第二十一章 一元二次方程 章末强化练 2024--2025学年上学期初中数学人教版九年级上册

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第二十一章 一元二次方程 章末强化练
2024--2025学年上学期初中数学人教版九年级上册
一、单选题
1．下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
2．若关于的一元二次方程的一个根为，则的值为（ ）
A． B． C． D．或
3．用配方法解一元二次方程时，下列变形正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．关于的一元二次方程的根情况是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根 D．实数根的个数由的值确定
5．关于x的方程，则的值是（ ）
A． B．1 C．或1 D．3或
6．为响应国家全民阅读的号召，某社区鼓励居民到社区阅览室借阅图书．据统计该阅览室2021年图书借阅总量是7500本，2023年图书借阅总量是10800本．设该社区阅览室的图书借阅总量从2021年至2023年的年平均增长率为，则根据题意可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
7．某商店从厂家以每件18元的价格购进一批商品．该商品可以自行定价．据市场调查，该商品的售价与销售量的关系是：若每件售价a元，则可卖出件，但物价部门限定每件商品加价不能超过进货价的25%，如果商店计划要获利400元．则每件商品的售价应定为（ ）
A．22元 B．24元 C．26元 D．28元
8．若两数的差为4，且它们的积为45，则这两个数为（ ）
A．，9 B．，5 C．9，5 D．，或9，5
9．已知、是方程的两根，且，则的值等于
A． B． C． D．
10．把方程2x2-4x-1=0 化为(x+m)2=n 的形式，则m、n的值是（ ）
A．m=2，n= B．m=-1，n= C．m=1,n=4 D．m=n=2
11．如图，在中，，，，动点P，Q分别从点A，B同时开始运动（运动方向如图所示），点P的速度为，点Q的速度为，点Q运动到点C后停止，点P也随之停止运动，若使的面积为，则点P运动的时间是（ ）

A．2s B．3s C．5s或3s D．5s
12．有两个正方形A，B，现将B放在A的内部如图①；再将A，B无缝隙且无重叠放置后构造新的正方形如图②．若图①和图②中阴影部分的面积分别为1和7，则图②所示的大正方形的面积为（ ）
A．14 B．15 C．16 D．17
二、填空题
13．若某两位数的十位数字是方程的根，则它的十位数字是 ．
14．若方程是关于 的一元二次方程，则的取值范围是 ．
15．老旧小区改造是重要的民生工程，与人民群众的生活息息相关．甘州区开展老旧小区改造，2020年投入此项工程的专项资金为1000万元，2022年投入资金达到1440万元．设该区这两年投入老旧小区改适工程专项资金的年平均增长率为x，根据题意，可列方程 ．
16．解方程时，的值为 ．
17．已知、满足，，则的值等于 ．
18．某学校计划利用一片空地为学生建一个面积为的矩形车棚，其中一面靠墙（墙的可用长度为12），已知现有的木板材料可使新建板墙的总长为26．
（1）根据学校的要求，在与墙平行的一面开一个2米宽的门（如图1），那么这个矩形车棚相邻两边长分别为 ；
（2）如图2，为了方便学生取车，施工单位决定在车棚内修建几条等宽的小路，使得停放自行车的面积为，那么小路的宽度为 ．

