福建省宁德市2015-2016学年高二（上）期末数学试卷（理科）（解析版）
文档属性
| 名称 | 福建省宁德市2015-2016学年高二（上）期末数学试卷（理科）（解析版） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 177.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2016-03-15 08:34:10 | ||
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文档简介
2015-2016学年福建省宁德市高二（上）期末数学试卷（理科）
一、选择题（本大題共12小题，每小题分，共60分在每小题给出的四个选项中，有且只有一个项是符合題目要求的）
1．若a＞b且c∈R，则下列不等式中一定成立的是（ ）
A．a2＞b2 B．ac＞bc C．ac2＞bc2 D．a﹣c＞b﹣c
2．双曲线=1的渐近线方程为（ ）
A．y=±3x B．y=±x C．y=±x D．y=±x
3．等比数列{an}中各项均为正数a1a5=4，a4=1，则{an}的公比q为（ ）
A．2 B． C．± D．±2
4．在空间直角坐标系中，点（﹣2，1，4）关于x轴的对称点的坐标为（ ）
A． C．
5．两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离都 ( http: / / www.21cnjy.com )等于a海里，灯塔A在观测站C北偏东75°的方向上，灯塔B在观测站C的东南方向，则灯搭A和B之间的距离为（ ）
A．a海里 B． a海里 C． a海里 D．2a海里
6．设实数x，y满足，则z=x+3y的最小值为（ ）
A．﹣6 B．﹣3 C．5 D．27
7．关于x的方程x2﹣（2a+l）x+a2=0有实数根的一个充分不必要条件是（ ）
A．a＞1 B．a＞﹣2 C．a≥﹣ D．a≥﹣4
8．在△ABC中，若A=30°，a=2，b=2，则此三角形解的个数为（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．不能确定
9．已知数列{an}的首项a1=1，且an=2an﹣1+1（n≥2），则a5为（ ）
A．7 B．15 C．30 D．31
10．如图，A，B，C，O1，O2∈平面α ( http: / / www.21cnjy.com )，AB=BC=，∠ABC=90°，D为动点，DC=2，且DC丄BC，当点D从O1，顺时针转动到O2的过程中（D与O1、O2不重合），异面直线AD与BC所成角（ ）
A．一直变小 B．一直变大
C．先变小，后变大 D．先变小，再变大，后变小
11．己知直线l1：4x﹣3y+6=0和直 ( http: / / www.21cnjy.com )线l2：x=﹣1，抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是（ ）
A．2 B．3 C． D．
12．已知Sn是等差数列{an}的前n项和，公差为d，且S2015＞S2016＞S2014，下列五个命题：
①d＞0
②S4029＞0
③S4030＜0
④数列{Sn}中的最大项为S4029
⑤|a2015|＜|a2016|
其中正确命题的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）
13．抛物线y2=x的焦点F坐标为 ．
14．已知Sn是数列{an}的前n项和，且有Sn=n2+1，则数列{an}的通项an= ．
15．如图四面体O﹣ABC中， ==， =，D为AB的中点，M为CD的中点，则= （，，用表示）
16． 如图，设椭圆+=1的左右焦点分别为F1、F2，过焦点F1的直线交椭圆于A、B两点，若以△ABF2的内切圆的面积为π，设A（x1，y1）、B（（x2，y2），则|y1﹣y2|值为 ．
三、解答题（共6小题，满分70分,解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
17．已知命题p： x∈[l，2]，m≤x2，命题q： x∈R，x2+mx+l＞0
（Ⅰ）写出“￢p命题；
（Ⅱ）若命题p∧q为真命题，求实数m的取值范围．
18．己知等差数列{an}中，a2=2，a5=5．
（Ⅰ）若bn=2，求数列{bn}的前n项的和Sn
（Ⅱ）若c1=a1，cn﹣cn﹣1=an，求数列{cn}的通项公式．
19．如图，四边形ABCD是梯形，AB∥CD，∠ADC=90°，四边形ADEF是矩形，且平面
ABCD丄平面ADEF，AB=AD=1，DE=CD=2，M是线段CE的中点．
（Ⅰ）求证：AC∥平面DMF；
（Ⅱ）求平面DMF与平面ABCD所成角的余弦值．
20．如图所示，在四边形ABCD中，AD=2，CD=3，∠D=2∠B且cosB=
（Ⅰ）求△ACD的面积；
（Ⅱ）若∠ACB=60°，求AB的长．
21．今年宁徳市工业转型升级持续推进， ( http: / / www.21cnjy.com )某企业为推介新型电机，计划投入适当的广告费，对生产的新型电机进行促销，据测量月销售量T（万台）与月广告费x（万元）之间的函数关系是T=5﹣（1≤x≤5）．己知该电机的月固定投入为5万元，每生产1万台仍需再投入25万元．将该电机的月利润S（万元）表示为月广告费又（万元）的函数；
（Ⅱ）当月广告费投入为多少万元时，此厂的月利润最大，最大利润为多少？（月利润=月销售收入﹣月生产成本﹣月广告费）．
22．椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，焦点到短轴断电的距离为2，离心率为．
（Ⅰ）求该椭圆的方程；
（Ⅱ）若直线l与椭圆C交于A，B两 ( http: / / www.21cnjy.com )点且OA⊥OB，是否存在以原点O为圆心的定圆与直线l相切？若存在求出定圆方程；若不存在，请说明理由．
2015-2016学年福建省宁德市高二（上）期末数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大題共12小题，每小题分，共60分在每小题给出的四个选项中，有且只有一个项是符合題目要求的）
1．若a＞b且c∈R，则下列不等式中一定成立的是（ ）
A．a2＞b2 B．ac＞bc C．ac2＞bc2 D．a﹣c＞b﹣c
【考点】不等式的基本性质．
【专题】计算题．
【分析】把不等式两边同时加上同一个实数﹣c，不等号不变．
【解答】解：∵a＞b且c∈R，不等式两边同时加上﹣c 可得，a﹣c＞b﹣c．
故选D．
【点评】本题主要考查不等式的性质的应用，利用了不等式两边同时加上同一个实数，不等号不变．
2．双曲线=1的渐近线方程为（ ）
A．y=±3x B．y=±x C．y=±x D．y=±x
【考点】双曲线的简单性质．
【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】利用双曲线的简单性质求解．
【解答】解：双曲线=1的渐近线方程为=0，
整理，得y=±x．
故选：C．
【点评】本题考查双曲线的渐近线方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意双曲线性质的合理运用．
