第二十二章 二次函数 章末检测试题 2024--2025学年上学期初中数学人教版九年级上册

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第二十二章 二次函数 章末检测试题 2024--2025学年上学期初中数学人教版九年级上册
一、单选题
1．下列函数中是二次函数的是（ ）
A． B．
C． D．
2．顶点为且开口方向、形状与函数的图象相同的抛物线是（ ）
A． B．
C． D．
3．已知二次函数，其中、，则该函数的图象可能为（ ）
A． B．
C． D．
4．如图，根据坐标系中所绘制的图象及相关数据可知该抛物线的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
5．已知点，，，在二次函数的图象上，点，是该函数图象与正比例函数为常数且的图象的交点．若，则，，的大小关系为（　　）
A． B．
C． D．
6．对于二次函数的图象，下列说法不正确的是（ ）
A．开口向上 B．对称轴是直线
C．顶点坐标为 D．当时，随的增大而增大
7．对于二次函数，下列结论：其图象开口向下；其图象的对称轴为直线；其图象的顶点坐标为；当时，y随x的增大而减小．其中正确结论的个数为(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
8．已知是一元二次方程的一个根，则的最小值是（ ）
A． B． C．3 D．
9．已知抛物线y＝3x2+bx+c与直线y＝﹣1只有一个公共点M，与平行于x轴的直线l交此抛物线A，B两点若AB=4，则点M到直线l的距离为（ ）
A．11 B．12 C． D．13
10．已知二次函数的部分图象如图所示，图象经过点，其对称轴为直线．下列结论中正确的是（ ）
A．
B．若点，均在二次函数图象上，则
C．关于x的一元二次方程有两个相等的实数根
D．满足的x的取值范围为
二、填空题
11．抛物线与轴交点坐标是 ．
12．抛物线是由抛物线先向右平移2个单位，再向上平移3个单位得到的，求b、c的值为 ．
13．已知直线与抛物线交于点、，则当时的取值范围是 ．
14．把抛物线化成的形式是 ，该图象的对称轴是 ，顶点坐标是 ．
15．抛物线与轴交于点，如果点和点关于该抛物线的对称轴对称，那么的值是 .
16．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标（﹣1，﹣3.2）及部分图象（如图），由图象可知关于x的方程ax2+bx+c＝0的两个根分别是x1＝1.3和x2＝ ．
三、解答题
17．如图，已知直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过两点，且与轴的另一个交点为，对称轴为直线．

(1)求抛物线的函数解析式；
(2)在抛物线的对称轴上找一点，使得的值最小，求此时点的坐标．
18．已知二次函数（为常数）的图象经过两点．
(1)已知，求该二次函数的表达式．
(2)当该二次函数图象经过点时．
①求该二次函数图象的对称轴和最小值(用含的代数式表示)；
②若，求的取值范围．
19．已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，是抛物线的顶点．
(1)求抛物线的解析式及顶点的坐标．
(2)若点是抛物线对称轴上的一个动点，当的值最小时，求点的坐标．
(3)若点为轴上的一个动点，连接，求的最小值．
20．如图，已知二次函数经过点和点，

(1)求该二次函数的解析式；
(2)如图，若一次函数经过B、C两点，直接写出不等式的解；
(3)点A为该二次函数与x轴的另一个交点，求的面积．
21．一条河上横跨着一座宏伟壮观的悬索桥．桥梁的缆索与缆索均呈抛物线型，桥塔与桥塔均垂直于桥面，如图所示，以O为原点，以直线为x轴，以桥塔所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．

