第二十一章 一元二次方程 跟踪检测试题 2024--2025学年上学期初中数学人教版九年级上册

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第二十一章 一元二次方程 跟踪检测试题
2024--2025学年上学期初中数学人教版九年级上册
一、单选题
1．一元二次方程的一次项系数是（ ）
A．3 B．8 C． D．
2．将方程转化成的形式，则的值是（　　）
A． B．3 C．5 D．7
3．若是方程的两个根，则下列结论正确的是（　　）
A． B． C． D．
4．已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值为（　　）
A． B． C．或 D．或
5．某厂家2024年1—5月份的口罩产量统计如图所示，设从2月份到4月份，该厂家口罩产量的平均月增长率为x，根据题意可得方程（ ）

A． B．
C． D．
6．下列方程的解正确的是（ ）
A．方程的解为
B．方程的解为
C．方程的解为
D．方程的解为，
7．关于x的一元二次方程，下列说法：
①若，则方程一定有两个不相等的实数根；
②若，则方程没有实数根；
③若n是方程的一个根，则；
④若是方程的一个根，则是方程
的一个根．
其中正确的是（　　）
A．①②③④ B．①③ C．②④ D．①②④
8．如图①，在矩形中（），动点从点出发，沿匀速运动，运动到点处停止．设点的运动路程为，的周长为，与的函数图象如图②所示，则的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
二、填空题
9．我们规定一种新运算“★”，其意义为，已知，则x的值为 ．
10．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，则每个支干长出小分支的数量是 ．
11．已知是一元二次方程的一个根，则的值为 ．
12．若一元二次方程的两根为m，n，则的值为 ．
13．新定义：关于x的一元二次方程与称为“同族二次方程”．例如：与是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程与是“同族二次方程”，则代数式的最小值是 ．
三、解答题
14．（1）解方程：．（配方法）；
（2）解方程：（公式法）
15．已知a，b是关于x的一元二次方程的两根．
(1)求n的取值范围；
(2)若等腰三角形的三边长分别为a，b，2，求n的值．
16．已知关于x的方程．
(1)求证:方程总有两个不等的实数根；
(2)已知方程的一个根为，求代数式的值．
17．商场某种商品平均每天可销售件，每件盈利元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价元，商场平均每天可多售出件．
(1)若某天该商品每件降价元，当天可获利______元；
(2)在上述销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到元？
18．已知关于的一元二次方程．
(1)求证：无论取何值，方程都有两个不相等的实数根；
(2)如果方程的两个实数根为，且，求的值．
参考答案：
1．B
解：一元二次方程，
∵一次项是，
∴一次项系数是8，
2．B
解：移项，得，
配方，得，即，
∴，
∴．
3．A
解：∵是方程的两个根，
，
4．C
解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，
，即，
或．
5．B
解：从2月份到4月份，该厂家口罩产量的平均月增长率为x，
根据题意可得方程：，
6．C
解：A、方程的解为，选项错误，不符合题意；
B、方程的解为或，选项错误，不符合题意；
C、方程的解为，选项正确，符合题意；
D、方程的解为，，选项错误，不符合题意；
7．D
解：①对于方程，
，
若，则，
则，
即，
∴方程一定有两个不相等的实数根；故选项正确；
②由①可知，，
若，则，即，则，
∴，
∴方程没有实数根；故②正确；
③若n是方程的一个根，则，即，
则或，即或，故选项错误；
④若是方程的一个根，
则，
∵，
∴两边同除以得，
，
即，
∴是方程的一个根．
故④正确；
综上可知，①②④正确，
8．B
解：∵四边形是矩形，
∴．
设的长为a，
由函数图象可知，当周长第一次为12时，点P运动到点D，当周长第二次为12时，点P运动到点C，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，，
∴．
9．0或4/4或0
解：由题意，
整理，得：，
∴，
∴；
故答案为：0或4．
10．9
设每个支干长出的小分支的数目是个，根据题意列方程得：，
解得：或（不合题意，应舍去）．
∴．
故答案为：9．
11．8
解：根据题意得：，即，
解得：，
，
故答案为：8．
12．6
解：∵一元二次方程的两个根为，，
∴，
∴
故答案为：6．
13．2020
解：与是“同族二次方程”，
，
，
，
解得，
，
则代数式的最小值是2020．
故答案为：2020．
14．（1），；（2），．
（1）解：，
，
，
，
，
∴，；
（2）解：，
∴，
∴，
∴，．
15．(1)
(2)
（1）由题意，得．
∵a，b是关于x的一元二次方程的两根，
∴，
∴．
（2）∵三角形是等腰三角形，
∴有①或，②两种情况．
①当或时，
∵a，b是关于x的一元二次方程的两根，
∴是方程的一根．
把代入，
得，
解得．
当时，方程的两根是2和4，而2，4，2不能组成三角形，故不合题意，舍去；
②当时，方程有两个相等的实数根，
∴，解得．
综上所述，．
16．(1)方程总有两个不相等的实数根
(2)5
（1）关于的一元二次方程．
，
方程总有两个不相等的实数根；
（2）
，
是此方程的一个根，
把代入方程中得到，
把代入得：
原式．
17．(1)
(2)
（1）解：当天盈利：
（元），
故答案为：；
（2）解：设每件商品降价元，则每件盈利元，商场平均每天可售出件，
依题意得：，
整理得：，
解得：，，
又为了尽快减少库存，
，
答：每件商品降价元时，商场日盈利可达到元．
18．(1)证明见解析；
(2)或．
（1）证明：，
∵无论取何值，，恒成立，
∴无论取何值，方程都有两个不相等的实数根．
（2）解：∵是方程的两个实数根，
∴，，
∴，
解得：或．
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