3．等比数列{an}中各项均为正数a1a5=4，a4=1，则{an}的公比q为（ ）
A．2 B． C．± D．±2
【考点】等比数列的通项公式．
【专题】方程思想；综合法；等差数列与等比数列．
【分析】由题意可得a3，再由等比数列的通项公式可得q．
【解答】解：∵等比数列{an}中各项均为正数，且a1a5=4，a4=1，
∴a32=a1a5=4，解得a3=2，∴公比q==，
故选：B．
【点评】本题考查等比数列的通项公式，属基础题．
4．在空间直角坐标系中，点（﹣2，1，4）关于x轴的对称点的坐标为（ ）
A． C．
【考点】空间直角坐标系．
【专题】阅读型．
【分析】先根据空间直角坐标系对称点 ( http: / / www.21cnjy.com )的特征，点（x，y，z）关于x轴的对称点的坐标为只须将横坐标、竖坐标变成原来的相反数即可，即可得对称点的坐标．
【解答】解：∵在空间直角坐标系中，
点（x，y，z）关于x轴的对称点的坐标为：（x，﹣y，﹣z），
∴点（﹣2，1，4）关于x轴的对称点的坐标为：
（﹣2，﹣1，﹣4）．
故选B．
【点评】本小题主要考查空间直角坐标系、空间直 ( http: / / www.21cnjy.com )角坐标系中点的坐标特征等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．
5．两座灯塔A和B与海岸观 ( http: / / www.21cnjy.com )察站C的距离都等于a海里，灯塔A在观测站C北偏东75°的方向上，灯塔B在观测站C的东南方向，则灯搭A和B之间的距离为（ ）
A．a海里 B． a海里 C． a海里 D．2a海里
【考点】解三角形的实际应用．
【专题】数形结合；数形结合法；解三角形．
【分析】由方位角可得∠BCA=60°，判断出△ABC是等边三角形．
【解答】解：∵∠NCA=75°，∠BCE=45°，∴∠BCA=60°，
∵AC=BC=a，∴△ABC是等边三角形，∴AB=a．
故选：A．
【点评】本题考查了解三角形的应用，属于基础题．
6．设实数x，y满足，则z=x+3y的最小值为（ ）
A．﹣6 B．﹣3 C．5 D．27
【考点】简单线性规划．
【专题】数形结合；综合法；不等式．
【分析】画出满足约束条件表示的平可行域，然后分析平面区域里各个角点，然后将其代入z=x+3y中，求出最小值即可．
【解答】解：满足约束条件的可行域如下图示：
z=x+3y的最小值就是直线在y轴上的截距的倍，
由，解得A（3，﹣3），
由图可知，z=x+3y经过的交点A（3，﹣3）时，
Z=x+3y有最小值﹣6，
故选：A．
【点评】在解决线性规划的 ( http: / / www.21cnjy.com )小题时，常用“角点法”，其步骤为：①由约束条件画出可行域 ②求出可行域各个角点的坐标 ③将坐标逐一代入目标函数 ④验证，求出最优解．
7．关于x的方程x2﹣（2a+l）x+a2=0有实数根的一个充分不必要条件是（ ）
A．a＞1 B．a＞﹣2 C．a≥﹣ D．a≥﹣4
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【专题】方程思想；转化思想；简易逻辑．
【分析】关于x的方程x2﹣（2a+l）x+a2=0有实数根 △≥0，解得a即可判断出．
【解答】解：关于x的方程x2﹣（2a+l）x+a2=0有实数根 △=（2a+1）2﹣4a2≥0，解得a．
∴关于x的方程x2﹣（2a+l）x+a2=0有实数根的一个充分不必要条件是a＞1．
故选：A．
【点评】本题考查了一元二次方程有实数根的充要条件，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
8．在△ABC中，若A=30°，a=2，b=2，则此三角形解的个数为（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．不能确定
【考点】正弦定理．
【专题】数形结合；综合法；解三角形．
【分析】计算bsinA的值，比较其和a、b的大小关系可得．
【解答】解：∵在△ABC中A=30°，a=2，b=2，
∴bsinA=2×=，
而＜a=2＜b=2，
∴三角形解的个数为2，
故选：C．
【点评】本题考查三角形解得个数的判断，属基础题．
9．已知数列{an}的首项a1=1，且an=2an﹣1+1（n≥2），则a5为（ ）
A．7 B．15 C．30 D．31
【考点】数列递推式．
【专题】计算题．
【分析】（法一）利用已递推关系把n=1，n=2，n=3，n=4，n=5分别代入进行求解即可求解
（法二）利用迭代可得a5=2a4+1=2（a3+1）+1=…进行求解
（法三）构造可得an+1=2（an﹣1 ( http: / / www.21cnjy.com )+1），从而可得数列{an+1}是以2为首项，以2为等比数列，可先求an+1，进而可求an，把n=5代入可求
【解答】解：（法一）∵an=2an﹣1+1，a1=1
a2=2a1+1=3
a3=2a2+1=7
a4=2a3+1=15
a5=2a4+1=31
（法二）∵an=2an﹣1+1
∴a5=2a4+1=4a3+3=8a2+7=16a1+15=31
（法三）∴an+1=2（an﹣1+1）
∵a1+1=2
∴{an+1}是以2为首项，以2为等比数列
∴an+1=22n﹣1=2n
∴an=2n﹣1
∴a5=25﹣1=31
故选：D
【点评】本题主要考查了利用数列的递推关 ( http: / / www.21cnjy.com )系求解数列的项，注意本题解法中的一些常见的数列的通项的求解：迭代的方法即构造等比（等差）数列的方法求解，尤其注意解法三中的构造等比数列的方法的应用
10．如图，A，B，C，O1，O2 ( http: / / www.21cnjy.com )∈平面α，AB=BC=，∠ABC=90°，D为动点，DC=2，且DC丄BC，当点D从O1，顺时针转动到O2的过程中（D与O1、O2不重合），异面直线AD与BC所成角（ ）
A．一直变小 B．一直变大
C．先变小，后变大 D．先变小，再变大，后变小
【考点】异面直线及其所成的角．
【专题】计算题；转化思想；向量法；立体几何．
【分析】以C为原点，CB为x轴，CO2为y轴，过C作平面ABC的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出结果．
【解答】解：以C为原点，CB为x轴，CO2为y轴，过C作平面ABC的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，
B（，0，0），C（0，0，0），A（，﹣，0），设O1O2=2t，∠O2CD=θ，0°≤θ≤180°，
则CD=t，D（0，tcosθ，tsinθ），
=（，0，0），=（﹣，tcosθ+，tsinθ），
设异面直线AD与BC所成角为α，
则cosα===，
∵当点D从O1，顺时针转动到O2的过程中（D与O1、O2不重合），
cosθ从﹣1增加到1，cosα在（0，1）内递减，
∴异面直线AD与BC所成角一直变小．
故选：A．
【点评】本题考查异面直线所成角的变化范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．
11．己知直线l1：4x﹣3y+6=0和 ( http: / / www.21cnjy.com )直线l2：x=﹣1，抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是（ ）