已知：缆索所在抛物线与缆索所在抛物线关于y轴对称，桥塔与桥塔之间的距离，，缆索的最低点P到的距离（桥塔的粗细忽略不计）
(1)求缆索所在抛物线的函数表达式；
(2)点E在缆索上，，且，，求的长．
参考答案：
1．D
A. 是反比例函数，不符合题意；
B. ，是一次函数，不符合题意；
C. ，右边不是整式，不是二次函数，不符合题意；
D. 是二次函数，符合题意
2．A
解：抛物线的顶点为，且开口方向，形状与函数的图象相同，
这个二次函数的解析式为．
3．A
解：对于二次函数，
令，则，
∴抛物线与y轴的交点坐标为
∵，
∴抛物线与y轴的交点应该在y轴的正半轴上，
∴可以排除B选项和C选项；
A选项和D选项中，抛物线的对称轴，
∵，
∴，
∴抛物线开口向上，可以排除D选项，
4．C
解：由图象可知抛物线开口向上，且与轴的交点为，
根据图象夹角为，
∴，
∵对称轴为，
∴，
∴设抛物线的解析式为，
将代入可得，
解得，
∴抛物线的解析式为，
5．D
解：，
正比例函数的图象经过一、三象限，
点，是该函数图象与正比例函数为常数且的图象的交点，且，
在第三象限，在第一象限，
由二次函数可知抛物线开口向下，对称轴为轴，
当时，随的增大而减小，
在第一象限，
，，
．
6．D
解：A、因为二次函数的表达式为，所以抛物线的开口向上．故此选项说法正确，不符合题意；
B、抛物线的对称轴是直线，故此选项说法正确，不符合题意；
C、因为抛物线的顶点坐标为，故此选项说法正确，不符合题意；
D、因为抛物线的对称轴为直线，且开口向上，所以当时，随的增大而减小，故此选项说法不正确，符合题意；
7．C
解：，
二次函数的图象开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为，
故错误，正确，
二次函数的图象开口向下，对称轴为直线，
当时，y随x的增大而减小，
当时，y随x的增大而增大，
故正确，
8．D
解：将代入一元二次方程，得：
，
∴，
则，
设，则：
，
变形，得：．
∴当时，可以取得最小值，
∴的最小值为．
9．B
解：∵抛物线y＝3x2+bx+c与直线y＝﹣1只有一个公共点M，
∴点M为抛物线的顶点，其坐标为：（，），
则抛物线解析式为：，
∵抛物线与平行于x轴的直线l交此抛物线A，B两点，且AB=4，
∴点A的横坐标为：，点B的横坐标为：，
把代入抛物线，得：
，
∴直线l为：，
∴点M到直线l的距离为：11﹣（﹣1）=12；
10．D
解：∵对称轴为直线，
∴，
∵当时，，
∴，故A错误，
∵抛物线开口向下，
∴在对称轴的右侧y随x的增大而减小，
∵关于直线对称的点为，
又∵，
∴，故B错误，
根据图象可得：时，x的值不相等，即关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
不等式的解集可看作抛物线的图象在直线上方的部分，
∵关于直线对称的点为，
∴x的取值范围为，故D正确；
11．
解：当时，，
抛物线与轴交点坐标是，
故答案为：．
12．，
∵抛物线，
∴把抛物线先向左平移2个单位，再向下平移3个单位所得抛物线的解析式为，即．
∴，．
故答案为：，．
13．
解：画出草图如图所示．
由图可知，当时的取值范围是．
故答案为：．
14． 直线
解：，对称轴为直线，顶点坐标为
故答案为：，直线，．
15．-2
∵抛物线与轴交于点，
∴点A的坐标是：（0，2），
∵点和点关于该抛物线的对称轴对称，
∴抛物线的对称轴是：直线x=1，即：，
∴，解得：b=-2.
故答案是：-2.
16．
∵二次函数y=ax2+bx+c的顶点坐标（-1，-3.2）
∴-=-1则-=-2
∵x1x2是一元二次方程ax2+bx+c=0的两根
∴x1+x2=-
又∵x1=1.3
∴x1+x2=1.3+x2=-2
解得x2=-3.3．
17．(1)
(2)
（1）解：将代入，得，即，
将代入，得，解得，即，
对称轴为直线，点关于对称轴对称，
，
设抛物线的函数解析式为，将代入，得，解得，
，
抛物线的函数解析式为；
（2）解：点与点关于直线对称，点在直线上，，
当点是线段与抛物线对称轴的交点时，的值最小，即的值最小为线段的长，
将代入直线的函数解析式，得，
此时．
18．(1)
(2)①直线，；②
（1）解：把分别代入，
得，解得．
该二次函数表达式为．
（2）解：①该二次函数图象经过和
对称轴为直线．
∴，解得：，
，最小值为．
②当时，，符合要求；
当时，关于对称轴的对称点为，
，而在对称轴右侧，随的增大而增大．
，
．
故的取值范围是．
19．(1)，
(2)
(3)
（1）解：根据题意可设抛物线的解析式为，
抛物线经过点，
将点代入，解得，
抛物线的解析式为，
顶点的坐标为，
（2）解：设直线为，
把，分别代入得，
．
直线为解析式为
令得，
．
（3）解：如图，以为斜边作（点在轴右侧），使得，
，
过点作，交轴于，交于点，则，
根据，得
则，当、、三点共线且时，的值最小，最小值为的长，
在中，，
，
，
即的最小值为
20．(1)
(2)
(3)6
（1）将和点代入二次函数得：，
解得：，
∴二次函数解析式为：．
（2）∵当时，的图象在的下方，
∴不等式的解集为：．
（3）当时，，
解得，
∴，
∴．
∴．
21．(1)；
(2)的长为．
（1）解：由题意得顶点P的坐标为，点A的坐标为，
设缆索所在抛物线的函数表达式为，
把代入得，
解得，
∴缆索所在抛物线的函数表达式为；
（2）解：∵缆索所在抛物线与缆索所在抛物线关于y轴对称，
∴缆索所在抛物线的函数表达式为，
∵，
∴把代入得，，
解得，，
∴或，
∵，
∴的长为．
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