三、解答题
19．用指定方法解下列一元二次方程．
(1) (直接开平方法)
(2) (配方法)
(3) (公式法)
(4) (因式分解法)
20．已知关于x的方程有两实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）设方程两实数根分别为、，且，求实数k的值．
21．某工厂共有300台机器出租，去年每台机器的租金为100元，由于物价上涨，今年这些机器的租金上涨到了121元/台．
(1)求每台机器租金的年增长率；
(2)据预测，当机器的租金定为121元/台时，该工厂可将机器全部租出；若每台机器的租金每增加1元，就要少租出2台．租出的机器该工厂每天每台需支出41元的维护费用，未租出的机器该工厂每天每台需支出20元的保管费用．当每台机器的租金上涨多少元时，该工厂每天的收益为25250元？
22．如图，矩形，cm，cm，点P以2cm/s的速度从顶点A出发沿折线A－B－C向点C运动，同时点Q以lcm/s的速度从顶点C出发向点D运动，当其中一个动点到达末端停止运动时，另一点也停止运动．
(1)问两动点运动几秒，使四边形的面积是矩形面积的；
(2)问两动点经过多长时间使得点P与点Q之间的距离为？若存在，求出运动所需的时间；若不存在，请说明理由．
参考答案：
1．D
解：、方程，未知数的最高次数是，不是一元二次方程，不合题意；
、方程，含有两个未知数，不是一元二次方程，不合题意；
、方程，不是整式方程，不是一元二次方程，不合题意；
、方程，是一元二次方程，符合题意；
2．C
解：∵关于的一元二次方程的一个根为，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
3．A
解：∵，
∴，
∴，即，
4．B
由题意可知：，，，
方程有两个不相等的实数根．
5．B
解：设，则此方程可化为，
∴，
∴或，
解得，，
∴的值是1或．
当时，，
∵，
∴此方程无解，
∴的值是1．
6．B
解：根据题意，得，
7．A
设商店的获利为元，
得，
当时，，
得，
，
解方程得元或元，
当元，，
∴元舍去，
∴元，
8．D
解：设较小的数为x，根据题意得，
解得，．
那么这两个数就应该是5，9或，．
9．C
∵m，n是方程x2﹣2x﹣1=0的两根
∴m2﹣2m=1，n2﹣2n=1
∴7m2﹣14m=7（m2﹣2m）=7，3n2﹣6n=3（n2﹣2n）=3
∵（7m2﹣14m+a）（3n2﹣6n﹣7）=8
∴（7+a）×（﹣4）=8
∴a=﹣9．
10．B
解：∵2x2﹣4x﹣1=0，∴2x2﹣4x=1，∴x2﹣2x=，∴x2﹣2x+1=+1，∴（x﹣1）2=，∴m=﹣1，n=．故选B．
11．B
解：∵，，，
∴，
设运动时间为，
∴，，
∵的面积为，即
，解得：，．
当时，，不成立，舍去，
∴，
12．B
解：设正方形B的边长为a，其中，
∵将B放在A的内部如图①所示，阴影部分的面积为1，
∴阴影部分为正方形，且边长为1，
∴图①中大正方形的边长为，
即正方形A的边长为，
又∵将A，B无缝隙且无重叠放置后构造新的正方形如图②所示：
∴图②中大正方形的边长为：，
∵图②中阴影部分的面积为7，
∴，
整理得：，
解得：，（不合题意，舍去），
∴图②中大正方形的边长为：
∴图②中大正方形的面积为15．
13．7
依题意解方程：
，
又因为是两位数，
所以十位数字是7，
故答案为：7．
14．
解：根据一元二次方程的定义可得：，解得：．
故答案是：．
15．
解：年投入此项工程的专项资金为1000万元，且该县这两年投入老旧小区改造工程专项资金的年平均增长率为，
年投入此项工程的专项资金为万元，2022年投入此项工程的专项资金为万元．
根据题意得：．
故答案为：．
16．17
把方程化为,
故a=2,b=9,c=8,
=92-4×2×8=17，
故填：17.
17．或．
解：时，
、满足，，
、是关于的方程的两根，
，，
则
当时，原式
的值等于或．
故答案为：或．
18． 米、米 1
解：（1）设矩形车棚与墙垂直的边长为，则与墙平行的边长为米，
根据题意可得，
整理可得，
解得，，
当时，，不符合题意，
当时，，符合题意，
∴这个矩形车棚相邻两边长分别为米、米；
（2）设小路的宽度为米，则剩余部分可合成长为米，宽为米的矩形，
根据题意得，
整理得，
解得 ，（不符合题意，舍去），
∴小路的宽度为1米．
故答案为：（1）10米、8米；（2）1．
19．(1)
(2)，
(3)
(4)
（1），
，
，
∴；
（2），
，
，
，
∴，；
（3），
，，，
，
∴，
即；
（4），
，
，
∴．
20．（1）k≤3；（2）．
解：（1）∵关于x的一元二次方程有两个实数根，
∴△≥0，即≥0，
解得：k≤3，
故k的取值范围为：k≤3．
（2）由根与系数的关系可得，
由可得，
代入x1＋x2和x1x2的值，可得：
解得：，（舍去），
经检验，是原方程的根，
故．
21．(1)每台机器租金的年增长率为
(2)当每台机器租金上涨25元时，该工厂每天的收点为25250元
（1）设每台机器租金的年增长率为x，根据题意得，

解得：
答：每台机器租金的年增长率为
（2）设每台机器租金上涨y元
整理得：
解得：
答：当每台机器租金上涨25元时，该工厂每天的收点为25250元．
22．(1)秒
(2)秒或秒
（1）解：设两动点运动t秒，使四边形的面积是矩形面积的
，，
，
解得：
∴两动点运动秒，使四边形的面积是矩形面积的．
（2）设两动点经过t秒运动后，使点P与点Q之间的距离为，
①当时，
当点在点上方时，则，即，
过点作于点，
则，，，
∴，
在Rt中，
∵，，，
∴，
∴，
解得（舍），．
当点在点下方时，则，即，
过点作于点，
则，，，
∴，
在Rt中，
∵，，，
∴，
∴，
解得，（舍）．
②当时，则
∵，，
∴，
∴，
在Rt中，
∵，，，
∴
有，
得方程：，
，
此方程无实根．
综上所述，当点P运动s或s时，点P与点Q之间的距离为．
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