3.1 函数的概念与性质
3.1.1 函数及其表示方法
第1课时 函数的概念
一、选择题
1.下列函数中与函数y=x是同一个函数的为 ( )
A.y=()2 B.y=
C.y= D.y=
2.[2023·辽宁沈阳十五中高一月考] 若g(x)=1-2x,f[g(x)]=(x≠0),则f= ( )
A.1 B.2
C.15 D.30
3.[2023·山东淄博实验中学高一期中] 已知函数f(x-1)=3x-2,且f(a)=1,则实数a等于 ( )
A.0 B.1
C.2 D.3
4.[2023·江苏苏州高一期中] 函数y=1-x+的最小值为 ( )
A.- B.0 C. D.1
5.已知函数f(x)的定义域为[-1,2],则函数g(x)=f的定义域为 ( )
A. B.
C. D.
6.[2023·湖北仙桃中学高一月考] 已知函数y=+的最大值为M,最小值为m,则的值为 ( )
A.- B. C.- D.
7.已知函数f(x)满足f(1)=,4f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y)(x,y∈R),则f(7)=( )
A.- B.
C.- D.
8.(多选题)下列对应关系是集合M={-2,2,4}到集合N={0,2,4,16}的函数的是 ( )
A.y=2x B.y=x+2
C.y=x2 D.y=|x|
9.(多选题)[2023·山东潍坊高一期中] 下列对应关系中可作为函数的有 ( )
A.f(x)=
B.f(x2)=|x+1|
C.f(|x|)=2x2+1
D.f(|x-1|)=x2-1
二、填空题
10.若函数f(x)的定义域为[-2,1],则g(x)=f(x)+f(-x)的定义域为 .
11.德国数学家狄利克雷提出的“狄利克雷函数”,在现代数学的发展过程中有着重要意义,已知狄利克雷函数的表达式为D(x)=则D[1+D(π)]+D[π+D(1)]= .
★12.已知函数f(x)的定义域为A={1,2,3,4,5,6},值域为B={7,8,9},且对任意的x
三、解答题
13.已知f(x)=x2-4x+2.
(1)求f(2),f(a),f(a+1)的值;
(2)求函数f(x)的值域;
(3)若g(x)=x+1,求f[g(3)]的值.
14.求下列函数的值域:
(1)y=;(2)y=x+(x>0);
(3)y=;(4)y=x+4.
15.规定符号*表示一种运算,且a*b=+a+b(a,b为正实数),1*k=3,则正整数k的值为 ,函数y=k*x的值域为 .
16.函数y=[x]为数学家高斯创造的取整函数,[x]表示不超过x的最大整数,如[-3.1]=-4,[2.1]=2.已知函数f(x)=+,求函数y=[f(x)]的值域.
3.1 函数的概念与性质
3.1.1 函数及其表示方法
第1课时 函数的概念
1.B [解析] 对于A,函数y=()2=x的定义域为{x|x≥0},两个函数的定义域不同,故A错误.对于B,函数y==x的定义域为R,两个函数的定义域和对应关系都相同,故B正确.对于C,函数y==|x|的定义域为R,但两个函数的对应关系不相同,故C错误.对于D,函数y==x的定义域为{x|x≠0},两个函数的定义域不同,故D错误.故选B.
2.C [解析] 方法一:由题得f(1-2x)=(x≠0),令1-2x=t(t≠1),则x=,所以f(t)==(t≠1),所以f==15.
方法二:由题得f(1-2x)=(x≠0),令1-2x=,得x=,所以f==15.故选C.
3.A [解析] 因为函数f(x-1)=3x-2=3(x-1)+1,所以f(x)=3x+1,又因为f(a)=1,所以3a+1=1,解得a=0.故选A.
4.C [解析] 令=t(t≥0),则x=,所以函数y=1++t=+t+=,因为t≥0,所以当t=0时,y取得最小值,故选C.
5.A [解析] ∵函数f(x)的定义域为[-1,2],∴-1≤2x-≤2,解得≤x≤,∴函数g(x)=f的定义域为,故选A.
