第二十一章 一元二次方程 综合训练试题 2024--2025学年上学期初中数学人教版九年级上册

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第二十一章 一元二次方程 综合训练试题
2024--2025学年上学期初中数学人教版九年级上册
一、单选题
1．若是关于x的一元二次方程的一个根，则的值为（ ）
A．2018 B．2020 C．2022 D．2024
2．将方程化为一元二次方程的一般形式，其中二次项系数为1，一次项系数、常数项分别是（ ）
A．、 B．、10 C．8、 D．8、10
3．用配方法解方程，变形后的结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．若多项式可以分解为，则在关于x的方程中，的值为（ ）
A．3或 B．或1 C． D．1
5．在平面直角坐标系中，若直线经过第一、三、四象限，则关于x的方程的实根的情况是（ ）
A．与a的取值有关 B．有两个不相等的实数根
C．有两个相等的实数根 D．没有实数根
6．若关于x的一元二次方程无实数根，则m的值可以为（ ）
A． B．0 C．1 D．2
7．如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的n倍（n是正整数），则称这样的方程为“n倍根方程”.以下是关于“2倍根方程”的说法：
①方程是2倍根方程；
②若关于x的方程是2倍根方程（m，t为常数），
则；
③若，则关于x的方程是2倍根方程；
④若关于x的方程是2倍根方程，且，则方程有一个根为1.
则以上关于“2倍根方程”的说法中，正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．①④ D．③④
8．如图所示，某景区内有一块长方形油菜花田地（单位：m），现在其中修建一条观花道（阴影部分）供游人赏花，要求观花道的面积占长方形油菜花田地面积的．设观花道的直角边（如图所示）为，则可列方程为（ ）

A． B．
C． D．
二、填空题
9．若关于x的一元二次方程的二次项系数是，则a的值为 ．
10．若是关于x的一元二次方程，则 ．
11．已知一元二次方程有实数解，则k的取值范围是 ．
12．已知关于x的一元二次方程的两个实数根分别为和，则的值为 ．
13．关于的一元二次方程的根的判别式的值为24，则 ．
14．已知直角三角形两条直角边的长分别是方程的两根，则该三角形的斜边长为 ．
15．今年我国发生了较为严重的新冠肺炎疫情，口罩供不应求，某商店恰好年前进了一批口罩，若按每个盈利1元销售，每天可售出200个，如果每个口罩的售价上涨0.5元，则销售量就减少10个，若想让顾客得到实惠的同时每天利润为480元，则每个口罩应该涨价 元．
三、解答题
16．选用适当方法解下列方程：
(1)
(2)
(3)
(4)
17．已知关于x的方程．
(1)当m为何值时，方程有两个不相等的实数根．
(2)在（1）的结果中，取满足m的范围的最小整数m，并算出该方程的根．
18．已知关于x的一元二次方程．
(1)求证∶不论m取何实数，此方程总有两个实数根．
(2)若平行四边形的两边的长是关于该方程的两个实数根．
①当m为何值时，四边形是菱形？求出这时菱形的边长；
②若的长为3，那么平行四边形的周长是多少？
19．今年超市以每件25元的进价购进一批商品，当商品售价为40元时，三月份销售256件，四、五月该商品十分畅销，销售量持续上涨，在售价不变的基础上，五月份的销售量达到400件．
(1)求四、五这两个月销售量的月平均增长百分率．
(2)经市场预测，六月份的销售量将与五月份持平，现商场为了减少库存，采用降价促销方式，经调查发现，该商品每降价1元，月销量增加5件，当商品降价多少元时，商场六月份可获利4250元？
20．已知：关于x的一元二次方程．若方程的两个实数根分别为．
(1)若是斜边长为的直角三角形的两直角边，求k的值；
(2)是否存在k，满足？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．
参考答案：
1．B
解：∵是关于x的一元二次方程的一个根，
∴，
∴．
2．D
解：化为一元二次方程的一般形式，
其中二次项系数为1，一次项系数、常数项分别是8，10，
3．B
解：，
，
4．D
解：多项式可以分解为，
，
，
，
，
5．B
解：∵直线经过第一、三、四象限，
∴，
∴，
∴方程有两个不相等的实数根．
6．D
解：根据题意得，
解得，
7．D
解：①解方程得可得：，
∴方程不是2倍根方程，故①错误；
②∵是倍根方程，且，，
∴或，
∴，，
∴，即，故②错误；
③∵，
解方程得：，，
∴，故③正确；
④∵方程是2倍根方程，
∴设，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，则，故④正确．
综上所述，关于2倍根方程的说法正确的为：③④．
8．C
解：由题意可得：，
即，故C正确．
9．
解：∵，
∴一元二次方程为：，
根据题意可得：，
解得：，
故答案为：．
10．0
解：∵是关于x的一元二次方程，
∴且，
解得．
故答案为：0．
11．且
解：一元二次方程有实数解，
且，即，
解得，
的取值范围为且．
故答案为：且．
12．2
解：关于的一元二次方程的两个实数根分别为和，
，，
．
故答案为：2．
13．
解：∵关于的一元二次方程的根的判别式的值为24，
∴，
解得：．
故答案为：．
14．5
解：可化为，
解得：，
故可得斜边长．
故答案为：5．
15．2
解：设每个口罩应该涨价x元，则每天可售出个，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，
又∵想让顾客得到实惠，
∴，
∴每个口罩应该涨价2元．
故答案为：2．
16．(1)
(2)
(3)
(4)
（1）∵
∴
∴
∴
∴
（2）∵
∴
∴
∴
∴
∴
（3）∵
∴
∴
∴
（4）∵
∴
∴
∴或
∴
17．(1)
(2)，，
（1）解：∵x的方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得，
故时，方程有两个不相等的实数根；
（2）解：由得最小整数，
∴方程为，
解得，．
18．(1)见解析
(2)①2②10
（1）证明：∵
，
∴无论m取何值，方程总有两个实数根；
（2）解：①∵平行四边形是菱形，
∴，
∴，即，解得，
方程化为，解得，
∴菱形的边长为2．
②设，
∵且AB，AD的长是方程的两个实数根．
∴，，
∴消去，得，即，
∴平行四边形的周长为
19．(1)
(2)5元
（1）解：设平均增长率为，由题意得：
，
解得：或（舍）；
∴四、五这两个月的月平均增长百分率为；
（2）解：设降价元，由题意得：
，
整理得：，
解得：或（舍）；
∴当商品降价5元时，商场六月份可获利4250元．
20．(1)2
(2)或1或
（1）解：根据题意，得，
∴无论k取何值，方程总有实数根，
∴，，
∵是斜边长为的直角三角形的两直角边，
∴，
∴，
∴，
解得(经检验，此时两根之积为负数，故舍去)，，
∴k的值为2
（2）解：假设存在，
当时，则，解得，
当时，，
∴，
∴，
∴
解得，，
综上，当k的值为或1或时，．
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