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《锐角三角函数》综合测试卷
一．选择题（共10小题）
1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，下列等式成立的是（ ）
A．b＝acotB B．a＝csinB C． D．a＝bcosA
【思路点拔】根据锐角三角函数的定义进行判断即可．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，
∴cotB，sinB，sinA，cosA，
即b，b＝csinB，c，b＝ccosA，
故选：C．
2．如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝4，BC＝5，则cosB等于（ ）
A． B． C． D．
【思路点拔】根据余弦定义：锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦，记作cosA可得答案．
【解答】解：∵∠A＝90°，AB＝4，BC＝5，
∴cosB，
故选：A．
3．已知∠A是锐角，，则tanA的值是（ ）
A． B． C． D．
【思路点拔】首先利用同角的正弦值和余弦值的关系求出∠A的余弦值，然后根据tanA来得到所求的结论．
【解答】解：∵∠A是锐角，sinA，且sin2A+cos2A＝1，
∴cosA，
∴tanA．
故选：B．
4．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2AC，则sinB＝（ ）
A． B．2 C． D．
【思路点拔】根据锐角三角函数的定义进行计算即可得出答案．
【解答】解：设AC＝a，则BC＝2a，
ABa，
sinB．
故选：C．
5．对于任意锐角α和β，下列说法中，正确的有（ ）
（1）0＜sinα＜1，0＜cosβ＜1；
（2）如果α＜β，那么cosα＜cosβ；
（3）如果sinα＜sinβ，那么α＜β；
（4）如果tanα tanβ＝1，那么α+β＝90°．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【思路点拔】在直角三角形中，一个锐角的正弦值等于它的对边与斜边的比值；余弦值等于它的邻边与斜边的比值；正切值等于它的对边与邻边的比值．了解锐角三角函数的变化规律：正弦值和正切值随着角的增大而增大；余弦值随着角的增大而减小．即可解题．
【解答】解：（1）锐角的正弦和余弦的函数值大于0而小于1，说法正确；
（2）锐角的余弦函数值随着锐角度数的增大而减小，原说法不正确；
（3）锐角的正弦函数值随着锐角度数的增大而增大，反之也对，说法正确；
（4）两个互余的锐角的正切值相乘得1，反之也对，说法正确，
共3个说法正确．
故选：C．
6．如图所示的网格是正方形网格，△ABC和△CDE的顶点都是网格线交点，则∠ACD的正弦值是（ ）
A．1 B． C． D．
【思路点拔】连接AD，构建等腰直角三角形，利用勾股定理和逆定理得：∠ADC＝90°，∠ACD＝45°，再计算∠ACD的正弦值即可．
【解答】解：连接AD，
由勾股定理得：AD2＝12+32＝10，CD2＝12+32＝10，AC2＝22+42＝20，
∴AD＝CD，AD2+CD2＝AC2，
∴∠ADC＝90°，
∴∠CAD＝∠ACD＝45°，
∴∠ACD的正弦值是．
故选：C．
7．如图是一款桌面可调整的学习桌，桌面宽度AB为60cm，桌面平放时高度DE为70cm，若书写时桌面适宜倾斜角（∠ABC）的度数为α，则桌沿（点A）处到地面的高度h为（ ）
A．（60sinα+70）cm B．（60cosα+70）cm
C．（60tanα+70）cm D．130cm
【思路点拔】根据题意可得：AC⊥CB，然后在Rt△ACB中，利用锐角三角函数的定义求出AC的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
【解答】解：由题意得：AC⊥CB，
在Rt△ACB中，AB＝60cm，∠ABC＝α，
