3.3 幂函数 同步练习（含解析）-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

3.3幂函数
一、单选题
1．函数为幂函数，则该函数为（ ）
A．增函数 B．减函数 C．奇函数 D．偶函数
2．已知点在幂函数的图象上，则（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
3．已知幂函数是定义域上的奇函数，则（ ）
A．或3 B．3 C． D．
4．下列函数既是幂函数，又在上单调递减的是（ ）
A． B． C． D．
5．若幂函数的图象过点，则该幂函数的解析式是（ ）
A． B． C． D．
6．已知幂函数的图象经过，则（ ）
A．是偶函数，且在上是增函数
B．是偶函数，且在上是减函数
C．是奇函数，且在上是减函数
D．是非奇非偶函数，且在上是增函数
7．幂函数的图象如图，则将的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
8．下图给出个幂函数的图象，则图象与函数大致对应的是（ ）

A．①，②，③，④
B．①，②，③，④
C．①，②，③，④
D．①，②，④，④
二、多选题
9．下列关于幂函数的描述中，正确的是（ ）
A．幂函数的图象经过第一象限
B．幂函数的图象都经过点
C．当时，幂函数在上单调递增
D．幂函数的定义域为
10．下列哪些函数是幂函数（ ）
A． B． C． D．
11．已知函数的图象经过点，则（ ）
A．的图象经过点
B．为奇函数
C．在定义域上单调递减
D．在内的值域为
12．下列说法正确的是（ ）
A．若存在，，当时，有，则在上单调递增
B．函数在定义域内单调递减
C．函数的单调递增区间是
D．不等式的解集是
三、填空题
13．幂函数的性质
定义域 R R
值域 R
奇偶性 奇 偶
单调性 增函数 当,时， 当,0]时， 增函数 当,时， 当,0)时，
14．幂函数及直线，，将平面直角坐标系的第一象限分成八个“卦限”：①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧（如图所示），那么幂函数的图像经过的“卦限”是 ．

15．已知函数是幂函数，且在上单调递增，则 .
16．已知幂函数过点，若，则实数a的取值范围是 .
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D C D D B A B A AB BD
题号 11 12
答案 ABD CD
1．D
【分析】根据幂函数定义可得，求得解析式即可得出该函数为偶函数；
【详解】由题意知，即，
则该函数为，此时函数定义域为全体实数集，
该函数在定义域内有增有减，不是单调函数；
函数满足，为偶函数.
故选：D
2．C
【分析】直接由幂函数的定义列方程组即可求解.
【详解】由题意.
故选：C.
3．D
【分析】根据给定条件，利用幂函数的定义及性质列式计算即得.
【详解】由函数是幂函数，得，解得或，
当时，是R上的偶函数，不符合题意，
当时，是上的奇函数，符合题意，
所以.
故选：D
4．D
【分析】根据幂函数的定义及常用函数的单调性计算即可.
【详解】因为形如的函数为幂函数，显然A、C不符合定义，B、D符合幂函数定义；
又在上单调递减，在上单调递增，故D正确，
在上单调递增，在上单调递减，即C错误.
故选：D
5．B
【分析】根据幂函数设解析式，再代入点求出解析式即可.
【详解】设幂函数解析式为，代入点可得，即，所以
所以该幂函数的解析式是.
故选：B
6．A
【分析】根据题意和幂函数的定义可得，结合幂函数的单调性和奇偶性即可求解.
【详解】设幂函数的解析式为，
则，解得，
所以，定义域为R，且，
所以函数为偶函数，在上单调递增.
故选：A.
7．B
【分析】根据幂函数的图象和性质结合已知图象分析判断即可.
【详解】对于幂函数，若函数在上单调递增，则，若函数在上单调递减，则，
所以，
当时，若的图象在的上方，则，若的图象在的下方，则，
所以，
因为当时，指数越大，图象越高，所以，
综上，，
故选：B
8．A
【分析】根据函数的解析式判断图像性质，即可判断图像.
【详解】幂函数的定义域为，且为奇函数，在上单调递增，对应图像①；
幂函数的定义域为，且为偶函数，在上单调递增，对应图像②；
幂函数的定义域为，为非奇非偶函数，在上单调递增，对应图像③；
幂函数的定义域为，且为奇函数，在上单调递减，对应图像④；
故选：A.
9．AB
【分析】根据幂函数的图象及性质可判断选项A、B正确；取，可判断选项C、D错误.
【详解】当时，幂函数对任意都有意义，且，故经过第一象限，选项A正确；
因为，所以幂函数的图象都经过点，选项正确；
当时，函数定义域为，选项C、D错误；
故选：AB．
10．BD
【分析】由幂函数的定义对比选项即可求解.
【详解】由幂函数的标准形式，对比选项可知，与符合题意.
故选：BD.
11．ABD
【分析】将代入求出函数解析式，根据幂函数性质判断选项即可.
【详解】函数的图象经过点，得，得，
所以，
对于A. 代入，即成立，故A正确；
对于B. 的定义域为，满足，是奇函数，
故B正确
对于C.在定义域内不单调，在上单调递减.故C错.
对于D.当时，，即在内的值域为.故D正确.
故选：ABD
12．CD
【分析】由函数单调性的定义、具体函数的单调性、一元二次不等式的解法相关知识逐项辨析即可.
【详解】对于A，由函数单调性的定义，对任意，，当时，有，则在上单调递增，不能使用存在量词“存在”，故选项A错误；
对于B，函数在区间和单调递减，而不是定义域内单调递减，故选项B错误；
对于C，二次函数的图象为开口向上的抛物线，其对称轴为直线，单调递增区间是，故选项C正确；
对于D，不等式对应的二次函数为，，其图象是开口向上，与轴有一个公共点的抛物线，当时，，即不等式的解集为，故选项D正确.
故选：CD.
13． 奇函数 非奇非偶 奇函数 增函数 减函数 增函数 减函数 减函数
【分析】略
【详解】略
14．①⑤
【分析】分别求出在和上的函数值范围，结合卦限概念即可判断.
【详解】对于函数，当时，，
故其图象在的部分位于直线与之间，即图象经过①卦限；
而当时，，
故其图象在的部分位于直线与之间，即图象经过⑤卦限.
故答案为：①⑤.
15．
【分析】利用幂函数的定义和性质，求即可.
【详解】由题意可知,
解得，
所以,
所以.
故答案为：.
16．
【分析】设出幂函数解析式代入点待定，再结合函数的单调性与定义域得不等式组求解即可得.
【详解】设幂函数，因为函数图象过点，
则，解得，
则，其定义域为，且在单调递减.
所以由，
可得，解得.
所以实数a的取值范围是.
故答案为：.