A．2 B．3 C． D．
【考点】抛物线的简单性质．
【专题】计算题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】由x=﹣1是抛物线y2=4x的准线，推导出点P到直线l1：4x﹣3y+6=0的距离和到直线l2：x=﹣1的距离之和的最小值．
【解答】解：∵x=﹣1是抛物线y2=4x的准线，
∴P到x=﹣1的距离等于PF，
∵抛物线y2=4x的焦点F（1，0）
∴过P作4x﹣3y+6=0垂线，和抛物线的交点就是P，
∴点P到直线l1：4x﹣3y+6=0的距离和到直线l2：x=﹣1的距离之和的最小值
就是F（1，0）到直线4x﹣3y+6=0距离，
∴最小值==2．
故选：A．
【点评】本题考查抛物线性质的应用，是中档题，解题时要熟练掌握抛物线的性质，注意等价转化思想的合理运用．
12．已知Sn是等差数列{an}的前n项和，公差为d，且S2015＞S2016＞S2014，下列五个命题：
①d＞0
②S4029＞0
③S4030＜0
④数列{Sn}中的最大项为S4029
⑤|a2015|＜|a2016|
其中正确命题的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】等差数列的前n项和．
【专题】函数思想；综合法；等差数列与等比数列．
【分析】由题意易得等差数列的前2015项和最大，故a1＞0，d＜0，然后由等差数列的求和公式和性质，逐个选项验证可得．
【解答】解：Sn是等差数列{an}的前n项和，公差为d，且S2015＞S2016＞S2014，
∴等差数列的前2015项和最大，故a1＞0，d＜0，
且前2015项为正数，从第2016项开始为负数，故①④错误；
再由S2016＞S2014，可得S2016﹣S2014=a2015+a2016＞0，
∴a2015＞﹣a2016，即⑤|a2015|＞|a2016|，⑤错误；
S4029=（a1+a4029）=×2a2015＞0，故②正确；
S4030=（a1+a4030）=2015（a2015+a2016）＞0，故③错误．
故选：A
【点评】本题考查等差数列的前n项和公式和性质，逐个验证是解决问题的关键，属中档题．
二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）
13．抛物线y2=x的焦点F坐标为 （，0） ．
【考点】抛物线的简单性质．
【专题】计算题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】焦点在x轴的正半轴上，且p=，利用焦点为（，0），写出焦点坐标．
【解答】解：抛物线y2=x的焦点在x轴的正半轴上，且p=，∴ =，故焦点坐标为（，0），
故答案为：（，0）．
【点评】本题考查抛物线的标准方程，以及简单性质的应用，求的值是解题的关键．
14．已知Sn是数列{an}的前n项和，且有Sn=n2+1，则数列{an}的通项an= ．
【考点】数列递推式；数列的求和．
【专题】计算题．
【分析】利用公式可求出数列{an}的通项an．
【解答】解：a1=S1=1+1=2，
an=Sn﹣Sn﹣1=（n2+1）﹣[（n﹣1）2+1]=2n﹣1，
当n=1时，2n﹣1=1≠a1，
∴．
答案：．
【点评】本题考查数列的性质和应用，解题时要注意公式的灵活运用．
15．如图四面体O﹣ABC中， ==， =，D为AB的中点，M为CD的中点，则= +﹣ （，，用表示）
【考点】空间向量的数乘运算．
【专题】数形结合；转化思想；空间向量及应用．
【分析】由于=， =，，代入化简即可得出．
【解答】解： =， =，，
∴=﹣
=﹣
=+﹣．
故答案为： +﹣．
【点评】本题考查了向量的三角形法则与平行四边形法则，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
16． 如图，设椭圆+=1的左右焦点分别为F1、F2，过焦点F1的直线交椭圆于A、B两点，若以△ABF2的内切圆的面积为π，设A（x1，y1）、B（（x2，y2），则|y1﹣y2|值为 ．
【考点】椭圆的简单性质．
【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】由已知△ABF2内切圆半径r=1．，从而求出△ABF2，再由ABF2面积=|y1﹣y2|×2c，能求出|y1﹣y2|．
【解答】解：∵椭圆+=1的左右焦点分别为F1，F2，
过焦点F1的直线交椭圆于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，△ABF2的内切圆的面积为π，
∴△ABF2内切圆半径r=1．
△ABF2面积S=×1×（AB+AF2+BF2）=2a=10，
∴ABF2面积=|y1﹣y2|×2c=.|y1﹣y2|×2×3=10，
∴|y1﹣y2|=．
故答案为：．
【点评】本题考查两点纵坐标之差的绝对值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质的合理运用．
三、解答题（共6小题，满分70分,解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
17．已知命题p： x∈[l，2]，m≤x2，命题q： x∈R，x2+mx+l＞0
（Ⅰ）写出“￢p命题；
（Ⅱ）若命题p∧q为真命题，求实数m的取值范围．
【考点】复合命题的真假．
【专题】综合题；函数思想；定义法；简易逻辑．
【分析】（Ⅰ）根据含有量词的命题的否定进行求解．
（Ⅱ）根据复合命题真假关系进行求解．
【解答】解：（Ⅰ）￢p： x∈[l，2 ( http: / / www.21cnjy.com )]，m＞x2 …．因为p∧q为真命题，所以命题p、q都是真命题．…．（5分）
由p是真命题，得m≤x2恒成立．
因为 x∈[l，2]，所以m≤1．…（7分）
由q是真命题，得判别式△=m2﹣4＜0，即﹣2＜m＜2．…（9分）
所以﹣2＜m≤1．即所求m的取值范围是（﹣2，1]．…..（10分）
【点评】本题主要考查复合命题真假的应用，求出命题的等价条件是解决本题的关键．
18．己知等差数列{an}中，a2=2，a5=5．
（Ⅰ）若bn=2，求数列{bn}的前n项的和Sn
（Ⅱ）若c1=a1，cn﹣cn﹣1=an，求数列{cn}的通项公式．
【考点】数列的求和；数列递推式．
【专题】计算题；转化思想；综合法；等差数列与等比数列．
【分析】（Ⅰ）通过a2=2、a5=5可知等差数列{an}的公差d=1，进而可得其通项公式，计算即得结论；
（II）通过（I）可知，当n≥2时cn=，进而验证当n=1时成立即可．
【解答】解：（Ⅰ）∵a2=2，a5=5，
∴d==1，
所以an=2+（n﹣2）=n，bn==2n，
于是Sn=21+22+…+2n
=
=2n+1﹣2；
（II）由（I）可知，当n≥2时cn=（cn﹣cn﹣1）+（cn﹣1﹣cn﹣2）+…+（c2﹣c1）+c1
=an+an﹣1+…+a2+a1
=，
又∵c1=1满足上式，
∴cn=．
【点评】本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于基础题．
