3.2 函数与方程、不等式之间的关系
第2课时 二次函数的零点及其与对应方程、不等式解集之间的关系
一、选择题
1.关于x的一元二次不等式ax2+bx+c<0的解集是全体实数的条件是 ( )
A. B.
C. D.
2.若方程x2-2mx+4=0的两根满足一根大于2,一根小于1,则m的取值范围是 ( )
A. B.
C. D.
3.若函数f(x)=mx2+8mx+21,当f(x)<0时,-7
A.1 B.2
C.3 D.4
4.“-1A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
5.当x∈(1,2)时,不等式x2+mx+4<0恒成立,则实数m的取值范围是 ( )
A.(-∞,5] B.[-5,+∞)
C.[-5,5] D.(-∞,-5]
6.已知方程x2+ax+2=0有两根x1,x2,其中x1∈,x2∈(2,3),则实数a的取值范围为 ( )
A.
B.
C.
D.∪(1,+∞)
7.已知a∈R,则“a≤2”是“方程ax2+2x+1=0至少有一个负根”的 ( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
★8.(多选题)已知函数f(x)=ax2-2ax+4(a>0),若x1A.当x1+x2>2时,f(x1)B.当x1+x2=2时,f(x1)=f(x2)
C.当x1+x2>2时,f(x1)>f(x2)
D.f(x1)与f(x2)的大小关系与a有关
9.(多选题)设函数f(x)=(x-2)(x-5)-1有两个零点x1,x2,且x1A.x1<2,2B.x1>2,x2>5
C.x1<2,x2>5
D.25
二、填空题
10.不等式<0的解集为 .
11.已知μ∈R,函数f(x)=若函数f(x)的图象与x轴恰有2个交点,则μ的取值范围是 .
12.已知函数f(x)=2x2+bx+c(b,c均为实数),f(-10)=f(12).若方程f(x)=0有两个正实数根x1,x2,则+的最小值是 .
三、解答题
13.若函数f(x)为R上的奇函数,且当x>0时,f(x)=x2-4x+3.
(1)求f(x)的解析式;
(2)若a∈R,g(x)=f(x)-a,试讨论a取何值时,g(x)的零点个数最多 最少
14.已知二次函数f(x)的最小值为1,且f(0)=f(2)=3.
(1)求f(x)的解析式;
(2)若f(x)在区间[3a,a+1]上不单调,求实数a的取值范围;
(3)在区间[-3,-1]上,y=f(x)的图象恒在y=2x+2m+1的图象上方,试确定实数m的取值范围.
15.若关于x的方程x2-4|x|+5=m有四个不同的实数解,则实数m的取值范围是 ( )
A.(2,3) B.[2,3]
C.(1,5) D.[1,5]
16.已知函数f(x)=ax2-bx+1.
(1)是否存在实数a,b,使得不等式f(x)>0的解集是{x|3(2)若a为整数,b=a+2,且函数f(x)在(-2,-1)上恰有一个零点,求a的值.
第2课时 二次函数的零点及其
与对应方程、不等式解集之间的关系
1.D [解析] 由于不等式ax2+bx+c<0的解集为全体实数,所以与之相对应的二次函数y=ax2+bx+c的图象恒在x轴下方,则有
2.B [解析] 令f(x)=x2-2mx+4,由题意可知即所以即m>.故选B.
3.C [解析] 由题意知,方程mx2+8mx+21=0的两个根分别为-7,-1,所以=(-7)×(-1)=7,所以m=3.故选C.
4.A [解析] 若不等式-x2-3mx-4≥0的解集为 ,则Δ=(-3m)2-4×4<0,解得-5.D [解析] 设f(x)=x2+mx+4,要使当x∈(1,2)时,不等式x2+mx+4<0恒成立,只需即解得m≤-5,故实数m的取值范围是(-∞,-5].
