北师大八上4.4.2一次函数的应用（2）

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第四章 一次函数
4.4.2一次函数的应用（2）
北师大版 数学 八年级 上册
学习目标
1．经历分析实际问题中两个变量之间关系，并解决有关问题的过程，发展应用意识。
2．进一步体会数形结合的思想，发展数形结合解决问题的能力。
3．利用一次函数图象分析、解决简单实际问题，发展几何直观。
4．初步体会函数与方程的联系。
情景导入
v (m/s)
t(s)
O
5
2
小明周日在公园滑滑梯，他的速度v（m/s）与其下滑时间t(s)的关系如右图所示：
(1)思考右图图象为什么函数的图象？
(2)你能从图象得出什么信息？
(3)你能根据图象信息求得什么？
情景导入
1.根据图象经过的象限确定k 和 b 的符号；
在直角坐标系中，给出一个一次函数的图象，根据图象特征提取信息，解决问题，一次函数图象一般从以下几个角度观察：
2.可以由图象上特殊的点得出x与y 的对应值；
3.可由图象与y 轴的交点的坐标可确定b值.
探索新知
一次函数图象的应用
一
例1：由于持续高温和连日无雨，某水库的蓄水量随着时间的增加而减少．干旱持续时间t(天)与蓄水量V(万米3)的关系如下图所示，回答下列问题：
(1)水库干旱前的蓄水量是多少？
答：(1)水库干旱前的蓄水量是1200万米3
探索新知
（2）干旱持续10天，蓄水量为多少？连续干旱23天呢？
解：求干旱持续10天时的蓄水量，也就是求t等于10时所对应的V的值．
当t=10时，V约为1000万米3．
同理可知当t为23天时，V约为750万米3．
探索新知
（3）蓄水量小于400万米3时，将发生严重干旱警报．干旱多少天后将发出严重干旱警报？
解：当蓄水量小于400万米3时，将发出严重干旱警报，也就是当V 等于400万米3时，求所对应的t的值．
当V 等于400万米3时，所对应的t的值约为40天．
探索新知
（4）按照这个规律，预计持续干旱多少天水库将干涸？
解：水库干涸也就是V为0，所以求函数图象与横轴交点的横坐标即为所求．当V为0时，所对应的t的值约为60天．
探索新知
某种摩托车的油箱最多可储油10升，加满油后，油箱中的剩余油量y（升）与摩托车行驶路程x（千米）之间的关系如图所示．
根据图象回答下列问题：
（1）一箱汽油可供摩托车行驶多少千米？
分析：函数图象与x轴交点的横坐标即为摩托车行驶的最长路程．
解：观察图象，得：当y=0时，x=500，因此一箱汽油可供摩托车行驶500千米．
探索新知
（2）摩托车每行驶100千米消耗多少升汽油？
分析：x从0增加到100时，y从10开始减少，减少的数量即为消耗的数量．
解：x从0增加到100时，y从10减少到8，减少了2，因此摩托车每行驶100千米消耗2升汽油．
探索新知
（3）油箱中的剩余油量小于1升时，摩托车将自动报警，行驶多少千米后，摩托车将自动报警？
分析：当y小于1时，摩托车将自动报警．
解：当y=1时，x=450，因此行驶了450千米后，摩托车将自动报警．
总结归纳
探索新知
一次函数y=kx+b（k，b 为常数，k ≠ 0）与一元一次方程kx+b=0 （k，b 为常数，k ≠ 0）的关系
求一元一次方程
kx+b=0的解．
从“数”看
一次函数y= kx+b中
y=0时x的值
求一元一次方程
kx+b=0的解．
从“形”看
求直线y= kx+b
与 x 轴交点的横
相互转化
探索新知
一次函数与一元一次方程
二
我们先来看下面两个问题：
（1）解方程0.5x+1=0.
（2）当自变量x为何值时函数y=0.5x+1的值为0？
思考
1.对于0.5x+1=0 和y=0.5x+1，从形式上看，有什么相同和不同？
2.从问题本质上看，（1）和（2）有什么关系？
探索新知
问题(1)解方程0.5x+1=0，
得x=-2.
所对应的（ ）为何值？
实质上这可以通过解方程0.5x+1=0,得出x=-2.
因此，这两个问题实际上是同一个问题.
