福建省泉州市四校联考2015-2016学年高二（上）期末数学试卷（文科）（解析版）

2015-2016学年福建省泉州市四校联考高二（上）期末数学试卷（文科）
　
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．把答案填在答题卡相应位置）
1．以﹣=1的顶点为焦点，长半轴长为4的椭圆方程为（　　）
A． +=1 B． +=1
C． +=1 D． +=1
　
2．若双曲线的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为（　　）
A． B．5 C． D．2
　
3．原命题“若x≤﹣3，则x＜0”的逆否命题是（　　）
A．若x＜﹣3，则x≤0 B．若x＞﹣3，则x≥0 C．若x＜0，则x≤﹣3 D．若x≥0，则x＞﹣3
　
4．当K2＞6.635时，认为事件A与事件B（　　）
A．有95%的把握有关 B．有99%的把握有关
C．没有理由说它们有关 D．不确定
　
5．直线4x+3y﹣5=0与圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=9相交于A、B两点，则AB的长度等于（　　）
A．1 B． C．2 D．4
　
6．“x2﹣1＞0”是“x＞1”的（　　）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
　
7．已知焦点在x轴上的椭圆过点A（﹣3，0），且离心率e=，则椭圆的标准方程是（　　）
A． =1 B． =1
C． =1 D． =1
　
8．已知F1，F2是椭圆的两个焦点，过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，若△ABF2是正三角形，则这个椭圆的离心率是（　　）
A． B． C． D．
　
9．设双曲线的虚轴长为2，焦距为，则双曲线的渐近线方程为（　　）
A． B．y=±2x C． D．
　
10．设线段AB的两个端点A、B分别在x轴、y轴上滑动，且|AB|=4，点M是线段AB的中点，则点M的轨迹方程是（　　）
A． =1 B．x2+y2=4 C．x2﹣y2=4 D． +=1
　
11．直线y=x﹣3与抛物线y2=4x交于A、B两点，过A、B两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为P、Q，则梯形APQB的面积为（　　）
A．48 B．56 C．64 D．72
　
12．椭圆： =1上的一点A关于原点的对称点为B，F2为它的右焦点，若AF2⊥BF2，则三角形△AF2B的面积是（　　）
A．15 B．32 C．16 D．18
　
　
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在答题卡相应位置）
13．命题：p： x∈R，sinx≤1，则命题p的否定￢p是　　　　　　．
　
14．抛物线x2=﹣2y的焦点坐标为　　　　　　．
　
15．如果实数x，y满足（x+2）2+y2=3，则的最大值是　　　　　　．
　
16．已知M（﹣5，0），N（5，0）是平面上的两点，若曲线C上至少存在一点P，使|PM|=|PN|+6，则称曲线C为“黄金曲线”．下列五条曲线：
①=1；
②=1；
③=1；
④y2=4x；
⑤x2+y2﹣2x﹣3=0
其中为“黄金曲线”的是　　　　　　．（写出所有“黄金曲线”的序号）
　
　
三、解答题（本大题共6小题，共76分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．已知直线l1：ax+2y+6=0，直线．
（1）若l1⊥l2，求a的值；
（2）若l1∥l2，求a的值．
　
18．顶点在原点，焦点在y轴的正半轴的抛物线的焦点到准线的距离为2．
（1）求抛物线的标准方程；
（2）若直线l：y=2x+1与抛物线相交于A，B两点，求AB的长度．
　
19．已知命题p：“ x∈[1，2]，x2﹣a≥0”，命题q：关于x的方程x2+2ax+a+2=0有解．若命题“p且q”是真命题，求实数a的取值范围．
　
20．“奶茶妹妹”对某时间段的奶茶销售量及其价格进行调查，统计出售价x元和销售量y杯之间的一组数据如下表所示：
价格x 5 5.5 6.5 7