∴AC＝AB sinα＝60sinα（cm），
∵DE＝70cm，
∴桌沿（点A）处到地面的高度h＝AC+DE＝（60sinα+70）cm，
故选：A．
8．如图，已知△ABC的三个顶点均在正方形格点上，则下列结论错误的为（ ）
A． B．tanB tanC＝1
C． D．
【思路点拔】先设小正方形的边长为1，利用勾股定理分别求出AC，AB＝2，BC，进而可得△ABC为直角三角形，然后根据三角函数的定义分别求出cosC，tanB，tanC，sinB，sinC，进而可对题目中的四个选项进行判断，从而可得出答案．
【解答】解：设小正方形的边长为1，
由勾股定理得：AC，AB2，BC，
∵AC2＝2，AB2＝8，BC2＝10，
∴AC2+AB2＝BC2，
∴△ABC为直角三角形，即∠A＝90°，
∴cosC，
故选项A正确，不符合题意；
∵tanB，tanC2，
∴tanB tanC2＝1，
故选项B、C正确，不符合题意；
∵sinB，
故选项D错误，不符合题意．
故选：D．
9．第14届国际数学教育大会（ICME﹣14）会标如图1所示，会标中心的图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”．如图2所示的“弦图”是由四个全等的直角三角形（△ABE，△BCF，△CDG，△DAH）和一个小正方形EFGH拼成的大正方形ABCD．若EF：AH＝1：3，则sin∠ABE＝（ ）
A． B． C． D．
【思路点拔】设EF＝x，则AH＝3x，根据全等三角形，正方形的性质可得AE＝4x，再根据勾股定理可得AB＝5x，即可求出sin∠ABE的值．
【解答】解：根据题意，设EF＝x，则AH＝3x，
∵△ABE≌△DAH，四边形EFGH为正方形，
∴AH＝BE＝3x，EF＝HE＝x，
∴AE＝4x，
∵∠AEB＝90°，
∴，
∴，
故选：C．
10．如图，在△ABC中，∠ACB＝60°，∠B＝45°，AB，CE平分∠ACB交AB于点E，则线段CE的长为（ ）
A．1 B．2 C． D．
【思路点拔】作AD⊥BC于D，作EF⊥BC于F，分别解直角三角形ABD求得BD，AD和CD，从而求得BC，设EF＝x，在直角三角形EFC中表示出CF，进而根据CF+BF＝BC列出方程求得x，进而求得结果．
【解答】解：如图，
作AD⊥BC于D，作EF⊥BC于F，
在Rt△ABD中，
BD＝AD＝AB sinB，
在Rt△ADC中，∠DAC＝90°﹣∠ACB＝30°，
CD＝AD tan30°1，
∴BC1，
在Rt△BEF中，设BF＝EF＝x，
在Rt△EFC中，∠FEC＝90°﹣∠BCE＝60°，
CF＝EF tan60°x，
由CF+BF＝BC得，
，
∴x＝1，
∴EC＝2EF＝2，
故答案为：B．
二．填空题（共6小题）
11．在Rt△ABC中，∠C＝90°．若tanA，则sinB的值是 ．
【思路点拔】根据tanA设出两直角边的长，再根据勾股定理求出斜边的长，运用三角函数的定义解答．
【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA，
∴设BC＝3x，则AC＝4x，AB5x．
∴sinB．
故答案为：．
12．在锐角三角形ABC中，已知∠A，∠B满足（sinA）2+|tanB|＝0，则∠C＝ 75° ．
【思路点拔】根据非负数的性质求出sinA、tanB的值，然后求出A和B的度数，继而可求得∠C．
【解答】解：由题意得，sinA，tanB，
则∠A＝45°，∠B＝60°，
∠C＝180°﹣45°﹣60°＝75°．
故答案为：75°．
13．当∠A为锐角，且cosA时，∠A的取值范围是 30°＜∠A＜60° ．
【思路点拔】根据题意先判断出cosA值在锐角范围内随着角度的增大变小，再根据特殊角的三角函数值进行解题即可．
【解答】解：由题可知，
∵∠A为锐角，
∴cosA在锐角范围内，∠A的值越大，cosA的值越小，
∵cosA时，
∴30°＜∠A＜60°．
故答案为：30°＜∠A＜60°．