6.B [解析] 由题得解得-3≤x≤3.(+)2=6+2,当-3≤x≤3时,0≤9-x2≤9,则0≤≤3,所以6≤6+2≤12,又y>0,所以≤y≤2,所以M=2,m=,所以=.故选B.
7.B [解析] 令x=1,y=0,则4f(1)f(0)=f(1)+f(1),得f(0)=.令x=1,y=1,则4f(1)f(1)=f(2)+f(0),得f(2)=-.令x=2,y=1,则4f(2)f(1)=f(3)+f(1),得f(3)=-.令x=2,y=2,则4f(2)f(2)=f(4)+f(0),得f(4)=-.令x=4,y=3,则4f(4)f(3)=f(7)+f(1),得f(7)=.故选B.
8.CD [解析] 对于A,当x=-2时,y=-4 N,不符合函数的定义,故A错误;对于B,当x=-2时,y=0,当x=2时,y=4,当x=4时,y=6 N,不符合函数的定义,故B错误;对于C,当x=-2时,y=4,当x=2时,y=4,当x=4时,y=16,符合函数的定义,故C正确;对于D,当x=-2时,y=2,当x=2时,y=2,当x=4时,y=4,符合函数的定义,故D正确.故选CD.
9.AC [解析] 对于A, 显然f(x)=可作为函数;对于B,当x=1时,有f(1)=2,当x=-1时,有f(1)=0,不符合函数的定义;对于C,f(|x|)=2x2+1=2|x|2+1,令t=|x|≥0,则f(t)=2t2+1,其中t≥0,故f(|x|)=2x2+1可作为函数;对于D,当x=0时,有f(1)=-1,当x=2时,有f(1)=22-1=3,不符合函数的定义.故选AC.
10.[-1,1] [解析] 由题意得解得-1≤x≤1,故g(x)=f(x)+f(-x)的定义域为[-1,1].
11.1 [解析] ∵D[1+D(π)]=D(1)=1,D[π+D(1)]=D(π+1)=0,∴原式=1.
12.10 [解析] 如图,可知满足条件的不同函数共有10个.
[易错点] 判断一个对应关系是否是从集合A到集合B的函数,要从函数的定义出发,看集合A中的每一个元素是否都在集合B中有唯一元素与之对应,要注意集合B中可以有元素在集合A中没有元素与之对应.
13.解:(1)由已知可得f(2)=22-4×2+2=-2,f(a)=a2-4a+2,f(a+1)=(a+1)2-4(a+1)+2=a2-2a-1.
(2)f(x)=x2-4x+2=(x-2)2-2≥-2,
所以函数f(x)的值域为[-2,+∞).
(3)因为g(3)=3+1=4,所以f[g(3)]=f(4)=42-4×4+2=2.
14.解:(1)y===2+≠2,
故所求函数的值域为(-∞,2)∪(2,+∞).
(2)因为x>0,所以y=x+≥2=4(当且仅当x=2时取等号),故所求函数的值域为[4,+∞).
(3)因为-2x2+x+3=-2+≤,所以0≤-2x2+x+3≤,则0≤y≤,故所求函数的值域为.
(4)设t=(t≥0),则x=1-t2,所以y=1-t2+4t=-(t-2)2+5≤5,故所求函数的值域为(-∞,5].
15.1 (1,+∞) [解析] 由已知得,1*k=+1+k=3,可得k=1.y=k*x=+1+x=+(x>0),令t=,则y=+(t>0),所以y>+=1,所以函数y=k*x的值域为(1,+∞).
16.解:当x=0时,f(x)=,则[f(x)]=0,此时函数y=[f(x)]的取值范围为{0}.若x≠0,则f(x)=+=+.当x>0时,x++3≥2+3=7,当且仅当x=2时等号成立,则0<≤,所以3.1.1 函数及其表示方法
第3课时 分段函数
一、选择题
1.已知f(x)=则f(3)的值为 ( )
A.2 B.3
C.4 D.5
2.[2023·福建泉州城东中学高一期中] 已知函数f(x)=的值域为R,则实数a的取值范围是 ( )