销售量y 12 10 6 4
通过分析，发现销售量y对奶茶的价格x具有线性相关关系．
（Ⅰ）求销售量y对奶茶的价格x的回归直线方程；
（Ⅱ）欲使销售量为13杯，则价格应定为多少？
注：在回归直线y=中，， =﹣． =146.5．
　
21．设A、B分别为双曲线的左右顶点，双曲线的实轴长为，焦点到渐近线的距离为．
（1）求双曲线的方程；
（2）已知直线与双曲线的右支交于M、N两点，且在双曲线的右支上存在点D，使，求t的值及点D的坐标．
　
22．如图，中心在原点的椭圆的焦点在x轴上，长轴长为4，焦距为2，O为坐标原点．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）是否存在过M（0，2）的直线与椭圆交于A，B两个不同点，使以AB为直径的圆过原点？若存在，求出直线方程，若不存在，请说明理由．
　
　
2015-2016学年福建省泉州市四校联考高二（上）期末数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
　
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．把答案填在答题卡相应位置）
1．以﹣=1的顶点为焦点，长半轴长为4的椭圆方程为（　　）
A． +=1 B． +=1
C． +=1 D． +=1
【考点】圆锥曲线的共同特征；椭圆的标准方程；双曲线的简单性质．
【专题】计算题．
【分析】根据双曲线的顶点写出椭圆的焦点，看出椭圆的长轴在y轴上，根据条件得到的a和c的值写出椭圆的方程．
【解答】解：∵双曲线的焦点为（0，4），（0，﹣4）
顶点为（0，2）（0，﹣2）
∴以双曲线的顶点为焦点，长半轴长为4的椭圆a=4，c=2
∴b=2
∴椭圆的方程是，
故选D．
【点评】本题考查圆锥曲线的共同特征，本题解题的关键是写出要用的关键点的坐标，即知道了椭圆的位置和大小，这是一个基础题．
　
2．若双曲线的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为（　　）
A． B．5 C． D．2
【考点】双曲线的简单性质．
【专题】计算题．
【分析】由已知中双曲线的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，通过渐近线、离心率等几何元素，沟通a，b，c的关系，即可求出该双曲线的离心率．
【解答】解：∵焦点到渐近线的距离等于实轴长，
∴b=2a，
∴e2==1+=5、
∴e=
故选A．
【点评】本题考查的知识点是双曲线的简单性质，双曲线的渐近线与离心率存在对应关系，通过a，b，c的比例关系可以求离心率，也可以求渐近线方程．
　
3．原命题“若x≤﹣3，则x＜0”的逆否命题是（　　）
A．若x＜﹣3，则x≤0 B．若x＞﹣3，则x≥0 C．若x＜0，则x≤﹣3 D．若x≥0，则x＞﹣3
【考点】四种命题．
【专题】简易逻辑．
【分析】直接利用四种命题中题设和结论之间的关系求出结果．
【解答】解：原命题“若x≤﹣3，则x＜0”
则：逆否命题为：若x≥0，则x＞﹣3
故选：D
【点评】本题考查的知识要点：四种命题的应用转换．属于基础题型．
　
4．当K2＞6.635时，认为事件A与事件B（　　）
A．有95%的把握有关 B．有99%的把握有关
C．没有理由说它们有关 D．不确定
【考点】独立性检验的应用．
【专题】计算题；方程思想；综合法；概率与统计．
【分析】根据所给的观测值同临界值的比较，得到有1﹣0.01=99%的把握认为事件A与事件B有关系，得到结果．
【解答】解：∵K2＞6.635，
∴有1﹣0.01=99%的把握认为两个事件有关系，
故选：B．
【点评】本题考查实际推断原理和假设检验的作用，本题解题的关键是理解临界值对应的概率的意义，本题是一个基础题．
　
5．直线4x+3y﹣5=0与圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=9相交于A、B两点，则AB的长度等于（　　）
A．1 B． C．2 D．4
【考点】直线与圆相交的性质．
【专题】直线与圆．
【分析】根据直线和圆相交的弦长公式进行求解即可．
【解答】解：圆心坐标为（1，2），半径R=3，
圆心到直线的距离d==，
