河北省秦皇岛市卢龙县2015-2016学年高二（上）期末数学试卷（文科）（解析版）
文档属性
| 名称 | 河北省秦皇岛市卢龙县2015-2016学年高二（上）期末数学试卷（文科）（解析版） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 164.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 苏教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2016-03-15 09:05:21 | ||
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文档简介
2015-2016学年河北省秦皇岛市卢龙县高二（上）期末数学试卷（文科）
一、选择题（每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．直线3x﹣y+1=0的斜率是（ ）
A．3 B．﹣3 C． D．﹣
2．命题“ x0∈（0，+∞），lnx0=x0﹣1”的否定是（ ）
A． x0∈（0，+∞），lnx0≠x0﹣1 B． x0 （0，+∞），lnx0=x0﹣1
C． x∈（0，+∞），lnx≠x﹣1 D． x （0，+∞），lnx=x﹣1
3．设x∈R，则“x＞1”是“x2＞1”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
4．点P在直线3x+y﹣5=0上，且点P到直线x﹣y﹣1=0的距离为，则P点坐标为（ ）
A．（1，2） B．（2，1） C．（1，2）或（2，﹣1） D．（2，1）或（﹣2，1）
5．方程x2+y2+4mx﹣2y+5m=0表示圆的条件是（ ）
A． B．m＞1 C． D．或m＞1
6．已知抛物线y2=2px（p＞0）的准线经过点（﹣1，1），则该抛物线焦点坐标为（ ）
A．（﹣1，0） B．（1，0） C．（0，﹣1） D．（0，1）
7．在正四棱锥V﹣ABCD中，底面正方形ABCD的边长为1，侧棱长为2，则异面直线VA与BD所成角的大小为（ ）
A． B． C． D．
8．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左、右焦点为F1、F2，离心率为，过F2的直线l交C于A、B两点，若△AF1B的周长为4，则C的方程为（ ）
A． +=1 B． +y2=1 C． +=1 D． +=1
9．设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是（ ）
A．若l⊥m，m α，则l⊥α B．若l⊥α，l∥m，则m⊥α
C．若l∥α，m α，则l∥m D．若l∥α，m∥α，则l∥m
10．过点P（﹣，﹣1）的直线l与圆x2+y2=1有公共点，则直线l倾斜角的取值范围是（ ）
A．（0，] B．[0，] C．[0，] D．（0，]
11．该试题已被管理员删除
12．过双曲线的一个焦点F2作垂直于实轴的弦PQ，F1是另一焦点，若∠，则双曲线的离心率e等于（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．）
13．双曲线=1的渐近线方程是 ．
14．命题“若a＞0，则a＞1”的逆命题、否命题、逆否命题这三个命题中，真命题的个数为 ．
15．长方体的一个顶点上的三条棱长分别是3，4，5，且它的8个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是 ．
16．点P是椭圆=1上的一点，F1、F2分别是椭圆的左右焦点，若∠F1PF2=60°，则|PF1||PF2|= ．
三、解答题（本题有6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
17．已知命题p：方程=1表示焦点在y轴上的椭圆；命题q：双曲线=1的离心率e∈（1，2），若p∨q是真命题，求实数m的取值范围．
18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，AB∥DC，∠BCD=90°．
（1）求证：PC⊥BC；
（2）求点A到平面PBC的距离．
19．已知圆C：（x﹣1）2+y2=9内有一点P（2，2），过点P作直线l交圆于A，B两点．
（1）当l经过圆心C时，求直线l的方程；
（2）当弦AB被点P平分时，写出直线l的方程和弦AB的长．
20．已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F并且经过点A（1，﹣2）．
（1）求抛物线C的方程；
（2）过F作倾斜角为45°的直线l，交抛物线C于M，N两点，求线段MN的长度．
21．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB⊥BC，D为AC的中点，AA1=AB=2．
（1）求证：AB1∥平面BC1D；
（2）若BC=3，求三棱锥D﹣BC1C的体积．
22．已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，左右焦点分别为F1，F2，且|F1F2|=2，点（1，）在椭圆C上．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过F1的直线l与椭圆C相交于A，B两点，且△AF2B的面积为，求以F2为圆心且与直线l相切的圆的方程．
2015-2016学年河北省秦皇岛市卢龙县高二（上）期末数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．直线3x﹣y+1=0的斜率是（ ）
A．3 B．﹣3 C． D．﹣
【考点】直线的斜率．
【专题】直线与圆．
【分析】化直线方程的一般式为斜截式，则直线的斜率可求．
【解答】解：由3x﹣y+1=0，得y=3x+1．
∴直线3x﹣y+1=0的斜率是3．
故选：A．
【点评】本题考查了直线的斜率，考查了直线方程的一般式和斜截式的互化，是基础的会考题型．
2．命题“ x0∈（0，+∞），lnx0=x0﹣1”的否定是（ ）
A． x0∈（0，+∞），lnx0≠x0﹣1 B． x0 （0，+∞），lnx0=x0﹣1
C． x∈（0，+∞），lnx≠x﹣1 D． x （0，+∞），lnx=x﹣1