6.B [解析] 设f(x)=x2+ax+2,则即解得-7.B [解析] 当a=0时,方程ax2+2x+1=0可变为2x+1=0,有一个负根x=-,满足题意;当a<0时,Δ=4-4a>0,方程的两根x1,x2满足x1x2=<0,此时有且仅有一个负根,满足题意;当a>0时,由方程根与系数的关系可得若方程有根,则两根都为负根,且方程有根的条件为Δ=4-4a≥0,解得08.AB [解析] 由题知函数f(x)=ax2-2ax+4(a>0)的图象开口向上,对称轴方程为x=1.当x1+x2=2时,点(x1,f(x1)),(x2,f(x2))关于直线x=1对称,则f(x1)=f(x2),故B正确;当x1+x2>2时,>1,又x1[技巧点拨] 此类综合性问题,需要结合二次函数的图象、判别式、根与系数的关系等进行综合分析.
9.ABD [解析] 令g(x)=(x-2)(x-5),则f(x)=g(x)-1,所以函数y=f(x)的零点就是函数g(x)=(x-2)(x-5)的图象与函数y=1的图象交点的横坐标.在同一平面直角坐标系中作出函数g(x)=(x-2)(x-5)的图象与y=1的图象,如图所示,由图可知x1<2,x2>5.只有C中说法正确.故选ABD.
10.{x|x<-1或011.(1,2]∪(3,+∞) [解析] 令x-3=0,得x=3,令x2-3x+2=0,得x=1或x=2.因为函数f(x)的图象与x轴恰有2个交点,所以当两个交点为(1,0),(2,0)时,1,2,3∈(-∞,μ),得μ>3;当两个交点为(1,0),(3,0)时,1∈(-∞,μ),2,3∈[μ,+∞),得1<μ≤2;当两个交点为(2,0),(3,0)时,2∈(-∞,μ),1,3∈[μ,+∞),此时μ无解.综上可得,μ的取值范围是(1,2]∪(3,+∞).
12.2 [解析] 根据题意知,函数f(x)=2x2+bx+c为二次函数,因为f(-10)=f(12),所以f(x)的图象的对称轴方程为x=1.又方程f(x)=0有两个正实数根x1,x2,所以x1+x2=2,故+=(x1+x2)=≥=2,当且仅当x1=x2=1时等号成立,即+的最小值是2.
13.解:(1)因为函数y=f(x)为R上的奇函数,所以f(0)=0;
当x<0时,-x>0,则此时f(x)=-f(-x)=-(x2+4x+3)=-x2-4x-3.
综上所述,f(x)=
(2)令g(x)=0,得a=f(x),作出函数y=f(x)的图象与直线y=a如图所示.
当a=0时,g(x)=f(x)-a有5个零点;
当0当a=±1时,g(x)=f(x)-a有3个零点;
当1当a≤-3或a≥3时,g(x)=f(x)-a有1个零点.
综上所述,当a=0时,g(x)=f(x)-a的零点个数最多;当a≤-3或a≥3时,g(x)=f(x)-a的零点个数最少.
14.解:(1)根据题意,二次函数f(x)满足f(0)=f(2)=3,可得函数f(x)的图象的对称轴方程为x=1,
因为函数f(x)的最小值为1,
所以不妨设f(x)=k(x-1)2+1,
又因为f(0)=3,所以f(0)=k+1=3,解得k=2,
所以函数f(x)的解析式为f(x)=2(x-1)2+1,即f(x)=2x2-4x+3.
(2)由已知得f(x)的图象的对称轴方程为x=1,
因为函数f(x)在区间[3a,a+1]上不单调,
所以3a<1故实数a的取值范围为.
(3)因为在区间[-3,-1]上,y=f(x)的图象恒在y=2x+2m+1的图象上方,
所以2x2-4x+3>2x+2m+1对x∈[-3,-1]恒成立,
即m设g(x)=x2-3x+1,则其图象的对称轴方程为x=,则g(x)在[-3,-1]上单调递减,
所以函数g(x)在[-3,-1]上的最小值为g(-1)=5,则m<5,所以实数m的取值范围为(-∞,5).
15.C [解析] 令f(x)=x2-4|x|+5=(|x|-2)2+1,画出函数y=f(x)的图象,如图所示.因为关于x的方程x2-4|x|+5=m有四个不同的实数解,所以f(x)的图象与直线y=m有四个不同的交点,由图知实数m的取值范围是(1,5),故选C.
