2024-2025学年上海市浦东新区川沙中学高二（上）期中数学模拟试卷（含答案）

2024-2025学年上海市浦东新区川沙中学高二（上）期中数学模拟试卷
一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列命题是假命题的是( )
A. 棱柱的所有侧面都是平行四边形
B. 将矩形绕其一边旋转一周所形成的几何体叫做圆柱
C. 正棱锥顶点在底面的投影是底面正多边形的中心
D. 将直角三角形绕其一边旋转一周所形成的几何体叫做圆锥
2.设，，均为直线，其中，在平面内，则“”是“且”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面上，且，正方体的六个面所在的平面与直线，相交的平面个数分别记为，，那么( )
A. B. C. D.
4.空间内有三条直线，其中任意两条都不共面但相互垂直，直线与这三条直线所成角均为，则的值为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
5.正四棱柱的底面边长为，高为，则它的体积为______．
6.如图，已知长方体的棱长，，则点到
棱的距离是______．
7.已知，，则直线、的位置关系为______填平行、相交、异面．
8.直三棱柱 中，若，，，则______．
9.如图，是水平放置的的斜二测直观图，
若，，则的面积为______．
10.已知圆锥的侧面展开图是一个半径为的半圆，则这个圆锥的高是______．
11.如图，在三棱柱中，为中点，记三棱锥的体积为，三棱柱的体积为，则 ______．
12.如图，在棱长为的正方体中，点在截面上，则线段的最小值等于______．
13.在正方体各个表面的对角线所在直线中，与直线异面的直线有条，则 ______．
14.如图为一几何体的展开图，其中是正方形，，，，点，，，及，，，共线，沿图中虚线将它们折叠，使，，，四点重合于点，在该几何体的侧面和底面中，与平面垂直的平面的个数为______．
15.正四棱锥的底面边长为，高为，是边的中点，动点在表面上运动，并且总保持，则动点的轨迹的周长为______．
16.如图是一座山的示意图，山呈圆锥形，圆锥的底面半径为公里，侧棱长为公里，是上一点，且公里，为了发展旅游业，要建设一条最短的从绕山一周到的观光铁路，这条铁路从出发后首先上坡，随后下坡，则下坡段铁路的长度为______公里．
三、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
如图，某公司制造一种海上用的“浮球”，它是由两个半球和一个圆柱筒组成其中圆柱的高为米，球的半径为米．
这种“浮球”的体积是多少立方米精确到？
假设该“浮球”的建造费用仅与其表面积有关已知圆柱形部分每平方米建造费用为元，半球形部分每平方米建造费用为元求该浮球的建造费用精确到元．
18.本小题分
如图所示的几何体，是将高为、底面半径为的圆柱沿过旋转轴的平面切开后，将其中一半沿切面向右水平平移后形成的封闭体，、、分别为、、的中点，为弧的中点，为弧的中点．
求直线与平面所成角的大小．
求异面直线与所成角的大小．
19.本小题分
如图，三棱锥中，面，．
求证：．
若三棱锥的体积为，，有一根彩带经过面与面，且彩带的两个端点分别固定在点和点处，求彩带长度的最小值．
20.本小题分
一组空间向量，记，如果存在，使得，那么称是该向量组的“向量”．
已知，若是向量组的“向量”，求实数的取值范围；
四面体内接于以为球心，为半径的球，且，
记，向量组中是否存在“向量”，若有，指出哪个是“向量”并证明；若没有，请说明理由．
求四面体体积的最大值．
21.本小题分
如图所示，已知三棱柱的侧棱与底面垂直，，，是的中点，是的中点，动点在直线上，且满足．
指出直线与平面的位置关系不需说明理由．
设直线与平面所成的角为，求的取值范围．
设平面与平面所成的锐二面角的大小为，求的最大值，并求相应的的值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.异面或平行
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.解：由题意得，“浮球“可看成是由一个圆柱体和一个球体组成，
圆柱体底面半径为，高为，故体积为，
球体体积，
所以“浮球“的体积；
由题意得，圆柱形部分表面积即为圆柱体的侧面积，
，故建造费用为元，
球形部分表面积为，
故建造费用为元，
所以整个“浮球“的建造费用为元．
18.解：连接，，
因为为弧的中点，
所以，
由圆柱的性质知，平面平面，
而平面平面，且平面，
所以平面，
所以即为直线与平面所成角，
在中，，，
所以，即，
故直线与平面所成角的大小为．
连接，
因为为弧的中点，为弧的中点，
所以，
所以或其补角即为异面直线与所成角，
由可知，，，
由余弦定理知，，
即，
所以异面直线与所成角的大小为．
19.解：证明：面，又面，
，又，且，
面，又面，
；
三棱锥的体积为，，
根据题意可得三棱锥的体积为，，
结合可知三角形为等腰直角三角形，三角形为直角三角形，
且，，，
将三角形与三角形展开铺平如图：
则由图可知所求的最小值为．
20.解：由题意得，，
又因为是向量组的“向量”，
所以，
即，
解得或，
故的取值范围为；
由题意得，因为四面体内接于球，
所以，
因为，
所以，
两边同时平方得，
因为，，，
所以可得，即，，且，，，在同一平面内．
如图所示，以为原点，直线，分别为，轴建立平面直角坐标系，
则，，，，
代入，得，
于是可得，，，
所以由“向量”的定义，，都是“向量”．
由得，，且，，，在同一平面内，
所以在过球心的截面上，
又，，
两边平方可得，
即，，
同理，
两边平方可得，
即，，
于是，
所以当平面时，四面体体积取得最大值，
此时．
21.解：当点与重合时，与平面共面，
当点不与重合时，因为，分别是，的中点，
所以，又因为平面，平面，
所以平面；
如图，以为原点，以，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，
则，，，，，，
设，由，
得，
所以，则，
所以，
设平面的法向量为，
直线与平面所成的角为，
则，
因为
所以
所以的取值范围为；
由知，，，
，，
设平面的法向量为，
则，
取，
又为平面的法向量，
平面与平面所成的锐二面角的大小为，
，
令，则，
，
函数，当时，，
所以，
即当，，时，
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