湖北省部分重点中学2015-2016学年高二（上）期末数学试卷（理科）（解析版）

2015-2016学年湖北省部分重点中学高二（上）期末数学试卷（理科）
　
一、选择题（本大题共12道小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．）
1．命题“ n∈Z，n∈Q”的否定是（　　）
A． n0∈Z，n0 Q B． n0 Z，n0∈Q C． n0∈Z，n0 Q D． n0 Z，n0∈Q
　
2．抛物线y=﹣的焦点坐标是（　　）
A．（0，） B．（，0） C．（0，﹣2） D．（﹣2，0）
　
3．设X是一个离散型随机变量，其分布列如图，则q等于（　　）
x ﹣1 0 1
P 0.5 1﹣2q q2
A．1 B．1± C．1﹣ D．1+
　
4．下列命题中正确的个数为（　　）
①线性相关系数r越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱；
②残差平方和越小的模型，模型拟合的效果越好；
③用相关指数R2来刻画回归效果，R2越小，说明模型的拟合效果越好．
A．1 B．2 C．3 D．0
　
5．设随机变量ξ～N（μ，σ2），函数f（x）=x2+4x+ξ没有零点的概率是0.5，则μ等于（　　）
A．1 B．4 C．2 D．不能确定
　
6．l1，l2表示空间中的两条直线，若p：l1，l2是异面直线，q：l1，l2不相交，则（　　）
A．p是q的充分条件，但不是q的必要条件
B．p是q的必要条件，但不是q的充分条件
C．p是q的充分必要条件
D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件
　
7．给出一个如图所示的流程图，若要使输入的x值与输出的y值相等，则这样的x值的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
　
8．假设在5秒内的任何时刻，两条不相关的短信机会均等地进人同一部手机，若这两条短信进人手机的时间之差小于2秒，手机就会受到干扰，则手机受到干扰的概率为（　　）
A． B． C． D．
　
9．在△ABC中，A（x，y），B（﹣2，0），C（2，0），给出△ABC满足的条件，就能得到动点A的轨迹方程，如表给出了一些条件及方程：
条件 方程
①△ABC周长为10；②△ABC面积为10；③△ABC中，∠A=90° E1：y2=25；E2：x2+y2=4（y≠0）；E3：
则满足条件①、②、③的轨迹方程分别用代号表示为（　　）
A．E3，E1，E2 B．E1，E2，E3 C．E3，E2，E1 D．E1，E3，E2
　
10．已知椭圆+=1上的一点M到焦点F1的距离为2，N是MF1的中点，O为原点，则|ON|等于（　　）
A．2 B．4 C．8 D．
　
11．某中学四名高二学生约定“五一”节到本地区三处旅游景点做公益活动，如果每个景点至少一名同学，且甲乙两名同学不在同一景点，则这四名同学的安排情况有（　　）
A．10种 B．20种 C．30种 D．40种
　
12．设双曲线C的中心为点O，若有且只有一对相交于点O，所成的角为60°的直线A1B1和A2B2，使|A1B1|=|A2B2|，其中A1、B1和A2、B2分别是这对直线与双曲线C的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
　
　
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．某项测试有6道试题，小明答对每道试题的概率都是，则小明参加测试（做完全部题目）刚好答对2道试题的概率为　　　　　　．
　
14．（2x﹣）6展开式中常数项为　　　　　　（用数字作答）．
　
15．许多因素都会影响贫穷，教育也许是其中的一个，在研究这两个因素的关系时，收集了某国50个地区的成年人至多受过9年教育的百分比（x%）和收入低于官方规定的贫困线的人数占本地区人数的百分比（y%）的数据，建立的回归直线方程是y=0.8x+4.6，这里，斜率的估计0.8说明一个地区受过9年或更少的教育的百分比每增加　　　　　　，则收入低于官方规定的贫困线的人数占本地区人数的百分比将增加　　　　　　左右．
　
16．甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球，先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A1，A2和A3表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐取出的球是红球的事件；则下列结论中正确的是：　　　　　　．