A. B.
C. D.
3.函数y=x+的大致图象是 ( )
A B C D
4.[2023·山东潍坊高一期末] 设函数f(x)=则方程f[f(x)]=0的解的个数为 ( )
A.4 B.3
C.2 D.1
5.已知函数f(x)=则f(2024)= ( )
A.-1 B.-2024
C.1 D.2024
6.设函数f(x)=若f[f(a)]≥3,则实数a的取值范围是 ( )
A.[-1,+∞)
B.(-∞,--1]
C.[-3,1]
D.[1,+∞)
7.[2023·河南焦作十一中高一期末] 已知函数f(x)=若a[f(a)-f(-a)]>0,则实数a的取值范围是 ( )
A.(2,+∞)
B.[-2,0)∪(0,2]
C.(-∞,-2]∪[2,+∞)
D.(-2,0)∪(0,2)
8.(多选题)设函数f (x)=若f(a)=a,则实数a的值可以是 ( )
A. B.2
C.- D.-2
★9.(多选题)已知函数f(x)=则下列关于函数f(x)的结论正确的有 ( )
A.f(x)的值域为(-∞,4)
B.f(1)=3
C.若f(x)=3,则x的值是
D.f(x)<1的解集为(-1,1)
二、填空题
10.如图,动点P从边长为4的正方形ABCD的顶点B开始,顺次经C,D,A绕边界运动到点A,用x表示点P走过的路程,f(x)表示△APB的面积,则函数f(x)的解析式为 .
11.[2023·浙江台州黄岩中学高一期中] 函数f(x)=当f[f(a)]=8时,实数a= .
12.在平面直角坐标系xOy中,若直线y=2a与函数y=|x-a|-1的图象只有一个交点,则实数a的值为 .
三、解答题
13.已知函数f(x)=
(1)画出函数f(x)的图象;
(2)求f(-a2-1)(a∈R),f[f(3)]的值;
(3)当-4≤x<3时,求f(x)的取值范围.
14.如图所示,在底角为45°的等腰梯形ABCD中,边BC的长为7 cm,腰长为2 cm,当垂直于边BC(垂足为F)的直线l从左向右移动(与梯形ABCD有公共点)时,直线l把梯形分成两部分,令BF=x,试写出直线l左侧部分的面积y关于x的函数解析式.
15.[2023·重庆八中高一期中] 已知f(x)=-x+5,g(x)=(x+1)2,记函数M(x)=max{f(x),g(x)},则M(x)的最小值是 .
16.[2023·安徽六安一中高一期中] 若函数f(x)=求关于x的方程2[f(x)]2+f(x)-1=0的解的个数.
第3课时 分段函数
1.A [解析] 由题知f(3)=f(5)=f(7)=7-5=2.故选A.
2.D [解析] 由题意知当x≥2时,f(x)=x+1≥3,故要使函数f(x)=的值域为R,需满足解得a≥,故实数a的取值范围是,故选D.
3.C [解析] 函数y=x+=作出该函数的图象,如图所示,故选C.
4.B [解析] 令t=f(x),则方程f[f(x)]=0即为f(t)=0,当t≤0时,t+1=0,∴t=-1;当t>0时,-1=0,∴t=1.当t=-1时,若x≤0,则x+1=-1,∴x=-2,符合题意;若x>0,则-1=-1,∴x=0,不合题意.当t=1时,若x≤0,则x+1=1,∴x=0,符合题意;若x>0,则-1=1,∴x=4,符合题意.即方程f[f(x)]=0的解的个数为3.故选B.
5.B [解析] 由已知得f(2024)=f(2023)-1=f(2022)-2=…=f(0)-2024=0-2024=-2024.故选B.
6.A [解析] 因为f(x)=令f(a)=t,则f[f(a)]≥3即为f(t)≥3,当t≥0时,t2+2t≥3,可得t≥1,即f(a)≥1,当t<0时,-t2+2t≥3,即t2-2t+3≤0,而t2-2t+3=(t-1)2+2>0,故上述不等式无解,故f(a)≥1,若a≥0,则a2+2a≥1,可得a≥-1;若a<0,则-a2+2a≥1,解得a=1(舍去).综上a≥-1.故选A.