19．如图，四边形ABCD是梯形，AB∥CD，∠ADC=90°，四边形ADEF是矩形，且平面
ABCD丄平面ADEF，AB=AD=1，DE=CD=2，M是线段CE的中点．
（Ⅰ）求证：AC∥平面DMF；
（Ⅱ）求平面DMF与平面ABCD所成角的余弦值．
【考点】直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定．
【专题】综合题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离．
【分析】（Ⅰ）连接AE与DF交于点N．则点N是AE的中点，连结MN，利用三角形中位线定理能够证明AC∥平面DMF．
（Ⅱ）分别以D点为坐标原点建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面MDF与平面ABCD所成锐二面角的余弦值．
【解答】（Ⅰ）证明：连接AE与DF交于点N，连结MN，则点N是AE的中点
又M是线段CE的中点
∴MN∥AC﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）
又AC 平面DMF，MN 平面DMF，
∴AC∥平面DMF﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）
（Ⅱ）解：四边形ADEF是矩形，∴DE⊥AD
又平面ABCD丄平面ADEF，平面ABCD∩平面ADEF=AD
∴DE⊥平面ABCD，
∴DE⊥CD，
∵∠ADC=90°，
∴DE，DC，DA两两垂直
以D点为坐标原点建立空间直角坐标系﹣﹣﹣﹣﹣（6分）
则D（0，0，0），F（1，0，2），M（0，1，1）﹣﹣﹣﹣（7分）
则=（1，0，2），=（0，1，1）
设平面DMF的一个法向量为=（x，y，z）
∴
取=（2，1，﹣1）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）
取平面ABCD的一个法向量为=（0，0，1）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）
设平面DNF与平面ABCD所成角为θ
∴cosθ=||=﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）
【点评】本题考查直线与平面平行的确定及证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
20．如图所示，在四边形ABCD中，AD=2，CD=3，∠D=2∠B且cosB=
（Ⅰ）求△ACD的面积；
（Ⅱ）若∠ACB=60°，求AB的长．
【考点】正弦定理；余弦定理．
【专题】方程思想；数形结合法；解三角形．
【分析】（Ⅰ）由题意和二倍角公式可得cosD，进而可得sinD，代入面积公式S=ADCDsinD，计算可得；
（II）在△ACD中，由余弦定理可得AC，进而在△ABC中由正弦定理可得AB．
【解答】解：（Ⅰ）∵∠D=2∠B，∴cosD=2cos2B﹣1=2×（）2﹣1=﹣，
∵∠D∈（0，π），∴sinD==，
∵AD=2，CD=3，∴△ACD的面积S=ADCDsinD=；
（II）在△ACD中，由余弦定理可得AC=
==4
在△ABC中，由正弦定理可得=，
∴AB==．
【点评】本题考查正余弦定理解三角形，涉及三角形的面积公式，属中档题．
21．今年宁徳市工业转型升级持 ( http: / / www.21cnjy.com )续推进，某企业为推介新型电机，计划投入适当的广告费，对生产的新型电机进行促销，据测量月销售量T（万台）与月广告费x（万元）之间的函数关系是T=5﹣（1≤x≤5）．己知该电机的月固定投入为5万元，每生产1万台仍需再投入25万元．将该电机的月利润S（万元）表示为月广告费又（万元）的函数；
（Ⅱ）当月广告费投入为多少万元时，此厂的月利润最大，最大利润为多少？（月利润=月销售收入﹣月生产成本﹣月广告费）．
【考点】函数模型的选择与应用．
【专题】应用题；函数思想；综合法；函数的性质及应用．
【分析】（I）该电机的月生产成本（25 ( http: / / www.21cnjy.com )T+5）万元，月销售收入为（25T+5）×120%+x50%，月利润为S=（25T+5）×120%+x50%﹣（25T+5）﹣x，整理即得；
（II）由利润函数S的解析式，利用基本不等式可得L的最大值．
【解答】解：（I）由题意知，该电机的月生产成本为（25T+5）万元，
月销售收入为（25T+5）×120%+x50%，…（2分）
月利润为S=（25T+5）×120%+x50%﹣（25T+5）﹣x，
即S=5T+1﹣x．又T=5﹣（1≤x≤5），…（4分）
所以S=5T+1﹣x=26﹣﹣x（1≤x≤5）．．…（7分）
（II）由S=26﹣﹣x=26﹣（+x）≤26﹣2=24 …．（10分）
当且仅当=x，即x=2时，S有最大值24．…（11分）
因此，当月广告费投入约为2万元时，此厂的月利润最大，最大月利润约为24万元．…..（12分）
【点评】本题考查了利润函数模型的应用，在建立函数解析式的基础上，利用基本不等式，求得函数的最值．
22．椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，焦点到短轴断电的距离为2，离心率为．
（Ⅰ）求该椭圆的方程；
（Ⅱ）若直线l与椭圆C交于A，B两点且OA ( http: / / www.21cnjy.com )⊥OB，是否存在以原点O为圆心的定圆与直线l相切？若存在求出定圆方程；若不存在，请说明理由．
【考点】椭圆的简单性质．
【专题】综合题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】（Ⅰ）由题意，且a=2，由此能求出椭圆方程．
（Ⅱ）设直线AB：y=kx+ ( http: / / www.21cnjy.com )m，由，得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0，由此利用根的判别式、韦达定理、向量垂直、点到直线的距离公式，能求出定圆方程．
【解答】解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c，
∵椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，焦点到短轴断电的距离为2，离心率为，
∴由题意，且a=2，解得c=，b=1．
∴所求椭圆方程为=1．…（4分）
（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），若k存在，则设直线AB：y=kx+m，
由，得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0，…（6分）
∴△=64k2m2﹣4（1+4k2）（4m2﹣4）＞0，且，…（7分）
由OA⊥OB，知x1x2+y1y2=x1x2+（kx1+m）（kx2+m）
==0，代入得5m2=4k2+4，…（9分）
原点到直线AB的距离d==，…（10分）
当AB的斜率不存在时，|x1|=|y1|，得=1，|x1|=，依然成立
∴点O到直线AB的距离为定值．…（11分）
∴定圆方程为x2+y2=．…（12分）