①P（B）=；②P（B|A1）=；③事件B与事件A1相互独立；④P（B）的值不能确定，因为它与A1，A2和A3中哪一个发生有关；⑤事件A1，A2和A3两两互斥．
　
　
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知命题p：方程x2+mx+1=0有两个不相等的实根；q：不等式4x2+4（m﹣2）x+1＞0的解集为R；若p或q为真，p且q为假，求实数m的取值范围．
　
18．在平面直角坐标系中，已知点A（﹣1，0），B（1，0），动点P满足： =m（| |2﹣2），求动点P的轨迹方程，并根据m的取值讨论方程所表示的曲线类型．
　
19．袋内装有6个球，这些琮依次被编号为l、2、3、…、6，设编号为n的球重n2﹣6n+12（单位：克），这些球等可能地从袋里取出（不受重量、编号的影响）．
（1）从袋中任意取出一个球，求其重量大于其编号的概率；
（2）如果不放回的任意取出2个球，求它们重量相等的概率．
　
20．如图是某市有关部门根据对某地干部的月收入情况调查后画出的样本频率分布直方图，已知图中第一组的频数为4000．请根据该图提供的信息解答下列问题：（图中每组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示收入在[1000，1500）
（1）求样本中月收入在[2500，3500）的人数；
（2）为了分析干部的收入与年龄、职业等方面的关系，必须从样本的各组中按月收入再用分层抽样方法抽出100人作进一步分析，则月收入在[1500，2000）的这段应抽多少人？
（3）试估计样本数据的中位数．
　
21．有编号为1，2，3，…，n的n个学生，入坐编号为1，2，3，…n的n个座位．每个学生规定坐一个座位，设学生所坐的座位号与该生的编号不同的学生人数为ξ，已知ξ=2时，共有6种坐法．
（1）求n的值；
（2）求随机变量ξ的概率分布列和数学期望．
　
22．直线l与椭圆交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，已知=（ax1，by1），=（ax2，by2），若⊥且椭圆的离心率，又椭圆经过点，O为坐标原点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若直线l过椭圆的焦点F（0，c）（c为半焦距），求直线l的斜率k的值；
（Ⅲ）试问：△AOB的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由．
　
　
2015-2016学年湖北省部分重点中学高二（上）期末数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
　
一、选择题（本大题共12道小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．）
1．命题“ n∈Z，n∈Q”的否定是（　　）
A． n0∈Z，n0 Q B． n0 Z，n0∈Q C． n0∈Z，n0 Q D． n0 Z，n0∈Q
【考点】命题的否定．
【专题】对应思想；演绎法；简易逻辑．
【分析】根据全称命题的否定方法，结合已知中的原命题，可得答案．
【解答】解：命题“ n∈Z，n∈Q”的否定是 n0∈Z，n0 Q，
故选：A
【点评】本题考查的知识点是全称命题的否定方法，难度不大，属于基础题．
　
2．抛物线y=﹣的焦点坐标是（　　）
A．（0，） B．（，0） C．（0，﹣2） D．（﹣2，0）
【考点】抛物线的简单性质．
【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】抛物线方程化为标准方程，确定开口方向，即可得到抛物线的焦点坐标．
【解答】解：抛物线方程化为标准方程为：x2=﹣8y
∴2p=8，∴ =2
∵抛物线开口向下
∴抛物线y=﹣x2的焦点坐标为（0，﹣2）
故选：C．
【点评】本题考查抛物线的性质，解题的关键是将抛物线方程化为标准方程，确定开口方向．
　
3．设X是一个离散型随机变量，其分布列如图，则q等于（　　）
x ﹣1 0 1
P 0.5 1﹣2q q2
A．1 B．1± C．1﹣ D．1+
【考点】离散型随机变量及其分布列．
【专题】计算题．
【分析】由离散型随机变量的分布列的性质，X其每个值的概率都在[0，1]之间，且概率之和为1，得到关于q的不等式组，求解即可．
【解答】解：由分布列的性质得
；
∴q=1﹣；．
故选C
【点评】本题考查离散型随机变量的分布列的性质及应用，属基本运算的考查．
