北师大八上4.1函数

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第四章 一次函数
4.1函数
北师大版 数学 八年级 上册
学习目标
1、理解函数的意义，并掌握“自变量、因变量、常量”；
2、了解函数的“三种表示方法”；
3、掌握函数自变量取值范围的“三种算法”；
4、理解“函数值”的意义并会运用。
情景导入
早穿皮袄午穿纱，围着火炉吃西瓜，
说明__________随______的变化而变化.
高处不胜寒，说明 ____________随____________的变化而变化.
天气温度
时间
高山气温
海拔高度
情景导入
为了更深刻地认识千变万化的世界，本节课，我们将学习有关一种量随另一种量变化的知识，共同见证事物变化的规律.
探索新知
函数的概念及表示方法
一
问题1：如果你坐在摩天轮上，随着时间的变化，你离开地面的高度是如何变化的？
由低变高，再由高变低.
探索新知
下图反映了时间t（分）与摩天轮上一点的高度h（米）之间的关系。
(1)当t分别取1、2、3时，相应的h的值是多少？
11米，
37米，
45米，
探索新知
下图反映了时间t（分）与摩天轮上一点的高度h（米）之间的关系。
（2）根据上图填表：
t/min 0 1 2 3 4 5 6
h/m
3
10
35
45
10
35
3
探索新知
下图反映了时间t（分）与摩天轮上一点的高度h（米）之间的关系。
(3)对于给定时间 t ，相应的高度 h 确定吗？有几个值？本题我们用的什么方法反应了高度和时间的关系？
确定
一个
图象
探索新知
瓶子和罐头盒等圆柱形的物体，常常如下图那样堆放.随着层数的增加，物体的总数是如何变化的？
层数n 1 2 3 4 5 ···
物体总数y ···
1
3
6
10
15
问题2：
根据上图，填写下表：
对于给定的层数n，相应的物体总数y确定吗？
物体总数y随着层数n的变化而变化
探索新知
问题3： 一定质量的气体在体积不变时，假若温度降低到-273℃，则气体的压强为零.因此，物理学把-273℃作为热力学温度的零度.热力学温度T(K)与摄氏温度t(℃)之间有如下数量关系：T=t+273,(T≥0).
(1)当t分别等于-43，-27，0，18时，相应的热力学温度T是多少？
（2）给定任一个大于-273 ℃的摄氏温度t值，相应的热力学温度T确定吗？有几个T值和它对应？
230K、
唯一一个T值
246K 、
273K、
291K
确定
探索新知
上面的三个问题中，有什么共同特点？
①都有两个变量
②给定其中某一个变量的值，
另一个变量的值就唯一确定.
总结归纳
探索新知
函数的概念
在某一变化过程中，有两个变量x、和y，并且对于变量x的每一个值，变量y都有唯一的值与它对应，那么我们就称y是x的函数，其中x是自变量，y 是因变量.
以上三个问题，都用到了什么方法来表示函数呢？
探索新知
一定质量的气体在体积不变时，假若温度降低到-273℃，则气体的压强为零.因此，物理学把-273℃作为热力学温度的零度.热力学温度T(K)与摄氏温度t(℃)之间有如下数量关系：T=t+273,T≥0.
层数n 1 2 3 4 5 …
物体总数y 1 3 6 10 15 …
图象法
列表法
关系式法
探索新知
自变量的取值范围
二
上述问题中，自变量能取哪些值？
注意：要根据实际问题确定自变量的取值范围.
探索新知
函数值
对于自变量在可取值范围内的一个确定的值a，函数有唯一确定的对应值，这个对应值称为当自变量等于a时的函数值．
即：如果y是x的函数，当x=a时，y=b，那么b叫做当x=a时的函数值．
总结归纳
探索新知
注意：函数不是数，它是指某一变化过程中两个变量之间的关系．而函数值是一个数，它是自变量确定时对应的因变量的值．
总结归纳
探索新知
函数 概念 两个变量x和y 对于变量x的每一个值，变量y都有唯一的值与它对应.