【考点】命题的否定．
【专题】简易逻辑．
【分析】根据特称命题的否定是全称命题即可得到结论．
【解答】解：命题的否定是： x∈（0，+∞），lnx≠x﹣1，
故选：C
【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．
3．设x∈R，则“x＞1”是“x2＞1”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【专题】常规题型．
【分析】直接利用充要条件的判定判断方法判断即可．
【解答】解：因为“x＞1”，则“x2＞1”；但是“x2＞1”不一定有“x＞1”，
所以“x＞1”，是“x2＞1”成立的充分不必要条件．
故选A．
【点评】本题考查充要条件的判定方法的应用，考查计算能力．
4．点P在直线3x+y﹣5=0上，且点P到直线x﹣y﹣1=0的距离为，则P点坐标为（ ）
A．（1，2） B．（2，1） C．（1，2）或（2，﹣1） D．（2，1）或（﹣2，1）
【考点】点到直线的距离公式．
【专题】计算题．
【分析】设出点P的坐标为（a，5﹣3a），利用点到直线的距离公式表示出P到已知直线的距离d，让d等于列出关于a的方程，求出方程的解即可得到a的值，写出点P的坐标即可．
【解答】解：设P点坐标为（a，5﹣3a），
由题意知： =．
解之得a=1或a=2，
∴P点坐标为（1，2）或（2，﹣1）．
故选C．
【点评】此题考查学生灵活运用点到直线的距离公式化简求值，是一道基础题．此题的点P有两解，做题时不要漏解．
5．方程x2+y2+4mx﹣2y+5m=0表示圆的条件是（ ）
A． B．m＞1 C． D．或m＞1
【考点】二元二次方程表示圆的条件．
【专题】转化思想；配方法；直线与圆．
【分析】利用二元一次方程表示圆的等价条件进行求解即可．
【解答】解：配方得（x+2m）2+（y﹣1）2=4m2﹣5m+1，
若方程表示圆，则4m2﹣5m+1＞0，
即或m＞1，
故选：D
【点评】本题主要考查二元一次方程表示圆的等价条件，比较基础．
6．已知抛物线y2=2px（p＞0）的准线经过点（﹣1，1），则该抛物线焦点坐标为（ ）
A．（﹣1，0） B．（1，0） C．（0，﹣1） D．（0，1）
【考点】抛物线的简单性质．
【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】利用抛物线y2=2px（p＞0）的准线经过点（﹣1，1），求得=1，即可求出抛物线焦点坐标．
【解答】解：∵抛物线y2=2px（p＞0）的准线经过点（﹣1，1），
∴=1，
∴该抛物线焦点坐标为（1，0）．
故选：B．
【点评】本题考查抛物线焦点坐标，考查抛物线的性质，比较基础．
7．在正四棱锥V﹣ABCD中，底面正方形ABCD的边长为1，侧棱长为2，则异面直线VA与BD所成角的大小为（ ）
A． B． C． D．
【考点】异面直线及其所成的角．
【专题】计算题．
【分析】连接AC，交BD于O，连接VO，先在正方形ABCD中证出对角线AC、BD互相垂直，再在三角形VBD中，根据VB=VD和O为BD中点，证出VO、BD互相垂直，最后根据直线与平面垂直的判定理证出BD⊥平面ACV，从而BD⊥VA，即异面直线VA与BD所成角大小为．
【解答】解：连接AC，交BD于O，连接VO
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，O为BD的中点
又∵正四棱锥V﹣ABCD中，VB=VD
∴VO⊥BD
∵AC∩VO=O，AC、VO 平面ACV
∴BD⊥平面ACV
∵VA 平面ACV
∴BD⊥VA
即异面直线VA与BD所成角等于，
故选D
【点评】本题以求正四棱锥中异面直线所成角为载体，着重考查了直线与平面垂直的判定与性质，以及异面垂直的概念，属于基础题．
8．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左、右焦点为F1、F2，离心率为，过F2的直线l交C于A、B两点，若△AF1B的周长为4，则C的方程为（ ）
A． +=1 B． +y2=1 C． +=1 D． +=1
【考点】椭圆的简单性质．
【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】利用△AF1B的周长为4，求出a=，根据离心率为，可得c=1，求出b，即可得出椭圆的方程．
【解答】解：∵△AF1B的周长为4，
∵△AF1B的周长=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=2a+2a=4a，
∴4a=4，
∴a=，
∵离心率为，
∴，c=1，
∴b==，
∴椭圆C的方程为+=1．
故选：A．
【点评】本题考查椭圆的定义与方程，考查椭圆的几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题．
9．设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是（ ）
A．若l⊥m，m α，则l⊥α B．若l⊥α，l∥m，则m⊥α
C．若l∥α，m α，则l∥m D．若l∥α，m∥α，则l∥m
【考点】直线与平面平行的判定．
【专题】空间位置关系与距离．
【分析】根据题意，依次分析选项：A，根据线面垂直的判定定理判断．C：根据线面平行的判定定理判断．D：由线线的位置关系判断．B：由线面垂直的性质定理判断；综合可得答案．
【解答】解：A，根据线面垂直的判定定理，要垂直平面内两条相交直线才行，不正确；
C：l∥α，m α，则l∥m或两线异面，故不正确．
D：平行于同一平面的两直线可能平行，异面，相交，不正确．
B：由线面垂直的性质可知：平行线中的一条垂直于这个平面则另一条也垂直这个平面．故正确．
故选B
【点评】本题主要考查了立体几何中线面之间的位置关系及其中的公理和判定定理，也蕴含了对定理公理综合运用能力的考查，属中档题
10．过点P（﹣，﹣1）的直线l与圆x2+y2=1有公共点，则直线l倾斜角的取值范围是（ ）
A．（0，] B．[0，] C．[0，] D．（0，]
【考点】直线与圆的位置关系．
【专题】直线与圆．
【分析】根据直线和圆的位置关系即可得到结论．
【解答】解：若直线斜率不存在，此时x=﹣与圆没有交点，
则直线斜率k一定存在，设为k，
则过P的直线方程为y+1=k（x+），
