1.1.1第1课时 集合的概念及几种常见的数集 练习（含解析）-2024-2025学年高一上学期数学人教B版（2019)必修第一册

1.1　集合
1.1.1　集合及其表示方法
第1课时　集合的概念及几种常见的数集
一、选择题
1.下列给出的对象中,能组成集合的是 (　 )
A.平面内与定点A,B等距离的点
B.高中学生中的游泳能手
C.无限接近10的数
D.非常长的河流
2.集合A中的元素x满足x>3,则 (　 )
A.1∈A B.0∈A
C.2∈A D.4∈A
3.下列关系正确的个数为 (　 )
①12∈R;②2∈Q;③|-3|∈N;④|-3|∈Z;⑤0 N.
A.1 B.2
C.3 D.4
4.若以方程x2-3x+2=0和x2-5x+6=0的所有的解为元素组成集合A,则集合A中元素的个数为 (　 )
A.1 B.2
C.3 D.4
5.若以集合A中的四个元素a,b,c,d为边长构成一个四边形,则这个四边形可能是 (　 )
A.梯形 B.平行四边形
C.菱形 D.矩形
6.已知集合A是由形如m+n(其中m,n∈Z)的数组成的,则下列属于集合A的是 (　 )
①2-;②5;③+1.
A.①② B.①③
C.②③ D.①②③
7.若集合A中有两个元素x+2,x2,且4∈A,则实数x的值为 (　 )
A.-2 B.2
C.2或-2 D.2或4
8.(多选题)下列说法正确的有 (　 )
A.N与N*是同一个集合
B.N中的元素都是Z中的元素
C.Q中的元素都是Z中的元素
D.Q中的元素都是R中的元素
9.(多选题)已知x,y,z为非零实数,代数式+++的值所组成的集合是M,则下列判断正确的是 (　 )
A.0 M B.2∈M
C.-4∈M D.4∈M
二、填空题
10.已知集合A中的元素满足x=3k-1,k∈Z,则-1　　　　A,-34　　　　A.(填“∈”或“ ”)
11.已知a∈A且4-a∈A,a∈N且4-a∈N,且A中没有其他元素.若A中只有1个元素,则a=　　　　;若A中有2个元素,则a=　　　　.
12.若集合A具有以下两个性质,则称集合A是一个“好集合”.
(1)0∈A且1∈A;
(2)若x,y∈A,则x-y∈A,且当x≠0时,有∈A.
给出以下说法:
①若集合P中有五个元素-2,-1,0,1,2,则P是一个“好集合”;②Z是“好集合”;③Q是“好集合”;④R是“好集合”;⑤设集合A是“好集合”,若x,y∈A,则x+y∈A.
其中正确说法的序号是　　　　.
三、解答题
13.设x∈R,集合A中含有三个元素3,x,x2-2x.
(1)求实数x应满足的条件;
(2)若-2∈A,求实数x的值.
14.已知a∈R,b∈R,若集合A中有三个元素a,,1,集合B中有三个元素a2,a+b,0,且A=B,求a2023+(b-1)2023的值.
15.已知集合A中有三个元素1,x,y,集合B中有三个元素1,x2,2y,若集合A与集合B中的元素相同,则A=　　　　.
16.设数集A由实数构成,且满足:若x∈A(x≠1且x≠0),则∈A.
(1)若2∈A,试证明集合A中有元素-1,.
(2)判断集合A中至少有几个元素 并说明理由.
(3)若集合A中的元素个数不超过8,所有元素的和为,且集合A中有一个元素的平方等于所有元素的积,求集合A中的元素.
1.1　集合
1.1.1　集合及其表示方法
第1课时　集合的概念及几种常见的数集
1.A　[解析] 对于选项B,C,D,描述不够准确具体,元素不能确定,所以都不正确;对于选项A,平面内与定点A,B等距离的点,元素是确定的,具体的,故A正确.故选A.
2.D　[解析] 因为集合A中的元素x满足x>3,所以1 A,0 A,2 A,4∈A.故选D.