16.解:(1)假设存在实数a,b使得不等式ax2-bx+1>0的解集是{x|3∴解得与a<0矛盾,
故不存在实数a,b,使得不等式f(x)>0的解集是{x|3(2)∵b=a+2,∴f(x)=ax2-(a+2)x+1.
∵Δ=(a+2)2-4a=a2+4>0,
∴函数f(x)=ax2-bx+1必有两个零点.
由函数f(x)在(-2,-1)上恰有一个零点,分三种情况讨论:
①当或时,由或得-②当f(-2)=0时,a=-,由f(x)=-x2-x+1=0,得x=-2或x=,不符合题意;
③当f(-1)=0时,a=-,由f(x)=-x2-x+1=0,得x=-1或x=,不符合题意.
综上,-又a为整数,∴a=-1.3.2 函数与方程、不等式之间的关系
第3课时 零点的存在性及其近似值的求法
一、选择题
1.用二分法求方程x3-2x-1=0的一个近似解时,若已确定一根在区间(1,2)内,则下一步可断定该根所在的区间为 ( )
A.(1.4,2) B.(1,1.2)
C.(1,1.5) D.(1.5,2)
2.关于二分法求方程的近似解,下列说法中正确的是 ( )
A.用二分法求方程的近似解一定可将y=f(x)在[a,b]内的所有零点都得到
B.用二分法求方程的近似解有可能得不到y=f(x)在[a,b]内的零点
C.用二分法求方程的近似解,y=f(x)在[a,b]内有可能无零点
D.用二分法求方程的近似解可能得到f(x)=0在[a,b]内的精确解
3.已知函数f(x)的图象如图所示,其中零点的个数及可以用二分法求近似解的零点的个数分别为 ( )
A.4,4 B.3,4 C.5,4 D.4,3
★4.若函数f(x)唯一的一个零点同时在区间(0,2),(0,4),(0,8),(0,16)内,则下列说法中正确的是 ( )
A.函数f(x)在区间(0,1)内有零点
B.函数f(x)在区间[2,16)内无零点
C.函数f(x)在区间(1,16)内无零点
D.函数f(x)在区间(0,1)或(1,2)内有零点
5.已知函数f(x)的图象在区间[1,3]上连续不断,则“f(1)+f(2)+f(3)=0”是“f(x)在[1,3]上存在零点”的 ( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
6.在用“二分法”求函数f(x)的零点的近似值时,第一次所取的区间是[-2,4],则第三次所取的区间可能是 ( )
A.[1,4] B.[-2,1]
C. D.
7.[2023·辽宁实验中学高一期中] 函数f(x)=x3-x2+5,x∈[-2,-1]有零点,用二分法求零点的近似值(精确度0.1)时,至少需要计算函数值的次数为 ( )
A.2 B.3 C.4 D.5
8.(多选题)若函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条不间断的曲线,则下列说法中正确的是 ( )
A.若f(a)f(b)<0,则存在实数c∈(a,b),使得f(c)=0
B.若f(a)f(b)>0,则不存在实数c∈(a,b),使得f(c)=0
C.若对任意的实数c∈[a,b],f(c)≠0,则f(a)f(b)>0
D.若对任意的实数c∈(a,b),f(c)=0,则f(a)f(b)<0
9.(多选题)若函数f(x)的图象是连续的,且函数f(x)的唯一异号零点同在(0,4),(0,2),内,则与f(0)符号不同的是 ( )
A.f(4) B.f(2)
C.f(1) D.f
二、填空题
10.用二分法研究函数f(x)=x2+3x-1的零点时,第一次经过计算得f(0)<0,f(0.5)>0,可得其中一个零点x0∈ ,第二次应计算 .
11.已知函数f(x)=x2+ax+b有零点,但不能用二分法求出,则a,b的关系是 .