即kx﹣y+k﹣1=0，
若过点P（﹣，﹣1）的直线l与圆x2+y2=1有公共点，
则圆心到直线的距离d≤1，
即，即|k﹣1|≤，
平方得k2﹣k≤0，
解得0≤k≤，
即0≤tanα≤，
解得0≤α≤，
故选：B．
【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系的应用以及直线倾斜角的求解，根据条件转化为圆心到直线的距离和半径之间的关系是解决本题的关键．
11．该试题已被管理员删除
12．过双曲线的一个焦点F2作垂直于实轴的弦PQ，F1是另一焦点，若∠，则双曲线的离心率e等于（ ）
A． B． C． D．
【考点】双曲线的简单性质；双曲线的应用．
【专题】计算题．
【分析】根据由题设条件可知，|F1F2|=2c，由此可以求出双曲线的离心率e．
【解答】解：由题意可知，|F1F2|=2c，
∵∠，
∴，
∴4a2c2=b4=（c2﹣a2）2=c4﹣2a2c2+a4，
整理得e4﹣6e2+1=0，
解得或（舍去）
故选C．
【点评】本题考查双曲线的离心率，解题要注意时双曲线的离心率大于1．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．）
13．双曲线=1的渐近线方程是 y=±2x ．
【考点】双曲线的简单性质．
【专题】计算题．
【分析】渐近线方程是=0，整理后就得到双曲线的渐近线方程．
【解答】解：∵双曲线标准方程为=1，
其渐近线方程是=0，
整理得y=±2x．
故答案为y=±2x．
【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，令标准方程中的“1”为“0”即可求出渐近线方程．属于基础题．
14．命题“若a＞0，则a＞1”的逆命题、否命题、逆否命题这三个命题中，真命题的个数为 2 ．
【考点】四种命题．
【专题】转化思想；定义法；简易逻辑．
【分析】根据逆否命题的等价性结合四种命题真假之间的关系进行判断即可．
【解答】解：若a＞0，则a＞1为假命题，比如当a=，满足a＞0，但a＞1不成立，
则逆否命题为假命题，
命题的逆命题为若a＞1，则a＞0为真命题，则否命题也为真命题，
故真命题的个数为2个，
故答案为：2
【点评】本题主要考查四种命题的真假关系的判断，根据逆否命题的等价性是解决本题的关键．比较基础．
15．长方体的一个顶点上的三条棱长分别是3，4，5，且它的8个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是 50π ．
【考点】球内接多面体；球的体积和表面积．
【专题】计算题．
【分析】由题意长方体的外接球的直径就是长方体的对角线，求出长方体的对角线，就是求出球的直径，然后求出球的表面积．
【解答】解：长方体的一个顶点上的三条棱长分别是3，4，5，且它的8个顶点都在同一个球面上，
所以长方体的对角线就是球的直径，长方体的对角线为：，
所以球的半径为：；则这个球的表面积是： =50π．
故答案为：50π．
【点评】本题是基础题，考查球的内接多面体的有关知识，球的表面积的求法，注意球的直径与长方体的对角线的转化是本题的解答的关键，考查计算能力，空间想象能力．
16．点P是椭圆=1上的一点，F1、F2分别是椭圆的左右焦点，若∠F1PF2=60°，则|PF1||PF2|= ．
【考点】椭圆的简单性质．
【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；圆锥曲线中的最值与范围问题．
【分析】由已知条件利用椭圆定义和余弦定理列出方程组，由此能求出|PF1||PF2|．
【解答】解：∵点P是椭圆=1上的一点，F1、F2分别是椭圆的左右焦点，∠F1PF2=60°，
∴，
解得|PF1||PF2|=．
故答案为：．
【点评】本题考查两线段的乘积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质的合理运用．
三、解答题（本题有6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
17．已知命题p：方程=1表示焦点在y轴上的椭圆；命题q：双曲线=1的离心率e∈（1，2），若p∨q是真命题，求实数m的取值范围．
【考点】复合命题的真假．
【专题】方程思想；转化思想；简易逻辑．
【分析】利用椭圆与双曲线的标准方程及其性质，即可得出m的取值范围，再利用复合命题真假的判定方法即可得出．
【解答】解：将方程改写为，只有当1﹣m＞2m＞0，
即时，方程表示的曲线是焦点在y轴上的椭圆，所以命题p等价于；
因为双曲线的离心率e∈（1，2），
所以m＞0，且1，解得0＜m＜15，所以命题q等价于0＜m＜15．
p或q为真，则0＜m＜15．
【点评】本题考查了椭圆与双曲线的标准方程及其性质、复合命题真假的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，AB∥DC，∠BCD=90°．
（1）求证：PC⊥BC；
（2）求点A到平面PBC的距离．
【考点】点、线、面间的距离计算；空间中直线与平面之间的位置关系．
【专题】空间位置关系与距离；立体几何．
【分析】（1），要证明PC⊥BC，可以转化为证明BC垂直于PC所在的平面，由PD⊥平面ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，AB∥DC，∠BCD=90°，容易证明BC⊥平面PCD，从而得证；
（2），有两种方法可以求点A到平面PBC的距离：
方法一，注意到第一问证明的结论，取AB的中点E，容易证明DE∥平面PBC，点D、E到平面PBC的距离相等，而A到平面PBC的距离等于E到平面PBC的距离的2倍，由第一问证明的结论知平面PBC⊥平面PCD，交线是PC，所以只求D到PC的距离即可，在等腰直角三角形PDC中易求；
方法二，等体积法：连接AC，则三棱锥P﹣ACB与三棱锥A﹣PBC体积相等，而三棱锥P﹣ACB体积易求，三棱锥A﹣PBC的地面PBC的面积易求，其高即为点A到平面PBC的距离，设为h，则利用体积相等即求．
【解答】解：（1）证明：因为PD⊥平面ABCD，BC 平面ABCD，所以PD⊥BC．
由∠BCD=90°，得CD⊥BC，
又PD∩DC=D，PD、DC 平面PCD，
所以BC⊥平面PCD．
因为PC 平面PCD，故PC⊥BC．
（2）（方法一）分别取AB、PC的中点E、F，连DE、DF，则：
