第二十二章 二次函数综合题 专项练 2024--2025学年上学期初中数学人教版九年级上册

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第二十二章 二次函数综合题 专项练
2024--2025学年上学期初中数学人教版九年级上册
一、解答题
1．如图，已知二次函数的图象经过点、和原点O．P为二次函数图象上的一个动点，过点P作x轴的垂线，垂足为，并与直线交于点C．
(1)求二次函数的解析式；
(2)当点P在直线的上方时，
①当的长最大时，求点P的坐标；
②当时，求点P的坐标．
2．已知，如图抛物线与轴交于点，与轴交于，两点，点在点左侧．点的坐标为，．
(1)求抛物线的解析式．
(2)点是抛物线对称轴上的一个动点，当的值最小时，求点的坐标．
(3)若点是线段下方抛物线上的动点，求四边形面积的最大值．
3．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，二次函数的图象经过两点，且与轴的负半轴交于点，动点在直线下方的二次函数图象上．
(1)求二次函数的表达式；
(2)连接，设的面积为，求的最大值．
4．如图所示，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C．直线l与抛物线交于A，D两点，与y轴交于点E，点D的坐标为．

(1)求抛物线的解析式与直线l的解析式；
(2)若点P是抛物线上的点且在直线l上方，连接，求当面积最大时点P的坐标及该面积的最大值．
5．如图，抛物线与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点．

(1)求抛物线的对称轴及k值；
(2)求点A和点B的坐标；
(3)抛物线的对称轴上存在一点P，使得的值最小，求此时点P的坐标．
6．顶点为且过原点的抛物线，如图所示．
(1)求其解析式．
(2)动矩形的顶点B、C在抛物线上，A、D在x轴上，设，矩形的周长为l，求l随t变化的函数关系式．若l有最值，求之，否则说明理由．
7．如图，若b是正数，直线与y轴交于点A；直线与y轴交于点B；抛物线的顶点为C，且L与x轴右交点为D．
(1)若，求b的值，并求此时L的对称轴与a的交点坐标；
(2)当点C在l下方时，求点C与l距离的最大值；
(3)设，点分别在l，a和L上，且是的平均数，求点与点D间的距离；
(4)在L和a所围成的封闭图形的边界上，把横、纵坐标都是整数的点称为“美点”，分别直接写出和时“美点”的个数．
8．如图①，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，点是抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点是抛物线对称轴上位于点上方的一动点，是否存在以点为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，请直接写出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
拓展设问：点为平面内一点，直线上方的对称轴上是否存在点，使得以为顶点的四边形是菱形．若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
9．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），其顶点为P，对称轴与x轴交于点H．
(1)求点A、P的坐标；
(2)连接，点D是该二次函数图象第四象限上的动点，过D作轴于点E，点F是x轴上一点，是否存在以点D、E、F为顶点的三角形与全等？若存在，求出所有满足条件的点D的坐标；若不存在，请说明理由．
10．二次函数的图象与轴分别交于点，与轴交于点，为抛物线上的两点．
(1)求二次函数的表达式；
(2)当两点关于抛物线对称轴对称，是以点为直角顶点的直角三角形时，求点的坐标；
(3)设的横坐标为，的横坐标为，试探究：的面积是否存在最小值，若存在，请求出最小值，若不存在，请说明理由．
参考答案：
1．(1)
(2)
（1）解：设二次函数的解析式为，
二次函数的图象经过点、和原点O．
，解得，
二次函数的解析式为；
（2）解：①设直线的解析式为，
，
，解得，
直线的解析式为，
过点P作x轴的垂线，垂足为，
点P的坐标为，点C的坐标为，
，
当时，的长最大，即有，
；
②当时，
即，
，
，
解得（舍去）或，
．
2．(1)
(2)
(3)
（1）解：∵点B的坐标为，，
∴，，
即点，代入得，
解得，
则抛物线的解析式；
（2）解：由抛物线的解析式得对称轴为，，
∵点是抛物线对称轴上的一个动点，
∴，
∵点B关于对称轴的对称点为点A，
∴的值最小为，如图，
设直线的解析式为将点，代入得，
解得，则，当时，，
故当的值最小时，点；
（3）解：过点D作直线轴，交于点E，交x轴于点F，过点C作于点G，如图，
设点，则点，得，
，
∵，
∴当时，，
3．(1)
(2)最大为，
（1）解：在直线上，当时，，当时，，
∴，，
∵二次函数经过点B、C，
∴ ，
解得：，
∴二次函数的表达式为；
（2）如下图所示，过点D作轴，交直线BC与点M，设点，则，
∵点D在抛物线上，
∴当M的坐标为，
∵点D在下方，
∴的长度为，
∵，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴S是以t为自变量的二次函数，且开口向下，顶点坐标为
∴当时，最大，且最大值为，
故S的最大值为1．
4．(1)抛物线的解析式为，直线l的解析式为；
(2)的面积的最大值为，点P的坐标为
（1）解∶∵抛物线与x轴交于两点，
∴设抛物线的解析式为．
∵点在抛物线上，
∴，
解得．
∴抛物线的解析式为．
∵直线l经过，
设直线l的解析式为，
则，
解得，
∴直线l的解析式为．
（2）如图所示，过点P作轴交于点K．