　
4．下列命题中正确的个数为（　　）
①线性相关系数r越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱；
②残差平方和越小的模型，模型拟合的效果越好；
③用相关指数R2来刻画回归效果，R2越小，说明模型的拟合效果越好．
A．1 B．2 C．3 D．0
【考点】相关系数．
【专题】对应思想；定义法；概率与统计．
【分析】根据“残差”的意义、线性相关系数和相关指数的意义，即可作出正确的判断．
【解答】解：根据线性相关系数r的绝对值越接近1，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱，判断①错误；
根据比较两个模型的拟合效果，可以比较残差平方和的大小，残差平方和越小的模型，拟合效果就越好，判断②正确；
根据用相关指数R2刻画回归的效果时，R2的值越大说明模型的拟合效果就越好，判断③错误；
综上，正确的命题是②．
故选：A．
【点评】本题考查了“残差”与线性相关系数、相关指数的意义与应用问题，是基础题．
　
5．设随机变量ξ～N（μ，σ2），函数f（x）=x2+4x+ξ没有零点的概率是0.5，则μ等于（　　）
A．1 B．4 C．2 D．不能确定
【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．
【专题】计算题；概率与统计．
【分析】由题中条件：“函数f（x）=x2+4x+ξ没有零点”可得ξ＞4，结合正态分布的图象的对称性可得μ值．
【解答】解：函数f（x）=x2+4x+ξ没有零点，
即二次方程x2+4x+ξ=0无实根得ξ＞4，
∵函数f（x）=x2+4x+ξ没有零点的概率是0.5，
∴P（ξ＞4）=0.5，
由正态曲线的对称性知μ=4，
故选：B．
【点评】从形态上看，正态分布是一条单峰、对称呈钟形的曲线，其对称轴为x=μ，并在x=μ时取最大．
　
6．l1，l2表示空间中的两条直线，若p：l1，l2是异面直线，q：l1，l2不相交，则（　　）
A．p是q的充分条件，但不是q的必要条件
B．p是q的必要条件，但不是q的充分条件
C．p是q的充分必要条件
D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【专题】简易逻辑．
【分析】根据充分条件和必要条件的定义结婚空间直线的位置关系，进行判断即可．
【解答】解：若l1，l2是异面直线，则l1，l2不相交，即充分性成立，
若l1，l2不相交，则l1，l2可能是平行或异面直线，即必要性不成立，
故p是q的充分条件，但不是q的必要条件，
故选：A．
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据空间直线的位置关系是解决本题的关键．
　
7．给出一个如图所示的流程图，若要使输入的x值与输出的y值相等，则这样的x值的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】选择结构．
【专题】图表型；分类讨论．
【分析】由已知的流程图，我们易得这是一个计算并输出分段函数函数值的程序，我们根据条件，分x≤2，2＜x≤5，x＞5三种情况分别讨论，满足输入的x值与输出的y值相等的情况，即可得到答案．
【解答】解：当x≤2时，由x2=x得：x=0，1满足条件；
当2＜x≤5时，由2x﹣3=x得：x=3，满足条件；
当x＞5时，由=x得：x=±1，不满足条件，
故这样的x值有3个．
故选C．
【点评】根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，我们要先分析流程图（或伪代码）判断其功能，并将其转化为数学问题，建立数学模型后，用数学的方法解答即可得到答案．
　
8．假设在5秒内的任何时刻，两条不相关的短信机会均等地进人同一部手机，若这两条短信进人手机的时间之差小于2秒，手机就会受到干扰，则手机受到干扰的概率为（　　）
A． B． C． D．
【考点】几何概型．
【专题】计算题；概率与统计．
【分析】根据几何概型的概率公式求出对应的测度，即可得到结论．
【解答】解：分别设两个互相独立的短信收到的时间为x，y．则所有事件集可表示为0≤x≤5，0≤y≤5．
由题目得，如果手机受则到干扰的事件发生，必有|x﹣y|≤2．
三个不等式联立，则该事件即为x﹣y=2和y﹣x=2在0≤x≤5，0≤y≤5的正方形中围起来的图形
即图中阴影区域而所有事件的集合即为正方型面积52=25，
阴影部分的面积25﹣2×（5﹣2）2=16，
所以阴影区域面积和正方形面积比值即为手机受到干扰的概率为．