易证DE∥CB，DE∥平面PBC，点D、E到平面PBC的距离相等．
又点A到平面PBC的距离等于E到平面PBC的距离的2倍．
由（1）知：BC⊥平面PCD，所以平面PBC⊥平面PCD于PC，
因为PD=DC，PF=FC，所以DF⊥PC，所以DF⊥平面PBC于F．
易知DF=，故点A到平面PBC的距离等于．
（方法二）等体积法：连接AC．设点A到平面PBC的距离为h．
因为AB∥DC，∠BCD=90°，所以∠ABC=90°．
从而AB=2，BC=1，得△ABC的面积S△ABC=1．
由PD⊥平面ABCD及PD=1，得三棱锥P﹣ABC的体积．
因为PD⊥平面ABCD，DC 平面ABCD，所以PD⊥DC．
又PD=DC=1，所以．
由PC⊥BC，BC=1，得△PBC的面积．
由VA﹣PBC=VP﹣ABC，，得，
故点A到平面PBC的距离等于．
【点评】本小题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系，考查几何体的体积，考查空间想象能力、推理论证能力和运算能力．
19．已知圆C：（x﹣1）2+y2=9内有一点P（2，2），过点P作直线l交圆于A，B两点．
（1）当l经过圆心C时，求直线l的方程；
（2）当弦AB被点P平分时，写出直线l的方程和弦AB的长．
【考点】直线与圆的位置关系．
【专题】计算题；方程思想；综合法；直线与圆．
【分析】（1）求出直线l 的斜率为2，即可求直线l的方程；
（2）当弦AB被点P平分时，l⊥PC，即可写出直线l的方程和弦AB的长．
【解答】解：（1）已知圆C：（x﹣1）2+y2=9的圆心为C（1，0），
因直线l过点P、C，所以直线l 的斜率为2，
直线l的方程为：y=2（x﹣1），
即：2x﹣y﹣2=0．…
（2）当弦AB被点P平分时，l⊥PC，
∴直线l的方程为：y﹣2=﹣（x﹣2），即：x+2y﹣6=0．…
∵|PC|=
∴（）2=9﹣5
∴|AB|=4 …
【点评】本题考查直线与圆的方程，考查学生的计算能力，属于中档题．
20．已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F并且经过点A（1，﹣2）．
（1）求抛物线C的方程；
（2）过F作倾斜角为45°的直线l，交抛物线C于M，N两点，求线段MN的长度．
【考点】抛物线的简单性质．
【专题】综合题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】（1）利用抛物线C：y2=2px（p＞0）经过点A（1，﹣2），求出p，即可求抛物线C的方程；
（2）过F作倾斜角为45°的直线l的方程为：y=x﹣1，联立抛物线，利用弦长公式求线段MN的长度．
【解答】解：（1）把点A（1，﹣2）代入抛物线C：y2=2px（p＞0），可得（﹣2）2=2p×1，解得p=2．
∴抛物线C的方程为：y2=4x． …
（2）F（1，0）．
设M（x1，y1），N（x2，y2）．
直线l的方程为：y=x﹣1． …
联立抛物线，化为x2﹣6x+1=0，…
∴x1+x2=6，x1x2=1．
∴|MN|==8． …12分
【点评】本题考查抛物线的方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．
21．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB⊥BC，D为AC的中点，AA1=AB=2．
（1）求证：AB1∥平面BC1D；
（2）若BC=3，求三棱锥D﹣BC1C的体积．
【考点】直线与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积．
【专题】空间位置关系与距离．
【分析】（1）连接B1C，交BC1相交于O，连接OD，可证明OD是△AB1C的中位线，再根据线面平行的判定定理即可证明．
（2）由已知可得侧棱CC1⊥面ABC，把计算三棱锥D﹣BC1C的体积转化为计算三棱锥C1﹣BCD的体积．
【解答】解：（1）证明：连接B1C，设B1C与BC1相交于O，连接OD，
∵四边形BCC1B1是平行四边形，∴点O为B1C的中点．
∵D为AC的中点，
∴OD为△AB1C的中位线，∴OD∥B1A．
OD 平BC1D，AB1 平面BC1D，
∴AB1∥平面BC1D．
（2）∵三棱柱ABC﹣A1B1C1，∴侧棱CC1∥AA1，
又∵AA1底面ABC，∴侧棱CC1⊥面ABC，
故CC1为三棱锥C1﹣BCD的高，A1A=CC1=2，
∴．
∴．
【点评】本题考查了线面平行和线面垂直及体积，充分理解和掌握定理是解题的关键．
22．已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，左右焦点分别为F1，F2，且|F1F2|=2，点（1，）在椭圆C上．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过F1的直线l与椭圆C相交于A，B两点，且△AF2B的面积为，求以F2为圆心且与直线l相切的圆的方程．
【考点】椭圆的标准方程；圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题．
【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】（Ⅰ）先设出椭圆的方程，根据题设中的焦距求得c和焦点坐标，根据点（1，）到两焦点的距离求得a，进而根据b=求得b，得到椭圆的方程．
（Ⅱ）先看当直线l⊥x轴，求得A，B点的坐标进而求得△AF2B的面积与题意不符故排除，进而可设直线l的方程为：y=k（x+1）与椭圆方程联立消y，设A（x1，y1），B（x2，y2），根据韦达定理可求得x1+x2和x1 x2，进而根据表示出|AB|的距离和圆的半径，求得k，最后求得圆的半径，得到圆的方程．
【解答】解：（Ⅰ）设椭圆的方程为，由题意可得：
椭圆C两焦点坐标分别为F1（﹣1，0），F2（1，0）．
∴．
∴a=2，又c=1，b2=4﹣1=3，
故椭圆的方程为．
（Ⅱ）当直线l⊥x轴，计算得到：
，，不符合题意．
当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为：y=k（x+1），
由，消去y得（3+4k2）x2+8k2x+4k2﹣12=0
显然△＞0成立，设A（x1，y1），B（x2，y2），