设，则．
∵，
∴当的值最大时，的面积最大．
，
∵，
∴当时，的值最大，最大值为．
则此时．
当时，，
∴的面积的最大值为，点P的坐标为)．
5．(1)对称轴为直线；
(2)点坐标为点坐标为
(3)点坐标为
（1）抛物线的对称轴为直线，
把代入，
得，
∴；
（2）对于，令，则，
解得，
∴点坐标为点坐标为；
（3）作点B关于抛物线的对称轴的对称点点A，连接，交对称轴于点，如图1，

∵两点之间，线段最短，
∴的最小值为的长，则点即为所求；
设直线的关系式为：，把代入
得：
解得，
∴直线的关系式为，
当时，，
∴点坐标为
6．(1)
(2)当时，有最大值10．
（1）解：由题意设抛物线的解析式为，
代入得，，
解得，
抛物线的解析式为；
（2）抛物线的对称轴为直线，，
，
，
动矩形的顶点、在抛物线上，
，，
矩形的周长为：
，
当时，有最大值10．
7．(1)，L的对称轴与的交点
(2)最大值为1
(3)
(4)时“美点”的个数为4040个，时“美点”的个数为1010个
（1）解：当时，，
∴，
∵，而，
∴，
∴．
∴，
∴L的对称轴，
当时，，
∴L的对称轴与a的交点为；
（2）解：∵，
∴L的顶点，
∵点C在l下方，
∴C与l的距离为，
∴点C与l距离的最大值为1；
（3）解：由题意得，即，
得，
解得或．
但，取，
对于L，当时，，即，解得，
∵，
∴右交点．
∴点与点D间的距离为．
（4）解：①当时，抛物线解析式为，
直线解析式，
联立上述两个解析式可得：，
∴可知每一个整数x的值都对应的一个整数y值，且和2021之间(包括和)，共有2023个整数；
∵另外要知道所围成的封闭图形边界分两部分：线段和抛物线，
∴线段和抛物线上各有2023个整数点，∴总计4042个点，
∵这两段图象交点有2个点重复重复，
∴“美点”的个数：(个)；
②当时，
抛物线解析式，
直线解析式，
联立上述两个解析式可得：，
∴当x取整数时，在一次函数上，y取不到整数值，因此在该图象上“美点”为0，
在二次函数图象上，当x为偶数时，函数值y可取整数，
可知到之间有1009个偶数，并且在和之间还有整数0，验证后可知0也符合条件，因此“美点”共有1010个．
故时“美点”的个数为4040个，时“美点”的个数为1010个．
8．（1）；
（2）存在，点的坐标为或或或；
拓展设问：存在，点的坐标为或或
解：（1）抛物线与轴交于点和点，
，
解得，，
抛物线的解析式为；
（2）存在，点的坐标为或或或，理由如下：
由（1）知，
∴，，抛物线的对称轴为直线，
设点，其中，
点、、，
，，，
当时，则，解得，则点或；
当时，则，解得或（负值舍去），则点；
当时，则，解得，则点；
综上，点的坐标为或或或；
拓展设问：存在，点F的坐标为或或，理由如下：
抛物线的对称轴为直线，
设直线的解析式为,
则，解得：，
∴直线的解析式为，
当时，，
∴设点的坐标为，此时，
∵，，
∴，，
，
①当为菱形的对角线时，如图所示：
此时，
∴，解得，
∴；
②当为菱形对角线时，如图所示：
此时，
∴，解得或（不合题意，舍去），
∴；
③当为对角线时，如图所示：
此时，
∴，解得或（不合题意，舍去），
∴；
综上，点的坐标为或或．
9．(1)，
(2)存在，当点D的坐标为或时，存在以点D、E、F为顶点的三角形与全等
（1）解：∵二次函数的图象与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），
令，即，解得，，
∴，，
∵，
∴；
（2）解：存在，理由如下，
∵点H在二次函数的对称轴上且交于x轴，
∴，
∵，
∴，，
设点，
∵DE⊥x轴于点E，点F是x轴上一点，
∴，
∴，
∵以点D，E，F为顶点的三角形与全等，
∴当时，，
∴，解得，（舍），
∴；
当时，，
∴，解得，（舍），
∴，
综上所述，当点D的坐标为或时，存在以点D、E、F为顶点的三角形与全等.
10．(1)
(2)
(3)存在，最小值为
（1）解：把，代入得，
，解得，
∴二次函数的表达式为；
（2）解：如图：
由得抛物线对称轴为直线，
∵两点关于抛物线对轴对称，
∴，
设，
∵，
∴，
∴
，
整理得，，
解得，（舍去），
∴，
∴；
（3）存在，理由：
当点P、Q在x轴下方，且点Q在点P上方时，
设点，则点，设直线交轴于点，
设直线表达式为：，
代入，
得：，
解得：，
∴直线的表达式为：，
令，得
则，
则，
则
，
即存在最小值为；
当点P、Q在x轴下方，且点P在点Q上方时，
同上可求直线表达式为：，
令，得
则，
则，
则
即存在最小值为；
当点P、Q都在x轴上方或者一个在x轴上方，一个在x轴下方同理可求，
即存在最小值为，
综上所述，的面积是否存在最小值，且为．
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