故选：C．
【点评】本题主要考查几何概型的概率的计算，分别求出对应区域的面积是解决本题的关键，比较基础．
　
9．在△ABC中，A（x，y），B（﹣2，0），C（2，0），给出△ABC满足的条件，就能得到动点A的轨迹方程，如表给出了一些条件及方程：
条件 方程
①△ABC周长为10；②△ABC面积为10；③△ABC中，∠A=90° E1：y2=25；E2：x2+y2=4（y≠0）；E3：
则满足条件①、②、③的轨迹方程分别用代号表示为（　　）
A．E3，E1，E2 B．E1，E2，E3 C．E3，E2，E1 D．E1，E3，E2
【考点】曲线与方程．
【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】根据题意，依次分析可得，①中可转化为A点到B、C两点距离之和为常数，符合椭圆的定义，利用定义法求轨迹方程；②中利用三角形面积公式可知A点到BC距离为常数，轨迹为两条直线；③中∠A=90°，可用斜率或向量处理．
【解答】解：①△ABC的周长为10，即AB+AC+BC=10，而BC=4，所以AB+AC=6＞BC，故动点A的轨迹为椭圆，与E3对应；
②△ABC的面积为10，所以BC |y|=10，|y|=5，与E1对应，
③∠A=90°，故 =（﹣2﹣x，﹣y）（2﹣x，﹣y）=x2+y2﹣4=0，与E2对应．
故满足条件①、②、③的轨迹方程分别用代号表示为E3E1E2
故选A．
【点评】本题考查直接法、定义法求轨迹方程，属基本题型、基本方法的考查．
　
10．已知椭圆+=1上的一点M到焦点F1的距离为2，N是MF1的中点，O为原点，则|ON|等于（　　）
A．2 B．4 C．8 D．
【考点】椭圆的简单性质．
【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】首先根据椭圆的定义求出MF2=8的值，进一步利用三角形的中位线求的结果．
【解答】解：根据椭圆的定义得：MF2=8，
由于△MF2F1中N、O是MF1、F1F2的中点，
根据中位线定理得：|ON|=4，
故选：B．
【点评】本题考查的知识点：椭圆的定义，椭圆的方程中量的关系，三角形中位线定理．
　
11．某中学四名高二学生约定“五一”节到本地区三处旅游景点做公益活动，如果每个景点至少一名同学，且甲乙两名同学不在同一景点，则这四名同学的安排情况有（　　）
A．10种 B．20种 C．30种 D．40种
【考点】排列、组合的实际应用．
【专题】应用题；排列组合．
【分析】由题意，不考虑甲乙两名同学在同一景点，有=36种，甲乙两名同学在同一景点，有=36种，即可得出结论．
【解答】解：由题意，不考虑甲乙两名同学在同一景点，有=36种，甲乙两名同学在同一景点，有=6种，
所以这四名同学的安排情况有36﹣6=30种．
故选：C．
【点评】本题考查排列、组合知识，考查学生的计算能力，比较基础．
　
12．设双曲线C的中心为点O，若有且只有一对相交于点O，所成的角为60°的直线A1B1和A2B2，使|A1B1|=|A2B2|，其中A1、B1和A2、B2分别是这对直线与双曲线C的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【考点】双曲线的简单性质．
【专题】计算题；压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】不妨令双曲线的方程为，由|A1B1|=|A2B2|及双曲线的对称性知A1，A2，B1，B2关于x轴对称，由满足条件的直线只有一对，得，由此能求出双曲线的离心率的范围．
【解答】解：不妨令双曲线的方程为，
由|A1B1|=|A2B2|及双曲线的对称性知A1，A2，B1，B2关于x轴对称，如图，
又∵满足条件的直线只有一对，
当直线与x轴夹角为30°时，双曲线的渐近线与x轴夹角大于30°，
双曲线与直线才能有交点A1，A2，B1，B2，
若双曲线的渐近线与x轴夹角等于30°，则无交点，
则不可能存在|A1B1|=|A2B2|，
当直线与x轴夹角为60°时，双曲线渐近线与x轴夹角大于60°，
双曲线与直线有一对交点A1，A2，B1，B2，
若双曲线的渐近线与x轴夹角等于60°，也满足题中有一对直线，
但是如果大于60°，则有两对直线．不符合题意，
∴tan30°，即，
∴，
∵b2=c2﹣a2，∴，∴，
∴，
∴双曲线的离心率的范围是．
故选：A．
【点评】本题考查双曲线的性质及其应用，解题时要注意挖掘隐含条件．
　
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．某项测试有6道试题，小明答对每道试题的概率都是，则小明参加测试（做完全部题目）刚好答对2道试题的概率为　　．