则，
又
即，
又圆F2的半径，
所以，
化简，得17k4+k2﹣18=0，
即（k2﹣1）（17k2+18）=0，解得k=±1
所以，，
故圆F2的方程为：（x﹣1）2+y2=2．
【点评】本题主要考查了椭圆的标准方程和椭圆与直线，椭圆与圆的关系．考查了学生综合运用所学知识，创造性地解决问题的能力．
2016年3月14日
一、选择题（每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．直线3x﹣y+1=0的斜率是（ ）
A．3 B．﹣3 C． D．﹣
2．命题“ x0∈（0，+∞），lnx0=x0﹣1”的否定是（ ）
A． x0∈（0，+∞），lnx0≠x0﹣1 B． x0 （0，+∞），lnx0=x0﹣1
C． x∈（0，+∞），lnx≠x﹣1 D． x （0，+∞），lnx=x﹣1
3．设x∈R，则“x＞1”是“x2＞1”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
4．点P在直线3x+y﹣5=0上，且点P到直线x﹣y﹣1=0的距离为，则P点坐标为（ ）
A．（1，2） B．（2，1） C．（1，2）或（2，﹣1） D．（2，1）或（﹣2，1）
5．方程x2+y2+4mx﹣2y+5m=0表示圆的条件是（ ）
A． B．m＞1 C． D．或m＞1
6．已知抛物线y2=2px（p＞0）的准线经过点（﹣1，1），则该抛物线焦点坐标为（ ）
A．（﹣1，0） B．（1，0） C．（0，﹣1） D．（0，1）
7．在正四棱锥V﹣ABCD中，底面正方形ABCD的边长为1，侧棱长为2，则异面直线VA与BD所成角的大小为（ ）
A． B． C． D．
8．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左、右焦点为F1、F2，离心率为，过F2的直线l交C于A、B两点，若△AF1B的周长为4，则C的方程为（ ）
A． +=1 B． +y2=1 C． +=1 D． +=1
9．设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是（ ）
A．若l⊥m，m α，则l⊥α B．若l⊥α，l∥m，则m⊥α
C．若l∥α，m α，则l∥m D．若l∥α，m∥α，则l∥m
10．过点P（﹣，﹣1）的直线l与圆x2+y2=1有公共点，则直线l倾斜角的取值范围是（ ）
A．（0，] B．[0，] C．[0，] D．（0，]
11．该试题已被管理员删除
12．过双曲线的一个焦点F2作垂直于实轴的弦PQ，F1是另一焦点，若∠，则双曲线的离心率e等于（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．）
13．双曲线=1的渐近线方程是 ．
14．命题“若a＞0，则a＞1”的逆命题、否命题、逆否命题这三个命题中，真命题的个数为 ．
15．长方体的一个顶点上的三条棱长分别是3，4，5，且它的8个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是 ．
16．点P是椭圆=1上的一点，F1、F2分别是椭圆的左右焦点，若∠F1PF2=60°，则|PF1||PF2|= ．
三、解答题（本题有6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
17．已知命题p：方程=1表示焦点在y轴上的椭圆；命题q：双曲线=1的离心率e∈（1，2），若p∨q是真命题，求实数m的取值范围．
18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，AB∥DC，∠BCD=90°．
（1）求证：PC⊥BC；
（2）求点A到平面PBC的距离．
19．已知圆C：（x﹣1）2+y2=9内有一点P（2，2），过点P作直线l交圆于A，B两点．
（1）当l经过圆心C时，求直线l的方程；
（2）当弦AB被点P平分时，写出直线l的方程和弦AB的长．
20．已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F并且经过点A（1，﹣2）．
（1）求抛物线C的方程；
（2）过F作倾斜角为45°的直线l，交抛物线C于M，N两点，求线段MN的长度．
21．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB⊥BC，D为AC的中点，AA1=AB=2．
（1）求证：AB1∥平面BC1D；
（2）若BC=3，求三棱锥D﹣BC1C的体积．
22．已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，左右焦点分别为F1，F2，且|F1F2|=2，点（1，）在椭圆C上．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过F1的直线l与椭圆C相交于A，B两点，且△AF2B的面积为，求以F2为圆心且与直线l相切的圆的方程．
2015-2016学年河北省秦皇岛市卢龙县高二（上）期末数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．直线3x﹣y+1=0的斜率是（ ）
A．3 B．﹣3 C． D．﹣
【考点】直线的斜率．
【专题】直线与圆．
【分析】化直线方程的一般式为斜截式，则直线的斜率可求．
【解答】解：由3x﹣y+1=0，得y=3x+1．
∴直线3x﹣y+1=0的斜率是3．
故选：A．
【点评】本题考查了直线的斜率，考查了直线方程的一般式和斜截式的互化，是基础的会考题型．
2．命题“ x0∈（0，+∞），lnx0=x0﹣1”的否定是（ ）
A． x0∈（0，+∞），lnx0≠x0﹣1 B． x0 （0，+∞），lnx0=x0﹣1
C． x∈（0，+∞），lnx≠x﹣1 D． x （0，+∞），lnx=x﹣1
【考点】命题的否定．
【专题】简易逻辑．
【分析】根据特称命题的否定是全称命题即可得到结论．
【解答】解：命题的否定是： x∈（0，+∞），lnx≠x﹣1，
故选：C
【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．
3．设x∈R，则“x＞1”是“x2＞1”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【专题】常规题型．