则|AB|=2=2==4，
故选：D
【点评】本题主要考查直线和圆相交的应用，利用弦长公式是解决本题的关键．
　
6．“x2﹣1＞0”是“x＞1”的（　　）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【专题】转化思想；定义法；不等式的解法及应用；简易逻辑．
【分析】由x2﹣1＞0，解得x＞1或x＜﹣1．即可判断出结论．
【解答】解：由x2﹣1＞0，解得x＞1或x＜﹣1．
“x2﹣1＞0”是“x＞1”必要不充分条件．
故选：B．
【点评】本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
　
7．已知焦点在x轴上的椭圆过点A（﹣3，0），且离心率e=，则椭圆的标准方程是（　　）
A． =1 B． =1
C． =1 D． =1
【考点】椭圆的简单性质．
【专题】方程思想；分析法；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】设椭圆的方程为+=1（a＞b＞0），由题意可得a=3，由离心率公式和a，b，c的关系，可得b，进而得到椭圆方程．
【解答】解：设椭圆的方程为+=1（a＞b＞0），
由题意可得a=3，e==，
可得c=，b===2，
则椭圆方程为+=1．
故选：D．
【点评】本题考查椭圆的方程的求法，注意运用椭圆的性质及离心率公式和a，b，c的关系，考查运算能力，属于基础题．
　
8．已知F1，F2是椭圆的两个焦点，过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，若△ABF2是正三角形，则这个椭圆的离心率是（　　）
A． B． C． D．
【考点】椭圆的应用；椭圆的简单性质．
【专题】计算题．
【分析】由△ABF2是正三角形可知，即，由此推导出这个椭圆的离心率．
【解答】解：由题，∴即
∴，
∴，
解之得：（负值舍去）．
故答案选A．
【点评】本题考查椭圆的基本性质及其应用，解题要注意公式的合理选取．
　
9．设双曲线的虚轴长为2，焦距为，则双曲线的渐近线方程为（　　）
A． B．y=±2x C． D．
【考点】双曲线的简单性质．
【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】由题意知，因为双曲线的焦点在x轴上，由此可知渐近线方程为．
【解答】解：由已知得到，
因为双曲线的焦点在x轴上，
故渐近线方程为；
故选C．
【点评】本题主要考查了双曲线的几何性质和运用．考查了同学们的运算能力和推理能力．
　
10．设线段AB的两个端点A、B分别在x轴、y轴上滑动，且|AB|=4，点M是线段AB的中点，则点M的轨迹方程是（　　）
A． =1 B．x2+y2=4 C．x2﹣y2=4 D． +=1
【考点】轨迹方程．
【专题】直线与圆．
【分析】可以取AB的中点M，根据三角形ABO是直角三角形，可知OM=2是定值，故M的轨迹是以O为圆心，半径为2的圆．问题获解．
【解答】解：设M（x，y），因为△ABC是直角三角形，所以||OM|=定值．
故M的轨迹为：以O为圆心，2为半径的圆．
故x2+y2=4即为所求．
故选B
【点评】本题考查了圆的轨迹定义，一般的要先找到动点满足的几何条件，然后结合曲线的轨迹定义去判断即可．然后确定方程的参数，写出方程．
　
11．直线y=x﹣3与抛物线y2=4x交于A、B两点，过A、B两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为P、Q，则梯形APQB的面积为（　　）
A．48 B．56 C．64 D．72
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．
【专题】计算题．
【分析】依题意联立方程组消去y，进而求得交点的坐标，进而根据|AP|，|BQ|和|PQ|的值求得梯形APQB的面积
【解答】解：直线y=x﹣3与抛物线y2=4x交于A，B两点，过A，B两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为P，Q，
联立方程组得，
消元得x2﹣10x+9=0，
解得，和，
∴|AP|=10，|BQ|=2，|PQ|=8，梯形APQB的面积为48，