14．如图，某小区物业想对小区内的三角形广场ABC进行改造，已知AC与BC的夹角为120°，AC＝10m，BC＝14m，请你帮助物业计算出需要改造的广场面积是 35 m2（结果保留根号）．
【思路点拔】过点A作AD⊥BC，交BC的延长线于点D，先利用平角定义可得∠ACD＝60°，然后在Rt△ACD中，利用锐角三角函数的定义求出AD的长，从而利用三角形的面积公式进行计算，即可解答．
【解答】解：过点A作AD⊥BC，交BC的延长线于点D，
∵∠ACB＝120°，
∴∠ACD＝180°﹣∠ACB＝60°，
在Rt△ACD中，AC＝10m，
∴AD＝AC sin60°＝105（m），
∵BC＝14m，
∴△ABC的面积BC AD14×535（m2），
∴需要改造的广场面积是35m2，
故答案为：．
15．如图，是矗立在高速公路水平地面上的交通警示牌，点M，A，B在同一条直线上，经测量得到如下数据：AM＝5米，AB＝10米，∠MAD＝45°，∠MBC＝30°，则警示牌的高CD为 3.7 米．（结果精确到0.1米，参考数据：1.73）
【思路点拔】根据题意可得：CM⊥MB，然后分别在Rt△ADM和Rt△CMB中，利用锐角三角函数的定义求出DM和CM的长，从而利用线段的和差关系进行计算即可解答．
【解答】解：由题意得：CM⊥MB，
在Rt△ADM中，AM＝5米，∠MAD＝45°，
∴DM＝AM tan45°＝5（米），
∵AB＝10米，
∴MB＝AM+AB＝15（米），
在Rt△CMB中，∠CBM＝30°，
∴CM＝BM tan30°＝155（米），
∴CD＝CM﹣DM＝55≈3.7（米），
∴警示牌的高CD约为3.7米，
故答案为：3.7．
16．如图，在四边形ABCD中，连接，若，则AC＝ ．
【思路点拔】过点C作CE⊥BD于E，CF⊥AD交AD的延长线于F，根据sin∠CBD，设CE＝3a，BC＝5a，则BE＝4a，BD＝BC＝5a，进而得DE＝a，在Rt△CDE中，由勾股定理求出a＝1，则BD＝BC＝5，CE＝3，DE＝1再根据得AD＝4，再根据∠ADB+2∠BDC＝180°可得∠FDC＝∠BDC，然后证明△CDF和△CDE全等得CF＝CE＝3，DF＝DE＝1，则AF＝5，据此在Rt△ACF中，由勾股定理即可求出AC的长．
【解答】解：过点C作CE⊥BD于E，CF⊥AD交AD的延长线于F，如图所示：
则∠F＝∠CED＝∠CEB＝90°，
在Rt△BCE中，sin∠CBD，
设CE＝3a，BC＝5a，
由勾股定理得：BE4a，
∵BD＝BC＝5a，
∴DE＝BD﹣BE＝a，
在Rt△CDE中，由勾股定理得：CE2+DE2＝CD2，
∴a2+（3a）2＝（）2，
解得：a1＝1，a2＝﹣1（不符合题意，舍去），
∴BD＝BC＝5，CE＝3，DE＝1
∵，
∴AD＝4，
∵∠ADB+∠BDF＝180°，∠ADB+2∠BDC＝180°，
∴∠BDF＝2∠BDC，
即∠FDC+∠BDC＝2∠BDC，
∴∠FDC＝∠BDC，
在△CDF和△CDE中，
，
∴△CDF≌△CDE（AAS），
∴CF＝CE＝3，DF＝DE＝1，
∴AF＝DF+AD＝5，
在Rt△ACF中，由勾股定理得：AC．
故答案为：．
三．解答题（共8小题）
17．计算：
（1）2cos230°﹣2sin60°cos45°；
（2）（π﹣3.14）0+（）﹣1tan60°．
【思路点拔】（1）先计算特殊角三角函数值，再根据二次根式的混合计算法则求解即可；
（2）先计算特殊角三角函数值，再计算零指数幂，负整数指数幂，再计算乘法，最后计算加减法即可．
【解答】解：（1）原式
；
（2）原式
＝1﹣3+3
＝1．
18．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinB．
（1）若AC＝6，求AB，BC的值；
（2）若BC＝8，求AB，AC的值．
【思路点拔】（1）由锐角的正弦定义求出AB长，由勾股定理求出BC长；
（2）令AC＝3x，得到AB＝5x，由勾股定理求出BC4x，得到4x＝8，求出x＝2，因此AC＝3x＝6，AB＝5x＝10．
【解答】解：（1）Rt△ABC中，∠C＝90°，sinB．
∵AC＝6，
∴AB＝10，
∴BC8；