【考点】n次独立重复试验中恰好发生k次的概率．
【专题】转化思想；综合法；概率与统计．
【分析】由条件利用n次独立重复试验中恰好发生k次的概率公式，求得要求事件的概率．
【解答】解：要求事件的概率为 =，
故答案为：．
【点评】本题考查相互独立事件的概率乘法公式及n次独立重复试验中恰好发生k次的概率公式，属于基础题．
　
14．（2x﹣）6展开式中常数项为　60　（用数字作答）．
【考点】二项式定理．
【分析】用二项展开式的通项公式得展开式的第r+1项，令x的指数为0得展开式的常数项．
【解答】解：（2x﹣）6展开式的通项为=
令得r=4
故展开式中的常数项．
故答案为60
【点评】二项展开式的通项公式是解决二项展开式中特殊项问题的工具．
　
15．许多因素都会影响贫穷，教育也许是其中的一个，在研究这两个因素的关系时，收集了某国50个地区的成年人至多受过9年教育的百分比（x%）和收入低于官方规定的贫困线的人数占本地区人数的百分比（y%）的数据，建立的回归直线方程是y=0.8x+4.6，这里，斜率的估计0.8说明一个地区受过9年或更少的教育的百分比每增加　1%　，则收入低于官方规定的贫困线的人数占本地区人数的百分比将增加　0.8%　左右．
【考点】回归分析的初步应用．
【专题】计算题．
【分析】回归直线方程y=0.8x+4.6中，回归系数是0.8，回归截距是4.6，根据相应的意义可求．
【解答】解：回归直线方程y=0.8x+4.6中，回归系数是0.8，回归截距是4.6，斜率的估计0.8表示个地区受过9年或更少的教育的百分比每增加1%，则收入低于官方规定的贫困线的人数占本地区人数的百分比将增加0.8%左右．
故答案为1%，0.8%
【点评】本题考查回归直线方程重回归系数的几何意义，属于基础题．
　
16．甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球，先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A1，A2和A3表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐取出的球是红球的事件；则下列结论中正确的是：　①②⑤　．
①P（B）=；②P（B|A1）=；③事件B与事件A1相互独立；④P（B）的值不能确定，因为它与A1，A2和A3中哪一个发生有关；⑤事件A1，A2和A3两两互斥．
【考点】概率的意义．
【专题】计算题；转化思想；综合法；概率与统计．
【分析】利用相互独立事件概率乘法公式、条件概率计算公式、互斥事件定义求解．
【解答】解：∵甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球，
先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A1，A2和A3表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件，
再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐取出的球是红球的事件，
∴事件A1，A2，A3不会同时出现，∴事件A1，A2，A3是两两互斥事件，
P（A1）=，P（A2）=，P（A3）=，
P（B|A1）==，P（B|A2）=，P（B|A3）=，
∴P（B）=P（B|A1）P（A1）+P（B|A2）P（A2）+P（B|A3）P（A3）=，
故①正确，②正确，④错误，⑤正确；
事件B发生与否受到事件A1的影响，∴事件B与事件A1不是相互独立事件，故③错误．
故答案为：①②⑤．
【点评】解题的关键是理解题设中的各个事件，且熟练掌握了相互独立事件的概率计算公式、条件概率的求法．中档题，解题的关键是理解题设中的各个事件，且熟练掌握了相互独立事件的概率计算公式、条件概率的求法．
　
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知命题p：方程x2+mx+1=0有两个不相等的实根；q：不等式4x2+4（m﹣2）x+1＞0的解集为R；若p或q为真，p且q为假，求实数m的取值范围．
【考点】一元二次不等式的解法；复合命题的真假．
【专题】不等式的解法及应用．
【分析】利用一元二次方程有两个不相等的实根与判别式的关系即可得出p，再利用不等式4x2+4（m﹣2）x+1＞0的解集为R与判别式的关系即可得出q；
由p或q为真，p且q为假，可得p与q为一真一假，进而得出答案．