【分析】直接利用充要条件的判定判断方法判断即可．
【解答】解：因为“x＞1”，则“x2＞1”；但是“x2＞1”不一定有“x＞1”，
所以“x＞1”，是“x2＞1”成立的充分不必要条件．
故选A．
【点评】本题考查充要条件的判定方法的应用，考查计算能力．
4．点P在直线3x+y﹣5=0上，且点P到直线x﹣y﹣1=0的距离为，则P点坐标为（ ）
A．（1，2） B．（2，1） C．（1，2）或（2，﹣1） D．（2，1）或（﹣2，1）
【考点】点到直线的距离公式．
【专题】计算题．
【分析】设出点P的坐标为（a，5﹣3a），利用点到直线的距离公式表示出P到已知直线的距离d，让d等于列出关于a的方程，求出方程的解即可得到a的值，写出点P的坐标即可．
【解答】解：设P点坐标为（a，5﹣3a），
由题意知： =．
解之得a=1或a=2，
∴P点坐标为（1，2）或（2，﹣1）．
故选C．
【点评】此题考查学生灵活运用点到直线的距离公式化简求值，是一道基础题．此题的点P有两解，做题时不要漏解．
5．方程x2+y2+4mx﹣2y+5m=0表示圆的条件是（ ）
A． B．m＞1 C． D．或m＞1
【考点】二元二次方程表示圆的条件．
【专题】转化思想；配方法；直线与圆．
【分析】利用二元一次方程表示圆的等价条件进行求解即可．
【解答】解：配方得（x+2m）2+（y﹣1）2=4m2﹣5m+1，
若方程表示圆，则4m2﹣5m+1＞0，
即或m＞1，
故选：D
【点评】本题主要考查二元一次方程表示圆的等价条件，比较基础．
6．已知抛物线y2=2px（p＞0）的准线经过点（﹣1，1），则该抛物线焦点坐标为（ ）
A．（﹣1，0） B．（1，0） C．（0，﹣1） D．（0，1）
【考点】抛物线的简单性质．
【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】利用抛物线y2=2px（p＞0）的准线经过点（﹣1，1），求得=1，即可求出抛物线焦点坐标．
【解答】解：∵抛物线y2=2px（p＞0）的准线经过点（﹣1，1），
∴=1，
∴该抛物线焦点坐标为（1，0）．
故选：B．
【点评】本题考查抛物线焦点坐标，考查抛物线的性质，比较基础．
7．在正四棱锥V﹣ABCD中，底面正方形ABCD的边长为1，侧棱长为2，则异面直线VA与BD所成角的大小为（ ）
A． B． C． D．
【考点】异面直线及其所成的角．
【专题】计算题．
【分析】连接AC，交BD于O，连接VO，先在正方形ABCD中证出对角线AC、BD互相垂直，再在三角形VBD中，根据VB=VD和O为BD中点，证出VO、BD互相垂直，最后根据直线与平面垂直的判定理证出BD⊥平面ACV，从而BD⊥VA，即异面直线VA与BD所成角大小为．
【解答】解：连接AC，交BD于O，连接VO
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，O为BD的中点
又∵正四棱锥V﹣ABCD中，VB=VD
∴VO⊥BD
∵AC∩VO=O，AC、VO 平面ACV
∴BD⊥平面ACV
∵VA 平面ACV
∴BD⊥VA
即异面直线VA与BD所成角等于，
故选D
【点评】本题以求正四棱锥中异面直线所成角为载体，着重考查了直线与平面垂直的判定与性质，以及异面垂直的概念，属于基础题．
8．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左、右焦点为F1、F2，离心率为，过F2的直线l交C于A、B两点，若△AF1B的周长为4，则C的方程为（ ）
A． +=1 B． +y2=1 C． +=1 D． +=1
【考点】椭圆的简单性质．
【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】利用△AF1B的周长为4，求出a=，根据离心率为，可得c=1，求出b，即可得出椭圆的方程．
【解答】解：∵△AF1B的周长为4，
∵△AF1B的周长=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=2a+2a=4a，
∴4a=4，
∴a=，
∵离心率为，
∴，c=1，
∴b==，
∴椭圆C的方程为+=1．
故选：A．
【点评】本题考查椭圆的定义与方程，考查椭圆的几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题．
9．设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是（ ）
A．若l⊥m，m α，则l⊥α B．若l⊥α，l∥m，则m⊥α
C．若l∥α，m α，则l∥m D．若l∥α，m∥α，则l∥m
【考点】直线与平面平行的判定．
【专题】空间位置关系与距离．
【分析】根据题意，依次分析选项：A，根据线面垂直的判定定理判断．C：根据线面平行的判定定理判断．D：由线线的位置关系判断．B：由线面垂直的性质定理判断；综合可得答案．
【解答】解：A，根据线面垂直的判定定理，要垂直平面内两条相交直线才行，不正确；
C：l∥α，m α，则l∥m或两线异面，故不正确．
D：平行于同一平面的两直线可能平行，异面，相交，不正确．
B：由线面垂直的性质可知：平行线中的一条垂直于这个平面则另一条也垂直这个平面．故正确．
故选B
【点评】本题主要考查了立体几何中线面之间的位置关系及其中的公理和判定定理，也蕴含了对定理公理综合运用能力的考查，属中档题
10．过点P（﹣，﹣1）的直线l与圆x2+y2=1有公共点，则直线l倾斜角的取值范围是（ ）
A．（0，] B．[0，] C．[0，] D．（0，]
【考点】直线与圆的位置关系．
【专题】直线与圆．
【分析】根据直线和圆的位置关系即可得到结论．
【解答】解：若直线斜率不存在，此时x=﹣与圆没有交点，
则直线斜率k一定存在，设为k，
则过P的直线方程为y+1=k（x+），
即kx﹣y+k﹣1=0，
若过点P（﹣，﹣1）的直线l与圆x2+y2=1有公共点，
则圆心到直线的距离d≤1，
即，即|k﹣1|≤，
平方得k2﹣k≤0，
解得0≤k≤，
即0≤tanα≤，
解得0≤α≤，
故选：B．
【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系的应用以及直线倾斜角的求解，根据条件转化为圆心到直线的距离和半径之间的关系是解决本题的关键．
11．该试题已被管理员删除
