第二十一章 21.2.2 公式法 自学练 2024-2025学年上学期初中数学人教版九年级上册

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第二十一章 21.2.2 公式法 自学练
2024-2025学年上学期初中数学人教版九年级上册
一、单选题
1．一元二次方程的根是（ ）
A． B． C．， D．，
2．，是一元二次方程的两个解，且，下列说法正确的是（ ）
A．小于，大于3 B．小于，大于3
C．，在-1和3之间 D．，都小于3
3．关于的一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个不等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．无实数根
4．一元二次方程中，根的判别式的值为（ ）
A．8 B．12 C．20 D．32
5．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则（ ）
A． B． C． D．
7．利用公式解可得一元二次方程式的两解为a、b，且，则a的值为（ ）
A． B． C． D．
8．在用求根公式求一元二次方程的根时，小珺正确地代入了a，b，c得到，则她求解的一元二次方程是（ ）
A． B．
C． D．
9．三角形两边长分别为2和3，第三边的长是方程的根，则该三角形的周长为（　　）
A． B．10 C． D．或10
10．若关于x的一元二次方程mx2－2x＋1＝0无实数根，则一次函数y＝(m－1)x－m的图象不经过(　 　)
A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限
二、填空题
11．一元二次方程有两个相等的实数根，点、是一次函数上的两个点，若，则 （填“＜”或“＞”或“＝”）．
12．方程的解是 ．
13．若一元二次方程有两个相同的解，则 ．
14．如果关于的二次三项式在实数范围内不能因式分解，那么的取值范围是 ．
15．若（a2﹣2a）2﹣9＝0，则代数式a2﹣2a的值为 ．
16．已知等腰的底边长为，两腰长恰好是关于的一元二次方程的两根，则的周长为 ．
三、解答题
17．用公式法解方程：
(1)．
(2)
18．已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+3）x+3m＝0．
(1)求证：无论m取任何实数，方程总有实数根；
(2)若等腰三角形的其中一边为4，另两边是这个方程的两根，求m的值．
19．已知关于的一元二次方程，其中，，为的三边．
(1)若是方程的根，判断的形状，并说明理由；
(2)若方程有两个相等的实数根，判断的形状，并说明理由．
20．若关于x的方程有且只有一个实数根，求实数k的所有可能值．
参考答案：
1．C
解：，
，
，
∴，，
2．A
解：、是一元二次方程的两个解，且，
，
，，
3．A
解：∵，
，
∴方程有两个不相等的实数根．
4．C
解：一元二次方程可化为，
原方程中，
，
5．D
解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得，，
6．D
解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
∴，
解得：，
7．A
解：，
∴，
，
，
∵一元二次方程式的两解为、，且，
∴的值为．
8．A
解：由知：，，．
所以该一元二次方程为：．
9．A
解：，，
∴，
解得：，，
∵，
∴2，3，5无法构成三角形，
∴这个三角形的三边长为：2，3，，
其周长为：.
10．C
根据题意得m≠0且△=(-2)2-4m×1＜0，
解得m＞1，
所以一次函数y=(m-1)x-m的图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限.
11．＞
解：一元二次方程有两个相等的实数根，
，
解得m=4，
一次函数的解析式为，
，
一次函数的图象中，y随x的增大而减小，
点、是一次函数上的两个点，且，
，
故答案为：＞．
12．
解：方程即为，
∴或（此方程无解，舍去），
∴，
∴；
故答案为：．
13．16
解：根据题意可得：，
解得：，
故答案为：16．
14．
关于的二次三项式在实数范围内不能分解因式，就是对应的二次方程无实数根，
，
．
故答案为．
15．3
解：（a2﹣2a）2﹣9＝0，
设a2﹣2a＝x，则原方程化为：x2﹣9＝0，
解得：x＝±3，
当x＝3时，a2﹣2a＝3，解得：a＝2或﹣1；
当x＝﹣3时，a2﹣2a＝﹣3，
a2﹣2a+3＝0，
△＝（﹣2）2﹣4×1×3＝﹣8＜0，此方程无解；
所以a2﹣2a的值是3，
故答案为：3．
16．7
解：由题意知方程有两个相等的实数根，
，
解得：，
原方程为：，
解得：，
则三角形的三边长度为、、，
则的周长为，
故答案为：．
17．(1)，
(2)，
（1）
∵，，；
∴，
∴，
（2）
方程整理得：．
∵，，，，
∴，
∴，．
18．(1)见解析
(2)m的值为4或3
（1）证明：Δ＝[﹣（m+3）]2﹣4×1×3m＝m2﹣6m+9＝（m﹣3）2．
∵（m﹣3）2≥0，即Δ≥0，
∴无论m取任何实数，方程总有实数根；
（2）解：当腰为4时，
把x＝4代入x2﹣（m+3）x+3m＝0，
得，16﹣4m﹣12+3m＝0，解得m＝4；
当底为4时，
则程x2﹣（m+3）x+3m＝0有两相等的实数根，
∴Δ＝0，
∴（m﹣3）2＝0，
∴m＝3，
综上所述，m的值为4或3．
19．(1)等腰三角形，理由见解析
(2)直角三角形，理由见解析
（1）解：把x=1代入方程得，
，
化简得，
则该三角形的形状为等腰三角形．
（2）解：由题意可得方程有两个相等的实数根
则的判别式：
化简可得
则该三角形的形状为直角三角形．
20．或 或或
解：左右两边同时乘以得：，
整理得：，
①当，即时，
原方程为：，解得：，
∴时，方程有且只有一个实数根；
②当且时，
，
解得：，
当时，，
检验：当时，，
∴是原分式方程的解，
∴，方程有且只有一个实数根；
③当且时，
∵，
∴或；
把代入得，
解得：，
把代入得，
解得：，
检验：当时，，当时，，
∴是原分式方程的解，
∴时，方程有且只有一个实数根；
把代入得，
解得：，
把代入得，
解得：，
检验：当时，，当时，，
∴是原分式方程的解，
∴时，方程有且只有一个实数根；
综上：k的值为或 或或．
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