3.D　[解析] 因为12是实数,所以12∈R,故①正确;因为2是有理数,所以2∈Q,故②正确;因为|-3|=3是自然数,所以|-3|∈N,故③正确;因为|-3|=3是整数,所以|-3|∈Z,故④正确;因为0是自然数,所以0∈N,故⑤不正确.故选D.
4.C　[解析] 方程x2-3x+2=0的解为x=2或x=1,方程x2-5x+6=0的解为x=2或x=3,所以集合A中含有3个元素.
5.A　[解析] 由题知a,b,c,d四个元素互不相同,则它们组成的四边形的四条边长都不相等.故选A.
6.A　[解析] 2-中,m=2,n=-1,符合条件;5=5+×0中,m=5,n=0,符合条件;+1中,m=1,n=,不符合条件.故属于集合A的是①②.故选A.
7.A　[解析] 因为4∈A,所以x+2=4或x2=4,且x+2≠x2,可得x=-2.
8.BD　[解析] 因为N*表示正整数集,N表示自然数集,Z表示整数集,Q表示有理数集,R表示实数集,所以A,C中的说法不正确,B,D中的说法正确.故选BD.
9.CD　[解析] 根据题意,分4种情况讨论:①当x,y,z全部为负数时,xyz也为负数,则+++=-4;②当x,y,z中只有一个负数时,xyz为负数,则+++=0;③当x,y,z中有两个负数时,xyz为正数,则+++=0;④当x,y,z全部为正数时,xyz也为正数,则+++=4.则M中共有3个元素,分别为-4,0,4.结合各选项可得A,B错误,C,D正确.故选CD.
10.∈　∈　[解析] 当k=0时,x=-1,所以-1∈A;令-34=3k-1,得k=-11,所以-34∈A.
11.2　0或1或3或4　[解析] 因为a∈N且4-a∈N,所以a=0,1,2,3,4.当a=4-a,即a=2时,A中只有1个元素;当a≠4-a,即a=0或1或3或4时,A中有2个元素.
12.③④⑤　[解析] 对于①,2∈P,-2∈P,但2-(-2)=4 P,故①错误;对于②,2∈Z,但 Z,故②错误;对于③④,显然集合Q,R均满足(1)(2),所以Q,R都是“好集合”,故③④正确;对于⑤,当y∈A时,因为0∈A,所以-y=0-y∈A,又x∈A,所以x+y=x-(-y)∈A,故⑤正确.故正确说法的序号是③④⑤.
13.解:(1)根据集合中元素的互异性,可知
解得x≠0且x≠3且x≠-1.
(2)因为x2-2x=(x-1)2-1≥-1,且-2∈A,所以x2-2x≠-2,则x=-2.
14.解:由已知可得a≠0且a≠1.
由题知或可得
所以a2023+(b-1)2023=(-1)2023+(-1)2023=-2.
15.　[解析] 若x=x2,y=2y,则x=0,y=0或x=1,y=0,不满足集合中元素的互异性;若x=2y,y=x2,则x=0,y=0(舍)或x=,y=,满足题意,故A=.
16.解:(1)证明:因为2∈A,所以=-1∈A.因为-1∈A,所以=∈A.故集合A中有元素-1,.
(2)由题意可知,若x∈A(x≠1且x≠0),则∈A,则∈A,则x∈A,因为x≠,≠,x≠,所以集合A中至少有3个元素.
(3)因为集合A中的元素个数不超过8,所以由(2)知A中有6个元素.设A中元素为x,,,m,,,m≠x,x≠1且x≠0,m≠1且m≠0,因为集合A中所有元素的积为1,所以不妨设x2=1,所以x=-1,所以,2∈A.因为集合A中所有元素的和为,所以+2-1+m++=,所以6m3-19m2+m+6=0,即(m-3)(2m+1)(3m-2)=0,所以m=-或m=3或m=,所以A中的元素为,2,-1,-,3,.