（2）设AC＝3x，
∵sinB，
∴AB＝5x，
∴BC4x，
∵BC＝8，
∴4x＝8，
∴x＝2，
∴AC＝3x＝6，AB＝5x＝10．
19．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，
（1）a＝5，c＝2a，求b、∠A．
（2）tanA＝2，S△ABC＝9，求△ABC的周长．
【思路点拔】（1）求出c，再根据勾股定理即可求出b，根据锐角三角函数的定义求出sinA，再求出∠A即可；
（2）根据锐角三角函数的定义求出a＝2b，根据三角形的面积求出b，求出a，再根据勾股定理求出c即可．
【解答】解：（1）∵a＝5，c＝2a＝10，
∴b5，
∵sinA，
∴∠A＝30°；
（2）∵tanA2，
∴a＝2b，
∵S△ABC＝9，
∴9，
∴9，
解得：b＝3（负数舍去），
即a＝6，
由勾股定理得：c3，
∴△ABC的周长为a+b+c＝6+3+39+3．
20．绍兴大善塔“风韵独秀”，为测得大善塔的高度，某校数学社团开展实践活动．他们利用无人机在塔树连线BC的正上方Q处悬停，A、B、C、D、Q在同一平面内，PQ⊥BC，点B、P、C在一条直线上，P为BC的中点，BC＝60米，测得塔顶A的俯角为37°，树顶D的俯角为60°，树高CD为11米，求塔高AB的值．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，1.73）
【思路点拔】延长BA交EF于点G，延长CD交EF于点H，根据题意可得：BG⊥EF，CH⊥EF，CH＝BG，HQ＝CP，BP＝QG，先根据线段的中点定义可得：CP＝BP＝30米，从而可得HQ＝CP＝30米，QG＝BP＝30米，然后分别在Rt△DHQ和Rt△AQG中，利用锐角三角函数的定义求出DH和AG的长，从而求出CH的长，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
【解答】解：如图：延长BA交EF于点G，延长CD交EF于点H，
由题意得：BG⊥EF，CH⊥EF，CH＝BG，HQ＝CP，BP＝QG，
∵P为BC的中点，
∴CP＝BPBC＝30（米），
∴HQ＝CP＝30米，QG＝BP＝30米，
在Rt△DHQ中，∠DQH＝60°，
∴DH＝HQ tan60°＝30（米），
在Rt△AQG中，∠AQF＝37°，
∴AG＝QG tan37°≈30×0.75＝22.5（米），
∵CD＝11米，
∴CH＝BG＝CD+DH＝（11+30）米，
∴AB＝BG﹣AG＝11+3022.5≈40.4（米），
∴塔高AB的值约为40.4米．
21．如图，根据图中数据完成填空，再按要求答题：
sin2A1+cos2A1＝ 1 ；sin2A2+cos2A2＝ 1 ；sin2A3+cos2A3＝ 1 ．
（1）观察上述等式，猜想：在RtABC中，∠C＝90°，都有sin2A+cos2A＝ 1 ；
（2）如图④，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，利用三角函数的定义和勾股定理，证明你的猜想；
（3）若0°＜∠A＜90°，且sinA cosA，求sinA+cosA的值．
【思路点拔】（1）由特殊例子，可猜想结果为1；
（2）由定义，勾股定理可证明；
（3）由结论，即可求解．
【解答】解：∵sin2A1+cos2A1＝（）2+（）2＝1．
sin2A2+sin2A2＝（）2+（）2＝1．
sin2A3+cos2A3＝（）2+（）2＝1．
故答案都为：1．
（1）猜想答案为：1．
（2）证明：∵sin2A+cos2A＝（）2+（）2，
∴sin2A+cos2A1．
（3）解：∵（sinA+cosA）2＝sin2A+cos2A+2sinAcosA，
∴（sinA+cosA）2＝1
∴sinA+cosA．
22．在△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C 的对边分别为a，b，c．
（1）若a＝5，b＝10，求sinA，cosA，sinB，cosB；
（2）若b＝3，c＝3，求sinA，cosA，sinB，cosB；
