第二十二章 二次函数的图像与性质 重点题型 专项练 2024--2025学年上学期初中数学人教版九年级上册

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第二十二章 二次函数的图像与性质 重点题型 专项练 2024--2025学年上学期初中数学人教版九年级上册
一、单选题
1．若二次函数的图象经过原点，则的值为（ ）
A．2 B．1 C．0或2 D．1或2
2．抛物线经平移后，不可能得到的抛物线是（ ）
A． B． C． D．
3．在平面直角坐标系中，抛物线关于轴对称的抛物线的解析式为(　 　)
A． B．
C． D．
4．将二次函数的图象绕点旋转得到的图象满足的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
5．已知二次函数的图象如图所示，则点所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
6．在同一直角坐标系中，一次函数与二次函数的大致图像可能是（ ）
A． B．
C． D．
7．已知二次函数，下列说法正确的是（ ）
A．该函数图象经过第一、三象限
B．函数图象有最高点
C．函数图象的对称轴是直线
D．当时，y随x的增大而减小
8．已知点都在二次函数的图像上，若，则下列关于，，三者的大小关系判断一定正确的是（ ）
A．可能最大，不可能最小 B．可能最大，也可能最小
C．可能最大，不可能最小 D．不可能最大，可能最小
9．已知点，在抛物线上，当且时，都有，则m的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
10．抛物线 过四个点，若，四个数中有且只有一个大于零，则a的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
11．设二次函数（，m，k是实数），则（ ）
A．当时，函数y的最大值为 B．当时，函数y的最大值为
C．当时，函数y的最大值为 D．当时，函数y的最大值为
12．在平面直角坐标系中，若点的横坐标和纵坐标相等，则称点为完美点．已知二次函数的图象上有且只有一个完美点，且当时，函数的最小值为，最大值为，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
13．已知点，是二次函数图像上的两个不同的点，则当时，其函数值等于 ．
14．已知二次函数，若其图象抛物线不动，把x轴、y轴分别向上、向右平移2个单位，那么在新坐标系下该抛物线的解析式是 ．
15．二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象一定不经过 象限．
16．已知点，点都在关于x的函数的图象上，且，则n的取值范围是 ．
17．如图所示的二次函数图象中，有以下信息：；；；；．其中正确的有 （填序号）

18．若二次函数的最大值是5，则的最小值为 ．
19．已知二次函数，在有最大值7，则所有满足条件的实数的值为 ．
三、解答题
20．已知二次函数．
(1)请利用配方法推导出它的对称轴和顶点坐标；
(2)如果将该二次函数向右平移1个单位，再向下平移2个单位，平移后的函数的对称轴为轴，求的值．
21．抛物线顶点，与x轴交于A、B两点，且．

(1)求y1的解析式及A、B间距离．
(2)将x轴向下平移n个单位后得新坐标系，此时x轴与抛物线交于C、D两点，且．求出新坐标系下抛物线的解析式及n值．
22．已知二次函数．
(1)当，时，
①求该函数图象的顶点坐标．
②当时，求x的取值范围．
(2)当时，y的最小值为；当时，y的最小值为3，求二次函数的表达式．
23．如图，已知二次函数图象与x轴交于，两点，与y轴交于点，顶点为D，对称轴交x轴于点E．
(1)求该二次函数的解析式；
(2)在（1）中抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PAC的周长最小？若存在，求出P点的坐标，若不存在，请说明理由；
(3)点Q在线段OB上（不与点O、B重合），过点Q作QM⊥x轴交抛物线于点M，交线段BC于点N，求线段MN的最大值，及此时点M的坐标．
参考答案：
1．A
解：二次函数的图象经过原点，
，
或，
二次项系数不能为0，
所以．
2．D
解：．，抛物线向右平移，再向下平移得到抛物线，故不符合题意；
．， 抛物线向右平移，再向下平移得到抛物线，故不符合题意；
．，，抛物线向下平移得到抛物线，故不符合题意；
．，由平移的性质，的值变为，无法通过平移得到，故符合题意．
3．A
解：抛物线关于轴对称的抛物线的解析式为，
即解析式为：．
4．C
解：抛物线的顶点坐标为，开口向上
绕点旋转后的抛物线的顶点坐标为，开户口向下，
所得到的图象的解析式为，
5．B
解：∵开口向下，
∴，
∵抛物线与y轴交于正半轴，
∴，
∵对称轴在y轴右侧，
∴a，b异号，即，
∴，
∴点在第二象限．
6．D
A. 根据一次函数图象分布，得即；根据二次函数图象分布，得即；不一致，不符合题意；
B. 根据一次函数图象分布，得即；根据二次函数图象分布，得即；不一致，不符合题意；