问题(2)就是要考虑当函数y=0.5x+1的值为（ ）时
自变量x
0
探索新知
思考： 函数图象哪一个点的坐标表示函数值为0
与x轴的交点(-2,0)
即当x=-2时，函数y=0.5x+1的值为0，这说明方程0.5x+1=0的解是x=-2.方程的解是函数与x轴的交点的横坐标.
作出函数y=0.5x+1的图象.
从图象上看：
1
-2
0
x
y
探索新知
思考：
由上面两个问题的关系，能进一步得到解方程ax+b=0（a， b为常数）与求自变量x为何值时，一次函数y=ax+b的值为0有什么关系？
探索新知
由上面问题可以得到,一元一次方程的求解与解相应的一次函数问题相一致.
由于任何一个一元一次方程都可转化ax+b=0(a,b为常数,a≠0)的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数值y为0时，求相应的自变量x的值.从图象上看,这相当于已知直线y=ax+b,确定它与x轴交点的横坐标的值.
探索新知
求ax+b=0(a, b是
常数，a≠0)的解
x为何值y= ax+b
的值为0
求ax+b=0(a, b是
常数，a≠0)的解
确定直线y= ax+b
与x轴交点的横坐标
从数的角度看
从形的角度看
一次函数与一元一次方程的关系
总结归纳
当堂检测
1．弹簧的长度y(cm)与所挂物体的质量x(kg)的关系如图所示，则弹簧不挂物体时的长度是（　B　）
A．9 cm
B．10 cm
C．10.5 cm
D．11 cm
B
当堂检测
2．已知关于x的方程ax－12＝0的解为x＝1，则一次函数y＝ax－12的图象与x轴的交点坐标为（　A　）
A．(1，0)
B．(0，1)
C．(1，1)
D．(－1，0)
A
当堂检测
3．在水管放水的过程中，放水的时间x(min)与流出的水量y(m3)是两个变量．已知水管每分钟流出的水量是0.2 m3，放水的过程共持续10 min，则y关于x的函数图象是（　D　）
D
当堂检测
4．如图是某植物的高度y(cm)与生长天数t(天)之间的函数图象，根据图象，下列说法不正确的是（　D　）
A．该植物初始的高度是3 cm
B．该植物生长10天的高度是10 cm
C．该植物平均每天生长0.7 cm
D．y与t之间的函数关系式是y＝t＋3
D
当堂检测
5．我们知道“距离地面越高，温度越低”，下表给出了所在位置的温度与距离地面高度之间的大致关系．某航班飞机执行任务，飞行至高空离地面8 000米时，侧挡风玻璃突然破裂，2名飞行员冷静处置，创造了世界航空史上的奇迹，请你计算出飞机发生事故时所在高空的温度为 　－18　 ℃.(假设当时所在位置的地面温度为30 ℃)
距离地面高度/千米 0 1 2 3 4 5
所在位置的温度/℃ 30 24 18 12 6 0
－
18　
当堂检测
6．某快递公司的每位“快递小哥”日收入y(元)与每日的派送量x(件)成一次函数关系，如图所示．若某“快递小哥”的日收入不少于110元，则他至少要派送 　40　 件．
40　
当堂检测
7．如图，折线ABC是在某市乘出租车所付车费y(元)与行车里程x(km)之间的函数关系图象．
当堂检测
(1)当行车里程超过3 km时，每增加1 km，所付的车费应增加多少元？并求当x≥3时的函数关系式；
解：(1)由题中图象可知，当行驶的路程由3 km增加到8 km时，收费由7元增加到14元．
所以每增加1 km，所付的车费应增加(14－7)÷(8－3)＝1.4(元)．
设当x≥3时，设函数关系式为y＝1.4x＋b.
因为当x＝3时，y＝7.
所以7＝1.4×3＋b.解得b＝2.8.
所以当x≥3时的函数关系式为y＝1.4x＋2.8.
当堂检测
(2)某人乘坐2.5 km，应付多少钱？
(3)某人乘坐13 km，应付多少钱？
(4)若某人付车费30.8元，则出租车行驶了多少路程？
(2)当x＝2.5时，因为2.5<3，所以y＝7.
答：某人乘坐2.5 km，应付7元．
(3)当x＝13时，y＝1.4×13＋2.8＝21.
答：某人乘坐13 km，应付21元．
(4)当y＝30.8时，由1.4x＋2.8＝30.8，
解得x＝20.
答：出租车行驶了20 km的路程．
一次函数的应用
一次函数与一元一次方程的关系
单个一次函数图象的应用
①数形结合，函数与方程的思想
②利用函数图像解决简单的实际问题
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