2024-2025学年江西省“上进联考”高二上学期期中调研测试数学试题（含答案）

2024-2025学年江西省“上进联考”高二上学期期中调研测试
数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知，，则，两点间的距离为( )
A. B. C. D.
2.若直线的斜率为，在轴上的截距为，则的方程为( )
A. B. C. D.
3.若双曲线的一个焦点为，其中一条渐近线与直线平行，则的标准方程为( )
A. B. C. D.
4.已知在复平面内对应的点的坐标为，则，满足的关系式为( )
A. B. C. D.
5.若存在点，使得圆与圆关于点对称，则( )
A. B. C. D.
6.如图，在三棱锥中，平面，，，点为的中点，则( )
A. B. C. D.
7.已知抛物线的焦点为，是上第一象限内的一点，且，直线过点，当原点到的距离最大时，的方程为( )
A. B. C. D.
8.函数的值域为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.如图，在四面体中，点，分别为，的中点，则( )
A. B.
C. D.
10.已知曲线，则( )
A. 关于点对称 B. 关于直线对称
C. 与轴围成一个面积为的三角形 D. 不经过第二、三象限
11.已知椭圆，我们把圆称为的蒙日圆，为原点，点在上，延长与的蒙日圆交于点，则( )
A. 的最大值为
B. 若为的中点，则的离心率的最大值为
C. 过点不可能作两条互相垂直的直线都与相切
D. 若点在上，则的蒙日圆面积最小为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.抛物线的准线方程为 ．
13.已知曲线可以由双曲线绕原点逆时针旋转得到，则 ．
14.过点的直线分别与轴、轴交于不同的，两点，为坐标原点，若存在条直线使得的面积均为，则的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知曲线经过点．
若经过点，求的离心率
若表示焦点在轴上的椭圆，求的取值范围．
16.本小题分
已知点及圆．
若直线经过点，，求的方程
若直线过点且截圆所得的弦长为，求的方程．
17.本小题分
已知椭圆经过点，且右焦点为．
求的方程
若直线与交于点，，点关于轴的对称点为，判断直线是否过定点，若过定点，求出该点坐标若不过定点，请说明理由．
18.本小题分
已知抛物线的焦点为，过的直线与交于，两点，
求的值
求直线与的公共点个数
证明：．
19.本小题分
若集合表示由满足一定条件的全体直线组成的集合，定义：若集合中的每一条直线都是某圆上一点处的切线，且该圆上每一点处的切线都是中的一条直线，则称该圆为集合的包络圆．
若圆是集合的包络圆．
(ⅰ)求，满足的关系式
(ⅱ)若，求的取值范围
若集合，的包络圆为，是上任意一点，判断轴上是否存在定点，，使得，若存在，求出点，的坐标若不存在，请说明理由．
参考答案
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15.解：因为点在上，所以，，
因为经过点，所以，，
代入得，
所以的标准方程为，
，，，
所以的离心率．
的方程可化为，
因为表示焦点在轴上的椭圆，
所以，
即，
因为点在上，所以，，
所以，
解得，所以的取值范围是
16.解：由题意得，，
所以的斜率，
所以的方程为，即．
圆的标准方程为，
圆心，半径，
因为截圆所得弦长为，所以点到的距离为，
当的斜率不存在时，的方程为，符合题意，
当的斜率存在时，设的方程为，
即，
所以，
解得，
的方程为，
所以的方程为或．
17.解：由椭圆经过点，且右焦点为得
解得，，
故C的方程为．
设，，则，
将与联立得，
，，，
所以，，，
直线方程为，
即，
即
整理得，
所以直线过定点．

18.解：直线的斜率显然不为零，所以设直线的方程为，与联立，
得，
所以．
解：直线的斜率为，
所以直线的方程为，
即，
与联立得，解得，
所以直线与只有个公共点．
证明：由知，，所以，
所以．
19.解：因为圆是集合的包络圆，
所以圆心到直线的距离为，
即，所以．
由，满足及，可得圆与直线有公共点，
所以，解得，故的取值范围是．
设，由题意可知点到直线的距离为与无关的定值，
即为与无关的定值，
所以，，故C，此时，．
所以的方程为，
设，则，即，
假设轴上存在定点，，使得，设，，
则，
所以
解得或．
所以，或，．
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