【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查定 ( http: / / www.21cnjy.com )圆方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意根的判别式、韦达定理、向量垂直、点到直线的距离公式的合理运用．
一、选择题（本大題共12小题，每小题分，共60分在每小题给出的四个选项中，有且只有一个项是符合題目要求的）
1．若a＞b且c∈R，则下列不等式中一定成立的是（ ）
A．a2＞b2 B．ac＞bc C．ac2＞bc2 D．a﹣c＞b﹣c
2．双曲线=1的渐近线方程为（ ）
A．y=±3x B．y=±x C．y=±x D．y=±x
3．等比数列{an}中各项均为正数a1a5=4，a4=1，则{an}的公比q为（ ）
A．2 B． C．± D．±2
4．在空间直角坐标系中，点（﹣2，1，4）关于x轴的对称点的坐标为（ ）
A． C．
5．两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离都 ( http: / / www.21cnjy.com )等于a海里，灯塔A在观测站C北偏东75°的方向上，灯塔B在观测站C的东南方向，则灯搭A和B之间的距离为（ ）
A．a海里 B． a海里 C． a海里 D．2a海里
6．设实数x，y满足，则z=x+3y的最小值为（ ）
A．﹣6 B．﹣3 C．5 D．27
7．关于x的方程x2﹣（2a+l）x+a2=0有实数根的一个充分不必要条件是（ ）
A．a＞1 B．a＞﹣2 C．a≥﹣ D．a≥﹣4
8．在△ABC中，若A=30°，a=2，b=2，则此三角形解的个数为（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．不能确定
9．已知数列{an}的首项a1=1，且an=2an﹣1+1（n≥2），则a5为（ ）
A．7 B．15 C．30 D．31
10．如图，A，B，C，O1，O2∈平面α ( http: / / www.21cnjy.com )，AB=BC=，∠ABC=90°，D为动点，DC=2，且DC丄BC，当点D从O1，顺时针转动到O2的过程中（D与O1、O2不重合），异面直线AD与BC所成角（ ）
A．一直变小 B．一直变大
C．先变小，后变大 D．先变小，再变大，后变小
11．己知直线l1：4x﹣3y+6=0和直 ( http: / / www.21cnjy.com )线l2：x=﹣1，抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是（ ）
A．2 B．3 C． D．
12．已知Sn是等差数列{an}的前n项和，公差为d，且S2015＞S2016＞S2014，下列五个命题：
①d＞0
②S4029＞0
③S4030＜0
④数列{Sn}中的最大项为S4029
⑤|a2015|＜|a2016|
其中正确命题的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）
13．抛物线y2=x的焦点F坐标为 ．
14．已知Sn是数列{an}的前n项和，且有Sn=n2+1，则数列{an}的通项an= ．
15．如图四面体O﹣ABC中， ==， =，D为AB的中点，M为CD的中点，则= （，，用表示）
16． 如图，设椭圆+=1的左右焦点分别为F1、F2，过焦点F1的直线交椭圆于A、B两点，若以△ABF2的内切圆的面积为π，设A（x1，y1）、B（（x2，y2），则|y1﹣y2|值为 ．
三、解答题（共6小题，满分70分,解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
17．已知命题p： x∈[l，2]，m≤x2，命题q： x∈R，x2+mx+l＞0
（Ⅰ）写出“￢p命题；
（Ⅱ）若命题p∧q为真命题，求实数m的取值范围．
18．己知等差数列{an}中，a2=2，a5=5．
（Ⅰ）若bn=2，求数列{bn}的前n项的和Sn
（Ⅱ）若c1=a1，cn﹣cn﹣1=an，求数列{cn}的通项公式．
19．如图，四边形ABCD是梯形，AB∥CD，∠ADC=90°，四边形ADEF是矩形，且平面
ABCD丄平面ADEF，AB=AD=1，DE=CD=2，M是线段CE的中点．
（Ⅰ）求证：AC∥平面DMF；
（Ⅱ）求平面DMF与平面ABCD所成角的余弦值．
20．如图所示，在四边形ABCD中，AD=2，CD=3，∠D=2∠B且cosB=
（Ⅰ）求△ACD的面积；
（Ⅱ）若∠ACB=60°，求AB的长．
21．今年宁徳市工业转型升级持续推进， ( http: / / www.21cnjy.com )某企业为推介新型电机，计划投入适当的广告费，对生产的新型电机进行促销，据测量月销售量T（万台）与月广告费x（万元）之间的函数关系是T=5﹣（1≤x≤5）．己知该电机的月固定投入为5万元，每生产1万台仍需再投入25万元．将该电机的月利润S（万元）表示为月广告费又（万元）的函数；
（Ⅱ）当月广告费投入为多少万元时，此厂的月利润最大，最大利润为多少？（月利润=月销售收入﹣月生产成本﹣月广告费）．
22．椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，焦点到短轴断电的距离为2，离心率为．
（Ⅰ）求该椭圆的方程；
（Ⅱ）若直线l与椭圆C交于A，B两 ( http: / / www.21cnjy.com )点且OA⊥OB，是否存在以原点O为圆心的定圆与直线l相切？若存在求出定圆方程；若不存在，请说明理由．
2015-2016学年福建省宁德市高二（上）期末数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大題共12小题，每小题分，共60分在每小题给出的四个选项中，有且只有一个项是符合題目要求的）
1．若a＞b且c∈R，则下列不等式中一定成立的是（ ）
A．a2＞b2 B．ac＞bc C．ac2＞bc2 D．a﹣c＞b﹣c
【考点】不等式的基本性质．
【专题】计算题．
【分析】把不等式两边同时加上同一个实数﹣c，不等号不变．
【解答】解：∵a＞b且c∈R，不等式两边同时加上﹣c 可得，a﹣c＞b﹣c．
故选D．
【点评】本题主要考查不等式的性质的应用，利用了不等式两边同时加上同一个实数，不等号不变．
2．双曲线=1的渐近线方程为（ ）
A．y=±3x B．y=±x C．y=±x D．y=±x
【考点】双曲线的简单性质．
【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】利用双曲线的简单性质求解．
【解答】解：双曲线=1的渐近线方程为=0，
整理，得y=±x．
故选：C．
【点评】本题考查双曲线的渐近线方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意双曲线性质的合理运用．
3．等比数列{an}中各项均为正数a1a5=4，a4=1，则{an}的公比q为（ ）
A．2 B． C．± D．±2
【考点】等比数列的通项公式．
【专题】方程思想；综合法；等差数列与等比数列．
【分析】由题意可得a3，再由等比数列的通项公式可得q．
【解答】解：∵等比数列{an}中各项均为正数，且a1a5=4，a4=1，