（3）通过（1）（2）我们不难发现有这样一个规律：sin2A+cos2A＝1，请你利用所学过的知识来证明这一规律
（4）由（1）（2）的计算你还发现了什么？用语言描述你的发现．
（5）试解决下列问题：
①求sin21°+sin22°+sin23°+…+sin289°的值；
②若，求sinα cosα的值
③∠A为锐角，化简
【思路点拔】（1）由勾股定理求出c，再根据锐角三角函数的定义进行计算即可；
（2）根据勾股定理求出a，再根据锐角三角函数的定义进行计算即可；
（3）根据锐角三角函数的定义进行计算即可；
（4）用语言描述（1）（2）中的规律即可；
（5）根据（3）的结论，进行计算即可．
【解答】解：（1）c5，
∴sinA，cosA，sinB，cosB；
（2）a3，
∴sinA，cosA，sinB，cosB；
（3）∵a2+b2＝c2，
∴sin2A+cos2A
＝（）2+（）2
＝1，
即sin2A+cos2A＝1；
（4）一个锐角的正弦值等于它余角的余弦值，一个锐角的余弦值等于它余角的正弦值；
（5）①∵sinA＝cos（90°﹣A），
∴原式＝sin21°+sin22°+sin23°+…+sin245°+cos244°+cos243°+…+cos22°+cos21°
＝（sin21°+cos21°）+（sin22°+cos22°）+（sin23°+cos23°）+…+sin245°
＝1+1+…+1
＝44
；
②∵，
∴（sinα+cosα）2，
即sin2α+cos2α+2sinαcosα，
∵sin2α+cos2α＝1，
∴2sinαcosα，
∴sinα cosα；
③∵sin2A+cos2A＝1；
∴原式
＝|cosA﹣1|
＝1﹣cosA．
23．如图1是某越野车的侧面示意图，折线段ABC表示车后盖，已知AB＝1m，BC＝0.6m，∠ABC＝123°，该车的高度AO＝1.7m．如图2，打开后备厢，车后盖ABC落在AB'C'处，AB'与水平面的夹角∠B'AD＝27°．
（1）求打开后备厢后，车后盖最高点B'到地面l的距离；
（2）若小明爸爸的身高为1.83m，他从打开的车后盖C处经过，有没有碰头的危险请说明理由．（结果精确到0.01m，参考数据：sin27°≈0.454，cos27°≈0.891，tan27°≈0.510，）
【思路点拔】（1）过点B′E⊥AD于E，根据正弦的定义求出B′E，进而求出车后盖最高点B'到地面l的距离；
（2）过点C′作C′F⊥B′E于点F，根据题意求出∠C′B′F＝60°，根据余弦的定义求出B′F，再求出点C'到地面l的距离，比较大小证明结论．
【解答】解：（1）如图2，过点B′E⊥AD于E，
在Rt△AB′E中，AB′＝AB＝1m，∠B′AD＝27°，
∵sin∠B′AE，
∴B′E＝AB′ sin∠B′AE＝1×sin27°≈0.454（m），
∴点B'到地面l的距离为：0.454+1.7＝2.154≈2.15（m），
答：车后盖最高点B'到地面l的距离约为2.15m；
（2）没有碰头的危险，
理由如下：如图2，过点C′作C′F⊥B′E于点F，
在Rt△AB′E中，∠B′AD＝27°，
则∠AB′E＝90°﹣27°＝63°，
∵∠AB′C＝∠ABC＝123°，
∴∠C′B′F＝60°，
∵B′C′＝BC＝0.6m，
∴B′F＝B′C′ cos∠C′B′F＝0.60.3（m），
∴点C'到地面l的距离为：2.15﹣0.3＝1.85（m），
∵1.85＞1.8，
∴没有碰头的危险．
24．问题背景：
一次数学综合实践活动课上，小慧发现并证明了关于三角形角平分线的一个结论．如图1，已知AD是△ABC的角平分线，可证．小慧的证明思路是：如图2，过点C作CE∥AB，交AD的延长线于点E，构造相似三角形来证明．
尝试证明：
（1）请参照小慧提供的思路，利用图2证明：；
应用拓展：
（2）如图3，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是边BC上一点．连接AD，将△ACD沿AD所在直线折叠，点C恰好落在边AB上的E点处．
①若AC＝2，AB＝4，求DE的长；