7.D [解析] 由题知a≠0,若a>0,则f(a)-f(-a)>0,即a+1-[-2×(-a)-1]>0,解得a<2,所以0-2,所以-28.BC [解析] 当a≥0时, f(a)=+1,由+1=a,解得a=2;当a<0时,f(a)=,由=a,解得a=-或a=(舍去).所以实数a的值可以是-或2.故选BC.
9.AC [解析] 当x≤-1时,f(x)的取值范围为(-∞,1],当-1[技巧点拨] 求解分段函数的有关问题,关键是要在各个不同的“段”内进行,分段函数的定义域是各段自变量取值的集合的并集,值域是各段函数值取值的集合的并集.
10.f(x)= [解析] 当点P在边BC上运动时,0≤x≤4,f(x)=×4x=2x;当点P在边CD(不包括点C)上运动时,411.8 [解析] 令t=f(a),则f[f(a)]=f(t)=8.当t≤1时,由t2+2t=8,解得t=-4或t=2(舍去),即t=f(a)=-4.当a≤1时,由a2+2a=-4,即a2+2a+4=0,则Δ=22-4×1×4=-12<0,此时无实数解;当a>1时,由-5=-4,解得a=8,满足题意.当t>1时,由-5=8,解得t=,不满足题意,舍去.故实数a=8.
12.- [解析] 在同一平面直角坐标系内,作出函数y=2a与y=|x-a|-1的大致图象,如图所示.由题意可知2a=-1,解得a=-.
13.解:(1)函数f(x)的图象如图所示.
(2)因为-a2-1<0,所以f(-a2-1)=2a2+3.
因为f(3)=-5,
所以f[f(3)]=f(-5)=11.
(3)当-4≤x<0时,1当x=0时,f(0)=2;当0所以f(x)的取值范围为(-5,9].
14.解:如图所示,过点A,D分别作AG⊥BC,DH⊥BC,垂足分别是G,H.
因为四边形ABCD是等腰梯形,底角为45°,AB=2 cm,所以BG=AG=DH=HC=2 cm.
又BC=7 cm,所以AD=GH=3 cm.
当点F在BG上移动,即x∈[0,2]时,y=x2;当点F在GH上移动,即x∈(2,5]时,y=×2×2+2(x-2)=2x-2;当点F在HC上移动,即x∈(5,7]时,y=S五边形ABFED=S梯形ABCD-SRt△CEF=×(7+3)×2-(7-x)2=-(x-7)2+10.综上,y=
15.4 [解析] f(x)≥g(x),即-x+5≥(x+1)2,解得-4≤x≤1,f(x)1或x<-4,所以M(x)=max{f(x),g(x)}=
当x∈(-∞,-4)∪(1,+∞)时,M(x)=(x+1)2>M(1)=4,当x∈[-4,1]时,M(x)=-x+5≥M(1)=4,所以M(x)的最小值是4.
16.解:由2[f(x)]2+f(x)-1=0,得[f(x)+1][2f(x)-1]=0,解得f(x)=-1或f(x)=.
①若f(x)=-1,当x>0时,令x2-2x=-1,可得x=1;当x≤0时,令-x2=-1,可得x=-1.