摩天轮 问题
罐头盒 问题
温度 问题
层数n 1 2 3 4 5 ……
物体总数y ……
6
10
15
1
3
t≥0
n取正整数
t≥-273
T= -43 +273=230
T= -27 +273=246
T=t+273, （T ≥0）
时间t和摩天轮上一点的高度h
层数n和物体总数y
摄氏温度t和热力学温度T
自变量能取哪些值
探索新知
　 常见函数自变量取值范围的确定
类型 取值范围
整式型 全体实数
分式型 使分母不为0的实数
偶次根式型 使根号下的式子的值大于或等于0的实数
零次型 使幂的底数不为0的实数
综合型 使各部分都有意义的实数的公共部分
总结归纳
探索新知
函数值
三
对于自变量在可取范围内的一个确定的值a，函数有唯一确定的对应值，这个对应值称为自变量等于a时的函数值。
函数值概念
y =2x+3
例如：
当x=3时，
函数值Y=2×3+3=9
探索新知
例： 已知函数
(1)求当x=2，3，-3时，函数的值；
(2)求当x取什么值时，函数的值为0.
把自变量x的值代入关系式中，即可求出函数的值.
解：（1）当x=2时， ;
当x=3时， ;
当x=-3时，y=7.
（2）令 解得 ，即当 时，y=0.
当堂检测
1．下列关于变量x，y的关系，其中y不是x的函数的是(　　)
B
2．下列关系式中，y不是x的函数的是(　　)
A．y＝x＋1 B．y＝－2x
C．|y|＝x D．y＝|x|
C
当堂检测
3．小红已存款200元.为赞助“希望工程”，她计划今后每月存款10元，则存款总金额y(元)与时间(月)之间的函数关系式是(　　)
A．y＝10x B．y＝120x
C．y＝200－10x D．y＝200＋10x
4．(2023·深圳市期中)对于圆的周长公式C＝2πR，下列说法正确的是(　　)
A．π，R是变量，2是常量 B．R是变量，π是常量
C．C是变量，π，R是常量 D．C，R是变量，2，π是常量
D
D
x≠－3
－2.5
当堂检测
5．下列变量之间的关系不是函数关系的是(　　)
A．一天的气温和时间 B．y2＝x中的y与x的关系
C．圆的面积与半径 D．正方形的周长与边长
6．如图所示的图象分别给出了x与y的对应关系，其中表示y不是x的函数的是(　　)
B
A
A
B
C
D
当堂检测
7．正方形的面积S与边长a之间的关系式为_________，其中_____是自变量，_____是_____的函数．
S＝a2
a
S
a
x≠0
9．某市出租车起步价为8.5元(路程小于或等于3公里)，超过3公里每增加1公里加收2元，出租车费y(元)与行程x(公里)(x>3)之间的函数关系式是______________．
y＝2x＋2.5
当堂检测
10． 一题多问一根合金棒在不同的温度下，其长度也不同，合金棒的长度和温度之间有如下关系：
温度/℃ … －5 0 5 10 15 …
长度/ cm … 9.995 10 10.005 10.01 10.015 …
(1)上表反映了温度和长度两个变量之间的关系，其中 是自变量；
(2)当温度是10 ℃时，合金棒的长度是 cm ；当温度是0 ℃时，合金棒的长度是 cm ；
温度　
10.01　
10　
当堂检测
(3)如果合金棒的长度大于10.05 cm 小于10.15 cm ，根据表中的数据推测，此时的温度应在 范围内；
(4)假设温度为x ℃时，合金棒的长度为y cm ，根据表中数据推测y与x之间的关系式；
解：(4)由表格，结合(1)～(3)分析数据可得x每增加5，y增加0.005；
当x＝0时，y＝10.易得出y＝0.001x＋10.
50 ℃～150 ℃　
温度/℃ … －5 0 5 10 15 …
长度/ cm … 9.995 10 10.005 10.01 10.015 …
当堂检测
(5)当温度为－20 ℃和100 ℃时，分别推测合金棒的长度．
(5)当x＝－20时，y＝0.001×(－20)＋10＝9.98( cm )；
当x＝100时，y＝0.001×100＋10＝10.1( cm )．
温度/℃ … －5 0 5 10 15 …
长度/ cm … 9.995 10 10.005 10.01 10.015 …
函数
概念：函数在某个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与它对应，那么x是自变量，y是x的函数.
函数值
自变量的取值范围
1.使函数解析式有意义
2.符合实际意义
函数的关系式：三种表示方法
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