故选A．
【点评】本题主要考查了抛物线与直线的关系．常需要把直线与抛物线方程联立根据韦达定理找到解决问题的途径．
　
12．椭圆： =1上的一点A关于原点的对称点为B，F2为它的右焦点，若AF2⊥BF2，则三角形△AF2B的面积是（　　）
A．15 B．32 C．16 D．18
【考点】椭圆的简单性质．
【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】AO=BO=c=3，设A（x，y），则x2+y2=9，由此能求出三角形△AF2B的面积．
【解答】解：椭圆=1中，a=5，b=4，c=3，
∵椭圆=1上的一点A关于原点的对称点为B，F2为它的右焦点，AF2⊥BF2，
∴AO=BO=c=3，
设A（x，y），则x2+y2=9，
∵=1，
∴|y|==4，
∴三角形△AF2B的面积是2××4×4=16，
故选：C．
【点评】本题考查三角形面积的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意椭圆性质的合理运用．
　
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在答题卡相应位置）
13．命题：p： x∈R，sinx≤1，则命题p的否定￢p是　 x∈R，sinx＞1　．
【考点】命题的否定．
【专题】规律型；探究型．
【分析】命题是全称命题，根据全称命题的否定是特称命题来解决．
【解答】解：根据全称命题的否定是特称命题知：
命题p的否定￢p是： x∈R，sinx＞1．
故答案为： x∈R，sinx＞1．
【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题．
　
14．抛物线x2=﹣2y的焦点坐标为　　．
【考点】抛物线的标准方程．
【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】抛物线x2=﹣2py（p＞0）的焦点坐标为（0，﹣）．
【解答】解：∵抛物线x2=﹣2y中，2p=2，解得p=1，
∴抛物线x2=﹣2y的焦点坐标为．
故答案为：．
【点评】本题考查抛物线的焦点坐标的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意抛物线的简单性质的灵活运用．
　
15．如果实数x，y满足（x+2）2+y2=3，则的最大值是　　．
【考点】圆的标准方程．
【专题】计算题；数形结合；综合法；直线与圆．
【分析】设=k，的最大值就等于连接原点和圆上的点的直线中斜率的最大值，由数形结合法的方式，易得答案
【解答】解：设=k，则y=kx表示经过原点的直线，k为直线的斜率．
所以求的最大值就等价于求同时经过原点和圆上的点的直线中斜率的最大值，
如图示：
从图中可知，斜率取最大值时对应的直线斜率为正且与圆相切，
此时的斜率就是其倾斜角∠EOC的正切值．
易得|OC|=2，|CE|=r=，可由勾股定理求得|OE|=1，
于是可得到k=tan∠EOC==，即为的最大值．
故答案为：．
【点评】本题考查直线与圆的位置关系，数形结合是解决问题的关键，属中档题．
　
16．已知M（﹣5，0），N（5，0）是平面上的两点，若曲线C上至少存在一点P，使|PM|=|PN|+6，则称曲线C为“黄金曲线”．下列五条曲线：
①=1；
②=1；
③=1；
④y2=4x；
⑤x2+y2﹣2x﹣3=0
其中为“黄金曲线”的是　④⑤　．（写出所有“黄金曲线”的序号）
【考点】双曲线的简单性质．
【专题】计算题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】根据双曲线的定义，可得点P的轨迹是以M、N为焦点，2a=6的双曲线，由此算出所求双曲线的方程．再分别将双曲线与五条曲线联立，通过解方程判断是否有交点，由此可得答案．
【解答】解：∵点M（﹣5，0），N（5，0），点P使|PM|﹣|PN|=6，
∴点P的轨迹是以M、N为焦点，2a=6的双曲线，
可得b2=c2﹣a2=52﹣32=16，
则双曲线的方程为﹣=1（x＞0），
对于①，两方程联立，无解．则①错；
对于②，联立=1和﹣=1（x＞0），无解，则②错；
对于③，联立=1和﹣=1（x＞0），无解，则②错；