②若f(x)=,当x>0时,令x2-2x=,可得x=;当x≤0时,令-x2=,方程无解.综上,关于x的方程2[f(x)]2+f(x)-1=0的解有3个,x=1或x=-1或x=.3.1 函数的概念与性质
3.1.1 函数及其表示方法
第2课时 函数的表示方法
一、选择题
1.已知函数f(x),g(x)如下表所示:
x 1 2 3 4 5
f(x) 5 4 3 2 1
g(x) 4 3 2 1 5
则不等式f[g(x)]>g[f(x)]的解集为 ( )
A.{1,3} B.{5,3}
C.{2,3,4} D.{5}
2.已知矩形的周长为20 cm,设矩形的宽为x cm,面积为y cm2,则y关于x的函数表达式为( )
A.y=x(10-x)(x<10)
B.y=x(10-x)(x>0)
C.y=x(10-x)(0D.y=x(10-x)(0≤x≤10)
3.已知函数y=g(x)的对应关系如下表所示,函数y=f(x)的图象如图所示,则g[f(1)]的值为( )
x 1 2 3
g(x) 4 3 -1
A.-1 B.0
C.3 D.4
4.[2023·郑州一中高一月考] 下列函数中,对于定义域内的任意x,f(x+1)=f(x)+1恒成立的为 ( )
A.f(x)=x+1 B.f(x)=-x2
C.f(x)= D.f(x)=|x|
★5.若要得到函数y=-3(x-2)2+1的图象,需将函数y=-3x2的图象 ( )
A.向左平移2个单位,再向上平移1个单位
B.向左平移2个单位,再向下平移1个单位
C.向右平移2个单位,再向上平移1个单位
D.向右平移2个单位,再向下平移1个单位
6.已知a,b为常数,若f(x)=x2+4x+3,f(ax+b)=x2+10x+24,则5a-b= ( )
A.-3 B.2 C.-8 D.-2
7.已知f(+1)=x+2,则函数f(x)的解析式为 ( )
A.f(x)=x2
B.f(x)=x2+1(x≥1)
C.f(x)=x2-2x+3(x≥1)
D.f(x)=x2-2x+2(x≥1)
8.(多选题)如图所示的四个容器高度都相同.将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中,注满为止.图中的图象分别对应显示该容器中水面的高度h和时间t之间的关系,其中正确的是 ( )
A B C D
9.(多选题)已知函数f(x)=,则下列说法正确的是 ( )
A.函数f(x)的定义域为(-∞,-1)∪(-1,+∞)
B.函数f(x)在区间[1,2]上的取值范围为
C.函数f(x)的图象关于点(-1,2)对称
D.把y=的图象向右平移1个单位,再向上平移2个单位,可以得到函数f(x)的图象
二、填空题
10.若函数y=|x+a|的图象关于直线x=2对称,则a= .
11.已知f(x)=(x≠-1),g(x)=x2-1(x∈R),则f[g(x)]= .
12.如图所示,函数y=f(x)的图象是折线段ABC,其中A,B,C的坐标分别为(0,4),(2,0),(6,4),则f[f(4)]= ,不等式f(x)<2的解集为 .
三、解答题
13.先画出下列函数的图象,再求出每个函数的值域.
(1)y=(x-1)2,x∈{-1,0,1,2};
(2)y=x2,x∈[1,2);
(3)y=,x∈[1,3);
(4)y=,x≥0.
14.某企业生产某种产品时的平均能耗y与产品件数x之间的关系式为y=ax+.当x=2时,y=100;当x=7时,y=35.且此产品生产件数不超过20.
(1)写出y关于x的解析式;
(2)用列表法表示此函数,并画出图象.
15.已知f(x)=min{6-x,x},则f(x)的值域是 ( )
A.(-∞,2] B.(-∞,3]
C.[0,2] D.[2,+∞)
16.已知二次函数f(x)满足f(x+1)-f(x)=2x,且f(0)=1.
(1)求函数f(x)在区间[-1,1]上的取值范围;
(2)当x∈R时,直线y=-d与函数y=f(x)-3x的图象没有交点,求实数d的取值范围.
第2课时 函数的表示方法
1.C [解析] 当x=1时,g(1)=4,f(1)=5,则f(4)=2g(4)=1,满足题意;当x=3时,g(3)=2,f(3)=3,则f(2)=4>g(3)=2,满足题意;当x=4时,g(4)=1,f(4)=2,则f(1)=5>g(2)=3,满足题意;当x=5时,g(5)=5,f(5)=1,则f(5)=1g[f(x)]的解集为{2,3,4}.故选C.
2.C [解析] 由矩形的周长为20 cm,矩形的宽为x cm,得矩形的长为(10-x)cm,所以y关于x的函数表达式为y=x(10-x)(03.A [解析] 由图象可知f(1)=3,由表格可知g(3)=-1,所以g[f(1)]=-1.故选A.