②若BC＝m，∠C＝α，求DE的长（用含m、a的式子表示）
【思路点拔】（1）证明△CED∽△BAD，由相似三角形的性质得出，证出CE＝CA，则可得出结论；
（2）①由折叠的性质可得出∠CAD＝∠BAD，CD＝DE，由（1）可知，，由勾股定理求出BC＝2，则可求出答案；
②tan∠C＝tanα，方法同①可求出CD，则可得出答案．
【解答】（1）证明：∵CE∥AB，
∴∠E＝∠EAB，∠B＝∠ECB，
∴△CED∽△BAD，
∴，
∵∠E＝∠EAB，∠EAB＝∠CAD，
∴∠E＝∠CAD，
∴CE＝CA，
∴；
（2）解：①∵将△ACD沿AD所在直线折叠，点C恰好落在边AB上的E点处，
∴∠CAD＝∠BAD，CD＝DE，
由（1）可知，，
又∵AC＝2，AB＝4，
∴，
∴BD＝2CD，
∵∠BAC＝90°，
∴BC2，
∴BD+CD＝2，
∴3CD＝2，
∴CD；
∴DE；
②∵将△ACD沿AD所在直线折叠，点C恰好落在边AB上的E点处，
∴∠CAD＝∠BAD，CD＝DE，∠C＝α，
∴tan∠C＝tanα，
由（1）可知，，
∴tanα，
∴BD＝CD tanα，
又∵BC＝BD+CD＝m，
∴CD tanα+CD＝m，
∴CD，
∴DE．中小学教育资源及组卷应用平台
《锐角三角函数》综合测试卷
一．选择题（共10小题）
1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，下列等式成立的是（ ）
A．b＝acotB B．a＝csinB C． D．a＝bcosA
2．如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝4，BC＝5，则cosB等于（ ）
A． B． C． D．
3．已知∠A是锐角，，则tanA的值是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2AC，则sinB＝（ ）
A． B．2 C． D．
5．对于任意锐角α和β，下列说法中，正确的有（ ）
（1）0＜sinα＜1，0＜cosβ＜1；
（2）如果α＜β，那么cosα＜cosβ；
（3）如果sinα＜sinβ，那么α＜β；
（4）如果tanα tanβ＝1，那么α+β＝90°．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．如图所示的网格是正方形网格，△ABC和△CDE的顶点都是网格线交点，则∠ACD的正弦值是（ ）
A．1 B． C． D．
7．如图是一款桌面可调整的学习桌，桌面宽度AB为60cm，桌面平放时高度DE为70cm，若书写时桌面适宜倾斜角（∠ABC）的度数为α，则桌沿（点A）处到地面的高度h为（ ）
A．（60sinα+70）cm B．（60cosα+70）cm
C．（60tanα+70）cm D．130cm
8．如图，已知△ABC的三个顶点均在正方形格点上，则下列结论错误的为（ ）
A． B．tanB tanC＝1
C． D．
9．第14届国际数学教育大会（ICME﹣14）会标如图1所示，会标中心的图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”．如图2所示的“弦图”是由四个全等的直角三角形（△ABE，△BCF，△CDG，△DAH）和一个小正方形EFGH拼成的大正方形ABCD．若EF：AH＝1：3，则sin∠ABE＝（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在△ABC中，∠ACB＝60°，∠B＝45°，AB，CE平分∠ACB交AB于点E，则线段CE的长为（ ）
A．1 B．2 C． D．
二．填空题（共6小题）
11．在Rt△ABC中，∠C＝90°．若tanA，则sinB的值是 ．
12．在锐角三角形ABC中，已知∠A，∠B满足（sinA）2+|tanB|＝0，则∠C＝ ．
13．当∠A为锐角，且cosA时，∠A的取值范围是 ．