C. 根据一次函数图象分布，得即；根据二次函数图象分布，得即；不一致，不符合题意；

D. 根据一次函数图象分布，得即；根据二次函数图象分布，得即； 一致，符合题意，
7．B
∵，
∴，抛物线的开口向下，顶点坐标是，经过三、四象限，故选项A错误；
函数图象有最高点，故选项B正确；
对称轴是，故选项C错误；
抛物线的开口向下，对称轴是，当时，y随x的增大而增大，故D错误；
8．B
解：在中，
对称轴为直线，
令，解得：，，
∴函数图像与x轴交于，，
∵，
∴离对称轴最远，离对称轴最近，
当时，开口向上，
∴；
当时，开口向下，
∴；
∴和可能最大，也可能最小，
9．D
解：∵抛物线，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵当且时，都有，
∴且时，都有，
∴且，解得；
∴m的取值范围为，
10．D
解：由题意得，抛物线的对称轴是直线．
又当时，
∴，且当时，．
∴．
①若，则当时，y随x的增大而增大．
∵，
∴．
∵四个数中有且只有一个大于零，
又，
∴
∴．
∴
②若，
则当时，y随x的增大而减小．
∵
∴．
∴四个数中没有一个大于0，不合题意．
11．C
解：由题意，令，
∴，
∴．
∴二次函数与x轴的交点坐标是．
∴二次函数的对称轴是：直线．
∵，
∴y有最大值．
当，y最大，
即
当时，函数y的最大值为；
当时，函数y的最大值为．
综上，C选项正确．
12．B
解：令，即，
由题意可得，图象上有且只有一个完美点，
∴，则，
又方程根为，
∴，，
∴函数，
该二次函数图象如图所示，顶点坐标为，
与轴交点为，根据对称规律，点也是该二次函数图象上的点，
在左侧，随的增大而增大；在右侧，随的增大而减小；且当时，函数的最大值为，最小值为，则．
13．2
解： 当和时， 的值相等，
二次函数对称轴，
当时，即，
则，
当时，二次函数的值为2．
故答案为：2．
14．
解：抛物线的顶点坐标为，
∵x轴、y轴分别向上、向右平移2个单位，
∴新平面直角坐标系中抛物线的顶点坐标为，
∴新坐标系下抛物线的解析式是．
故答案为．
15．四
解：∵二次函数开口向下，
∴，
∵对称轴在y轴右侧，
∴，
∴，
∵，
∴一次函数的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限，
故答案为：四．
16．/
解：∵，
∴对称轴为：，
∵点，点都在抛物线上，且函数值相同，
∴两个点关于对称轴对称，
∴，解得：；
∴，
∴，
∵，对称轴为，
∴抛物线开口向下，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小，
∵，
∴当时，有最大值为，当时，有最小值为：；
∴．
故答案为：．
17．③④⑤
解：①由抛物线交y轴于负半轴，则，故①错误；
②由抛物线的开口方向向上可推出；
∵对称轴在y轴右侧，对称轴为，
又∵，
∴；
故，故②错误；
③结合图象得出时，对应y的值在x轴上方，故，即，故③正确；
④由抛物线与x轴有两个交点可以推出，故④正确；
⑤由图象可知：对称轴为，则，故⑤正确；
故正确的有：③④⑤．
故答案为：③④⑤．
18．
解：二次函数有最大值，
，
，
当时，最大，为，
二次函数的最大值是5，
，
，
，
，抛物线开口向上，
当时，最小，为，
故答案为：．
19．9或
解：
，
∴抛物线的对称轴为直线，
当时，，
当时，，
∵在有最大值7，抛物线开口向上，
∴当，即时，，
此时，（舍去）；
当，即时，
若，即，
此时，解得：（舍去）；
若，即，
此时，解得：（舍去）；
此时，解得：；
当，即时，
此时，解得：；
综上所述，a的值为9或．
故答案为：9或
20．(1)二次函数的对称轴为，顶点坐标为
(2)
（1）解：配方：
，
所以二次函数的对称轴为，顶点坐标为；
（2）由题意得：平移后的二次函数表达式为，
所以对称轴为，
因为平移后的二次函数对称轴是轴，
所以，
解得．
21．(1)，
(2)，
（1）解：设抛物线的表达式为：，
将点代入得：，
解得：，
则抛物线的表达式为：，
根据函数的对称性，点，
则；
（2）由题意得，，
令，则，
则，
则，
解得：，
则．
22．(1)①；②或
(2)
（1）解：①当，时，解析式为，
该函数的顶点坐标为；
②抛物线，开口向上，对称轴为直线，
当时，即，
解不等式得：或，
（2）∵二次函数开口向上，当时，y的最小值为3，
∴时，，
∵当时，y的最小值为；
∴时，，代入得：
，
，
∴，
∵对称轴在y轴左侧，a、b同号，，
∴，
故抛物线解析式为：．
23．(1)
(2)存在，
(3)MN取得最大值为，
（1）将，，代入得：
解得：
二次函数的解析式为：；
（2）存在点P，使△PAC的周长最小
连接BC交抛物线对称轴于P，连接AP，如图：
，
由得抛物线对称轴是
，关于抛物线对称轴对称
而当B、P、C共线时，PB+CP最小，此时PA+CP也最小，
因，故此时△PAC的周长最小
设直线BC为，将，代入得：
解得：
直线BC解析式为：
令x＝1时，得y＝－2　
（3）如图：
设，，
该函数为开口向下的二次函数，且在时取得最大值
又Q在OB上，
∴
∴m可取的值包括了
时，
MN取得最大值为，
当x=时，y=
故M点坐标为：．
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