2.2 基本不等式（第一课时）课件(共16张PPT)

(共16张PPT)
2.2 基本不等式
（第一课时）
教学目标：
1.推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义.
2.会用基本不等式解决简单问题.
教学重点：
准确熟练运用基本不等式
教学难点：
将问题转化为基本不等式解决
复习引入
性质 别名 性质内容 注意
1 对称性 a>b a2 传递性 a>b，b>c a>c
3 可加性 a>b a＋c>b＋c
4 可乘性 a>b，c>0 ac>bc； a>b，c<0 ac5 同向可加性 a>b，c>d a＋c>b＋d 同向
6 同向同正可乘性 a>b>0，c>d>0 ac>bd 同向 同正
7 可乘方性 a>b>0 an>bn(n∈N*，n≥2)
8 可开方性 a>b>0 (n∈N*，n≥2)
探索新知
重要不等式:
a, b∈R，有a2+b2 ≥ 2ab （当且仅当a=b时，等号成立）
思考
如果a>0,b>0,我们用 分别代替上式中的a , b ,
可以等到什么的结果？
a, b∈R，有 a2+b2 ≥ 2ab （当且仅当a=b时，等号成立）
探索新知
可以得到：
通常把上式写作：
通常称上述不等式为基本不等式．其中， 叫做正数a，b的
算术平均数， 叫做正数a，b的几何平均数．
↑
算术
平均值
↑
几何
平均值
代数解释：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。
思考
我们如何来证明基本不等式呢？
证明： （当且仅当a=b时，等号成立）
方法一（作差法）
证明：
思考
除了可以用作差法证明，我们还可以用其它方法吗？下面我们来分析一下。
方法二
显然，（3）成立，当且仅当a=b时，等号成立。
这是一种执果索因的证明方法，叫做分析法。
只要把上述过程倒过来，就是我们熟悉的方法了。
思考
除了可以用作差法证明，我们还可以用其它方法吗？下面我们来分析一下。
方法三（综合法）
当且仅当a=b时，等号成立。
探索
如图,AB是圆的直径，C是AB上任一点，AC=a,CB=b,过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD,BD, 你能利用这个图形，得出基本不等式的几何解释？
如图，可证△ACD∽△DCB，则CD= ，半径为 ，
圆的半径大于或等于CD，用不等式表示为 ，
当且仅当点C与圆心重合，即当a＝b时，上述不等式的等号成立．
几何解释：在同一圆中，圆的半径不小于半弦。
还有其它的解释吗
例题精讲
例1.已知x >0，求 的最小值
思考
例题精讲
例2.已知a，b都是正数，满足a+b=18，求
ab 的最大值.
当且仅当a=b=9时，等号成立
因此所求最大值为81.
思考：你能从例 1和例2中得出怎样的结论？
积定和最小，和定积最大
利用不 等式应注意哪些条件？
一正
二定
三相等
课堂练习
已知x，y都是正数，且x≠y，求证：
课堂练习
已知x，y都是正数，且x≠y，求证：
例题精讲
例3.已知x ，y都是正数，求证：
（1）若xy 等于定值P，那么当x =y时，x +y取得最小值 ；
(2)若x +y等于定值S，那么当x =y时，xy 取得最大值 .
例题精讲
例3.已知x ，y都是正数，求证：
（1）若xy 等于定值P，那么当x =y时，x +y取得最小值 ；
(2)若x +y等于定值S，那么当x =y时，xy 取得最大值 .
课堂总结
基本不 等式：
利用基本不等式求最值时，需满足:
（1）a，b必须是正数. （正）
（2）当a+b为定值时，便可求ab的最大值；
当ab为定值时，便可求a+b的最小值. （定）
（3）当且仅当a=b时，等式成立. （相等）
课后练习
1.已知x＞0，求 的最小值及相应的x值．
2.已知x,y＞0，x+2y=4，求 xy的最大值及相应的x,y值．
3.已知0＜x＜1，求x(1－x)的最大值及相应的x值．