14．如图，某小区物业想对小区内的三角形广场ABC进行改造，已知AC与BC的夹角为120°，AC＝10m，BC＝14m，请你帮助物业计算出需要改造的广场面积是 m2（结果保留根号）．
15．如图，是矗立在高速公路水平地面上的交通警示牌，点M，A，B在同一条直线上，经测量得到如下数据：AM＝5米，AB＝10米，∠MAD＝45°，∠MBC＝30°，则警示牌的高CD为 米．（结果精确到0.1米，参考数据：1.73）
16．如图，在四边形ABCD中，连接，若，则AC＝ ．
三．解答题（共8小题）
17．计算：
（1）2cos230°﹣2sin60°cos45°；
（2）（π﹣3.14）0+（）﹣1tan60°．
18．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinB．
（1）若AC＝6，求AB，BC的值；
（2）若BC＝8，求AB，AC的值．
19．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，
（1）a＝5，c＝2a，求b、∠A．
（2）tanA＝2，S△ABC＝9，求△ABC的周长．
20．绍兴大善塔“风韵独秀”，为测得大善塔的高度，某校数学社团开展实践活动．他们利用无人机在塔树连线BC的正上方Q处悬停，A、B、C、D、Q在同一平面内，PQ⊥BC，点B、P、C在一条直线上，P为BC的中点，BC＝60米，测得塔顶A的俯角为37°，树顶D的俯角为60°，树高CD为11米，求塔高AB的值．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，1.73）
21．如图，根据图中数据完成填空，再按要求答题：
sin2A1+cos2A1＝ ；sin2A2+cos2A2＝ ；sin2A3+cos2A3＝ ．
（1）观察上述等式，猜想：在RtABC中，∠C＝90°，都有sin2A+cos2A＝ ；
（2）如图④，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，利用三角函数的定义和勾股定理，证明你的猜想；
（3）若0°＜∠A＜90°，且sinA cosA，求sinA+cosA的值．
22．在△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C 的对边分别为a，b，c．
（1）若a＝5，b＝10，求sinA，cosA，sinB，cosB；
（2）若b＝3，c＝3，求sinA，cosA，sinB，cosB；
（3）通过（1）（2）我们不难发现有这样一个规律：sin2A+cos2A＝1，请你利用所学过的知识来证明这一规律
（4）由（1）（2）的计算你还发现了什么？用语言描述你的发现．
（5）试解决下列问题：
①求sin21°+sin22°+sin23°+…+sin289°的值；
②若，求sinα cosα的值
③∠A为锐角，化简
23．如图1是某越野车的侧面示意图，折线段ABC表示车后盖，已知AB＝1m，BC＝0.6m，∠ABC＝123°，该车的高度AO＝1.7m．如图2，打开后备厢，车后盖ABC落在AB'C'处，AB'与水平面的夹角∠B'AD＝27°．
（1）求打开后备厢后，车后盖最高点B'到地面l的距离；
（2）若小明爸爸的身高为1.83m，他从打开的车后盖C处经过，有没有碰头的危险请说明理由．（结果精确到0.01m，参考数据：sin27°≈0.454，cos27°≈0.891，tan27°≈0.510，）
24．问题背景：
一次数学综合实践活动课上，小慧发现并证明了关于三角形角平分线的一个结论．如图1，已知AD是△ABC的角平分线，可证．小慧的证明思路是：如图2，过点C作CE∥AB，交AD的延长线于点E，构造相似三角形来证明．
尝试证明：
（1）请参照小慧提供的思路，利用图2证明：；
应用拓展：
（2）如图3，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是边BC上一点．连接AD，将△ACD沿AD所在直线折叠，点C恰好落在边AB上的E点处．
①若AC＝2，AB＝4，求DE的长；
②若BC＝m，∠C＝α，求DE的长（用含m、a的式子表示）