12．过双曲线的一个焦点F2作垂直于实轴的弦PQ，F1是另一焦点，若∠，则双曲线的离心率e等于（ ）
A． B． C． D．
【考点】双曲线的简单性质；双曲线的应用．
【专题】计算题．
【分析】根据由题设条件可知，|F1F2|=2c，由此可以求出双曲线的离心率e．
【解答】解：由题意可知，|F1F2|=2c，
∵∠，
∴，
∴4a2c2=b4=（c2﹣a2）2=c4﹣2a2c2+a4，
整理得e4﹣6e2+1=0，
解得或（舍去）
故选C．
【点评】本题考查双曲线的离心率，解题要注意时双曲线的离心率大于1．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．）
13．双曲线=1的渐近线方程是 y=±2x ．
【考点】双曲线的简单性质．
【专题】计算题．
【分析】渐近线方程是=0，整理后就得到双曲线的渐近线方程．
【解答】解：∵双曲线标准方程为=1，
其渐近线方程是=0，
整理得y=±2x．
故答案为y=±2x．
【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，令标准方程中的“1”为“0”即可求出渐近线方程．属于基础题．
14．命题“若a＞0，则a＞1”的逆命题、否命题、逆否命题这三个命题中，真命题的个数为 2 ．
【考点】四种命题．
【专题】转化思想；定义法；简易逻辑．
【分析】根据逆否命题的等价性结合四种命题真假之间的关系进行判断即可．
【解答】解：若a＞0，则a＞1为假命题，比如当a=，满足a＞0，但a＞1不成立，
则逆否命题为假命题，
命题的逆命题为若a＞1，则a＞0为真命题，则否命题也为真命题，
故真命题的个数为2个，
故答案为：2
【点评】本题主要考查四种命题的真假关系的判断，根据逆否命题的等价性是解决本题的关键．比较基础．
15．长方体的一个顶点上的三条棱长分别是3，4，5，且它的8个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是 50π ．
【考点】球内接多面体；球的体积和表面积．
【专题】计算题．
【分析】由题意长方体的外接球的直径就是长方体的对角线，求出长方体的对角线，就是求出球的直径，然后求出球的表面积．
【解答】解：长方体的一个顶点上的三条棱长分别是3，4，5，且它的8个顶点都在同一个球面上，
所以长方体的对角线就是球的直径，长方体的对角线为：，
所以球的半径为：；则这个球的表面积是： =50π．
故答案为：50π．
【点评】本题是基础题，考查球的内接多面体的有关知识，球的表面积的求法，注意球的直径与长方体的对角线的转化是本题的解答的关键，考查计算能力，空间想象能力．
16．点P是椭圆=1上的一点，F1、F2分别是椭圆的左右焦点，若∠F1PF2=60°，则|PF1||PF2|= ．
【考点】椭圆的简单性质．
【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；圆锥曲线中的最值与范围问题．
【分析】由已知条件利用椭圆定义和余弦定理列出方程组，由此能求出|PF1||PF2|．
【解答】解：∵点P是椭圆=1上的一点，F1、F2分别是椭圆的左右焦点，∠F1PF2=60°，
∴，
解得|PF1||PF2|=．
故答案为：．
【点评】本题考查两线段的乘积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质的合理运用．
三、解答题（本题有6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
17．已知命题p：方程=1表示焦点在y轴上的椭圆；命题q：双曲线=1的离心率e∈（1，2），若p∨q是真命题，求实数m的取值范围．
【考点】复合命题的真假．
【专题】方程思想；转化思想；简易逻辑．
【分析】利用椭圆与双曲线的标准方程及其性质，即可得出m的取值范围，再利用复合命题真假的判定方法即可得出．
【解答】解：将方程改写为，只有当1﹣m＞2m＞0，
即时，方程表示的曲线是焦点在y轴上的椭圆，所以命题p等价于；
因为双曲线的离心率e∈（1，2），
所以m＞0，且1，解得0＜m＜15，所以命题q等价于0＜m＜15．
p或q为真，则0＜m＜15．
【点评】本题考查了椭圆与双曲线的标准方程及其性质、复合命题真假的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，AB∥DC，∠BCD=90°．
（1）求证：PC⊥BC；
（2）求点A到平面PBC的距离．
【考点】点、线、面间的距离计算；空间中直线与平面之间的位置关系．
【专题】空间位置关系与距离；立体几何．
【分析】（1），要证明PC⊥BC，可以转化为证明BC垂直于PC所在的平面，由PD⊥平面ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，AB∥DC，∠BCD=90°，容易证明BC⊥平面PCD，从而得证；
（2），有两种方法可以求点A到平面PBC的距离：
方法一，注意到第一问证明的结论，取AB的中点E，容易证明DE∥平面PBC，点D、E到平面PBC的距离相等，而A到平面PBC的距离等于E到平面PBC的距离的2倍，由第一问证明的结论知平面PBC⊥平面PCD，交线是PC，所以只求D到PC的距离即可，在等腰直角三角形PDC中易求；
方法二，等体积法：连接AC，则三棱锥P﹣ACB与三棱锥A﹣PBC体积相等，而三棱锥P﹣ACB体积易求，三棱锥A﹣PBC的地面PBC的面积易求，其高即为点A到平面PBC的距离，设为h，则利用体积相等即求．
【解答】解：（1）证明：因为PD⊥平面ABCD，BC 平面ABCD，所以PD⊥BC．
由∠BCD=90°，得CD⊥BC，
又PD∩DC=D，PD、DC 平面PCD，
所以BC⊥平面PCD．
因为PC 平面PCD，故PC⊥BC．
（2）（方法一）分别取AB、PC的中点E、F，连DE、DF，则：
易证DE∥CB，DE∥平面PBC，点D、E到平面PBC的距离相等．
又点A到平面PBC的距离等于E到平面PBC的距离的2倍．
由（1）知：BC⊥平面PCD，所以平面PBC⊥平面PCD于PC，
因为PD=DC，PF=FC，所以DF⊥PC，所以DF⊥平面PBC于F．
易知DF=，故点A到平面PBC的距离等于．
（方法二）等体积法：连接AC．设点A到平面PBC的距离为h．
因为AB∥DC，∠BCD=90°，所以∠ABC=90°．