4.A [解析] 对于A,若f(x)=x+1,则f(x+1)=(x+1)+1=f(x)+1,故A正确.对于B,若f(x)=-x2,则f(x+1)=-(x+1)2≠f(x)+1,故B错误.对于C,若f(x)=,则f(x+1)=≠f(x)+1,故C错误.对于D,若f(x)=|x|,则f(x+1)=|x+1|≠f(x)+1,故D错误.故选A.
5.C [解析] 要得到函数y=-3(x-2)2+1的图象,只需将函数y=-3x2的图象向右平移2个单位,再向上平移1个单位.故选C.
[易错点] 通过平移变换作函数图象时,要注意平移的方向与符号的关系.
6.B [解析] ∵f(x)=x2+4x+3,∴f(ax+b)=(ax+b)2+4(ax+b)+3=a2x2+(2ab+4a)x+b2+4b+3=x2+10x+24,∴解得或故5a-b=2,故选B.
7.C [解析] 设+1=t(t≥1),则x=(t-1)2,f(t)=(t-1)2+2=t2-2t+3,所以f(x)=x2-2x+3(x≥1),故选C.
8.BCD [解析] 对于容器①,由容器的形状知水面高度的增加应是均匀的,所以A不正确;对于容器②,由容器的形状知随着时间的增加,每增加同一个高度,需要的水变多,因此水面高度增长越来越慢,所以B正确;对于容器③,由容器的形状知开始时容器水面高度增长越来越慢,过了一半以后,容器水面高度增长越来越快,所以C正确;对于容器④,由容器的形状知开始时容器水面高度增长越来越快,过了一半以后,水面高度增长越来越慢,所以D正确.故选BCD.
9.ABC [解析] 因为f(x)==2+,所以x+1≠0,解得x≠-1,所以函数f(x)的定义域为(-∞,-1)∪(-1,+∞),故A正确;将y=的图象向左平移1个单位得到y=的图象,再将y=的图象向上平移2个单位得到f(x)=2+的图象,故D错误;因为y=的图象关于点(0,0)对称,所以f(x)的图象关于点(-1,2)对称,故C正确;函数f(x)在区间[1,2]上的取值范围为,故B正确.故选ABC.
10.-2 [解析] 将y=|x|的图象向右平移2个单位得到函数y=|x-2|的图象,且该图象关于直线x=2对称,所以a=-2.
11.(x≠0) [解析] f[g(x)]==(x≠0).
12.0 (1,4) [解析] 由题图知f(4)=2,则f[f(4)]=f(2)=0.在区间(1,4)上,函数y=f(x)的图象在直线y=2的下方,即f(x)<2,故不等式f(x)<2的解集为(1,4).
13.解:(1)列表如下:
x -1 0 1 2
y 4 1 0 1
函数y=(x-1)2,x∈{-1,0,1,2}的图象如图①所示.
该函数的值域为{0,1,4}.
① ②
(2)函数y=x2,x∈[1,2)的图象如图②所示.该函数的值域为[1,4).
(3)函数y=,x∈[1,3)的图象如图③所示.该函数的值域为.
③
(4)函数y=,x≥0的图象如图④所示.该函数的值域为[0,+∞).
④
14.解:(1)由题意得解得
所以所求解析式为y=x+(x∈N,0(2)列表如下:
x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
y 197 100 53 35
x 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
y 28
依据上表,画出函数的图象如图所示.
15.B [解析] 作出函数f(x)的图象如图中实线部分所示,由6-x=x,解得x=3,此时y=3,所以f(x)≤3,即函数f(x)的值域是(-∞,3].故选B.
16.解:(1)设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),则f(x+1)-f(x)=2ax+a+b=2x,
所以解得因为f(0)=1,所以c=1,所以f(x)=x2-x+1.根据二次函数的性质可知,f(x)在区间[-1,1]上的取值范围为.
(2)由(1)得,y=f(x)-3x=x2-4x+1,因为直线y=-d与函数y=f(x)-3x的图象没有交点,所以x2-4x+1>-d恒成立.因为x2-4x+1=(x-2)2-3≥-3,所以-d<-3,即d>3,故实数d的取值范围为(3,+∞).