2024-2025学年重庆市万州区高二（上）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年重庆市万州区高二（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线的倾斜角为( )
A. B. C. D.
2.若直线：与直线：平行，则( )
A. B. C. D.
3.已知圆的圆心为，为坐标原点，则以为直径的圆的标准方程为( )
A. B.
C. D.
4.若构成空间的一个基底，则下列选项中能作为基底的是( )
A. ，， B. ，，
C. ，， D. ，，
5.空间内有三点，，，则点到直线的距离为( )
A. B. C. D.
6.在空间四边形中，，，，且，，则( )
A. B.
C. D.
7.某手机信号检测设备的监测范围是半径为的圆形区域，一名人员持手机以每分钟的速度从设备正东的处沿西偏北方向走向位于设备正北方向的处，则这名人员被持续监测的时长约为( )
A. 分钟 B. 分钟 C. 分钟 D. 分钟
8.如图，在四面体中，平面平面，是边长为的正三角形，是等腰直角三角形，，是的中点，，，若平面，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知正方体的棱长为，则( )
A. B. C. D.
10.已知圆：与直线：，点在圆上，点在直线上，则下列说法正确的是( )
A. 若，则直线与圆相切
B. 若圆上存在两点关于直线对称，则
C. 若，则
D. 若，从点向圆引切线，则切线长的最小值是
11.如图，正方体的棱长为，，分别为，的中点，为底面内的动点，且，则( )
A. 动点的轨迹长度为
B. 存在点，使异面直线与所成的角为
C. 点到平面的距离的最小值为
D. 点到平面的距离的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知直线垂直于直线，且过点，则直线的斜截式方程为______；在轴上的截距为______．
13.已知向量，，则在方向上的投影向量的模为______．
14.已知圆：，直线：，为直线上一动点，为圆上一动点，定点，则的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知点，，，且四边形是平行四边形．
求点的坐标；
求平行四边形的面积．
16.本小题分
如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，．
判断直线与是否垂直，并说明理由；
求平面与平面的夹角的余弦值．
17.本小题分
已知圆与圆相交于，两点，直线的方程为．
若圆的圆心在圆外，求圆的半径的取值范围；
若，是圆上的动点，且的面积的最大值为，求圆的方程．
18.本小题分
如图，在棱长为的正方体中，为的中点，为底面内一动点包括边界，且满足E.
是否存在点，使得平面？
求的取值范围．
求点到直线的距离的最小值．
19.本小题分
古希腊数学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数且的点的轨迹是圆后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆在平面直角坐标系中，，，动点满足，设动点的轨迹为曲线．
求曲线的轨迹方程；
若直线与曲线交于，两点，求；
若曲线与轴的交点为，，直线：与曲线交于，两点，直线与直线交于点，证明：点在定直线上．
参考答案
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15.解：根据题意，直线的斜率为，
所以直线的方程为，即，
因为直线与直线平行，且过，
所以直线的方程为，即．
直线的斜率为，
因为直线与直线平行，且过，
所以直线的方程为，即．
由，解得，即点的坐标为．
因为，
且点到直线的距离，
所以平行四边形的面积．
16.解：和不垂直，理由如下：
设，则，
在中，，所以为等边三角形，所以，
因为，，所以，从而，
所以在直角中，，，
又因为，所以，所以在中，满足，
故为直角三角形，则，
又因为，，所以平面；
因为，所以，所以，
故以点为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
设，则，，，
所以，，，，，
所以，，
所以，
所以不成立，故AB和不垂直．
由可知，，，所以平面，
故为平面的一个法向量，
又，，
设平面的法向量，
则，所以，即，
取，则，，
故，
设平面与平面的夹角为，
所以，
所以平面与平面的夹角的余弦值为．
17.解：由圆：可化为，
可得圆的半径，圆心为，且圆心在直线上．
因为圆的圆心在圆外，
所以连结，．
又因为，连接，
在中，圆的半径．
故圆的半径的取值范围为；
设圆的圆心为，
由题意直线是两圆相交弦所在直线可得，
即，化简可得．
设圆的半径为，在中，边上的高为，
所以的面积为，
当时，即此时取得最大值，的面积取得最大值，
的面积的最大值为，解得，
所以
由联立方程组可得或，
所以圆的方程为或．
18.解：存在，使得平面理由如下：
如图，以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，
因为，，，
设平面的法向量为，则，，
所以，解得，令，则，所以，
设，所以，
又，所以，即，所以，
设存在点，使得平面，
则，解得，则，
则，
所以存在点，使得平面；
由知，，
所以，
因为函数在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，，当时，，所以，
所以的取值范围是．
由知，点满足，
取中点为，则点轨迹为线段，
所以点到直线的距离的最小值就是异面直线与的距离，
因为，，，所以，，
设，则，
则，令，，，所以，
又因为，
所以点到直线的距离的最小值．
19.解：在平面直角坐标系中，，，动点满足，设动点的轨迹为曲线，
设，因为，所以，
即，整理得，
所以曲线的轨迹方程为；
直线与曲线交于，两点，
曲线的圆心到直线的距离，
所以；
证明：曲线与轴的交点为，，直线：与曲线交于，两点，直线与直线交于点，
设，，，
联立得，
，
设，，所以直线的方程为，直线的方程为，
因为直线与直线交于点，所以
则
，即，解得，
所以点在直线上．
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