从而AB=2，BC=1，得△ABC的面积S△ABC=1．
由PD⊥平面ABCD及PD=1，得三棱锥P﹣ABC的体积．
因为PD⊥平面ABCD，DC 平面ABCD，所以PD⊥DC．
又PD=DC=1，所以．
由PC⊥BC，BC=1，得△PBC的面积．
由VA﹣PBC=VP﹣ABC，，得，
故点A到平面PBC的距离等于．
【点评】本小题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系，考查几何体的体积，考查空间想象能力、推理论证能力和运算能力．
19．已知圆C：（x﹣1）2+y2=9内有一点P（2，2），过点P作直线l交圆于A，B两点．
（1）当l经过圆心C时，求直线l的方程；
（2）当弦AB被点P平分时，写出直线l的方程和弦AB的长．
【考点】直线与圆的位置关系．
【专题】计算题；方程思想；综合法；直线与圆．
【分析】（1）求出直线l 的斜率为2，即可求直线l的方程；
（2）当弦AB被点P平分时，l⊥PC，即可写出直线l的方程和弦AB的长．
【解答】解：（1）已知圆C：（x﹣1）2+y2=9的圆心为C（1，0），
因直线l过点P、C，所以直线l 的斜率为2，
直线l的方程为：y=2（x﹣1），
即：2x﹣y﹣2=0．…
（2）当弦AB被点P平分时，l⊥PC，
∴直线l的方程为：y﹣2=﹣（x﹣2），即：x+2y﹣6=0．…
∵|PC|=
∴（）2=9﹣5
∴|AB|=4 …
【点评】本题考查直线与圆的方程，考查学生的计算能力，属于中档题．
20．已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F并且经过点A（1，﹣2）．
（1）求抛物线C的方程；
（2）过F作倾斜角为45°的直线l，交抛物线C于M，N两点，求线段MN的长度．
【考点】抛物线的简单性质．
【专题】综合题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】（1）利用抛物线C：y2=2px（p＞0）经过点A（1，﹣2），求出p，即可求抛物线C的方程；
（2）过F作倾斜角为45°的直线l的方程为：y=x﹣1，联立抛物线，利用弦长公式求线段MN的长度．
【解答】解：（1）把点A（1，﹣2）代入抛物线C：y2=2px（p＞0），可得（﹣2）2=2p×1，解得p=2．
∴抛物线C的方程为：y2=4x． …
（2）F（1，0）．
设M（x1，y1），N（x2，y2）．
直线l的方程为：y=x﹣1． …
联立抛物线，化为x2﹣6x+1=0，…
∴x1+x2=6，x1x2=1．
∴|MN|==8． …12分
【点评】本题考查抛物线的方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．
21．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB⊥BC，D为AC的中点，AA1=AB=2．
（1）求证：AB1∥平面BC1D；
（2）若BC=3，求三棱锥D﹣BC1C的体积．
【考点】直线与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积．
【专题】空间位置关系与距离．
【分析】（1）连接B1C，交BC1相交于O，连接OD，可证明OD是△AB1C的中位线，再根据线面平行的判定定理即可证明．
（2）由已知可得侧棱CC1⊥面ABC，把计算三棱锥D﹣BC1C的体积转化为计算三棱锥C1﹣BCD的体积．
【解答】解：（1）证明：连接B1C，设B1C与BC1相交于O，连接OD，
∵四边形BCC1B1是平行四边形，∴点O为B1C的中点．
∵D为AC的中点，
∴OD为△AB1C的中位线，∴OD∥B1A．
OD 平BC1D，AB1 平面BC1D，
∴AB1∥平面BC1D．
（2）∵三棱柱ABC﹣A1B1C1，∴侧棱CC1∥AA1，
又∵AA1底面ABC，∴侧棱CC1⊥面ABC，
故CC1为三棱锥C1﹣BCD的高，A1A=CC1=2，
∴．
∴．
【点评】本题考查了线面平行和线面垂直及体积，充分理解和掌握定理是解题的关键．
22．已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，左右焦点分别为F1，F2，且|F1F2|=2，点（1，）在椭圆C上．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过F1的直线l与椭圆C相交于A，B两点，且△AF2B的面积为，求以F2为圆心且与直线l相切的圆的方程．
【考点】椭圆的标准方程；圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题．
【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】（Ⅰ）先设出椭圆的方程，根据题设中的焦距求得c和焦点坐标，根据点（1，）到两焦点的距离求得a，进而根据b=求得b，得到椭圆的方程．
（Ⅱ）先看当直线l⊥x轴，求得A，B点的坐标进而求得△AF2B的面积与题意不符故排除，进而可设直线l的方程为：y=k（x+1）与椭圆方程联立消y，设A（x1，y1），B（x2，y2），根据韦达定理可求得x1+x2和x1 x2，进而根据表示出|AB|的距离和圆的半径，求得k，最后求得圆的半径，得到圆的方程．
【解答】解：（Ⅰ）设椭圆的方程为，由题意可得：
椭圆C两焦点坐标分别为F1（﹣1，0），F2（1，0）．
∴．
∴a=2，又c=1，b2=4﹣1=3，
故椭圆的方程为．
（Ⅱ）当直线l⊥x轴，计算得到：
，，不符合题意．
当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为：y=k（x+1），
由，消去y得（3+4k2）x2+8k2x+4k2﹣12=0
显然△＞0成立，设A（x1，y1），B（x2，y2），
则，
又
即，
又圆F2的半径，
所以，
化简，得17k4+k2﹣18=0，
即（k2﹣1）（17k2+18）=0，解得k=±1
所以，，
故圆F2的方程为：（x﹣1）2+y2=2．
【点评】本题主要考查了椭圆的标准方程和椭圆与直线，椭圆与圆的关系．考查了学生综合运用所学知识，创造性地解决问题的能力．
2016年3月14日
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