12.若函数f(x)的图象是连续不断的,且f(0)>0,f(1)·f(2)·f(4)<0,则下列说法中一定正确的是 .(填序号)
①函数f(x)在区间(0,1)内有零点;
②函数f(x)在区间(1,2)内有零点;
③函数f(x)在区间(0,2)内有零点;
④函数f(x)在区间(0,4)内有零点.
三、解答题
13.用二分法求方程x2-8=0的近似解.(精度为0.01)
14.已知函数f(x)=x3-x2+1.
(1)证明:方程f(x)=0在区间(0,2)内有实数解;
(2)请使用二分法,取区间[0,2]的中点两次,指出方程f(x)=0,x∈[0,2]的实数解x0在哪个较小的区间内.
15.若函数f(x)=x3+ax2+bx+c有三个零点-1,1,x0,且x0∈(2,3),则实数c的取值范围是 .
16.已知函数f(x)=3ax2+2bx+c,a+b+c=0,f(0)>0,f(1)>0,证明a>0,并利用二分法证明方程f(x)=0在区间[0,1]内有两个实根.
第3课时 零点的存在性及其近似值的求法
1.D [解析] 设f(x)=x3-2x-1,则f(1)=-2,f(2)=3,又f(1.5)=-0.625<0,f(2)>0,所以方程x3-2x-1=0的根位于区间(1.5,2)内.故选D.
2.D [解析] 由二分法的定义知,在计算过程中,当区间分的越来越小的时候,计算也越来越麻烦,不可能无限制的计算下去,故不一定将y=f(x)在[a,b]内的所有零点得到,故A中说法错误;只要限定了近似解的范围就可以得到方程的近似解,故B中说法错误;二分法的实施需满足零点存在定理,故在区间内一定存在零点,甚至有可能得到函数的精确零点,故C中说法错误,D中说法正确.故选D.
3.D [解析] 由图象知函数f(x)的图象与x轴有4个交点,因此零点的个数为4.从左往右数第4个与x轴的交点两侧不满足函数值异号,因此不能用二分法求零点近似解,而其余3个均可使用二分法求零点近似解.
4.B [解析] 由函数f(x)唯一的一个零点同时在区间(0,2),(0,4),(0,8),(0,16)内,可确定零点在区间(0,2)内,故f(x)在区间[2,16)内无零点,故选项B正确;当f(x)的零点在区间(1,2)时,选项A,C错误;f(x)的零点可能为1,故选项D错误.故选B.
[易错点] 在用零点存在定理判断函数零点时,要注意:在函数的图象是连续不断的前提下, “f(a)f(b)<0”是“函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点”的充分不必要条件.
5.A [解析] 当f(x)在[1,3]上存在零点时,不一定能得到f(1)+f(2)+f(3)=0,例如f(x)=(x-2)2,此时f(x)的零点为2,但f(1)+f(2)+f(3)=2≠0,所以必要性不成立.当f(1)+f(2)+f(3)=0时,若f(1),f(2),f(3)三个值中存在0,则f(x)在[1,3]上存在零点,若f(1),f(2),f(3)三个值均不为0,不妨设f(1)≥f(2)≥f(3),因为f(1)+f(2)+f(3)=0,所以f(1)>0,f(3)<0,取等号时f(1)=f(2)=f(3)=0不满足条件,所以f(1)>0,f(3)<0,则f(1)f(3)<0,根据函数零点存在定理可知f(x)在[1,3]上存在零点,所以充分性成立.所以“f(1)+f(2)+f(3)=0”是“f(x)在[1,3]上存在零点”的充分不必要条件,故选A.
6.D [解析] ∵第一次所取的区间是[-2,4],∴第二次所取的区间可能为[-2,1],[1,4],∴第三次所取的区间可能为,,,.故选D.
7.B [解析] f(-2)=-8-4+5=-7<0,f(-1)=-1-1+5=3>0,|-2-(-1)|=1>0.2,取区间(-2,-1)的中点x1==-, 因为f=--+5=-<0,所以零点在区间上.=>0.2,取区间的中点x2==-,因为f=-+5>0,所以零点在区间上.=>0.2,取区间的中点x3==-,因为f=-+5>0,所以零点在区间上.因为=<0.2,所以区间的中点x4==-,即为零点的近似值,即函数f(x)的零点x0≈-,所以至少需进行3次函数值的计算.故选B.
