2024-2025学年北京市大兴区高二（上）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年北京市大兴区高二（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线的倾斜角的正切值为( )
A. B. C. D.
2.已知两个向量，，且，则( )
A. B. C. D.
3.过点，的直线的斜率为，则( )
A. B. C. D.
4.圆关于轴对称的圆的方程是( )
A. B.
C. D.
5.若是直线的方向向量，是平面的法向量，则直线与平面的位置关系是( )
A. 直线在平面内 B. 平行 C. 相交但不垂直 D. 垂直
6.已知直线与直线平行，则它们之间的距离为( )
A. B. C. D.
7.在平行六面体底面是平行四边形的四棱柱中，，，则的长为( )
A.
B.
C.
D.
8.已知圆：，直线上动点，过点作圆的一条切线，切点为，则的最小值为( )
A. B. C. D.
9.已知点，直线与圆交于，两点，则“为等边三角形”是“”的( )
A. 充要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
10.如图，放在平面直角坐标系中的“太极图”整体是一个圆形，且黑色阴影区域与白色区域关于原点中心对称，其中黑色阴影区域在轴右侧部分的边界为一个半圆已知直线：给出下列四个结论：
当时，若直线截黑色阴影区域所得两部分面积记为，，则：：；
当时，直线与黑色阴影区域有个公共点；
当时，直线与黑色阴影区域的边界曲线有个公共点．
其中所有正确结论的序号是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.已知，，三点共线，则 ______．
12.已知圆：，则圆心坐标为 ，当圆与轴相切时，实数的值为 ．
13.已知平面过点，，三点，直线与平面垂直，则直线的一个方向向量的坐标可以是______．
14.直线和与两坐标轴正半轴围成的四边形的面积为______．
15.如图，在正方体中，，为的中点，为棱含端点上的动点，给出下列四个结论：
存在，使得；
存在，使得平面；
当为线段中点时，三棱锥的体积最小；
当与重合时，直线与直线所成角的余弦值最小．
其中所有正确结论的序号是______．
三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
已知平面内两点，．
Ⅰ求的中垂线方程；
Ⅱ求过点且与直线平行的直线的方程．
17.本小题分
已知圆的半径为，圆心在轴的正半轴上，直线与圆相切．
求圆的标准方程；
求直线：与圆相交的弦长．
18.本小题分
如图，在四棱锥中，平面，，，且．
Ⅰ求直线与直线所成角的大小；
Ⅱ求直线与平面所成角的正弦值．
19.本小题分
已知圆过，，三点，直线：．
Ⅰ求圆的方程；
Ⅱ求圆关于直线对称的圆的方程；
Ⅲ若为直线上的动点，为圆上的动点，为坐标原点，求的最小值．
20.本小题分
在四棱锥中，底面是正方形，为的中点，，，再从条件、条件这两个条件中任选一个作为已知．
Ⅰ求证：平面；
Ⅱ求平面与平面夹角的余弦值；
Ⅲ求点到平面的距离．
条件：平面平面；
条件：．
注：如果选择条件和条件分别解答，按第一个解答计分．
21.本小题分
已知圆：及其上一点．
Ⅰ若圆与轴相切，与圆外切，且圆心在直线上，求圆的标准方程；
Ⅱ设过点的直线与圆相交的另一交点为，且为直角三角形，求的方程；
Ⅲ设动点，若圆上存在，两点，使得，求实数的取值范围．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.答案不唯一．
14.
15.
16.解：线段的中点为即，
，
线段的中垂线的斜率，
的中垂线方程为，化为．
过点且与直线平行的直线的斜率为．
其方程为：，化为．
17.解：圆的半径为，圆心在轴的正半轴上，可设圆心，，
由直线与圆相切，可得，
解得，
所以圆的标准方程为：
由圆的圆心，半径，
可得圆心到直线的距离为，
则弦长为．
18.解：Ⅰ平面，，
，，两两垂直，以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
，，
，
故与所成的角为；
Ⅱ易得，，
设平面的一个法向量为，
则，令，得，
设直线与平面所成的角为，又，
，
故直线与平面所成角的正弦值为．
19.解：Ⅰ设圆的方程为，
由题意可得，解得，
所以圆的方程为；
Ⅱ由知圆心，半径．
设圆心关于直线的对称点为，则，
解得，
所以圆的方程为；
Ⅲ因为，
所以当，，三点共线时，取得最小值．
因为，所以的最小值为．
20.解：Ⅰ证明：若选，由于平面平面，且交线为，平面，，
所以平面．
若选，由于，，，，平面，
所以平面．
Ⅱ由Ⅰ知平面，，，，两两垂直，
以为原点，，，所在的直线分别为，，轴，建立如图空间直角坐标系，
则，，，，
所以，，
由Ⅰ知平面的法向量，
设平面的法向量为，
则，即，
令，则，
设平面与平面的夹角为，
则，
所以平面与平面夹角的余弦值为；
Ⅲ由已知得，，
所以点到平面的距离为．
21.解：Ⅰ在直线上，设，
圆与轴相切，圆为：，，
又圆与圆外切，圆：，即圆：，
，解得，
圆的标准方程为；
Ⅱ由题意当斜率不存在时，方程为，此时不为直角三角形，
当斜率存在时，设：，即，
由为等腰直角三角形，
可得圆心到直线的距离，
则，
解得或，
直线的方程为或；
Ⅲ，即，
又，即，解得，
对于任意，欲使，
此时，，
只需要作直线的平行线，使圆心到直线的距离为，
必然与圆交于、两点，此时，即，
因此实数的取值范围为
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