∴a32=a1a5=4，解得a3=2，∴公比q==，
故选：B．
【点评】本题考查等比数列的通项公式，属基础题．
4．在空间直角坐标系中，点（﹣2，1，4）关于x轴的对称点的坐标为（ ）
A． C．
【考点】空间直角坐标系．
【专题】阅读型．
【分析】先根据空间直角坐标系对称点 ( http: / / www.21cnjy.com )的特征，点（x，y，z）关于x轴的对称点的坐标为只须将横坐标、竖坐标变成原来的相反数即可，即可得对称点的坐标．
【解答】解：∵在空间直角坐标系中，
点（x，y，z）关于x轴的对称点的坐标为：（x，﹣y，﹣z），
∴点（﹣2，1，4）关于x轴的对称点的坐标为：
（﹣2，﹣1，﹣4）．
故选B．
【点评】本小题主要考查空间直角坐标系、空间直 ( http: / / www.21cnjy.com )角坐标系中点的坐标特征等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．
5．两座灯塔A和B与海岸观 ( http: / / www.21cnjy.com )察站C的距离都等于a海里，灯塔A在观测站C北偏东75°的方向上，灯塔B在观测站C的东南方向，则灯搭A和B之间的距离为（ ）
A．a海里 B． a海里 C． a海里 D．2a海里
【考点】解三角形的实际应用．
【专题】数形结合；数形结合法；解三角形．
【分析】由方位角可得∠BCA=60°，判断出△ABC是等边三角形．
【解答】解：∵∠NCA=75°，∠BCE=45°，∴∠BCA=60°，
∵AC=BC=a，∴△ABC是等边三角形，∴AB=a．
故选：A．
【点评】本题考查了解三角形的应用，属于基础题．
6．设实数x，y满足，则z=x+3y的最小值为（ ）
A．﹣6 B．﹣3 C．5 D．27
【考点】简单线性规划．
【专题】数形结合；综合法；不等式．
【分析】画出满足约束条件表示的平可行域，然后分析平面区域里各个角点，然后将其代入z=x+3y中，求出最小值即可．
【解答】解：满足约束条件的可行域如下图示：
z=x+3y的最小值就是直线在y轴上的截距的倍，
由，解得A（3，﹣3），
由图可知，z=x+3y经过的交点A（3，﹣3）时，
Z=x+3y有最小值﹣6，
故选：A．
【点评】在解决线性规划的 ( http: / / www.21cnjy.com )小题时，常用“角点法”，其步骤为：①由约束条件画出可行域 ②求出可行域各个角点的坐标 ③将坐标逐一代入目标函数 ④验证，求出最优解．
7．关于x的方程x2﹣（2a+l）x+a2=0有实数根的一个充分不必要条件是（ ）
A．a＞1 B．a＞﹣2 C．a≥﹣ D．a≥﹣4
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【专题】方程思想；转化思想；简易逻辑．
【分析】关于x的方程x2﹣（2a+l）x+a2=0有实数根 △≥0，解得a即可判断出．
【解答】解：关于x的方程x2﹣（2a+l）x+a2=0有实数根 △=（2a+1）2﹣4a2≥0，解得a．
∴关于x的方程x2﹣（2a+l）x+a2=0有实数根的一个充分不必要条件是a＞1．
故选：A．
【点评】本题考查了一元二次方程有实数根的充要条件，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
8．在△ABC中，若A=30°，a=2，b=2，则此三角形解的个数为（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．不能确定
【考点】正弦定理．
【专题】数形结合；综合法；解三角形．
【分析】计算bsinA的值，比较其和a、b的大小关系可得．
【解答】解：∵在△ABC中A=30°，a=2，b=2，
∴bsinA=2×=，
而＜a=2＜b=2，
∴三角形解的个数为2，
故选：C．
【点评】本题考查三角形解得个数的判断，属基础题．
9．已知数列{an}的首项a1=1，且an=2an﹣1+1（n≥2），则a5为（ ）
A．7 B．15 C．30 D．31
【考点】数列递推式．
【专题】计算题．
【分析】（法一）利用已递推关系把n=1，n=2，n=3，n=4，n=5分别代入进行求解即可求解
（法二）利用迭代可得a5=2a4+1=2（a3+1）+1=…进行求解
（法三）构造可得an+1=2（an﹣1 ( http: / / www.21cnjy.com )+1），从而可得数列{an+1}是以2为首项，以2为等比数列，可先求an+1，进而可求an，把n=5代入可求
【解答】解：（法一）∵an=2an﹣1+1，a1=1
a2=2a1+1=3
a3=2a2+1=7
a4=2a3+1=15
a5=2a4+1=31
（法二）∵an=2an﹣1+1
∴a5=2a4+1=4a3+3=8a2+7=16a1+15=31
（法三）∴an+1=2（an﹣1+1）
∵a1+1=2
∴{an+1}是以2为首项，以2为等比数列
∴an+1=22n﹣1=2n
∴an=2n﹣1
∴a5=25﹣1=31
故选：D
【点评】本题主要考查了利用数列的递推关 ( http: / / www.21cnjy.com )系求解数列的项，注意本题解法中的一些常见的数列的通项的求解：迭代的方法即构造等比（等差）数列的方法求解，尤其注意解法三中的构造等比数列的方法的应用
10．如图，A，B，C，O1，O2 ( http: / / www.21cnjy.com )∈平面α，AB=BC=，∠ABC=90°，D为动点，DC=2，且DC丄BC，当点D从O1，顺时针转动到O2的过程中（D与O1、O2不重合），异面直线AD与BC所成角（ ）
A．一直变小 B．一直变大
C．先变小，后变大 D．先变小，再变大，后变小
【考点】异面直线及其所成的角．
【专题】计算题；转化思想；向量法；立体几何．
【分析】以C为原点，CB为x轴，CO2为y轴，过C作平面ABC的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出结果．
【解答】解：以C为原点，CB为x轴，CO2为y轴，过C作平面ABC的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，
B（，0，0），C（0，0，0），A（，﹣，0），设O1O2=2t，∠O2CD=θ，0°≤θ≤180°，
则CD=t，D（0，tcosθ，tsinθ），
=（，0，0），=（﹣，tcosθ+，tsinθ），
设异面直线AD与BC所成角为α，
则cosα===，
∵当点D从O1，顺时针转动到O2的过程中（D与O1、O2不重合），
cosθ从﹣1增加到1，cosα在（0，1）内递减，
∴异面直线AD与BC所成角一直变小．
故选：A．
【点评】本题考查异面直线所成角的变化范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．
11．己知直线l1：4x﹣3y+6=0和 ( http: / / www.21cnjy.com )直线l2：x=﹣1，抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是（ ）
A．2 B．3 C． D．
【考点】抛物线的简单性质．
【专题】计算题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】由x=﹣1是抛物线y2=4x的准线，推导出点P到直线l1：4x﹣3y+6=0的距离和到直线l2：x=﹣1的距离之和的最小值．