8.AC [解析] 若f(a)f(b)<0,则存在实数c∈(a, b),使得f(c)=0,故A正确;若f(a)f(b)>0,则有可能存在实数c∈(a, b),使得f(c)=0,故B错误;若对任意的实数c∈[a,b],f(c)≠0,则f(a)f(b)>0,故C正确;若对任意的实数c∈(a, b),f(c)=0,则f(a)f(b)=0,故D错误.故选AC.
9.ABD [解析] 因为函数f(x)的唯一异号零点同在(0,4),(0,2),内,所以函数f(x)的零点在(1,2)内,所以f(0)·f(4)<0,f(0)·f(2)<0,f(1)·f(2)<0,f(1)·f<0,所以与f(0)符号不同的是f(4),f(2),f,故选ABD.
10.(0,0.5) f(0.25) [解析] 由零点存在定理可知,x0∈(0,0.5),取该区间的中点=0.25,所以第二次应计算f(0.25).
11.a2=4b [解析] ∵函数f(x)=x2+ax+b有零点,但不能用二分法求出,∴函数f(x)=x2+ax+b的图象与x轴相切,∴Δ=a2-4b=0,∴a2=4b.
12.④ [解析] ∵f(1)f(2)f(4)<0,∴f(1),f(2),f(4)中有一个小于0,两个大于0或三个都小于0,又f(0)>0,∴函数f(x)在区间(0,4)内一定有零点.故填④.
13.解:令f(x)=x2-8.因为f(x)为偶函数,所以只要求出一个正实数解即可.
因为f(2)=-4<0,f(3)=1>0,所以方程x2-8=0在(2,3)内有解,所以取区间(2,3)为初始区间,用二分法逐步计算,列表如下:
零点所在区间 区间中点 中点对应的函数值 取中点作为近似值时误差小于的值
(2,3) 2.5 -1.75 0.5
(2.5,3) 2.75 -0.437 5 0.25
(2.75,3) 2.875 0.265 625 0.125
(2.75,2.875) 2.812 5 -0.089 844 0.062 5
(2.812 5,2.875) 2.843 75 0.086 914 0.031 25
(2.812 5,2.843 75) 2.828 125 -0.001 709 0.015 625
由于|2.828 125-2.843 75|<0.02,所以可取=2.835 937 5作为方程的一个近似解,则方程的近似解是±2.835 937 5.
14.解:(1)证明:∵f(0)=1>0,f(2)=-<0,∴f(0)·f(2)=-<0,
又函数f(x)=x3-x2+1的图象是连续不断的,
∴由函数的零点存在定理可得方程f(x)=0在区间(0,2)内有实数解.
(2)取x1=×(0+2)=1,得f(1)=>0,由此可得f(1)·f(2)=-<0,
则下一个有解区间为(1,2).
再取x2=×(1+2)=,得f=-<0,由f(1)·f=-<0,得下一个有解区间为.
综上所述,所求的实数解x0在区间内.
15.(2,3) [解析] 因为-1,1是函数的零点,所以所以所以f(x)=x3-cx2-x+c.令f(x)=0,即x3-cx2-x+c=0,即(x-c)(x2-1)=0,又因为x0是函数f(x)的零点,所以x0=c,因为x0∈(2,3),所以216.证明:∵f(1)>0,∴f(1)=3a+2b+c>0,
即3(a+b+c)-b-2c>0.
∵a+b+c=0,∴a=-b-c,-b-2c>0,
∴-b-c>c,即a>c.
∵f(0)>0,∴f(0)=c>0,∴a>0.
取区间[0,1]的中点,
则f=a+b+c=a+(-a)=-a<0.
∵f(0)>0,f(1)>0,
∴函数f(x)在区间和上有零点.