对于④，联立y2=4x和﹣=1（x＞0），解得x=成立．
对于⑤，联立x2+y2﹣2x﹣3=0和﹣=1（x＞0），化简得25x2﹣18x﹣171=0，
由韦达定理可得两根之积小于0，必有一个正根，则⑤成立．
故答案为：④⑤．
【点评】本题考查双曲线的定义和方程，考查联立曲线方程求交点，考查运算能力，属于基础题和易错题．
　
三、解答题（本大题共6小题，共76分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．已知直线l1：ax+2y+6=0，直线．
（1）若l1⊥l2，求a的值；
（2）若l1∥l2，求a的值．
【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系；直线的一般式方程与直线的垂直关系．
【专题】计算题．
【分析】（1）当两条直线垂直时，斜率之积等于﹣1，解方程求出a的值．
（2）利用两直线平行时，一次项系数之比相等，但不等于常数项之比，求出a的值．
【解答】解：（1）l1⊥l2 时，a×1+2×（a﹣1）=0，
解得a=．
∴a=．
（2）∵a=1时，l1不平行l2，
∴l1∥l2 ，
解得a=﹣1．
【点评】本题考查两直线相交、垂直、平行、重合的条件，体现了转化的数学思想．属于基础题．
　
18．顶点在原点，焦点在y轴的正半轴的抛物线的焦点到准线的距离为2．
（1）求抛物线的标准方程；
（2）若直线l：y=2x+1与抛物线相交于A，B两点，求AB的长度．
【考点】抛物线的简单性质．
【专题】综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】（1）利用抛物线的定义，求出p，即可求抛物线的标准方程；
（2）直线l：y=2x+1与抛物线联立，利用韦达定理及抛物线的定义，即可求AB的长度．
【解答】解：（1）由题意，焦点在y轴的正半轴的抛物线的焦点到准线的距离为2，可知p=2．…
∴抛物线标准方程为：x2=4y…
（2）直线l：y=2x+l过抛物线的焦点F（0，1），设A（x1，y1），B（x2，y2）
∴|AB|=y1+y2+p=y1+y2+2…
联立得x2﹣8x﹣4=0…
∴x1+x2=8…
∴|AB|=y1+y2+2=2x1+1+2x2+1+2=2（x1+x2）+4=20…
【点评】本题考查抛物线的标准方程，考查直线与抛物线的位置关系，正确运用抛物线的定义是关键．
　
19．已知命题p：“ x∈[1，2]，x2﹣a≥0”，命题q：关于x的方程x2+2ax+a+2=0有解．若命题“p且q”是真命题，求实数a的取值范围．
【考点】复合命题的真假．
【专题】综合题；转化思想；转化法；简易逻辑．
【分析】先求出命题p，q同时为真命题的条件，然后利用补集思想求“p且q”为假命题的条件即可．
【解答】解：若p是真命题．则a≤x2，
∵x∈[1，2]，1≤x2≤4，
∴a≤1，即p：a≤1．
若q为真命题，则方程x2+2ax+a+2=0有实根，
∴△=4a2﹣4（a+2）≥0，
即a2﹣a﹣2≥0，
即q：a≥2或a≤﹣1．
若“p且q”为真命题，则p，q都是真命题，
即，即a≤﹣1
∴“p且q”是真命题时，实数a的取值范围是（﹣∞，﹣1]．
【点评】本题主要考查复合命题与简单命题的真假关系，利用条件先求出p，q同时为真命题的条件，解决本题的关键．
　
20．“奶茶妹妹”对某时间段的奶茶销售量及其价格进行调查，统计出售价x元和销售量y杯之间的一组数据如下表所示：
价格x 5 5.5 6.5 7
销售量y 12 10 6 4
通过分析，发现销售量y对奶茶的价格x具有线性相关关系．
（Ⅰ）求销售量y对奶茶的价格x的回归直线方程；
（Ⅱ）欲使销售量为13杯，则价格应定为多少？
注：在回归直线y=中，， =﹣． =146.5．
【考点】线性回归方程．
【专题】函数思想；综合法；概率与统计．
【分析】（1）根据回归系数公式计算回归系数；
（2）把y=13代入回归方程计算x．
【解答】解：（Ⅰ） ==6， ==8．
=5×12+5.5×10+6.5×6+7×4=182，
=52+5.52+6.52+72=146.5，
==﹣4， =8+4×6=32．
∴销售量y对奶茶的价格x的回归直线方程为=﹣4x+32．
（Ⅱ）令﹣4x+32=13，解得x=4.75．
答：商品的价格定为4.75元．
