab=1,则+的最小值为 .
16.(1)若x<-3,求的最大值.
(2)已知a>0,b>0,=1,求+的最小值,并求此时a,b的值.
第2课时 均值不等式的应用
1.C [解析] 因为a+b=2,所以a+1+b+2=5,所以+=(a+1+b+2)=≥=,当且仅当a+1=b+2,即a=,b=时,等号成立,所以+的最小值为.故选C.
2.C [解析] 因为x≥0,y>2,且+=,所以x+y=4[(x+2)+(y-2)]=4≥4×(2+2)=16,当且仅当x=6,y=10时取等号,故x+y的最小值为16.故选C.
3.B [解析] 设两个正方形的边长分别为x,y,则x>0,y>0且x+y=1,所以两个正方形的面积之和为x2+y2.由均值不等式可得x2+y2≥2xy,当且仅当x=y时,等号成立,所以2(x2+y2)≥x2+y2+2xy=(x+y)2=1,所以x2+y2≥,当且仅当x=y=时,等号成立,因此这两个正方形的面积之和x2+y2的最小值为.故选B.
4.D [解析] 由4x+y=2xy,得+=1,则x+==1++≥1+2=2,当且仅当4x=y=4时等号成立,所以x+的最小值为2,若不等式x+2,解得m<-1或m>2,故实数m的取值范围是(-∞,-1)∪(2,+∞).故选D.
5.D [解析] 因为x>0,y>0,且+=,所以x+2+y=×(x+2+y)=×≥×=14,当且仅当y=x+2=7时取等号,又因为x+2+y>m2+5m恒成立,所以14>m2+5m,解得-76.B [解析] 因为x+2y+2xy=8,所以y=>0,所以07.A [解析] 设供热站建在离社区x千米处,则自然消费y1=,供热费y2=k2x.由题意得,当x=20时,y1=,y2=8,所以k1=xy1=10,k2==,所以y1=,y2=x,所以两项费用之和为y1+y2=+≥2=4,当且仅当=,即x=5时,等号成立,所以要使这两项费用之和最小,供热站应建在离社区5千米处.故选A.
8.AD [解析] 对于A,当x>0时,>0,可得+≥2=2,当且仅当x=1时取等号,故A正确;对于B,当x>0时,x2+4>0,>0,可得=+=+≥2=2,当且仅当=时取得等号,但>2,因此等号取不到,所以没有最小值,故B错误;对于C,因为x<0,所以5-4x>0,则2x-1+=-≤-2=-,当且仅当=时取等号,又x<0,所以等号取不到,故2x-1+没有最小值,故C错误;对于D,因为x>0,y>0,且x+y=2,所以+=(x+y)=+≥+×2=,当且仅当=,即y=2x=时,等号成立,故D正确.故选AD.
[易错点] 在用均值不等式求最值时,一定要注意“一正二定三相等”必须同时满足,缺一不可,如本题B,C中的等号取不到,则易出现错误判断.
9.BCD [解析] 当x=-1时,=0<2,故A错误;2x+-1=2(x-1)++1≥2+1=4+1,当且仅当2(x-1)=,即x=+1时取等号,故B正确;由x+2y=3xy,得+=1,所以2x+y=(2x+y)=++≥2+=3,当且仅当=,即x=y=1时取等号,故C正确;由9x2+y2+xy=1得(3x+y)2=1+5xy=1+×4×3x×y≤1+(3x+y)2,即(3x+y)2≤1,则3x+y≤=,当且仅当3x=y=时取等号,故D正确.故选BCD.
10.8 [解析] 因为x+=2,所以+=1,则+y==4++≥4+2=8,当且仅当x=1,y=4时,等号成立,所以+y的最小值为8.
11. [解析] 由x2+3xy-1=0,可得y=.又x>0,所以x+y=+≥2=,当且仅当x=时等号成立,所以x+y的最小值为.
12.8 [解析] 由a+b=12,c=8,可得p=(a+b+c)=10,则S==≤·=8,当且仅当a=b=6时取等号,所以此三角形的面积的最大值为8.
13.解:(1)由题意,得y=+,将x=10代入,得+=0.07,解得k=4,故y=+(0(2)因为0所以y=+=[x2+(400-x2)]=≥==,当且仅当=(014.证明:因为(+)2=2(a+b)+4+2≤6+2(a+b)+4=12,当且仅当a=b=时取等号,所以+≤2.
15.10 [解析] 因为2ab=1,所以b=<1,所以0,2a-1>0.+=+=+=++2=++2=[(2-2a)+(2a-1)]+2=++6≥2+6=4+6=10,当且仅当2-2a=2a-1,即a=,b=时,等号成立,故+的最小值为10.
16.解:(1)因为x<-3,所以x+3<0,则=x+=x+3+-3=--3≤-2-3=-5,当且仅当-(x+3)=-,即x=-4时等号成立,故的最大值为-5.
(2)方法一:因为=1,所以2a+b=3,则+=·(2a+b)=,因为+≥2=4,当且仅当=,即b=4a时等号成立,所以+≥3,即+的最小值是3,又2a+b=3,所以a=,b=2.
方法二:因为=1,所以2a+b=3,则+=+==,令t=4-b,因为0即+的最小值是3,此时a=,b=2.