【解答】解：∵方程x2+mx+1=0有两个不相等的实根，
∴，∴m＞2或m＜﹣2
又∵不等式4x2+4（m﹣2）x+1＞0的解集为R，
∴，∴1＜m＜3
∵p或q为真，p且q为假，
∴p与q为一真一假，
（1）当p为真q为假时，，解得m＜﹣2或m≥3．
（2）当p为假q为真时，
综上所述得：m的取值范围是m＜﹣2或m≥3或1＜m≤2．
【点评】熟练掌握“三个二次”与判别式的关系及其“或”“且”命题的真假的判定是解题的关键．
　
18．在平面直角坐标系中，已知点A（﹣1，0），B（1，0），动点P满足： =m（| |2﹣2），求动点P的轨迹方程，并根据m的取值讨论方程所表示的曲线类型．
【考点】平面向量数量积的运算；轨迹方程．
【专题】分类讨论；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】设P（x，y），根据向量条件建立方程关系进行化简即可得到结论．．
【解答】解：（1）设P（x，y），则=（﹣1﹣x，﹣y），=（1﹣x，﹣y），=（x，y），=（﹣1，0），=（1，0）
∴=x2+y2﹣1， =﹣x，
∵，∴x2+y2﹣1=m（x2﹣1）化简得，（m﹣1）x2﹣y2=m﹣1，
∴当m＞1时，方程为x2﹣=1，表示焦点在x轴上的双曲线；
当m=1时，方程为y=0，是x轴所在直线；
当0＜m＜1时，方程为x2+=1，表示焦点在x轴上的椭圆；
当m=0时，方程为x2+y2=1，表示单位圆；
当m＜0时，方程为x2+=1，表示焦点在y轴上的椭圆．
【点评】本题主要考查轨迹方程的应用，涉及一元二次方程表示曲线的判断，利用分类讨论的数学思想是解决本题的关键．．
　
19．袋内装有6个球，这些琮依次被编号为l、2、3、…、6，设编号为n的球重n2﹣6n+12（单位：克），这些球等可能地从袋里取出（不受重量、编号的影响）．
（1）从袋中任意取出一个球，求其重量大于其编号的概率；
（2）如果不放回的任意取出2个球，求它们重量相等的概率．
【考点】排列、组合及简单计数问题；古典概型及其概率计算公式．
【专题】计算题；概率与统计．
【分析】（1）由题意可得n2﹣6n+12＞n，解得n＜3，或 n＞4，故有n=1，2，5，6，由此求得重量大于其编号的概率．
（2）如果不放回的任意取出2个球，这两个球的编号可能的情况共15种，设编号为m的球与编号为n的球重量相等，可得m+n=6，共有2种情况，由此求得所求事件的概率．
【解答】解：（1）由编号为n的球其重量大于其编号，则有n2﹣6n+12＞n，解得n＜3，或 n＞4，
故n=1，2，5，6．
∴从袋中任意取出一个球，求其重量大于其编号的概率为=．
（2）如果不放回的任意取出2个球，这两个球的编号可能的情况为：1、2； 1、3； 1、4；1、5；1、6；
2、3； 2、4； 2、5； 2、6； 3、4； 3、5； 3、6； 4、5； 4、6； 5、6，共15种情况．
设编号为m的球与编号为n的球重量相等，则有m2﹣6m+12=n2﹣6n+12，即 （m﹣n）（m+n﹣6）=0，
结合题意可得m+n﹣6=0，即m+n=6．
故满足m+n=6的情况为1、5； 2、4，共两种情形．
故所求事件的概率为．
【点评】本题主要考查排列、组合及简单计数问题，古典概型，属于中档题．
　
20．如图是某市有关部门根据对某地干部的月收入情况调查后画出的样本频率分布直方图，已知图中第一组的频数为4000．请根据该图提供的信息解答下列问题：（图中每组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示收入在[1000，1500）
（1）求样本中月收入在[2500，3500）的人数；
（2）为了分析干部的收入与年龄、职业等方面的关系，必须从样本的各组中按月收入再用分层抽样方法抽出100人作进一步分析，则月收入在[1500，2000）的这段应抽多少人？
（3）试估计样本数据的中位数．
【考点】众数、中位数、平均数；频率分布直方图．
【专题】概率与统计．
【分析】（1）根据频率分布直方图，求出各段的频率，然后再求[2500，3500）的人数；
（2）根据抽样方法，选取抽样的人数，
（3）根据求中位数的方法即可．
【解答】解：（1）∵月收入在[1000，1500]的频率为0.0008×500=0.4，且有4000人，
∴样本的容量n=，
月收入在[1500，2000）的频率为0.0004×500=0.2，
月收入在[2000，2500）的频率为0.0003×500=0.15，
月收入在[3500，4000）的频率为0.0001×500=0.05，
∴月收入在[2500，3500）的频率为；1﹣（0.4+0.2+0.15+0.05）=0.2，