【解答】解：∵x=﹣1是抛物线y2=4x的准线，
∴P到x=﹣1的距离等于PF，
∵抛物线y2=4x的焦点F（1，0）
∴过P作4x﹣3y+6=0垂线，和抛物线的交点就是P，
∴点P到直线l1：4x﹣3y+6=0的距离和到直线l2：x=﹣1的距离之和的最小值
就是F（1，0）到直线4x﹣3y+6=0距离，
∴最小值==2．
故选：A．
【点评】本题考查抛物线性质的应用，是中档题，解题时要熟练掌握抛物线的性质，注意等价转化思想的合理运用．
12．已知Sn是等差数列{an}的前n项和，公差为d，且S2015＞S2016＞S2014，下列五个命题：
①d＞0
②S4029＞0
③S4030＜0
④数列{Sn}中的最大项为S4029
⑤|a2015|＜|a2016|
其中正确命题的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】等差数列的前n项和．
【专题】函数思想；综合法；等差数列与等比数列．
【分析】由题意易得等差数列的前2015项和最大，故a1＞0，d＜0，然后由等差数列的求和公式和性质，逐个选项验证可得．
【解答】解：Sn是等差数列{an}的前n项和，公差为d，且S2015＞S2016＞S2014，
∴等差数列的前2015项和最大，故a1＞0，d＜0，
且前2015项为正数，从第2016项开始为负数，故①④错误；
再由S2016＞S2014，可得S2016﹣S2014=a2015+a2016＞0，
∴a2015＞﹣a2016，即⑤|a2015|＞|a2016|，⑤错误；
S4029=（a1+a4029）=×2a2015＞0，故②正确；
S4030=（a1+a4030）=2015（a2015+a2016）＞0，故③错误．
故选：A
【点评】本题考查等差数列的前n项和公式和性质，逐个验证是解决问题的关键，属中档题．
二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）
13．抛物线y2=x的焦点F坐标为 （，0） ．
【考点】抛物线的简单性质．
【专题】计算题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】焦点在x轴的正半轴上，且p=，利用焦点为（，0），写出焦点坐标．
【解答】解：抛物线y2=x的焦点在x轴的正半轴上，且p=，∴ =，故焦点坐标为（，0），
故答案为：（，0）．
【点评】本题考查抛物线的标准方程，以及简单性质的应用，求的值是解题的关键．
14．已知Sn是数列{an}的前n项和，且有Sn=n2+1，则数列{an}的通项an= ．
【考点】数列递推式；数列的求和．
【专题】计算题．
【分析】利用公式可求出数列{an}的通项an．
【解答】解：a1=S1=1+1=2，
an=Sn﹣Sn﹣1=（n2+1）﹣[（n﹣1）2+1]=2n﹣1，
当n=1时，2n﹣1=1≠a1，
∴．
答案：．
【点评】本题考查数列的性质和应用，解题时要注意公式的灵活运用．
15．如图四面体O﹣ABC中， ==， =，D为AB的中点，M为CD的中点，则= +﹣ （，，用表示）
【考点】空间向量的数乘运算．
【专题】数形结合；转化思想；空间向量及应用．
【分析】由于=， =，，代入化简即可得出．
【解答】解： =， =，，
∴=﹣
=﹣
=+﹣．
故答案为： +﹣．
【点评】本题考查了向量的三角形法则与平行四边形法则，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
16． 如图，设椭圆+=1的左右焦点分别为F1、F2，过焦点F1的直线交椭圆于A、B两点，若以△ABF2的内切圆的面积为π，设A（x1，y1）、B（（x2，y2），则|y1﹣y2|值为 ．
【考点】椭圆的简单性质．
【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】由已知△ABF2内切圆半径r=1．，从而求出△ABF2，再由ABF2面积=|y1﹣y2|×2c，能求出|y1﹣y2|．
【解答】解：∵椭圆+=1的左右焦点分别为F1，F2，
过焦点F1的直线交椭圆于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，△ABF2的内切圆的面积为π，
∴△ABF2内切圆半径r=1．
△ABF2面积S=×1×（AB+AF2+BF2）=2a=10，
∴ABF2面积=|y1﹣y2|×2c=.|y1﹣y2|×2×3=10，
∴|y1﹣y2|=．
故答案为：．
【点评】本题考查两点纵坐标之差的绝对值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质的合理运用．
三、解答题（共6小题，满分70分,解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
17．已知命题p： x∈[l，2]，m≤x2，命题q： x∈R，x2+mx+l＞0
（Ⅰ）写出“￢p命题；
（Ⅱ）若命题p∧q为真命题，求实数m的取值范围．
【考点】复合命题的真假．
【专题】综合题；函数思想；定义法；简易逻辑．
【分析】（Ⅰ）根据含有量词的命题的否定进行求解．
（Ⅱ）根据复合命题真假关系进行求解．
【解答】解：（Ⅰ）￢p： x∈[l，2 ( http: / / www.21cnjy.com )]，m＞x2 …．因为p∧q为真命题，所以命题p、q都是真命题．…．（5分）
由p是真命题，得m≤x2恒成立．
因为 x∈[l，2]，所以m≤1．…（7分）
由q是真命题，得判别式△=m2﹣4＜0，即﹣2＜m＜2．…（9分）
所以﹣2＜m≤1．即所求m的取值范围是（﹣2，1]．…..（10分）
【点评】本题主要考查复合命题真假的应用，求出命题的等价条件是解决本题的关键．
18．己知等差数列{an}中，a2=2，a5=5．
（Ⅰ）若bn=2，求数列{bn}的前n项的和Sn
（Ⅱ）若c1=a1，cn﹣cn﹣1=an，求数列{cn}的通项公式．
【考点】数列的求和；数列递推式．
【专题】计算题；转化思想；综合法；等差数列与等比数列．
【分析】（Ⅰ）通过a2=2、a5=5可知等差数列{an}的公差d=1，进而可得其通项公式，计算即得结论；
（II）通过（I）可知，当n≥2时cn=，进而验证当n=1时成立即可．
【解答】解：（Ⅰ）∵a2=2，a5=5，
∴d==1，
所以an=2+（n﹣2）=n，bn==2n，
于是Sn=21+22+…+2n
=
=2n+1﹣2；
（II）由（I）可知，当n≥2时cn=（cn﹣cn﹣1）+（cn﹣1﹣cn﹣2）+…+（c2﹣c1）+c1
=an+an﹣1+…+a2+a1
=，
又∵c1=1满足上式，
∴cn=．
【点评】本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于基础题．
19．如图，四边形ABCD是梯形，AB∥CD，∠ADC=90°，四边形ADEF是矩形，且平面
ABCD丄平面ADEF，AB=AD=1，DE=CD=2，M是线段CE的中点．
（Ⅰ）求证：AC∥平面DMF；
（Ⅱ）求平面DMF与平面ABCD所成角的余弦值．
【考点】直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定．