又f(x)为二次函数,最多有两个零点,∴f(x)=0在[0,1]内有两个实根.3.2 函数与方程、不等式之间的关系
第1课时 函数的零点
一、选择题
1.函数y=1+的零点是 ( )
A.(-1,0) B.0
C.-1 D.1
2.下列图象表示的函数中,没有零点的是 ( )
A B C D
3.若函数f(x)=ax+b(a≠0)有一个零点为2,则函数g(x)=bx2-ax的零点是 ( )
A.0,- B.0,
C.0,2 D.2,-
★4.若f(x)=则函数g(x)=f(x)-x的零点个数是 ( )
A.1 B.2
C.3 D.4
5.函数y=f(x)的大致图像如图所示,则函数y=f(|x|)的零点的个数为 ( )
A.4 B.5 C.6 D.7
6.若方程|x2-4x|-a=0有四个不相等的实根,则实数a的取值范围是 ( )
A.(4,+∞) B.(0,+∞)
C.(0,4) D.(2,4)
7.已知函数f(x)=若方程f(x)=a(x+3)有四个不同的实数根,则实数a的取值范围是 ( )
A.(-∞,4-2)
B.(4-2,4+2)
C.(0,4-2]
D.(0,4-2)
8.(多选题)下列说法中正确的是 ( )
A.f(x)=x+1,x∈[-2,0]的零点为(-1,0)
B.f(x)=x+1,x∈[-2,0]的零点为-1
C.函数f(x)的零点即为f(x)的图象与x轴的交点
D.函数f(x)的零点即为f(x)的图象与x轴交点的横坐标
9.(多选题)设函数f(x)=若方程f(x)-a=0存在三个不同的根x1,x2,x3,且x1A.x1+x2=2
B.a的取值范围是(0,1)
C.x1的取值范围是(-1,0)
D.x1+x2+x3的取值范围是(3,4)
二、填空题
10.函数f(x)(x∈[-2.5,3.5])的图象如图所示,则f(x)的零点为 .
11.若函数f(x)在定义域{x|x≠0}上是偶函数,且在(0,+∞)上是减函数,f(2)=0,则函数f(x)的零点有 个.
12.已知符号函数sgn(x)=则函数f(x)=sgn(x)-2x的所有零点构成的集合为 .
三、解答题
13.求下列函数的零点:
(1)f(x)=2x+3;
(2)g(x)=x2(1-x)3(x2-2);
(3)F(x)=
14.已知函数f(x)=|x-2|+1,g(x)=kx,若方程f(x)=g(x)有两个不相等的实根,求实数k的取值范围.
15.已知函数f(x)=若函数g(x)=[f(x)]2-af(x)+2有6个零点,则a的值可能为 ( )
A.-1 B.-2
C.-3 D.-4
16.已知y=f(x)是定义域为R的奇函数,当x∈[0,+∞)时,f(x)=x2-2x.
(1)写出函数y=f(x)的解析式;
(2)若方程f(x)=a恰有3个不同的解,求实数a的取值范围.
3.2 函数与方程、不等式之间的关系
第1课时 函数的零点
1.C [解析] 令y=0,则1+=0,解得x=-1,即函数的零点是-1.故选C.
2.A [解析] 函数的零点就是函数的图象与x轴的交点的横坐标,而A选项中的图象与x轴没有交点,所以A选项中的图象表示的函数没有零点.故选A.
3.A [解析] 因为a≠0,2a+b=0,所以b≠0,=-.令bx2-ax=0,得x=0或x==-.故选A.
4.B [解析] 函数g(x)=f(x)-x的零点即为方程f(x)-x=0的根.当x∈(-∞,-1]∪[2,+∞)时,方程f(x)-x=0,即为x2-2x-1=0,解得x=1+或x=1-,因为1- (-∞,-1]∪[2,+∞),所以x=1+;当x∈(-1,2)时,方程f(x)-x=0,即为1-x=0,则x=1,符合题意.综上,函数g(x)的零点为1+和1.故选B.
[易错点] 与分段函数有关的方程问题,一定要在各段区间之内分别求解.