【点评】本题考查了线性回归方程的解法和数值估计，属于基础题．
　
21．设A、B分别为双曲线的左右顶点，双曲线的实轴长为，焦点到渐近线的距离为．
（1）求双曲线的方程；
（2）已知直线与双曲线的右支交于M、N两点，且在双曲线的右支上存在点D，使，求t的值及点D的坐标．
【考点】直线与圆锥曲线的关系；双曲线的标准方程．
【专题】综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】（1）由实轴长可得a值，由焦点到渐近线的距离可得b，c的方程，再由a，b，c间的平方关系即可求得b；
（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），D（x0，y0），则x1+x2=tx0，y1+y2=ty0，则x1+x2=tx0，y1+y2=ty0，联立直线方程与双曲线方程消掉y得x的二次方程，由韦达定理可得x1+x2，进而求得y1+y2，从而可得，再由点D在双曲线上得一方程，联立方程组即可求得D点坐标，从而求得t值；
【解答】解：（1）由实轴长为，得，
渐近线方程为x，即bx﹣2y=0，
∵焦点到渐近线的距离为，
∴，又c2=b2+a2，∴b2=3，
∴双曲线方程为：；
（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），D（x0，y0），则x1+x2=tx0，y1+y2=ty0，
由，
∴y1+y2=﹣4=12，
∴，解得，∴t=4，
∴，t=4．
【点评】本题考查直线与圆锥曲线的位置关系、双曲线标准方程的求解，考查向量的线性运算，考查学生分析问题解决问题的能力．
　
22．如图，中心在原点的椭圆的焦点在x轴上，长轴长为4，焦距为2，O为坐标原点．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）是否存在过M（0，2）的直线与椭圆交于A，B两个不同点，使以AB为直径的圆过原点？若存在，求出直线方程，若不存在，请说明理由．
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．
【专题】圆锥曲线中的最值与范围问题．
【分析】（Ⅰ）设椭圆的方程为：，由继而求出b2=a2﹣c2=1，继而得出椭圆方程．
（Ⅱ）设直线斜率为k，则直线l的方程为：y=kx+2，由得：（4k2+1）x2+16kx+12=0，由OA⊥OB得到x1x2+y1y2=0．代入求解即可．
【解答】解：（Ⅰ）设椭圆的方程为：，∵2a=4∴a=2…
∵…∴b2=a2﹣c2=1…
所以，椭圆的方程为：…
（Ⅱ）法一：假设存在过M（0，2）的直线l与椭圆交于A、B两个不同点，使以AB为直径的圆过原点，依题意可知OA⊥OB．
①当直线l的斜率不存在时，A、B分别为椭圆短轴的端点，不符合题意 …
②当直线l的斜率存在时，设为k，则直线l的方程为：y=kx+2
由得：（4k2+1）x2+16kx+12=0…
令△＞0，得：（16k）2﹣4 （4k2+1） 12=4k2﹣3＞0∴…
设A（x1，y1），B（x2，y2），则…
又y1=kx1+2，y2=kx2+2∴==…
∵OA⊥OB∴x1x2+y1y2=0…∴∴∴k=±2…
∴直线l的方程为：y=±2x+2，即2x﹣y+2=0或2x+y﹣2=0，
所以，存在过M（0，2）的直线与椭圆交于A、B两个不同点，使以AB为直径的圆过原点，其方程为：2x﹣y+2=0或2x+y﹣2=0．…
（Ⅱ）法二：假设存在过M（0，2）的直线l与椭圆交于A、B两个不同点，使以AB为直径的圆过原点，依题意可知OA⊥OB，设直线l的方程为：x=m（y﹣2）…
由得：（m2+4）y2﹣4m2y+4m2﹣4=0…
令△＞0，得：16m4﹣4 （m2+4） （4m2﹣4）=64﹣48m2＞0∴…
设A（x1，y1），B（x2，y2），则…
又=…
∵OA⊥OB∴x1x2+y1y2=0…
∴∴，
∴…∴所求直线的方程为：，即2x﹣y+2=0或2x+y﹣2=0
所以，存在过M（0，2）的直线与椭圆交于A、B两个不同点，使以AB为直径的圆过原点，其方程为：2x﹣y+2=0或2x+y﹣2=0…
【点评】本题主要考查直线与圆锥曲线的综合题，属于难度较大的题目，计算量大，在高考中经常在压轴题中出现．
　
2016年3月14日