【专题】综合题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离．
【分析】（Ⅰ）连接AE与DF交于点N．则点N是AE的中点，连结MN，利用三角形中位线定理能够证明AC∥平面DMF．
（Ⅱ）分别以D点为坐标原点建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面MDF与平面ABCD所成锐二面角的余弦值．
【解答】（Ⅰ）证明：连接AE与DF交于点N，连结MN，则点N是AE的中点
又M是线段CE的中点
∴MN∥AC﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）
又AC 平面DMF，MN 平面DMF，
∴AC∥平面DMF﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）
（Ⅱ）解：四边形ADEF是矩形，∴DE⊥AD
又平面ABCD丄平面ADEF，平面ABCD∩平面ADEF=AD
∴DE⊥平面ABCD，
∴DE⊥CD，
∵∠ADC=90°，
∴DE，DC，DA两两垂直
以D点为坐标原点建立空间直角坐标系﹣﹣﹣﹣﹣（6分）
则D（0，0，0），F（1，0，2），M（0，1，1）﹣﹣﹣﹣（7分）
则=（1，0，2），=（0，1，1）
设平面DMF的一个法向量为=（x，y，z）
∴
取=（2，1，﹣1）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）
取平面ABCD的一个法向量为=（0，0，1）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）
设平面DNF与平面ABCD所成角为θ
∴cosθ=||=﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）
【点评】本题考查直线与平面平行的确定及证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
20．如图所示，在四边形ABCD中，AD=2，CD=3，∠D=2∠B且cosB=
（Ⅰ）求△ACD的面积；
（Ⅱ）若∠ACB=60°，求AB的长．
【考点】正弦定理；余弦定理．
【专题】方程思想；数形结合法；解三角形．
【分析】（Ⅰ）由题意和二倍角公式可得cosD，进而可得sinD，代入面积公式S=ADCDsinD，计算可得；
（II）在△ACD中，由余弦定理可得AC，进而在△ABC中由正弦定理可得AB．
【解答】解：（Ⅰ）∵∠D=2∠B，∴cosD=2cos2B﹣1=2×（）2﹣1=﹣，
∵∠D∈（0，π），∴sinD==，
∵AD=2，CD=3，∴△ACD的面积S=ADCDsinD=；
（II）在△ACD中，由余弦定理可得AC=
==4
在△ABC中，由正弦定理可得=，
∴AB==．
【点评】本题考查正余弦定理解三角形，涉及三角形的面积公式，属中档题．
21．今年宁徳市工业转型升级持 ( http: / / www.21cnjy.com )续推进，某企业为推介新型电机，计划投入适当的广告费，对生产的新型电机进行促销，据测量月销售量T（万台）与月广告费x（万元）之间的函数关系是T=5﹣（1≤x≤5）．己知该电机的月固定投入为5万元，每生产1万台仍需再投入25万元．将该电机的月利润S（万元）表示为月广告费又（万元）的函数；
（Ⅱ）当月广告费投入为多少万元时，此厂的月利润最大，最大利润为多少？（月利润=月销售收入﹣月生产成本﹣月广告费）．
【考点】函数模型的选择与应用．
【专题】应用题；函数思想；综合法；函数的性质及应用．
【分析】（I）该电机的月生产成本（25 ( http: / / www.21cnjy.com )T+5）万元，月销售收入为（25T+5）×120%+x50%，月利润为S=（25T+5）×120%+x50%﹣（25T+5）﹣x，整理即得；
（II）由利润函数S的解析式，利用基本不等式可得L的最大值．
【解答】解：（I）由题意知，该电机的月生产成本为（25T+5）万元，
月销售收入为（25T+5）×120%+x50%，…（2分）
月利润为S=（25T+5）×120%+x50%﹣（25T+5）﹣x，
即S=5T+1﹣x．又T=5﹣（1≤x≤5），…（4分）
所以S=5T+1﹣x=26﹣﹣x（1≤x≤5）．．…（7分）
（II）由S=26﹣﹣x=26﹣（+x）≤26﹣2=24 …．（10分）
当且仅当=x，即x=2时，S有最大值24．…（11分）
因此，当月广告费投入约为2万元时，此厂的月利润最大，最大月利润约为24万元．…..（12分）
【点评】本题考查了利润函数模型的应用，在建立函数解析式的基础上，利用基本不等式，求得函数的最值．
22．椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，焦点到短轴断电的距离为2，离心率为．
（Ⅰ）求该椭圆的方程；
（Ⅱ）若直线l与椭圆C交于A，B两点且OA ( http: / / www.21cnjy.com )⊥OB，是否存在以原点O为圆心的定圆与直线l相切？若存在求出定圆方程；若不存在，请说明理由．
【考点】椭圆的简单性质．
【专题】综合题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】（Ⅰ）由题意，且a=2，由此能求出椭圆方程．
（Ⅱ）设直线AB：y=kx+ ( http: / / www.21cnjy.com )m，由，得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0，由此利用根的判别式、韦达定理、向量垂直、点到直线的距离公式，能求出定圆方程．
【解答】解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c，
∵椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，焦点到短轴断电的距离为2，离心率为，
∴由题意，且a=2，解得c=，b=1．
∴所求椭圆方程为=1．…（4分）
（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），若k存在，则设直线AB：y=kx+m，
由，得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0，…（6分）
∴△=64k2m2﹣4（1+4k2）（4m2﹣4）＞0，且，…（7分）
由OA⊥OB，知x1x2+y1y2=x1x2+（kx1+m）（kx2+m）
==0，代入得5m2=4k2+4，…（9分）
原点到直线AB的距离d==，…（10分）
当AB的斜率不存在时，|x1|=|y1|，得=1，|x1|=，依然成立
∴点O到直线AB的距离为定值．…（11分）
∴定圆方程为x2+y2=．…（12分）
【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查定 ( http: / / www.21cnjy.com )圆方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意根的判别式、韦达定理、向量垂直、点到直线的距离公式的合理运用．