5.D [解析] ∵y=f(|x|)是偶函数,∴其图象关于y轴对称.∵当x>0时,函数y=f(|x|)有三个零点,∴当x<0时,函数y=f(|x|)有三个零点.又∵0是y=f(|x|)的一个零点,∴函数y=f(|x|)共有7个零点.
6.C [解析] 由|x2-4x|-a=0,得a=|x2-4x|,作出函数y=|x2-4x|的图象(如图),则由图象可知,要使方程|x2-4x|-a=0有四个不相等的实根,则07.D [解析] 设y=a(x+3),则直线y=a(x+3)恒过点(-3,0).方程f(x)=a(x+3)有四个不同的实数根,则y=f(x)的图象与直线y=a(x+3)有四个不同的交点.作出函数y=f(x)的图象,如图.由图得a>0,所以直线y=a(x+3)与曲线y=-x2-2x,x∈(-2,0)有两个不同的公共点,所以关于x的方程x2+(2+a)x+3a=0在(-2,0)上有两个不等实根.令g(x)=x2+(2+a)x+3a,则解得08.BD [解析] 根据函数零点的定义可知,f(x)=x+1,x∈[-2,0]的零点为-1,函数f(x)的零点即为f(x)的图象与x轴交点的横坐标.故选BD.
9.BC [解析] 作出函数f(x)的图象,如图所示,由图可知,a的取值范围为(0,1),x1的取值范围为(-1,0),x3的取值范围为(1,2),由二次函数的图象和性质可得x1+x2=0,则x1+x2+x3的取值范围为(1,2),故A,D错误,B,C正确.故选BC.
10.-2,-1,-0.5,1,2,2.5,3 [解析] 由题图知函数f(x)的零点为-2,-1,-0.5,1,2,2.5,3.
11.2 [解析] 因为函数f(x)在(0,+∞)上是减函数,f(2)=0,所以f(x)在(0,+∞)上的图象与x轴只有1个交点,又因为f(x)在定义域{x|x≠0}上是偶函数,所以f(x)在(-∞,0)上的图象与x轴也只有1个交点,即f(-2)=0,所以f(x)有2个零点.
12. [解析] 当x>0时,函数f(x)=sgn(x)-2x=1-2x,令1-2x=0,得x=,即当x>0时,函数f(x)的零点是;当x=0时,函数f(x)=0,此时函数f(x)的零点是0;当x<0时,函数f(x)=-1-2x,令-1-2x=0,得x=-,即当x<0时,函数f(x)的零点是-.综上可得,函数f(x)=sgn(x)-2x的所有零点构成的集合为.
13.解:(1)解方程2x+3=0,得x=-,所以f(x)的零点为-.
(2)解方程x2(1-x)3(x2-2)=0,得x=0或x=1或x=或x=-,所以函数g(x)的零点为0,1,,-.
(3)令F(x)=0,则当x≥0时,可得3x-2=0,解得x=,满足题意;当x<0时,可得=0,此方程无解.
故函数F(x)的零点为.
14.解:画出函数f(x)的图象,如图所示.
若方程f(x)=g(x)有两个不相等的实根,
则函数f(x),g(x)的图象有两个不同的交点,
由图可知k>且k<1.故实数k的取值范围是.
15.C [解析] 由题可得,f(3)=f(-3)=0,f(x)在(-∞,0),(3,+∞)上单调递减,在(0,3)上单调递增,作出函数f(x)的图象,如图所示.令f(x)=t,则由题意可得t2-at+2=0有2个不同的实数根t1,t2,且t1,t2∈(-3,0),则解得-16.解:(1)当x∈(-∞,0)时,-x∈(0,+∞),
∵y=f(x)是奇函数,∴f(x)=-f(-x)=-[(-x)2-2(-x)]=-x2-2x,∴f(x)=
(2)当x∈[0,+∞)时,f(x)=x2-2x=(x-1)2-1,最小值为-1;当x∈(-∞,0)时,f(x)=-x2-2x=1-(x+1)2,最大值为1.
作出函数y=f(x)的图象,如图所示,根据图象得,若方程f(x)=a恰有3个不同的解,
则实数a的取值范围是(-1,1).