∴样本中月收入在[2500，3500）的人数为：0.2×10000=2000．
（2）∵月收入在[1500，2000）的人数为：0.2×10000=2000，
∴再从10000人用分层抽样方法抽出100人，则月收入在[1500，2000）的这段应抽取（人）．
（3）由（1）知月收入在[1000，2000）的频率为：0.4+0.2=0.6＞0.5，
∴样本数据的中位数为： =1500+250=1750（元）．
【点评】本题考查了频率分布直方图，样本，中位数，只有会识图，问题就很好解决．
　
21．有编号为1，2，3，…，n的n个学生，入坐编号为1，2，3，…n的n个座位．每个学生规定坐一个座位，设学生所坐的座位号与该生的编号不同的学生人数为ξ，已知ξ=2时，共有6种坐法．
（1）求n的值；
（2）求随机变量ξ的概率分布列和数学期望．
【考点】离散型随机变量及其分布列．
【专题】计算题．
【分析】（1）解题的关键是ξ=2时，共有6种坐法，写出关于n的表示式，解出未知量，把不合题意的舍去．
（2）学生所坐的座位号与该生的编号不同的学生人数为ξ，由题意知ξ的可能取值是0，2，3，4，当变量是0时表示学生所坐的座位号与该生的编号都相同，当变量是2时表示学生所坐的座位号与该生的编号有2个相同，理解变量对应的事件，写出分布列和期望．
【解答】解：（1）∵当ξ=2时，有Cn2种坐法，
∴Cn2=6，
即，
n2﹣n﹣12=0，n=4或n=﹣3（舍去），
∴n=4．
（2）∵学生所坐的座位号与该生的编号不同的学生人数为ξ，
由题意知ξ的可能取值是0，2，3，4，
当变量是0时表示学生所坐的座位号与该生的编号都相同，
当变量是2时表示学生所坐的座位号与该生的编号有2个相同，
当变量是3时表示学生所坐的座位号与该生的编号有1个相同，
当变量是4时表示学生所坐的座位号与该生的编号有0个相同，
∴，
，
，
，
∴ξ的概率分布列为：
ξ 0 2 3 4
P
∴．
【点评】培养运用从具体到抽象、从特殊到一般的观点分析问题的能力，充分体现数学的化归思想．启发诱导的同时，训练了学生观察和概括归纳的能力．
　
22．直线l与椭圆交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，已知=（ax1，by1），=（ax2，by2），若⊥且椭圆的离心率，又椭圆经过点，O为坐标原点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若直线l过椭圆的焦点F（0，c）（c为半焦距），求直线l的斜率k的值；
（Ⅲ）试问：△AOB的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由．
【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．
【专题】综合题；压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】（Ⅰ）利用椭圆的离心率，椭圆经过点，建立方程组，求得几何量，从而可得椭圆的方程；
（Ⅱ）设l的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理，结合=0可得方程，从而可求直线l的斜率k的值；
（Ⅲ）分类讨论：①当直线AB斜率不存在时，即x1=x2，y1=﹣y2，利用=0，A在椭圆上，可求△AOB的面积；②当直线AB斜率存在时，设AB的方程为y=kx+t，代入椭圆方程，利用韦达定理，结合=0可得△AOB的面积是定值．
【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆的离心率，椭圆经过点，∴…2分
∴a=2，b=1
∴椭圆的方程为…3分
（Ⅱ）依题意，设l的方程为
由，∴
显然△＞0，…5分
由已知=0得： ==
解得…6分．
（Ⅲ）①当直线AB斜率不存在时，即x1=x2，y1=﹣y2，
∵=0，∴，
∵A在椭圆上，∴，∴，|y1|=
∴S==1；
②当直线AB斜率存在时，设AB的方程为y=kx+t，代入椭圆方程，可得（k2+4）x2+2ktx+t2﹣4=0
△=4k2t2﹣4（k2+4）（t2﹣4）＞0，x1+x2=，x1x2=
∵=0，∴4x1x2+y1y2=0，∴4x1x2+（kx1+t）（kx2+t）=0
∴2t2﹣k2=4
∴==1
综上，△AOB的面积是定值1．
【点评】本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查三角形面积的计算，解题的关键是联立方程，利用韦达定理进行求解．
　
2016年3月14日